PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS NEGERI MALANG ANGKATAN 2016 OFFERING B KELOMPOK 3 MATA KULIAH TEORI BILANGAN

1. A. Metode Faktorisasi
Faktorisasi fermat
Ditemukan oleh Pierre de Fermat,dikenal sebagai Faktorisasi Fermat,dan didasarkan pada
lemma berikut.
Lemma 3.9.
Jika n adalah bilangan bulat positif ganjil, maka ada korespondensi satu-ke-satu antara faktorisasi dari
n menjadi dua bilangan bulat positif dan selisih dua kuadrat yang sama dengan n.
Bukti.
Misalkan n adalah bilangan bulat positif ganjil dan misalkan n = ab menjadi faktorisasi dari n menjadi
dua bilangan bulat positif. Maka n bisa ditulis sebagaiselisih dua kuadrat, karena
n = ab = s2
- t2
,
dimana s = (a + b) / 2 dan t = (a - b) / 2
keduanya bilangan bulat karena a dan b keduanya ganjil.
Sebaliknya,
Jika n adalah selisih dua kuadrat,
Misal n = s2
- t2
Memfaktorkan n dengan menotasikan bahwa n = (s - t) (s + t).
Untuk melakukan metode faktorisasi Fermat,
Solusi dari persamaan n = x2
- y2
yaitu mencari kuadrat sempurna x2
- n.
Untuk menemukan faktorisasi n,kita mencari kuadrat di antara urutan bilangan bulat
t2
- n, (t + 1)2
- n, (t + 2)2
- n, ...
dimana t adalah bilangan bulat terkecil yang lebih besar dari √ 𝑛 .
Prosedur ini berhenti, karena faktorisasi n = n. 1 mengarah ke persamaan
𝑛 = (
𝑛 + 1
2
)2 − (
𝑛 − 1
2
)2
Contoh 3.23.
Memfaktorkan 6077 menggunakan metode faktorisasi Fermat. Ketika 77 < √6077 < 78 , kita
mencari sebuah kuadrat yang sempurna dalam urutannya
782
– 6077 = 7
792
– 6077 = 164

2. 802
– 6077 = 323
812
– 6077 = 484 = 222
Ketika 6077 = 812
– 222
, kita lihat bahwa 6077 = (81 – 22)(81 + 22) = 59 . 103.
Untuk memfaktorkan n menggunakan teknik ini, mungkin perlu untuk memeriksa
( 𝑛+1)
2
−
[√ 𝑛]sebagai bilangan bulat.
Konvers Lemma 3.9
Jika ada korespondensi satu – satu antara faktorisasi dari n menjadi dua bilangan bulat
positif dan selisih dua kuadrat yang sama dengan n maka n adalah bilangan bulat positif
ganjil.
Konvers bernilai salah.
Contoh penyangkal :
∃n = 84
n = 102 – 42
n = (10-4) (10+4)
n = 6 . 14
B. Bilangan Fermat
Bilangan bulat 𝐹𝑛 = 22 𝑛
+ 1 disebut bilangan fermat. Fermat mengira-ngira bahwa bilangan
bulat ini semuanya bilangan prima. Bahkan, beberapa di awal adalah prima, yaitu 𝐹0 = 3,
𝐹1 = 5, 𝐹2 = 17, 𝐹3 = 257, dan 𝐹4 = 65,537. Namun, 𝐹5 = 225
+ 1 adalah komposit,
seperti yang akan ditunjukkan.
Contoh 3.24 bilangan fermat 𝐹5 = 225
+ 1 habis dibagi 641. Kita dapat menunjukkan
bahwa 641 | 𝐹5 tanpa benar-benar melakukan pembagian, menggunakan beberapa
pengamatan yang tidak terlalu jelas. Perhatikan bahwa
641 = 5.27
+ 1 = 24
+ 54
Karenanya,
225
+ 1 = 232
+ 1
= 24
. 228
+ 1
= (641 − 54)228
+ 1

3. = 641. 228
− (5.27)4
+ 1
= 641. 228
− (641− 1)4
+ 1
= 641. (228
− 6413
+ 4. 6412
− 6.641 + 4).
Oleh karena itu, dapat dilihat bahwa 641 | 𝐹5
Teorema 3.20.
Setiap pembagi prima dari bilangan fermat 𝐹𝑛 = 22 𝑛
+ 1 berbentuk 2 𝑛+2
𝑘 + 1.
Bukti
𝑝 | 22 𝑛
+ 1 → 𝑝 = 2 𝑛+2
𝑘 + 1
𝑝 | 22 𝑛
+ 1 dapat dituliskan kedalam bentuk
22 𝑛
≡ −1 (𝑚𝑜𝑑 𝑝)
Kuadratkan kedua ruas. Sehingga,
22 𝑛+1
≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 𝑝) ……………..(1)
Untuk membuktikan teorema ini, digunakan teorema yang lain yaitu teorema kecil fermat
dimana nilai a nya ialah disubsitusikan 2, sehingga
2 𝑝−1
≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 𝑝)
Sama seperti bagian pertama, kedua ruas dipangkatkan setengah sehingga
(2)
1
2
(𝑝−1)
≡ 1
1
2 (𝑚𝑜𝑑 𝑝)
2
𝑝−1
2 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 𝑝) ………………(2)
Jika d adalah bilangan bulat terkecil sedemikian hingga 2 𝑑
≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 𝑝) . dapat ditulis
bahwa
𝑑 = 2 𝑛+1
dan 𝑑 =
𝑝−1
2
. 𝑑|
𝑝−1
2
dan 𝑑|2 𝑛+1
sehingga
𝑝−1
2
= 𝑘. 2 𝑛+1
𝑝 = 2 𝑛+2
𝑘 + 1

4. Contoh 3.25.
berdasarkan teorema 3.20, kita tahu bahwa setiap pembagi prima dari 𝐹3 = 223
+ 1 = 257
pasti berbentuk 25
𝑘 + 1 = 32. 𝑘 + 1.
Karena tidak ada prima dari bentuk ini yang kurang dari atau sama dengan √257, kita dapat
menyimpulkan bahwa 𝐹3 = 257 adalah prima.
Contoh 3.26.
ketika memfaktorkan 𝐹6 = 226
+ 1,
kita menggunakan teorema 3.20 untuk melihat bahwa semua factor primanya berbentuk
28
𝑘 + 1 = 256. 𝑘 + 1.
Karenanya, kita hanya perlu melakukan percobaan pembagian 𝐹6 oleh bilangan prima dengan
bentuk 256. 𝑘 + 1 bahwa tidak melewati √ 𝐹6.
Setelah perhitungan yang cukup besar, kita menemukan bahwa suatu pembagi prima
diperoleh dengan 𝑘 = 1071, yaitu 274,177 = (256.1071 + 1) | 𝐹6 .
Konvers
𝑝 = 2 𝑛+2
𝑘 + 1 → 𝑝 | 22 𝑛
+ 1, 𝑝 prima
Konvers bernilai salah.
Bukti contoh
Karena,∃ P= 21+2
+ 1 =9 dengan bilangan fermat 221
+ 1 = 5
Jadi, 9 ∤ 5
Faktorisasi dari bilangan fermat
Hingga kini, tidak ada bilangan fermat prima baru yang ditemukan. Banyak ahli matematika
meyakini bahwa tidak ada bilangan fermat prima tambahan.
Gunakan bilangan fermat untuk membuktikan ketakberhinggaan bilangan prima.
ini mungkin untuk membuktikan bahwa ada banyak ketakberhinggaan bilangan prima yang

5. menggunakan bilangan fermat. Kita mulai dengan menunjukkan bahwa ada dua bilangan Fermat
relatif prima yang berbeda.
Lemma 3.10
misal Fk = 22 𝑘
+ 1 dinotasikan k bilangan fermat, dimana k bukan bilangan bulat negatif . maka untuk
semua bilangan bulat positif, kita memiliki
F0F1F2....Fn-1 = Fn – 2
Bukti.
Kita akan membuktikan Lemma menggunakan induksi matematika. Untuk n = 1 identitas tersebut
berbunyi
F0 = F1 – 2
ini sudah jelas benar, karena F0 = 3 dan F1 = 5. Mari kita asumsikan bahwa identitas tersebut berlaku
untuk bilangan bulat positif n , maka
F0F1F2....Fn-1 = Fn – 2
dengan asumsi tersebut, kita bisa mudah menunjukkan bahwa identitas tersebut berlaku bilangan bulat
n + 1 , karena
F0F1F2....Fn-1Fn = (F0F1F2....Fn-1) Fn
= (Fn – 2) Fn
= (22 𝑛
- 1) ( 22 𝑛
+ 1)
= (22n
)2
– 1
= 22 𝑛+1
- 1
= Fn+1 – 2
Contoh penerapan Lemma 3.10
Untuk k ≤ 3,
Fk = 22 𝑘
+ 1

6. Teorema 3.21
Misalkan m dan n sebagai bilangan bulat negatif berbeda. Maka bilangan Fermat Fm dan Fn adalah
relatif prima.
F0 = 220
+ 1 = 3
F1 = 221
+ 1 = 5
F2= 222
+ 1 = 17
F3= 223
+ 1 = 257
F4 = 224
+ 1 = 65537
F0F1F2....Fn-1 = Fn – 2
Bukti :
F4 – 2 = F0F1F2F3
F4 – 2 = 3.5.17.257
65537 – 2 = 65535
65535 = 65535
Bukti.
Asumsikan bahwa m < n . Dengan Lemma 3.10 kita tahu bahwa
F0F1F2...Fm...Fn-1 = Fn – 2
Asumsikan bahwa d pembagi umum untuk Fm dan Fn .
Maka Teorema 1.8 memberitahu kita bahwa
d │( Fn - F0F1F2...Fm...Fn-1 ) = 2
Karenanya baik d = 1 dan d = 2. Bagaimanapun saat Fmdan Fn ganjil, d tidak bisa 2. Konsekuensinya ,
d = 1 dan (Fm,Fn) = 1.

7. Menggunakan bilangan Fermat, kita memberi bukti lain bahwa ada banyak ketidakterbatasan
bilangan prima. Pertama, Kita melihat dengan Lemma 3.1 pada bagian 3.1 , Setiap bilangan Fermat Fn
memiliki pembagi bilangan prima pn . Karena (Fm ,Fn) = 1 , Kita tahu bahwa pm ≠ pn kapanpun m≠ n .
Karenanya, kita bisa menyimpulkan bahwa ada banyak ketidakterbatasan bilangan prima.
C. Persamaan Diophantine Linear
Ketika kita menuntut solusi suatu persamaan berasal dari himpunan bilangan bulat,
maka persamaan tersebut adalah persamaan Diophantine. Nama persamaan ini didapat dari
nama seorang ilmuan matematika yang bernama Diophantus. Persamaan ax + by = c, dimana
a, b, dan c bilangan bulat, yang disebut sebagai persamaan Diophantine linear dua variable.
Catat bahwa pasangan dari bilangan bulat (x,y) adalah solusi dari persamaan
Diophantine ax + by = c jika dan hanya jika (x,y) merupakan titik kisi yang terletak pada
garis ax + by = c, yang telah diilustrasikan pada gambar di bawah ini untuk persamaan linear
Diophantine 2x + 3y = 5.
Gambar 3.2 Solusi dari 2x+3y=5 pada bilangan bulat x dan y berkorespondensi dengan titik
kisi pada garis 2x+3y=5.
Bukti
Teorema 3.23.
Misalkan a dan b bilangan bulat dengan d = (a,b). Persamaan ax + by = c tidak mempunyai
solusi jika d ∤ c. Jika d | c , maka ada banyak solusi. Lalu, jika x = x0, y = y0 adalah
penyelesaian dari persamaan, maka semua solusi dinyatakan dengan
𝑥 = 𝑥0 + (
𝑏
𝑑
) 𝑛, 𝑦 = 𝑦0 − (
𝑎
𝑑
) 𝑛
Dimana n adalah bilangan bulat.

8. Anggap bahwa x dan y adalah bilangan bulat dengan ax + by = c. Maka karena d|a
dan d|b, dengan teorema 1.9 (jika a, b, m, dan n adalah bilngan bulat, dan jika c|a dan c|b
maka c|(ma+nb)), d|c. Oleh karena itu jika d ł c, tidak ada solusi dari persamaan tersebut.
Sekarang anggap bahwa d|c. Dengan teorema 3.8 (Fakor Persekutuan Terbesar dari
bilangan bulat a dan b, yang tidak keduanya nol, yaitu bilangan bulat positif terkecil yang
merupakan kombinasi linear dari a dan b), terdapat s dan t dengan
d = as + bt…………………………..(1).
Karena d|c, terdapat bilangan bulat e dengan de = c. Maka kita dapatkan:
c = de
= (as + bt) e
= a (se) + b (te).
Karenanya, satu solusi dari suatu persamaan dinyatakan dengan x = x0 dan y = y0, dimana x0
= se dan y0 = te.
Untuk menunjukkan bahwa ada banyak solusi tak terbatas, dengan 𝑥 = 𝑥0 + (
𝑏
𝑑
) 𝑛,
𝑦 = 𝑦0 − (
𝑎
𝑑
) 𝑛, dimana n adalah bilangan bulat. Kita pertama-tama akan menunjukkan
bahwa pasangan (x,y), dengan 𝑥 = 𝑥0 + (
𝑏
𝑑
) 𝑛, 𝑦 = 𝑦0 − (
𝑎
𝑑
) 𝑛, dimana n bilangan bulat,
adalah solusi, kemudian kita akan menunjukkan bahwa setiap solusi memiliki bentuk ini. Kita
melihat bahwa pasangan ini (x,y) adalah solusi, karena
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑎𝑥0 + 𝑎 (
𝑏
𝑑
) 𝑛 + 𝑏𝑦0 − 𝑏 (
𝑎
𝑑
) 𝑛 = 𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 = 𝑐
Kita sekarang menunjukkan bahwa setiap penyelesaian dari persamaan ax + by = c harus
dalam bentuk yang terdeskripsi di dalam teorema. Misalkan x dan y adalah bilangan bulat
dengan ax + by = c. Karena ax0 + by0 = c.
Dengan pengurangan kita menemukan bahwa
(ax + by) – ( ax0 + by0) = 0
Yang menyiratkan bahwa a (x - x0) + b ( y - y0) = 0
Karenanya a (x - x0) = b (y0 - y).

9. Bagi kedua sisi dengan d (a/d) (x - x0) = (b/d) (y0 - y).
Dengan teorema 3.6 (misal a dan b adalah bilangan bulat dengan (a,b) = d. maka
(a/d,b/d) = 1) , kita tahu bahwa ( a/d, b/d) = 1. Menggunakan lemma 3.4 (jika a, b, dan c
adalah bilangan bulat positif sehingga (a,b) = 1 dan a|bc, maka a|c), yang berarti bahwa (a/d) |
(y0 - y). Meskipun , ada bilangan bulat n dengan (a/d) n = y0 – y ; ini berarti bahwa y = y0 -
(a/d) n. Sekarang, letakkan nilai y ini ke dalam persamaan a( x - x0 ) = b ( y - y0), kita
menemukan bahwa a( x - x0 ) = b ( a/d)n, yang mana menyiratkan bahwa x = x0 + (b/d)n.
Konvers Teorema 3.23
Misalkan a dan b bilangan bulat dengan d = (a,b).
1. Jika persamaan ax + by = c tidak mempunyai solusi maka d ∤ c.
2. Jika ax + by = c mempunyai banyak solusi dalam bentuk 𝑥 = 𝑥0 + (
𝑏
𝑑
) 𝑛, 𝑦 = 𝑦0 −
(
𝑎
𝑑
) 𝑛, dimana n adalah bilangan bulat, maka d | c.
Karena kedua konvers bernilai benar, maka buktinya:
1. Karena ax + by = c tidak punya solusi, untuk x0 dan y0 adalah bilangan bulat maka ax0
+ by0 ≠ c. Oleh karena d = (a,b), berdasarkan Teorema 1.9, d | a dan d | b maka d | ax0
+ by0 namun ax0 + by0 ≠ c, jadi d ∤ c.
2. Jika ax + by = c mempunyai banyak solusi dalam bentuk 𝑥 = 𝑥0 + (
𝑏
𝑑
) 𝑛, 𝑦 = 𝑦0 −
(
𝑎
𝑑
) 𝑛, dimana n adalah bilangan bulat, maka :
dengan substitusi
a(x0 + (
𝑏
𝑑
)n ) + b (y0 - (
𝑎
𝑑
) 𝑛) = c
ax0 +
𝑎𝑏
𝑑
𝑛+ by0 –
𝑎𝑏
𝑑
𝑛 = c
ax0 + by0 = c
x0 dan y0 merupakan solusi persamaan ax0 + by0 = c. Jika 𝑑| 𝑎 dan 𝑑| 𝑏 (Teo. 1.9)
maka 𝑑| 𝑎𝑥0 + by0 yang berakibat 𝑑| 𝑐.

10. Contoh berikut mengilustrasikan penggunaan teorema 3.23.
Contoh 3.27.
Dengan teorema 3.23, tidak ada penyelesaian dari persamaan diophantine 15x + 6y = 7,
karena (15, 6) = 3 tetapi 3 ł 7.
Contoh 3.28
Dengan teorema 3.23, terdapat tak hingga banyaknya solusi dari persamaan diophantine 21x
+ 14y = 70, karena (21, 14) = 7 dan 7 | 70. Untuk menemukan solusinya, gunakan metode
algoritma euclid. 1 . 21 + (-1) . 14 = 7, sehingga 10 . 21 + (-10) . 14 = 70. Meskipun, x0 =
10, y0 = -10 adalah solusi partikular. Semua solusi diyatakan oleh x = 10 +2n, y = -10 – 3n,
dimana n dalah bilangan bulat.
Bukti.
Jika ada bilangan buat x1,x2,…,xn sehingga a1x1+a2x2+....+ anxn =c, kemudian karena
d membagi ai untuk i=1, 2,…, n, dengan teorema 1.9, d juga membagi c. Sehingga, jika d ł c
tidak ada solusi dari persamaan tersebut. Kita akan menggunakan i nduksi matematika untuk
membuktikan bahwa ada tak hingga banyaknya solusi ketika d | c. Catat bahwa dengan
teorema 3.23 ini adalah benar ketika n = 2.
Sekarang, anggap bahwa ada tak hingga banyaknya solusi untuk semua persamaan
pada n variabel yang memenuhi hipotesis. Dengan teorema 3.9 himpunan dari kombinasi
linier anxn + an+1xn+1 sama seperti himpunan perkalian dari (an, an+1) . Sehingga untuk setiap
bilangan bulat y mempunyai tak hingga banyaknya solusi dari persamaan diophantine linier
anxn + an+1xn+1 = (an, an+1) y . Dengan diikuti bahwa persamaan pada n + 1 variabel dapat
direduksi ke persamaan diophantine linier dalam n variabel
Teorema 3.24.
Jika a1, a2, ........, an adalah bilangan positif taknol, maka persamaan ax1+ax2+.......+axn = c
mempunyai solusi jika dan hanya jika d = (a1, a2,.........,an) membagi c. Lebih lanjut, ketika
ada solusi, disana ada tak hingga banyaknya solusi.

11. a1x1+a2x2+....+an-1xn-1+(an, an+1)y=c
Catat bahwa c dapat dibagi dengan(a1, a2, ...., an-1, (an, an+1) karena, dengan lemma 3.2 (Jika
a1, a2, a3, …, an adalah bilangan bulat, tidak semuanya 0, maka (a1, a2,…, an-1, an) = (a1, a2, …,
an-2, (an-1, an))), FPB ini sama dengan (a1, a2, ...., an, an+1). Dengan hipotesis induksi,
persamaan ini memiliki tak hingga banyaknya solusi bilangan bulat, seperti persamaan
diophantine linier dalam n variabel dimana FPB dari koefisien membagi konstanta c. Itu
berarti ada tak hingga banyaknya solusi dari persamaan asli.
Metode untuk menyelesaikan persamaan diophantine linear dalam lebih dari 2 variabel dapat
ditemukan menggunakan reduksi dalam bukti teorema 3.24. Kita tinggalkan aplikasi dari
teorema 3.24 untuk latihan.