1. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
คู่มือประกอบสื่ อการสอน วิชาคณิตศาสตร์
เรื่อง
ความสั มพันธ์ และฟังก์ ชัน
(เนือหาตอนที่ 4)
้
ฟังก์ ชันเบืองต้ น
้
โดย
อาจารย์ ดร.รตินันท์ บุญเคลือบ
สื่ อการสอนชุดนี้ เป็ นความร่ วมมือระหว่ าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์ มหาวิทยาลัย กับ
สํ านักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพืนฐาน (สพฐ.)
้
กระทรวงศึกษาธิการ

2. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สื่ อการสอน เรื่อง ความสั มพันธ์ และฟังก์ ชัน
สื่ อการสอน เรื่ อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชน มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 16 ตอน ซึ่งประกอบด้วย
ั ํ
1. บทนํา เรื่อง ความสั มพันธ์ และฟังก์ชัน
2. เนือหาตอนที่ 1 ความสั มพันธ์
้
- แผนภาพรวมเรื่ องความสัมพันธ์และฟังก์ชนั
- ผลคูณคาร์ทีเซียน
- ความสัมพันธ์
- การวาดกราฟของความสัมพันธ์
3. เนือหาตอนที่ 2 โดเมนและเรนจ์
้
- โดเมนและเรนจ์
- การหาโดเมนและเรนจ์โดยการแก้สมการ
- การหาโดเมนและเรนจ์โดยการวาดกราฟ
4. เนือหาตอนที่ 3 อินเวอร์ สของความสั มพันธ์ และบทนิยามของฟังก์ชัน
้
- อินเวอร์สของความสัมพันธ์
- บทนิยามของฟังก์ชน ั
5. เนือหาตอนที่ 4 ฟังก์ ชันเบืองต้ น
้ ้
- ฟั งก์ชนจากเซต A ไปเซต B
ั
- ฟังก์ชนทัวถึง
ั ่
- ฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง
ั
6. เนือหาตอนที่ 5 พีชคณิตของฟังก์ชัน
้
- พีชคณิ ตของฟังก์ชนั
- ตัวอย่างประเภทของฟังก์ชนพื้นฐาน
ั
7. เนือหาตอนที่ 6 อินเวอร์ สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ ส
้
- อินเวอร์สของฟังก์ชนละฟังก์ชนอินเวอร์ส
ั ั
- กราฟของฟังก์ชนอินเวอร์ส
ั
8. เนือหาตอนที่ 7 ฟังก์ชันประกอบ
้
- ฟังก์ชนประกอบ
ั

3. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
- โดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชนประกอบ
ั
- สมบัติของฟังก์ชนประกอบ
ั
9. แบบฝึ กหัด (พืนฐาน 1)
้
10. แบบฝึ กหัด (พืนฐาน 2)
้
11. แบบฝึ กหัด (ขั้นสู ง)
12. สื่ อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ความสั มพันธ์ และฟังก์ชัน
13. สื่ อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง อินเวอร์ สของความสั มพันธ์ และฟังก์ ชันอินเวอร์ ส
14. สื่ อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง โดเมนและเรนจ์
15. สื่ อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง พีชคณิตและการประกอบของฟังก์ชัน
16. สื่ อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง การเลือนแกน
่
คณะผูจดทําหวังเป็ นอย่างยิงว่า สื่ อการสอนชุดนี้ จะเป็ นประโยชน์ต่อการเรี ยนการสอนสําหรับ
้ั ่
ครู และนักเรี ยนทุกโรงเรี ยนที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกับการเรี ยนการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ เรื่ อง ความสัมพันธ์
และฟั ง ก์ชัน นอกจากนี้ หากท่ านสนใจสื่ อ การสอนวิ ชาคณิ ต ศาสตร์ ใ นเรื่ อ งอื่ นๆที่ ค ณะผูจ ัด ทํา ได้
้
ดําเนินการไปแล้ว ท่านสามารถดูชื่อเรื่ อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ท้ งหมด ั
่
ในตอนท้ายของคูมือฉบับนี้

4. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชน
ั
หมวด เนื้อหา
ตอนที่ 4 (4/7)
หัวข้ อย่ อย 1. ฟังก์ชนจากเซต A ไปเซต B
ั
2. ฟังก์ชนทัวถึง ั ่
3. ฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง
ั
จุดประสงค์ การเรียนรู้
เพื่อให้ผเู ้ รี ยน
1. เข้าใจบทนิยามของฟังก์ชนจากเซต A ไปเซต B ั
ั ํ
2. ตรวจสอบว่าฟังก์ชนที่กาหนดให้เป็ นฟังก์ชนจากเซต A ไปเซต B หรื อไม่
ั
ั ํ
3. ยกตัวอย่างฟังก์ชนจากเซต A ไปเซต B ที่กาหนดให้ได้ และนับจํานวนฟังก์ชนที่เป็ นไปได้
ั
ทั้งหมด จากเซต A ไปเซต B ที่เป็ นเซตจํากัดทั้งคู่ได้
4. เข้าใจบทนิยามของฟังก์ชนทัวถึง ั ่
5. ยกตัวอย่างฟังก์ชนทัวถึงจากเซต A ไปเซต B ที่กาหนดให้ได้
ั ่ ํ
6. เข้าใจบทนิยามของฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง ั
ั ํ
7. ยกตัวอย่างฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งจากเซต A ไปเซต B ที่กาหนดให้ได้ และนับจํานวนฟังก์ชน ั
หนึ่งต่อหนึ่งที่เป็ นไปได้ท้ งหมด จากเซต A ไปเซต B ที่เป็ นเซตจํากัดทั้งคู่ได้
ั
ั ํ
8. ตรวจสอบว่าฟังก์ชนที่กาหนดให้เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งหรื อไม่โดยใช้วิธีเชิงพีชคณิ ตหรื อ
ั
โดยใช้กราฟของฟังก์ชนได้ ั
ผลการเรียนรู้ทคาดหวัง ี่
ผูเ้ รี ยนสามารถ
่ ั ํ ํ
1. ตรวจสอบได้วาฟังก์ชนที่กาหนดให้เป็ นฟังก์ชนจากเซต A ไปเซต B ที่กาหนดให้หรื อไม่ได้
ั
ั ํ
2. ยกตัวอย่างฟังก์ชนจากเซต A ไปเซต B ที่กาหนดให้ได้ และนับจํานวนฟังก์ชนที่เป็ นไปได้
ั
ทั้งหมด จากเซต A ไปเซต B ที่เป็ นเซตจํากัดทั้งคู่ได้
่ ั ํ
3. ตรวจสอบได้วาฟังก์ชนที่กาหนดให้เป็ นฟังก์ชนทัวถึงจากเซต A ไปเซต B ที่กาหนดให้
ั ่ ํ
หรื อไม่ได้
4. ยกตัวอย่างฟังก์ชนทัวถึงจากเซต A ไปเซต B ที่กาหนดให้ได้
ั ่ ํ

5. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ั ํ
5. ตรวจสอบว่าฟังก์ชนที่กาหนดให้เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งหรื อไม่โดยใช้วิธีเชิงพีชคณิ ตหรื อ
ั
โดยใช้กราฟของฟังก์ชนได้ ั
ั ํ
6. ยกตัวอย่างฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งจากเซต A ไปเซต B ที่กาหนดให้ได้ และนับจํานวนฟังก์ชน ั
หนึ่งต่อหนึ่งที่เป็ นไปได้ท้ งหมด จากเซต A ไปเซต B ที่เป็ นเซตจํากัดทั้งคู่ได้
ั

6. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เนือหาในสื่ อ
้

7. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. ฟังก์ ชันจากเซต A ไปเซต B

8. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
่
ก่อนอื่นครู ควรทบทวนเพื่อตรวจสอบว่านักเรี ยนเข้าใจหรื อไม่วาฟังก์ชนเป็ นความสัมพันธ์แบบหนึ่ง ที่มีสมบัติพิเศษ
ั
กล่าวคือสมาชิกตัวหน้าของความสัมพันธ์ที่เป็ นฟังก์ชนนั้นจะไม่ถูกใช้ซ้ า และอาจทบทวนนักเรี ยนให้ยอนนึกไปถึง
ั ํ ้
ความสัมพันธ์จากเซต A ไปเซต B เพื่อบ่งบอกให้แน่ชดว่าสมาชิกตัวหน้าและสมาชิกตัวหลังของคูอนดับใน
ั ่ ั
ความสัมพันธ์จะมาจากเซตใด ดังนั้นในฐานะที่ฟังก์ชนเป็ นความสัมพันธ์แบบหนึ่งการกําหนดว่าสมาชิกตัวหน้าและ
ั
สมาชิกตัวหลังของคู่อนดับในฟังก์ชนมาจากเซตใด จึงทําได้ในทํานองเดียวกันกับความสัมพันธ์หากแต่มีเงื่อนไข
ั ั
บางอย่างเพิ่มเติม ซึ่งได้กล่าวถึงในสื่ อตอนนี้
เมื่อมาถึงตอนนี้ครู อาจยํ้าอีกครั้งว่า ความสัมพันธ์ r จากเซต A ไปเซต B มีเงื่อนไขเพียง Dr Ì A และ
Rr Ì B ในขณะที่ฟังก์ชน f : A  B ต้องมีเงื่อนไขที่สาคัญคือ Df = A และ Rf Ì B นอกจากนี้ ครู อาจ
ั ํ
ให้นกเรี ยนช่วยกันยกตัวอย่างเซต A และเซต B และฟังก์ชนจากเซต A ไปเซต B ดังกล่าว ทั้งนี้อาจให้
ั ั
นักเรี ยนลองนึกถึงเซต A หรื อเซต B ที่เป็ นเซตอนันต์

9. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในตอนนี้ได้ต้งข้อสังเกตต่างๆ เกี่ยวกับฟังก์ชนจาก เซต A ไปเซต B และการนับจํานวนฟังก์ชนทั้งหมดที่
ั ั ั
เป็ นไปได้จาก เซต A ไปเซต B เมื่อทั้งคู่เป็ นเซตจํากัด
เมื่อถึงตอนนี้ครู อาจให้นกเรี ยนช่วยกันอภิปรายหากเซต A หรื อเซต B เป็ นเซตว่างแล้วจะมีฟังก์ชนจากเซต A ไป
ั ั
เซต B หรื อไม่ ถ้าหากมีฟังก์ชนนั้นคือเซตใด
ั
สําหรับการนับจํานวนฟังก์ชนทั้งหมดที่เป็ นไปได้จากเซต A ไปเซต B เมื่อทั้งคู่เป็ นเซตจํากัดนั้น หากนักเรี ยน
ั
ยังไม่เข้าใจในทีแรกครู อาจแบ่งการอธิบายเป็ นขั้นๆ ดังนี้
1. ให้ n(A) = 1 แล้วค่อยๆ เพิม n(B ) จาก 1 เป็ น 2 เป็ น 3 เรื่ อยไปจนเป็ นจํานวนนับ m ใดๆ
่
2. ให้ n(B ) = 1 แล้วค่อยๆ เพิ่ม n(A) จาก 1 เป็ น 2 เป็ น 3 เรื่ อยไปจนเป็ นจํานวนนับ n ใดๆ
3. ให้ n(A) = n และ n(B ) = m เมื่อ n และ m เป็ นจํานวนนับใดๆ

10. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สําหรับการนับจํานวนฟังก์ชนทั้งหมดที่เป็ นไปได้จากเซต A ไปเซต B เมื่อทั้งคูเ่ ป็ นเซตจํากัดที่อธิบายไว้ใน
ั
สื่ อนั้น แท้จริ งแล้วใช้หลักการคูณ ซึ่งเป็ นหลักการนับเบื้องต้นที่กล่าวว่า หากงานชิ้นใหญ่หนึ่งสามารถแบ่ง
ออกเป็ นงานย่อยๆ ได้ k งาน โดยแต่ละงานย่อยมีจานวนวิธีในการทํางานย่อยให้สาเร็ จเป็ น
ํ ํ
n1, n2 , n 3 , ..., nk วิธี ตามลําดับแล้ว จํานวนวิธีที่จะทํางานชิ้นใหญ่น้ นให้สาเร็ จจะเป็ น n1n2n 3 nk วิธี
ั ํ
ซึ่งรายละเอียดสําหรับหลักการนับเบื้องต้นนี้นกเรี ยนจะได้ศึกษาในสื่ อชุดการนับและความน่าจะเป็ นโดย
ั
อาจารย์ณฐกาญจน์ต่อไป
ั
เมื่อนักเรี ยนเข้าใจเรื่ องการนับจํานวนฟังก์ชนทั้งหมดที่เป็ นไปได้จากเซต A ไปเซต B เมื่อทั้งคู่เป็ นเซตจํากัด
ั
แล้วครู อาจยกตัวอย่างเหล่านี้เพิ่มเติม
ตัวอย่ าง 1 ถ้า A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} และ B = {1, 2, 3} แล้วจงหาจํานวนฟังก์ชน f : A  B ั
ทั้งหมดซึ่ง f (1) = 1 และ f (2) = 2
ํ ่
วิธีทา จากโจทย์จะได้วา Df = A และ (1,1) และ (2, 2) Î f นันคือ ่
f = {(1,1), (2,2), (3,), (4,), (5,), (6,)} ดังนั้นในการสร้างฟั งก์ชน f ต้องนําสมาชิกของ B มา
ั
่ ั
จับคูกบ 3, 4, 5 และ 6 ตามลําดับ ซึ่งตัวเลขทั้งสี่ น้ ีสามารถจับคู่กบสมาชิกของ B ได้ตวละ 3 วิธี ดังนั้นจะ
ั ั
่
ได้วาจํานวนฟังก์ชน f : A  B ทั้งหมดซึ่ง f (1) = 1 และ f (2) = 2 คือ 34 = 81 ฟังก์ชน
ั ั
ตัวอย่ าง 2 ถ้า A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} และ B = {1, 2, 3} แล้วจงหาจํานวนฟังก์ชน f : A  B ั
ทั้งหมดซึ่ง f (1) ¹ 1 หรื อ f (2) ¹ 2
วิธีทา เนื่องจากจํานวนฟังก์ชน f : A  B ทั้งหมดซึ่ง f (1) ¹ 1 หรื อ f (2) ¹ 2 คือ จํานวนฟังก์ชน
ํ ั ั
f : A  B ทั้งหมดที่นา f : A  B ซึ่ ง f (1) = 1 และ f (2) = 2 ออกไป ดังนั้นจํานวนฟั งก์ชน
ํ ั
f : A  B ทั้งหมดซึ่ ง f (1) ¹ 1 หรื อ f (2) ¹ 2 คือ 36 - 81 = 648 ฟั งก์ชน ั

11. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึ กหัดเพิมเติมเรื่องฟังก์ ชันจากเซต A ไปเซต B
่
1. กําหนดให้ A = {1, 2, 3} และ P (A) คือพาวเวอร์เซตของ A จํานวนฟังก์ชนทั้งหมดที่เป็ นไปได้จากเซต
ั
A ไปเซต P (A) มีมากกว่าหรื อน้อยกว่าจํานวนฟั งก์ชนทั้งหมดที่เป็ นไปได้จากเซต P (A) ไป A อยูกี่ฟังก์ชน
ั ่ ั
2. สําหรับจํานวนนับ n และ m ใดๆ จงแสดงว่า m n £ 2nm และ n m £ 2nm
3. กําหนดให้ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} และ B = {x Î  || x | £ 6} จงหาจํานวนสมาชิกของเซต
{f : A  B | x หาร f (x ) ลงตัว ทุก x Î A}
4. กําหนดให้ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}}, และ
F = {f : A  B | x Ï f (x ) ทุก x Î A} จงหาจํานวนสมาชิกของ F
5. กําหนดให้ A = {1, 2, 3, 4} และ S = {f : A  A | f (x ) > x - 1 ทุก x Î A} จงหาจํานวนสมาชิก
ของ S

12. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. ฟังก์ ชันทัวถึง
่

13. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในช่วงนี้ได้อธิบายบทนิยามของฟังก์ชนจากเซต A ไปทัวถึงเซต B จากนั้นได้ต้ งข้อสังเกตเกี่ยวกับจํานวน
ั ่ ั
สมาชิกของเซต A และเซต B ที่มีผลต่อการมีอยูของฟังก์ชนจากเซต A ไปทัวถึงเซต B เมื่อทั้งคู่เป็ นเซต
่ ั ่
จํากัด และยกตัวอย่างการนับจํานวนฟังก์ชนจากเซต A ไปทัวถึงเซต B เมื่อทั้งคู่เป็ นเซตจํากัด
ั ่

14. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เมื่อมาถึงตรงนี้ครู ควรยํ้าว่าข้อสังเกตที่ได้ต้ งไว้ในสื่ อนั้น บอกเพียงว่าสําหรับเซต A และเซต B ที่เป็ นเซต
ั
จํากัด ถ้า n(A) < n(B ) แล้วจะไม่มีฟังก์ชน f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนทัวถึง จากนั้นครู ควรชวนนักเรี ยนให้
ั ั ่
ช่วยกันอภิปรายว่า แล้วในกรณี ที่ n(A) ³ n(B ) จะหาฟังก์ชน f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนทัวถึงได้อย่างน้อย
ั ั ่
หนึ่งฟังก์ชนเสมอหรื อไม่ ถ้าหาได้ให้นกเรี ยนช่วยกันยกตัวอย่างประกอบ
ั ั
ครู ควรให้นกเรี ยนช่วยกันอภิปรายต่อในประเด็นต่างๆ เช่น
ั
1. สําหรับเซต A และเซต B ที่เป็ นเซตจํากัด หากมีฟังก์ชน f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนทัวถึงแล้วจะ
ั ั ่
เปรี ยบเทียบ n(A) กับ n(B ) ได้หรื อไม่ ถ้าได้ผลของการเปรี ยบเทียบเป็ นอย่างไร
2. หากเซต A เป็ นเซตอนันต์และเซต B เป็ นเซตจํากัดแล้วจะมี f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนทัวถึงได้ ั ่
หรื อไม่
3. หากเซต A เป็ นเซตจํากัดและเซต B เป็ นเซตอนันต์แล้วจะมี f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนทัวถึงได้ ั ่
หรื อไม่
4. หาก A เป็ นเซตจํากัดและมีฟังก์ชน f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนทัวถึง แล้วเซต B เป็ นเซตจํากัดหรื อ
ั ั ่
เซตอนันต์หรื อสรุ ปไม่ได้
5. หาก B เป็ นเซตอนันต์และมีฟังก์ชน f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนทัวถึง แล้วเซต A เป็ นเซตจํากัดหรื อ
ั ั ่
เซตอนันต์หรื อสรุ ปไม่ได้
เป็ นต้น
สําหรับการนับจํานวนฟังก์ชนจากเซต A ไปทัวถึงเซต B ในกรณี ที่ท้ งคู่เป็ นเซตจํากัดและ B มีสมาชิกเป็ น
ั ่ ั
จํานวนมากนั้นเป็ นเรื่ องยาก แต่ยงสามารถอาศัยแนวคิดในตัวอย่างที่ยกไว้ในสื่ อในการนับจํานวนฟังก์ชน
ั ั
ดังกล่าวได้ อย่างไรก็ดีสาหรับนักเรี ยนที่สนใจครู อาจยกตัวอย่างนี้เพิ่มเติม
ํ
ตัวอย่ าง 3 ให้ A = {1, 2, 3, 4} และ B = {a, b, c} จงหาจํานวนฟังก์ชนจากเซต A ไปทัวถึงเซต B
ั ่
ทั้งหมดที่เป็ นไปได้
วิธีทา จํานวนฟังก์ชนจากเซต A ไปทัวถึงเซต B ทั้งหมดที่เป็ นไปได้
ํ ั ่
= จํานวนฟั งก์ชนจากเซต A ไปเซต B ทั้งหมดที่เป็ นไปได้
ั
- จํานวนฟั งก์ชนจากเซต A ไปเซต B ทั้งหมดที่เรนจ์มีสมาชิกตัวเดียว
ั
- จํานวนฟั งก์ชนจากเซต A ไปเซต B ทั้งหมดที่เรนจ์มีสมาชิกสองตัว
ั

15. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
จากตัวอย่างในสื่ อทําให้ทราบว่าจํานวนฟังก์ชนจากเซต A ไปเซต B ทั้งหมดที่เรนจ์มีสมาชิกตัวเดียว = 3
ั
ั ั ่
ฟังก์ชน สําหรับจํานวนฟังก์ชนจากเซต A ไปเซต B ทั้งหมดที่เรนจ์มีสมาชิกสองตัวนั้น สมมติวาสมาชิกสอง
ตัวดังกล่าวคือ a และ b ดังนั้นการหาจํานวนฟังก์ชนจากเซต A ไปเซต B ทั้งหมดที่เรนจ์มีสมาชิกสองตัว จะ
ั
เหมือนกับการหาจํานวนฟังก์ชนจากเซต A ไปทัวถึงเซต {a, b} ซึ่งจากตัวอย่างในสื่ อจะได้วามีอยู่ 14
ั ่ ่
ฟังก์ชน ในทํานองเดียวกันจะสามารถเปลี่ยนเรนจ์ที่มีสมาชิกสองตัวให้เป็ น {a, c} และ {b, c} ดังนั้นจํานวน
ั
ฟังก์ชนจากเซต A ไปเซต B ทั้งหมดที่เรนจ์มีสมาชิกสองตัว = 3 ´ 14 = 42 ฟังก์ชน ทําให้ได้วาจํานวน
ั ั ่
ฟังก์ชนจากเซต A ไปทัวถึงเซต B ทั้งหมดที่เป็ นไปได้ = 34 - 3 - 42 = 36 ฟังก์ชน
ั ่ ั
ั ่
นอกจากนี้ครู อาจยกตัวอย่างเพิ่มเติมโดยใช้ฟังก์ชนจากสื่ อตอนที่ผานๆ มาเพื่อให้นกเรี ยนช่วยกันพิจารณาว่าเป็ น
ั
ฟังก์ชนจากเซตใดไปทัวถึงเซตใด ซึ่งตอบได้ง่ายๆ จากการพิจารณาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์นนเอง
ั ่ ั่
แบบฝึ กหัดเพิมเติมเรื่องฟังก์ชันทัวถึง
่ ่
จงระบุวาฟังก์ชนที่กาหนดให้ต่อไปนี้เป็ นฟังก์ชนจากเซตใดไปทัวถึงเซตใด
่ ั ํ ั ่
1. f (x ) = x 2 เมื่อ -1 < x £ 3
2. f (x ) = | x | เมื่อ -3 £ x < 1
3. f (x ) = 2x 2 - 1
x
4. f (x ) = 2
x -1
ì
ï 1ü
ï
5. f (x ) = min ïx , ï
í ý
ï xï
ï
î ï
þ

16. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3. ฟังก์ ชันหนึ่งต่ อหนึ่ง

17. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในช่วงนี้ได้อธิบายถึงบทนิยามของฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งจากเซต A ไปเซต B จากนั้นได้ต้ งข้อสังเกตเกี่ยวกับ
ั ั
่
จํานวนสมาชิกของเซต A และเซต B ที่มีผลต่อการมีอยูของฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งจากเซต A ไปเซต B เมื่อทั้ง
ั
คูเ่ ป็ นเซตจํากัด
เมื่อมาถึงตรงนี้ครู ควรยํ้าว่าข้อสังเกตที่ได้ต้ งไว้ในสื่ อนั้น บอกเพียงว่าสําหรับเซต A และเซต B ที่เป็ นเซต
ั
จํากัด ถ้า n(A) > n(B ) แล้วจะไม่มีฟังก์ชน f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง จากนั้นครู ควรชวน
ั ั
นักเรี ยนให้ช่วยกันอภิปรายว่า แล้วในกรณี ที่ n(A) £ n(B ) จะหาฟังก์ชน f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อ
ั ั
หนึ่งได้อย่างน้อยหนึ่งฟังก์ชนเสมอหรื อไม่ ถ้าหาได้ให้นกเรี ยนช่วยกันยกตัวอย่างประกอบ
ั ั

18. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในช่วงนี้ได้อธิบายการนับจํานวนฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งที่เป็ นไปได้ท้ งหมดจากเซต A ไปเซต B เมื่อทั้งคู่เป็ น
ั ั
เซตจํากัด และ n(A) £ n(B )
สําหรับการนับจํานวนฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งที่เป็ นไปได้จากเซต A ไปเซต B เมื่อทั้งคู่เป็ นเซตจํากัดนั้น หาก
ั
นักเรี ยนยังไม่เข้าใจในทีแรกครู อาจแบ่งการอธิบายเป็ นขั้นๆ ดังนี้
1. ให้ n(A) = 1 แล้วค่อยๆ เพิ่ม n(B ) จาก 1 เป็ น 2 เป็ น 3 เรื่ อยไปจนเป็ นจํานวนนับ m ใดๆ
2. ให้ n(A) = 2 แล้วค่อยๆ เพิ่ม n(B ) จาก 2 เป็ น 3 เป็ น 4 เรื่ อยไปจนเป็ นจํานวนนับ m ใดๆ
3. ให้ n(A) = n และ n(B ) = m เมื่อ n และ m เป็ นจํานวนนับใดๆ ที่ n £ m
การนับจํานวนฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งที่เป็ นไปได้ท้ งหมดจากเซต A ไปเซต B เมื่อทั้งคู่เป็ นเซตจํากัดที่อธิบายใน
ั ั
สื่ อนั้นอาศัยหลักการคูณเช่นเดียวกัน ยิงไปกว่านั้นจํานวนฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งที่เป็ นไปได้ท้ งหมดจากเซต A
่ ั ั
ไปเซต B เมื่อทั้งคู่เป็ นเซตจํากัดที่ได้น้ น เท่ากับจํานวนการจัดเรี ยงสิ่ งของที่แตกต่างกัน m สิ่ งโดยเลือกมา
ั
จัดเรี ยงในแนวเส้นตรงเพียง n สิ่ ง ซึ่งรายละเอียดของหลักการนับ และการจัดเรี ยงสิ่ งของนั้นนักเรี ยนจะได้
ศึกษาในสื่ อเรื่ องการนับและความน่าจะเป็ นโดยอาจารย์ณฐกาญจน์
ั
ครู ควรให้นกเรี ยนช่วยกันอภิปรายต่อในประเด็นต่างๆ เช่น
ั
1. สําหรับเซต A และเซต B ที่เป็ นเซตจํากัด หากมีฟังก์ชน f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งแล้ว
ั ั
จะเปรี ยบเทียบ n(A) กับ n(B ) ได้หรื อไม่ ถ้าได้ผลของการเปรี ยบเทียบเป็ นอย่างไร
2. หากเซต A เป็ นเซตอนันต์และเซต B เป็ นเซตจํากัดแล้วจะมี f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง
ั
ได้หรื อไม่

19. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3. หากเซต A เป็ นเซตจํากัดและเซต B เป็ นเซตอนันต์แล้วจะมี f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง
ั
ได้หรื อไม่
4. หาก A เป็ นเซตจํากัดและมีฟังก์ชน f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง แล้วเซต B เป็ นเซตจํากัด
ั ั
หรื อเซตอนันต์หรื อสรุ ปไม่ได้
5. หาก B เป็ นเซตอนันต์และมีฟังก์ชน f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง แล้วเซต A เป็ นเซต
ั ั
จํากัดหรื อเซตอนันต์หรื อสรุ ปไม่ได้
เป็ นต้น
เมื่อมาถึงตอนนี้ครู อาจยกตัวอย่างเหล่านี้เพิมเติม
่
ตัวอย่ าง 4 กําหนดให้ A เป็ นเซตจํากัดใดๆ ที่ไม่ใช่เซตว่าง จงหาจํานวนฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งทั้งหมดที่เป็ นไป
ั
ได้จากเซต A ไปพาวเวอร์เซตของ A
วิธีทา เนื่องจากพาวเวอร์เซตของ A มีสมาชิก 2n (A) ตัว ซึ่งมากกว่า n(A) เสมอ (ทําไม) ดังนั้นจํานวนฟังก์ชน
ํ ั
หนึ่งต่อหนึ่งทั้งหมดที่เป็ นไปได้จากเซต A ไปพาวเวอร์เซตของ A เท่ากับ
2n (A)(2n (A) - 1)(2n (A) - 2)(2n (A) - (n(A) - 1)) ฟั งก์ชน
ั
ตัวอย่ าง 5 กําหนดให้ A = {1, 2} และ B = {1, 2, 3, ..., 10} จงหาจํานวนสมาชิกของเซต
{f : A  B | f เป็ นฟั งก์ชนหนึ่ งต่อหนึ่ ง และ มี x Î A ซึ่ ง f (x ) = x }
ั
วิธีทา จากโจทย์จะสามารถแยกพิจารณาเป็ นสองกรณี ได้ดงนี้
ํ ั
่ ่ ั
กรณี x = 1 จะได้วา f = {(1,1), (2,)} เนื่องจาก f เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง ดังนั้น 2 จะจับคูกบ 1 ด้วย
ั
ฟังก์ชน f อีกไม่ได้ ทําให้มีจานวนวิธีที่จะนําตัวเลขในเซต B มาจับคู่กบ 2 เพียง 9 วิธี
ั ํ ั
่ ่ ั
กรณี x = 2 จะได้วา f = {(1,), (2,2)} เนื่องจาก f เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง ดังนั้น 1 จะจับคูกบ 2 ด้วย
ั
ฟังก์ชน f อีกไม่ได้ ทําให้มีจานวนวิธีที่จะนําตัวเลขในเซต B มาจับคู่กบ 1 เพียง 9 วิธี
ั ํ ั
อย่างไรก็ดีท้ งสองกรณี น้ ีมีการนับ f = {(1,1), (2,2)} ซํ้ากันสองครั้ง ดังนั้นจํานวนสมาชิกของเซต
ั
{f : A  B | f เป็ นฟั งก์ชนหนึ่ งต่อหนึ่ ง และ มี x Î A ซึ่ ง f (x ) = x } เท่ากับ 9 + 9 - 1 = 17 ตัว
ั

20. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ั ํ
ในช่วงนี้ได้อธิบายถึงการตรวจสอบว่าฟังก์ชนที่กาหนดให้เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งหรื อไม่ โดยวิธีเชิงพีชคณิ ตและ
ั
โดยการวาดกราฟ
เมื่อถึงตอนนี้ครู อาจตั้งข้อสังเกตให้นกเรี ยนเห็นว่าหากฟังก์ชนที่กาหนดมาให้น้ นมีพจน์ที่เกี่ยวข้องกับ | x |
ั ั ํ ั
หรื อ x n เมื่อ n เป็ นจํานวนคู่ ฟังก์ชนเหล่านั้นมีสิทธิ์จะไม่เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งสูง เนื่องจาก ค่าของ x ที่
ั ั
เป็ นน้อยกว่าศูนย์ หรื อมากกว่าศูนย์ เมื่อแทนค่าในพจน์ดงกล่าวแล้วจะมีค่ามากกว่าศูนย์ท้ งสิ้ น ทําให้ได้วา
ั ั ่
สมาชิกตัวหน้าสองตัวที่ต่างกันมีสิทธิ์จะไปจับคู่กบสมาชิกตัวหลังตัวเดียวกันได้ ทั้งนี้ตองพิจารณาเงื่อนไขอื่นๆ
ั ้
ที่เกี่ยวกับฟังก์ชนที่กาหนดให้อย่างรอบคอบก่อน ดังเช่นตัวอย่างนี้
ั ํ
x3
ตัวอย่ าง 6 จงพิจารณาว่าฟังก์ชน f (x ) =
ั เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งหรื อไม่
ั
|x |
x 13 x 23
่
วิธีทา สําหรับ x 1 และ x 2 Î Df สมมติวา f (x1 ) = f (x1 ) นันคือ
ํ ่ =
| x1 | | x2 |
x 13 x 23
่
กรณี ( x1 > 0 และ x 2 > 0 ) หรื อ ( x1 < 0 และ x 2 < 0 ) จะได้วา = ส่ งผลให้
| x1 | | x2 |
x 13 x 23
x = 1
2
= = x 22 ทําให้ x1 = x 2
x1 x2
x 13 x 23 x 13 x 23
่
กรณี x1 > 0 และ x 2 < 0 จะได้วา = ส่ งผลให้ 2
x =
1
=- = -x 22 ซึ่งเกิดข้อขัดแย้ง
| x1 | | x2 | x1 x2
x 13 x 23 x 13 x 23
่
กรณี x1 < 0 และ x 2 > 0 จะได้วา = ส่ งผลให้ -x 12 = - = = x 22 ซึ่งเกิดข้อขัดแย้ง
| x1 | | x2 | x1 x2

21. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ํ ่
จากทั้งสามกรณี ทาให้ได้วาถ้า f (x1 ) = f (x1 ) แล้ว x1 = x 2 แสดงว่า f เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง ซึ่งสามารถ
ั
พิจารณาได้จากกราฟของฟังก์ชนนี้เช่นกัน
ั
4
2
-2 -1 1 2
-2
-4
ั ่
เมื่อมาถึงตอนนี้ครู อาจยกตัวอย่างฟังก์ชนจากสื่ อตอนที่ผานๆ มาเพื่อให้นกเรี ยนช่วยกันตรวจสอบว่าเป็ นฟังก์ชน
ั ั
หนึ่งต่อหนึ่งหรื อไม่ นอกจากนี้ครู อาจยกตัวอย่างต่อไปนี้เพิ่มเติม
ตัวอย่ าง 6 จงพิจารณาว่าฟังก์ชน f (x ) = | 2x - 1 | +3 เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งหรื อไม่
ั ั
วิธีทา เนื่องจาก (0, 4) Î f และ (1, 4) Î f แต่ 0 ¹ 1 ดังนั้น f ไม่เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง ทั้งนี้อาจสังเกต
ํ ั
ได้จากกราฟ
4.0
3.8
3.6
3.4
3.2
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

22. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ซึ่งเห็นได้ชดว่ามีเส้นตรงที่ขนานกับแกน X ตัดกราฟ y = f (x ) มากกว่าหนึ่งจุด
ั
ตัวอย่ าง 8 จงพิจารณาว่าฟังก์ชน f (x ) = x 3 เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งหรื อไม่
ั ั
่ ่
วิธีทา ให้ x1 และ x 2 Î Df สมมติวา x13 = f (x1 ) = f (x 2 ) = x 23 จะได้วา x1 = x 2 และ f เป็ นฟังก์ชนหนึ่ง
ํ ั
ต่อหนึ่ง สําหรับฟังก์ชนนี้นกเรี ยนสามารถลองลงรอยทางเดินของจุดเพือร่ างกราฟได้ดงรู ป
ั ั ่ ั
1.0
0.5
- 1.0 - 0.5 0.5 1.0
- 0.5
- 1.0
จากกราฟเห็นได้ชดว่าเส้นตรงทั้งหลายที่ขนานกับแกน X ตัดกราฟของฟังก์ชนนี้เพียงจุดเดียวเท่านั้นแสดงว่า f
ั ั
เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง
ั
ตัวอย่ าง 7 จงพิจารณาว่าฟังก์ชน f (x ) = ax + b เมื่อ a,
ั b, c และ d เป็ นจํานวนจริ งที่ c และ d ไม่เป็ นศูนย์
cx + d
พร้อมกัน จงหาเงื่อนไขเพิ่มเติมของ a, b, c และ d ที่ทาให้ f เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง
ํ ั
ax 1 + b ax 2 + b
ํ ่
วิธีทา ให้ x1 และ x 2 Î Df สมมติวา = f (x 1 ) = f (x 2 ) = ดังนั้น
cx 1 + d cx 2 + d
นันคือ (ad - bc)x1 = (ad - bc)x 2 จะได้วา
acx 1x 2 + adx 1 + bcx 2 + bd = acx 1x 2 + bcx 1 + adx 2 + bd่ ่
่
หาก ad - bc ¹ 0 จะได้วา x1 = x 2 และ f เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง ดังนั้นเงื่อนไขเพิ่มเติมคือ ad - bc ¹ 0
ั
พึงสังเกตว่า ad - bc ¹ 0 ก็ต่อเมื่อ a ¹
b
c d

23. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึ กหัดเพิมเติมเรื่องฟังก์ ชันหนึ่งต่ อหนึ่ง
่
จงพิจารณาว่าฟังก์ชนที่กาหนดให้ต่อไปนี้เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งหรื อไม่ พร้อมทั้งให้เหตุผลประกอบ
ั ํ ั
1. f (x ) = -x
2. f (x ) = 2 | x |
3. f (x ) = -3x 2 + 1 เมื่อ x < 0
4. f (x ) = (x - 2)2 เมื่อ x ³ 0
5. f (x ) = จํานวนเต็มที่นอยที่สุดที่มากกว่าหรื อเท่ากับ x
้
6. f (x ) = ห.ร.ม. ของ x กับ 123456
จากกราฟของฟังก์ชนที่กาหนดให้ต่อไปนี้ จงพิจารณาว่าเป็ นกราฟของฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งหรื อไม่ หากไม่เป็ นให้
ั ํ ั
ยกตัวอย่างเส้นตรงที่ขนานกับแกน X และตัดกราฟของฟังก์ชนนั้นๆ มากกว่าหนึ่งจุด
ั
7. 5
8. 1.0
0.5
4
- 1.0 - 0.5 0.5 1.0 1.5 2.0
3
- 0.5
2
- 1.0
1 - 1.5
- 2.0
-2 -1 0 1 2
9. 1.5 10. 6
1.0
0.5
4
-6 -4 -2 - 0.5 2 4 6
- 1.0
- 1.5 2
-6 -4 -2 2 4 6
-2
-4
-6

24. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สรุปสาระสํ าคัญประจําตอน

25. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในช่วงที่สื่อกําลังสรุ ปสาระสําคัญประจําตอนนั้น ได้กล่าวถึงฟังก์ชน f : A  B ที่มีสมบัติทวถึง และ หนึ่งต่อหนึ่ง
ั ั่
พร้อมๆ กัน ฟังก์ชนดังกล่าวนี้จะเรี ยกว่า ฟังก์ชนสมนัยหนึ่งต่อหนึ่ง (one-to-one correspondence function) ครู ควรนํา
ั ั
นักเรี ยนอภิปรายว่าหากเซต A และเซต B เป็ นเซตจํากัดทั้งคู่แล้วจํานวนสมาชิกของเซตทั้งสองมีผลต่อการมีอยูของ ่
่
ฟังก์ชนสมนัยหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเซตทั้งสองหรื อไม่ โดยอาจเริ่ มจากเงื่อนไขที่วาถ้า n(A) ³ n(B ) แล้วจะสามารถ
ั
หาฟังก์ชน f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนทัวถึงได้เสมอ ในขณะที่หาก n(A) £ n(B ) แล้วจะสามารถหาฟังก์ชน
ั ั ่ ั
f : A  B ที่เป็ นฟั งก์ชนหนึ่ งต่อหนึ่ งได้เสมอ เพื่อนําไปสู่ ขอสรุ ปที่วาถ้า n(A) = n(B ) แล้วจะสามารถหาฟั งก์ชน
ั ้ ่ ั
f : A  B ที่เป็ นฟั งก์ชนสมนัยหนึ่ งต่อหนึ่ งได้เสมอ และในทางกลับกันสําหรับเซต A และเซต B ที่เป็ นเซตจํากัด
ั
่
หากมี f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนสมนัยหนึ่งต่อหนึ่งแล้วจะได้วา n(A) = n(B ) เช่นกัน เมื่อมาถึงจุดนี้ครู อาจชี้ให้
ั
นักเรี ยนตระหนักว่า การนับจํานวนสิ่ งของต่างๆ ที่มีอยูเ่ ป็ นจํานวนจํากัด ในชีวิตประจําวันของนักเรี ยนแท้จริ งแล้วคือ
การสร้างฟังก์ชนสมนัยหนึ่งต่อหนึ่งจากเซต {1, 2, 3, ..., n} ไปยังเซตของสิ่ งของที่มี n ชิ้นนันเอง
ั ่

26. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในกรณี ที่ A และ B เป็ นเซตอนันต์ การมีอยูของฟังก์ชนสมนัยหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเซตทั้งสองนี้บ่งบอกว่าเซตทั้ง
่ ั
สองนี้มี “จํานวนสมาชิก” เท่าๆ กัน ซึ่งนักเรี ยนอาจดูตวอย่างได้จาก โรงแรมของฮิลแบร์ท ในสื่ อบทนําเรื่ องเซต โดย
ั
อาจารย์จิณดิษฐ์ และอาจารย์รตินนท์
ั
ชวนคิด สําหรับเซต A ใดๆ จะมีฟังก์ชน f : A  A ที่เป็ นฟังก์ชนสมนัยหนึ่งต่อหนึ่งอย่างน้อยหนึ่งฟังก์ชนหรื อไม่
ั ั ั
ถ้ามีจงยกตัวอย่างฟังก์ชนที่มีสมบัติดงกล่าว ถ้าไม่มีจงให้เหตุผลประกอบ
ั ั

27. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 1
แบบฝึ กหัด/เนือหาเพิมเติม
้ ่

28. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึ กหัดระคน
สําหรับเซต A และเซต B ใดๆ จงพิจารณาว่าข้อความในข้อ 1 – 6 ว่าเป็ นจริ งหรื อไม่ พร้อมทั้งให้เหตุผล
ประกอบ
1. ถ้า A เป็ นเซตจํากัดแล้วฟังก์ชน f : A  B ใดๆ เป็ นเซตจํากัด
ั
2. ถ้า A เป็ นเซตอนันต์แล้วมี f : A  B ที่เป็ นเซตจํากัด
3. ถ้า A เป็ นเซตอนันต์และ B เป็ นเซตจํากัดแล้วจะมี f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนทัวถึง
ั ่
่
4. ถ้า A เป็ นเซตจํากัดและมี f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนทัวถึงแล้วจะได้วา B เป็ นเซตจํากัด
ั ่
5. ถ้า A เป็ นเซตอนันต์และ B เป็ นเซตจํากัดแล้วจะมี f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง
ั
่
6. ถ้า A เป็ นเซตอนันต์และมี f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งแล้วจะได้วา B เป็ นเซตอนันต์
ั
7. กําหนดให้ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {{1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}} และ
F = {f : B  A | f (X ) Ï X ทุกเซต X Î B } จงหาจํานวนสมาชิกของ F
8. กําหนดให้ A = {1, 2, 3, 4} และ S = {f : A  A | f (x ) £ x + 1 ทุก x Î A} จงหาจํานวนสมาชิก
ของ S
9. กําหนดให้ A = {1, 2} และ B = {1, 2, 3, ..., 10} จงหาจํานวนสมาชิกของเซต
{f : A  B | f เป็ นฟั งก์ชนหนึ่ งต่อหนึ่ ง และ มี x Î A ซึ่ ง f (x ) ¹ x }
ั
10. กําหนดให้ A = {0, 1, 2, 3} และ P (A) คือพาวเวอร์เซตของ A จงหาจํานวนสมาชิกของเซต
{f : A  P (A) | x Ï f (x ) และ x + 1 Ï f (x ) ทุก x Î A}

29. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 2
เฉลยแบบฝึ กหัด

30. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝึ กหัดเรื่องฟังก์ ชันจากเซต A ไปเซต B
1. น้อยกว่าอยู่ 6049 ฟังก์ชน
ั
2. ให้ n และ m เป็ นจํานวนนับใดๆ และ A และ B เป็ นเซตจํากัดที่ n(A) = n และ n(B ) = m จะได้วา ่
จํานวนความสัมพันธ์ท้ งหมดที่เป็ นไปได้จากเซต A ไปเซต B หรื อจากเซต B ไปเซต A คือ 2nm
ั
ความสัมพันธ์ จํานวนฟังก์ชน f : A  B ทั้งหมดที่เป็ นไปได้คือ m n ฟังก์ชน และจํานวนฟังก์ชน
ั ั ั
f : B  A ทั้งหมดที่เป็ นไปได้คือ n m เนื่ องจากฟั งก์ชน f : A  B เป็ นความสัมพันธ์จากเซต A ไปเซต
ั
B แบบหนึ่ ง และฟั งก์ชน f : B  A เป็ นความสัมพันธ์จากเซต B ไปเซต A แบบหนึ่ ง จึงสรุ ปได้วา
ั ่
m n £ 2nm และ n m £ 2nm
3. 12285 ตัว 4. 15625 ตัว 5. 24 ตัว
เฉลยแบบฝึ กหัดเรื่องฟังก์ ชันทัวถึง
่
1. f เป็ นฟังก์ชนจากเซต (-1, 3] ไปทัวถึง [0, 9]
ั ่ 2. f เป็ นฟังก์ชนจากเซต [-3,1) ไปทัวถึง [0, 3]
ั ่
æ 1 ùú éê 1 ö
3. f เป็ นฟังก์ชนจากเซต ç-¥, -
ั ç
ç È , ¥÷ ไปทัวถึง [0, ¥)
÷
÷ ่
ç
è ú ê ÷
ø
2û ë 2
4.f เป็ นฟั งก์ชนจากเซต  - {-1, 1} ไปทัวถึง  - {0}
ั ่
5. f เป็ นฟังก์ชนจากเซต  - {0} ไปทัวถึง (-¥, -1] È (0,1]
ั ่
เฉลยแบบฝึ กหัดเรื่องฟังก์ ชันหนึ่งต่ อหนึ่ง
1. เป็ น เพราะทุก x1 และ x 2 ในโดเมนของ f ถ้า -x1 = -x 2 แล้ว x1 = x 2
2. ไม่เป็ น เพราะมี f (-1) = 2 = f (1) แต่ -1 ¹ 1
3. เป็ น เพราะทุก x1 และ x 2 ในโดเมนของ f ถ้า -3x12 + 1 = -3x 22 + 1 แล้ว | x1 | = | x 2 | แต่ในที่น้ ี
่
x 1 < 0 และ x 2 < 0 ทําให้ได้วา x 1 = x 2
4. ไม่เป็ น เพราะมี f (1) = 1 = f (3) แต่ 1 ¹ 3
5. ไม่เป็ น เพราะมี f (1) = 1 = f (0.9) แต่ 1 ¹ 0.9
6. ไม่เป็ น เพราะมี f (4) = 4 = f (20) แต่ 4 ¹ 20
7. เป็ น 8. เป็ น

31. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
9. ไม่เป็ น เพราะมีเส้นตรงดังรู ปตัดกราฟมากกว่าหนึ่งจุด 10. ไม่เป็ น เพราะมีเส้นตรงดังรู ปตัดกราฟมากกว่า
หนึ่งจุด
6
1.5 4
1.0
0.5 2
-6 -4 -2 - 0.5 2 4 6
- 1.0 -6 -4 -2 2 4 6
- 1.5
-2
-4
-6
เฉลยแบบฝึ กหัดระคน
1. จริ ง เพราะ Df = A
2. เท็จ เช่น A =  เนื่องจาก Df = A =  ทําให้ฟังก์ชนจากเซต A =  ไปเซต B เป็ นเซตอนันต์
ั
่
3. จริ ง สมมติวา n(B ) = n เนื่องจากเซต A เป็ นเซตอนันต์ ดังนั้นสร้างฟังก์ชนจากสมาชิก n ตัวของเซต A
ั
กับสมาชิกทุกตัวของเซต B จากนั้นสมาชิกที่เหลือของเซต A สร้างฟังก์ชนโดยกําหนดค่าฟังก์ชนให้เป็ น
ั ั
สมาชิกตัวใดตัวหนึ่งของเซต B
4. จริ ง เพราะการที่มีฟังก์ชน f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนทัวถึง แสดงว่า n(A) ³ n(B )
ั ั ่
5. เท็จ เช่น f :   {1} เนื่องจาก Df =  ทําให้ฟังก์ชนระหว่างเซตทั้งสองนี้ไม่มีทางเป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อ
ั ั
หนึ่งได้
6. จริ ง เพราะการที่มีฟังก์ชน f : A  B ที่เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง แสดงว่า n(A) £ n(B )
ั ั
7. 120 ตัว 8. 96 ตัว 9. 89 ตัว 10. 512 ตัว