Pembahasan Soal Olimpiade Tungkat SMP Babak Penyisihan

PANITIA PELAKSANA
DIES NATALIS JURUSAN MATEMATIKA XV (DINAMIKA XV)
HIMPUNAN MAHASISWA JURUSAN MATEMATIKA (HIMATIKA)
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
Jl. Prof. Dr. Soemantri Brojonegoro No.1 Gedung UKM FMIPA Unila Gedong Meneng Raja Basa, Bandar
Lampung 35145
E-mail : himatika.jaya@gmail.com
DINAMIKA XV
“Mathematics Is The Beginning of Technological
Advancement”
Presented by
PEMBAHASAN SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA TINGKAT SMP
1.
2. Angka satuan pada seluruh kemungkinan nilai dari bilangan 4 angka yang dibentuk
dari 1,2,4 dan 6 adalah sama, karena bagaimanapun kemungkinannya, sifat
penjumlahan adalah komutatif. Sehingga angka satuannya adalah angka satuan dari
1+2+4+6 =13. Jadi jumlah angka satuannya adalah 13.
3.
4. Tinjau dari
𝑥𝑦 = 10...........................................(1)
QR = √132 − 52 = 12
PQ = 2 × QR = 2 × 12 = 24

PANITIA PELAKSANA
UNIVERSITAS LAMPUNG
Lampung 35145
DINAMIKA XV
Advancement”
Presented by
(𝑥 + 1)(𝑦 + 1) = 20.......................(2)
Persamaan (2) dapat ditulis menjadi
𝑥𝑦 + 𝑥 + 𝑦 + 1 = 20
10 + 𝑥 + 𝑦 + 1 = 20
𝑥 + 𝑦 = 9
Lalu karena kita faktorkan (𝑥 + 2)(𝑦 + 2)
𝑥𝑦 + 2𝑥 + 2𝑦 + 4
𝑥𝑦 + 2(𝑥 + 𝑦) + 4
10 + 2(9) + 4 = 32
jadi nilai (𝑥 + 2)(𝑦 + 1) adalah 32
5. Bentuk diatas dapat diuraikan menjadi (𝑥 + 𝑦 + 1)(𝑥 + 𝑦 − 2014) = 0
Karena 𝑥 + 𝑦 + 1 > 0 untuk semua nilai (𝑥, 𝑦), maka 𝑥 + 𝑦 = 2014, dan jelaslah
bahwa persamaan ini memiliki 2013 solusi untuk (𝑥, 𝑦) bilangan bulat positif
(persamaan 𝑥 + 𝑦 = 𝑚 akan mempunyai m-1 solusi untuk (𝑥, 𝑦) bilangan bulat
positif.
6.
7. Diketahui bahwa jarak dari Kota A ke B adalah 1007 km, jadi total jarak tempuh
mereka dalam melakukan perjalanan pulang-pergi adalah 2014 km. Kemudian
diketahui pula bahwa harga bensin per liter adalah 6000 rupiah dan mobil tersebut
membutuhkan 20 liter setiap 100 km. Dari informasi diatas maka
L1 = 𝜋𝑅2
= 𝐿
L2 = 𝜋 (
1
2
𝑅)
2
=
1
4
𝜋𝑅2
=
1
4
𝐿
L3 = 𝜋 (
1
4
𝑅)
2
=
1
16
𝜋𝑅2
=
1
16
𝐿
Luas lingkaran ke-5 = 𝑎𝑟4
= 𝐿 (
1
4
)
4
=
1
256
𝐿

PANITIA PELAKSANA
UNIVERSITAS LAMPUNG
Lampung 35145
DINAMIKA XV
Advancement”
Presented by
2014 𝑘𝑚
1 𝑘𝑎𝑙𝑖 𝑝𝑒𝑟𝑗𝑎𝑙𝑎𝑛𝑎𝑛 𝑝𝑢𝑙𝑎𝑛𝑔 − 𝑝𝑒𝑟𝑔𝑖
×
20 𝑙𝑖𝑡𝑒𝑟
100 𝑘𝑚
×
6000 𝑟𝑢𝑝𝑖𝑎ℎ
1 𝑙𝑖𝑡𝑒𝑟
×
1𝑘𝑎𝑙𝑖 𝑝𝑒𝑟𝑗𝑎𝑙𝑎𝑛𝑎𝑛 𝑝𝑢𝑙𝑎𝑛𝑔 𝑝𝑒𝑟𝑔𝑖
3 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔
=
241680000
300
= 805600 𝑟𝑢𝑝𝑖𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑟 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔
8. Diketahui 𝑎 + 𝑏 +
1
3
𝑎𝑏 = 2 maka 3𝑎 + 3𝑏 + 𝑎𝑏 = 6 sehingga dengan menambahkan kedua
ruas dengan 9 akan didapat
3𝑎 + 3𝑏 + 𝑎𝑏 + 9 = 15
(𝑎 + 3)(𝑏 + 3) = 15
Dari persamaan terakhir diatas kita dapat menentukan beberapa kemungkinan nilai a
dan b yaitu
a+3=5 b+3=3 (𝑎, 𝑏) = (2,0)
a+3=3 b+3=5 (𝑎, 𝑏) = (0,2)
a+3=-5 b+3=-3 (𝑎, 𝑏) = (−8, −9)
a+3=-3 b+3=-5 (𝑎, 𝑏) = (−9, −8)
a+3=15 b+3=1 (𝑎, 𝑏) = (12, −2)
a+3=-1 b+3=15 (𝑎, 𝑏) = (−2,12)
a+3=-15 b+3=-1 (𝑎, 𝑏) = (−18, −4)
a+3=-1 b+3=-15 (𝑎, 𝑏) = (−4, −18)
Jadi ada 8 pasangan bilangan bulat (𝑎, 𝑏) yang memenuhi 𝑎 + 𝑏 +
1
3
𝑎𝑏 = 2
9. Misalkan u1=p dan u2=q , maka barisan tersebut adalah
𝑝, 𝑞, 𝑞 − 𝑝, −𝑝, −𝑞, 𝑝 − 𝑞, 𝑝, …
Merupakan baris periodik dengan periode 6, jadi tiap 1 periode jumlah suku
pertamanya adalah 0.
2012 = 335.6 + 2, jumlah 2012 suku pertama adalah 𝑝 + 𝑞 = 1234......................(1)
2019 = 336.6 + 3, jumlah 2019 suku pertama adalah 2𝑞 = 2222...........................(2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh 𝑝 = 1234 − 1111 = 123
Kemudian karena
2014 = 335.6 + 4, maka jumlah 2014 suku pertamanya adalah 2𝑞 − 𝑝 = 2222 −
123 = 2099
Jadi jumlah 2014 suku pertama adalah 2099

PANITIA PELAKSANA
UNIVERSITAS LAMPUNG
Lampung 35145
DINAMIKA XV
Advancement”
Presented by
10. Karena mereka bertiga harus melalui pintu yang berlainan maka
Banyaknya kemungkinan orang pertama masuk kelima pintu itu adalah 5
Banyaknya kemungkinan orang kedua masuk kelima pintu itu adalah 4
Banyaknya kemungkinan orang kedua masuk kelima pintu itu adalah 3
Maka banyaknya cara 5𝑥4𝑥3 = 60
11. Banyaknya cara guru tersebut memilih keempat orang siswa tersebut
𝐶1
5
. 𝐶3
4
+ 𝐶2
5
. 𝐶2
4
+ 𝐶3
5
. 𝐶1
4
= 120
12. Karena 𝑥, 𝑦, 𝑧 ≠ 0, sehingga 𝑥𝑦 + 𝑦 = −1 → 𝑥𝑦 + 1 = −𝑦 → 𝑥 +
1
𝑦
= −𝑦 → 𝑦 +
1
𝑧
= −1 → 𝑧 +
1
𝑥
= −1
Dengan mengalikan ketiganya diperoleh
(𝑥 +
1
𝑦
) (𝑦 +
1
𝑧
) (𝑧 +
1
𝑥
) = −1
Maka
𝑥𝑦𝑧 +
1
𝑥𝑦𝑧
+ (𝑥 +
1
𝑦
+ 𝑦 +
1
𝑧
+ 𝑧 +
1
𝑥
) = −1
𝑥𝑦𝑧 +
1
𝑥𝑦𝑧
+ (−3) = −1
Misal 𝐴 = 𝑥𝑦𝑧
𝐴 +
1
𝐴
− 3 = −1
𝐴2
+ 1 − 2𝐴 = 0
𝐴2
− 2𝐴 + 1 = 0
(𝐴 − 1)2
= 0
𝐴 = 1
Jadi nilai 𝑥𝑦𝑧 adalah 1
13. 4𝑥 = 1 + √2013
Jika kita kuadaratkan kedua ruas akan didapat
16𝑥2
− 8𝑥 − 2012 = 0
Dengan mengalikan kedua ruang dengan 𝑥2012
maka didapat
16𝑥2014
− 8𝑥2013
− 2012𝑥2012
= 0
Jadi nilai dari persamaan tersebut adalah 0

PANITIA PELAKSANA
UNIVERSITAS LAMPUNG
Lampung 35145
DINAMIKA XV
Advancement”
Presented by
14. 20143
= (2 × 19 × 53)3
= 23
× 193
× 533
Dengan melihat pangkat-pangkatnya kemudian ditambah satu, jadi
Untuk pangkat 3 pada bilangan 2 menjadi 4
Untuk pangkat 3 pada bilagnan 19 menjadi 4
Untuk pangkat 3 pada bilangan 53 menjadi 4
Lalu dengan mengkalikannya 4 × 4 × 4 = 64.
Jadi banyaknya faktor positif adalah 64
15. Tarik garis melalui tik C dan tegak lurus dengan EF. Terdapat dua segitiga sebangun, yakni
AHC dan AGD. Dengan menggunkan kesebangunan maka
𝐻𝐶
𝐷𝐺
=
𝐴𝐶
𝐴𝐷
𝐻𝐶
1
=
3
5
𝐻𝐺 =
3
5
16. Segitiga ABC adalah segitiga siku-siku. Diketahui AB=3, AC=4 dan BC=5. Jika AD=EF=𝑥 maka
EB = 3 − 𝑥. Segitiga ABC dan BEF sebangun, maka
𝐸𝐵
𝐴𝐵
=
𝐸𝐹
𝐴𝐶
3 − 𝑥
3
=
𝑥
4
12 − 4𝑥 = 3𝑥
𝑥 =
12
7
Jika luas persegi yang dapat dibuat adalah
12
7
×
12
7
=
144
49
17. Untuk n=1, diperoleh bahwa 1 + 4 = 5 merupakan bilangan prima. Selanjutnya akan
diselidiki untuk 𝑛 > 1. Bentuk 𝑛4
+ 1 dapat ditulis
𝑛4
+ 4𝑛2
− 4𝑛2
+ 1
(𝑛4
+ 4𝑛2
+ 1) − 4𝑛
(𝑛2
+ 2)2
− 4𝑛
(𝑛2
+ 2𝑛 + 4𝑛)(𝑛2
+ 2𝑛 − 4𝑛)
Karena 𝑛 > 1 maka (𝑛2
+ 2𝑛 + 4𝑛) 𝑑𝑎𝑛 (𝑛2
+ 2𝑛 − 4𝑛) pasti merupakan bilangan asli
lebih besar dari satu. Hal ini menunjukkan bahwa 𝑛4
+ 1 bukanlah bilangan prima untuk
n>1. Sehingga n yang mungkin untuk 𝑛4
+ 1 prima adalah 1.
18. Misalkan 𝑥 adalah banyaknya uang logam 500-an dan 𝑦 adalah banyaknya uang logam 200-
an. Banyaknya uang logam 100-an kita misalkan z, maka kita bisa menulis persamaan 𝑧 =
20 − (𝑥 + 𝑦).Diketahui dua puluh uang logam senilai Rp. 5000 maka

PANITIA PELAKSANA
UNIVERSITAS LAMPUNG
Lampung 35145
DINAMIKA XV
Advancement”
Presented by
500𝑥 + 200𝑦 + 100𝑧 = 5000
5𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 50
5𝑥 + 2𝑦 + 20 − 𝑥 − 𝑦 = 50
4𝑥 + 𝑦 = 30
𝑦 = 30 − 4𝑥
Karena 0 ≤ 𝑥, 𝑦 < 20 maka nilai-nilai 𝑥 yang mungkin adalah 4,5,6, dan 7. Jika dilihat di
dalam tabel maka akan menjadi
Banyaknya uang logam
𝑥 4 5 6 7
𝑦 14 10 6 2
𝑧 2 5 8 11
Pada kolom pertama tabel diatas, banyaknya uang logam 500-an lebih banyak daripada
uang 100-an. Jadi ada dua uang logam 100-an, sehingga banyaknya uang 500-an lebih
banyak daripada uang 100-an.
19. Segitiga-segitiga yang tidak diarsir merupakan segitiga kongruen. Misalnya, sisi
jajaran genjang adalah x cm. maka salah satu sisi segitiga yang tidak terarsir adalah
7 − 𝑥. Karena itu, dengan rumus pythagoras diperoleh 𝑥 =
29
7
cm.
jadi, Larsir = 3𝑥 = 3 ×
29
7
= 12
3
7
𝑐𝑚2
20. banyaknya cara keenam orang tersebut duduk berdampingan adalah
(6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 720 cara
Misalkan Alvan dan Rahma juga selalu duduk berdampingan. Jadi ada 3 orang yang
selalu duduk berdampingan maka
(2 × 1) × (5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 240 cara
Jadi Banyaknya cara mereka berenam duduk jika Alvan dan Rahma tidak duduk
berdampingan adalah
720 − 240 = 480 cara

Pembahasan Soal Olimpiade Tungkat SMP Babak Penyisihan

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to Pembahasan Soal Olimpiade Tungkat SMP Babak Penyisihan

Similar to Pembahasan Soal Olimpiade Tungkat SMP Babak Penyisihan (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Pembahasan Soal Olimpiade Tungkat SMP Babak Penyisihan