Barisan dan Deret

1. Barisan dan Deret
1. Diketahui barisan 84,80 ,77,....... 2
1 Suku ke-n akan menjadi 0 bila n = …..
Jawab :
U a n b n
( 1)
= + - - 7 Û =
0 84 ( 1)( ) 25
2
= + -
n n
2. Tentukan jumlah semua bilangan-bilangan bulat di antara 100 dan 200 yang habis dibagi 5
Jawab :
+ + + +
105 110 115 ...... 295
U a n b n n
= + - Þ = + - Û =
( 1) 295 105 ( 1).5 39
S n a U S
= 1 + Þ = + =
( ) 39
(105 295) 7800
2
n n
2 39
n
3. Jika k + 1, k – 1, k – 5 membentuk barisan geometri, maka tentukan harga k !
Jawab :
k
- = -
k
1 Û = -
3
5
1
1
-
+
k
k
k
4. Jika suku pertama deret geometri adalah 3 m dengan m > 0 , sedangkan suku ke-5 adalah
m2 , maka tentukan suku ke-21 !
Jawab :
U arn U ar m m r r m
= - Þ = Û = Û = =
5
1
( ) 8 8 3 2
20 3 4 5
21
2
4 2 3 4 4
5
1
2
3
5
3
1
3
5
3
3
. .
.
U ar m r m m m m m
m
m
n
= = ÷ø ö
çè æ
= = =
5. Antara dua suku yang berurutan pada barisan 3, 18, 33, …. Disisipkan 4 buah bilangan
sehingga terbentuk barisan aritmetika yang baru. Tentukan jumlah 7 suku pertama dari
barisan yang terbentuk !
Jawab :
b b
=
3
S a n b S
15
4 1
1
2 7 = + - Þ = + =
(2 ( 1) ) (2.3 6.3) 84
'
7
2
=
+
=
+
k
n
n
6. Tentukan batas-batas x agar deret 2 log(x +1)+2 log2 (x +1)+2 log3 (x +1) +.......
merupakan deret konvergen
Jawab :
Deret konvergen (deret geometri tak hingga yang mempunyai jumlah)
mempunyai syarat - 1 < r < 1
1

2. < Û- < + <
1 1 log( 1) 1
2 2
x
- < +
1 log ( 1)
+
log( 1)
x x
1 2 1
1
2
1
2
2
2
< + < Û- < <
x
x
7. Tentukan jumlah deret 1- tan2 30 + tan4 30 - tan6 30 +........
Jawab :
3
4
S a
= ¥ r 
2 1 =
1 1
3
1
1
1 ( tan 30 )
+
=
- -
=
-
8. Sebuah bola tenis dijatuhkan ke lantai dari tempat yang tingginya 1 meter. Pantulan bola
setinggi 2/3 tinggi bola sebelumnya. Tentukan panjang lintasan bola sampai bola itu
berhenti !
Jawab :
S S
Atau menggunakan rumus
5
+ + + + +
1 4
4
.....
= +
S = a m +
n
. 1.3 2
3 2
5
:
1
1 2. 1 2.
3 2
3 2
9
9
3 2
3 2
=
-
-
=
-
= + = +
¥
m n
Dimana m dan n perbandingan rasio yaitu
n
m
9. Diketahui 1+3+5+…….. Jika = 225 n S maka tentukan n U !
Jawab :
S = a + n -
b
(2 ( 1) )
n n
= + - Û =
225 (2.1 ( 1)2) 15
U a n b U
( 1) 1 14.2 29
15
2
2
= + - Þ = + =
n
n
n
n
10. Jika jumlah n suku pertama suatu barisan adalah 4n2 (n +1) maka tentukan 3 U !
Jawab :
4.32 (3 1) 4.22 (2 1) 96
1 3 3 2 = - Þ = - = + - + = - U S S U S S n n n
11. Jumlah n suku pertama deret aritmetika di tentukan dengan rumus S 2n2 6n. n = -
Tentukan bedanya !
Jawab :
S an bn c U an b a b a
= + + Þ = + - Þ =
S n n b
2 2
2
n n
2
= - Þ = =
2 6 2.2 4
n
12. Suku ke-n suatu deret aritmetika adalah U = 3n -5 n . Tentukan rumus jumlah n suku
pertama !
2

3. Jawab :
a U
= = 3.1 - 5 = -
2
S a U n n
1
= + = - + - = -
( ) n ( 2 3 5) n
(3 7)
n
n
2 2 2
n
13. Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan oleh (5 19) 2 S = n n -
n . Tentukan
bedanya !
Jawab :
S = n - n Þ b = = n
2. 5
5 2
2 19
2
2 5
14. Jika suku pertama suatu deret aritmetika adalah 5, suku terakhir adalah 23 dan selisih
suku ke-8 dengan suku ke-3 adalah 10. Tentukan banyak suku !
Jawab :
U U a b a b b b
- = + - + = = Û =
7 ( 2 ) 5 10 2 8 3
U = a + ( n -
1)
b
n n
= + - Û =
n
23 5 ( 1)2 10
15. Dari deret aritmetika diketahui 20 6 9 12 15 U +U +U +U = . Tentukan 20 S !
Jawab :
a b a b a b a b
+ + + + + + + =
5 8 11 14 20
a b a b
+ = Û + =
4 38 20 2 19 10
S a b
20 = + = =
(2 19 ) 10.10 100
20
2
16. Pada barisan aritmetika diketahui 8, 14 23 2 4 = = = n U U dan U . Tentukan banyak
sukunya
Jawab :
a dan b
Þ = =
5 3
8
a b
+ =
a b
+ =
3 14
þ ý ü
U n n
= Þ + - = Û =
23 5 ( 1).3 23 7
n
17. Tiga bilangan merupakan barisan aritmetika. Jika jumlah ketiga bilangan itu 36 dan
hasilkalinya 1536, maka tentukan bilangan terbesarnya !
Jawab :
Misal ketiga bilangan itu adalah x – b, x , x + b
x b x x b x
- + + + = Û =
36 12
b b
- + =
(12 ).12.(12 ) 1536
- 2 = Û = ±
b b
144 128 4
Jadi bilangan terbesarnya adalah x + b = 12 + 4 = 16
18. Jumlah 5 buah bilangan yang membentuk barisan aritmetika adalah 75. Jika hasil kali
bilangan terkecil dan terbesar adalah 161, maka tentukan selisih bilangan terbesar dan
terkecil !
Jawab :
3

4. x b x b x x b x b x
- + - + + + + + = Û =
2 2 75 15
- + = Û - 2 = Û = ±
b b b b
(15 2 )(15 2 ) 161 225 4 161 4
Jadi selisih bilangan terbesar – bilangan terkecil =(15+2.4)-(15-2.4)=16
2
19. Pada barisan aritmetika suku-suku positif diketahui 24 10 3
1 2 3 1 U +U +U = dan U = U - .
Tentukan 4 U
Jawab :
a + a + b + a + 2 b = 24 Û b = 8
-
a
U U a a b
= - Þ = + -
10 2 10
Substitusi b a ke a a b
= - = + -
8 2 10
a a a a a
= + - - Û + - =
2.(8 ) 10 ( 3)( 2) 0
a b
= Þ = - =
2 8 2 6
U a b
3 2 18 20
2
4
2
2
3
2
1
= + = + =
20. Tentukan penyelesaian yang bulat dari persamaan
115
116
+ + + + -
1 3 5 ...... (2 1) =
+ + + +
2 4 6 ...... 2
n
n
Jawab :
115
115
+ -
2 = Þ =
116
115
116 1
(1 2 1)
(2 2 )
2
+
= Û
+
n
n
n
n
n
n
n
21. Seorang petani mencatat hasil panennya selama 11 hari. Jika hasil panen hari pertama 15
kg dan mengalami kenaikan tetap sebesar 2 kg setiap hari, maka tentukan jumlah hasil
panen yang dicatat !
Jawab :
11 S = + = kg
(2.15 10.2) 275 2
11
22. Grafik hasil produksi suatu pabrik per tahun merupakan suatu garis lurus. Jika produksi
pada tahun pertama 110 unit dan pada tahun ketiga 150 unit maka tentukan produksi
pada tahun ke-15 !
Jawab :
U b b
150 110 2 150 20
3
= + =
U 110 14.20 390
unit
15
= Û + = Û =
23. Suatu keluarga mempunyai 6 anak yang usianya pada saat ini membentuk barisan
aritmetika. Jika usia anak ke-3 adalah 7 tahun dan usia anak ke-5 adalah 12 tahun, maka
tentukan jumlah usia enam anak tersebut !
Jawab :
4

5. a dan b
a b
+ =
2 7
a b
2 2,5
4 12
S tahun
6 = + =
(2.2 5.2,5) 49,5
6
2
Þ = =
þ ý ü
+ =
24. Jumlah 5 suku pertama suatu deret aritmetika adalah 20. Jika masing-masing suku
dikurangi dengan suku ke-3, maka hasil kali suku ke-1, suku ke-2 , suku ke-4 dan suku ke-5
adalah 324. Tentukan jumlah 8 suku pertamanya !
Jawab :
S a b a b
= Þ + = Û + =
20 5
(2 4 ) 20 2 4 ...........(1)
a a b a b a b a b a b a b a b
- + + - + + - + + - + =
( ( 2 ))( ( 2 ))( 3 ( 2 ))( 4 ( 2 )) 324
b b b b b
- - = Û = ±
( 2 )( )( )(2 ) 324 3
b a S
= Þ = - Þ = - + =
3 2 8
(2.( 2) 7.3) 68
b a S
3 10 8
(2.10 7.( 3)) 4
2
8
2
8
2
5
= - Þ = Þ = + - = -
25. Keuntungan seorang pedagang bertambah setiap bulan dengan jumlah yang sama. Bila
keuntungan sampai bulan keempat 30 ribu rupiah dan sampai bulan kedelapan 172 ribu
rupiah, maka tentukan keuntungan sampai bulan ke-18 !
Jawab :
S a b a b
= + = Û + =
(2 3 ) 30.000 2 3 15.000
S a b a b
= + = Û + =
(2 7 ) 172.000 2 7 43.000
Þ = - =
3.000 7.000
8
a b
+ =
2 3 15.000
+ =
2 7 43.000
þ ý ü
(2.( 3.000) 17.7.000) 1.017.000
18
2
18
2
8
2 4
4
= - + =
S
a dan b
a b
26. Sisi-sisi suatu segitiga siku-siku membentuk barisan aritmetika. Jika sisi miringnya 40,
maka tentukan sisi siku-siku yang terpendek !
Jawab :
Misal sisi-sisinya 40, 40 – b, 40 – 2b
402 (40 b )2 (40 2 b )2 ( b 8)( b
40) 0
b 40
tidak mungkin
= Þ = - =
8 40 2.8 24
=
= - + - Û - - =
b sisi yang terpendek
27. Seorang ayah membagikan uang sebesar Rp 100.000 kepada 4 orang anaknya. Makin muda
usia anak makin kecil uang yang diterima. Jika selisih yang diterima oleh setiap dua anak
yang usianya berdekatan adalah Rp 5.000 dan si sulung menerima uang paling banyak,
maka tentukan jumlah uang yang diterima si bungsu !
Jawab :
Misal masing-masing menerima x, x – 5000, x – 10000, x – 15000
x + x – 5000 + x – 10000 + x – 15000 = 100000
x = 32500
Maka uang yang diterima si bungsu = x – 15000 = 32500 – 15000 = 17500
28. Tentukan jumlah bilangan-bilangan bulat antara 250 dan 1000 yang habis dibagi 7 !
5

6. Jawab :
252, 259, 266, ………., 994
994 = 252 + (n – 1).7 atau n = 107
107 S = + =
(252 994) 66.661 2
107
29. Jumlah n bilangan positif genap yang pertama adalah 306. Tentukan jumlah 5 bilangan
terakhir !
Jawab :
n
+ + + + =
2 4 6 ........ 2 306
306 (2 2 ) ( 18)( 17) 0
n = -
18
tidak mungkin
(2 2.12) 156
17
12
2
n
12
2
= + =
=
= + Û + - =
S
n n n
n
Jadi jumlah 5 bilangan terakhir = 306 – 156 = 150
30. Jika a + 2, a – 1, a – 7 membentuk barisan geometri, maka tentukan rasionya !
Jawab :
2
a
= -
= - -
5 1
5 2
1
2
5
7
1
1
2
=
- +
-
a
r a
= -
+
Þ = -
-
+
a
a
a
a
q s
- +
-
2
31. Jika tiga bilangan q, s dan t membentuk barisan geometri, maka tentukan q s t
Jawab :
s
s t
s s t
= -
( )
s t s t
t
= Û =
q s
s
-
2 2 2
q s t
q s
t
s
q
st
st t
t
s
t
t
s
t
-
=
- -
-
-
=
- +
+ ( )( )
2
2
2
32. Jika jumlah n suku deret geometri yang rasionya r adalah n S maka tentukan
n
S
n
S
6
3
Jawab :
1
n n
3 3
r r
r
a r
= ( - 1) = ( - 1)( +
1)
3
n
n r
6 = +
1
. 1
( 1)
1
3
3
6
3
-
-
-
-
n
n
n
n
r
a r
r
S
S
U :U p danU .U 1 4 6 2 8 = = maka tentukan 1 U
33. Dari deret geometri diketahui p
Jawab :
1 1
p r
ar
3
= = = Þ =
ar r
U
U
7 2 8 2 2 4 2 4
= = = = =
4
2 8
2 3
a p a p p
p p
p
U U ar ar a r a r a
= Û =
2
5 2
6
. . ( ) ( 1 ) 1
6

7. 34. Jumlah 5 suku pertama sebuah deret geometri adalah –33. Jika nilai pembandingnya adalah
–2 maka tentukan jumlah suku ke-3 dan ke-4 !
Jawab :
a a
Û = -
3
( 3)( 2) ( 3)( 2) 12
- = - -
U U ar ar
33 (1 ( 2) )
- -
1 ( 2)
2 3 2 3
3 4
5
+ = + = - - + - - =
35. Dari barisan 4 buah bilangan, jumlah tiga bilangan pertama = 0 dan kuadrat bilangan
pertama = -2/3 kali bilangan ketiga. Jika setiap dua bilangan yang berdekatan sama
selisihnya, maka tentukan bilangan yang keempat !
Jawab :
S = 0 Þ (2 a + 2 b ) = 0
Û b = -
a
a a b a a b a a a
= - + Û + + = Þ + - =
a a
(3 2) 0
a tidak mungkin
a b
= Þ = -
3 3.( ) 4
3
0
( 2 ) 3 2 4 0 3 2 4 0
3 2
3 2
4
3 2
3 2
2 2
3 2
2
2 3
3
= + = + - = -
=
- =
U a b
36. Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika suku ketiga ditambah 2 dan suku kedua
dikurangi 2 diperoleh barisan geometri. Jika suku ketiga barisan aritmetika ditambah 2,
maka hasilnya menjadi 4 kali suku pertama. Tentukan beda barisan aritmetika tersebut !
Jawab :
Misal p, q, r membentuk barisan aritmetika maka :
............(1)
q - p = r - q Û q = p +
r
2
p q - r +
merupakan barisan geometri maka
, 2, 2 :
( q ) p ( r
)
Û - = +
2 2 .............(2)
r
- = +
2 2
2
-
q
p
r p r p
+ = Û = -
2 4 4 2 ................(3)
Substitusi dan ke sehingga
p r p p
( )
æ + -
ö çè
+ - = ÷ø
p p p p p
æ + - -
ö çè
= - - Û = ÷ø
4 (3 2)( 6) 0
4 2 4
= Þ = - = Þ = + =
6 4.6 2 22 6 22
p r q
14 6 8
14
2
2
2 4 2 2
2
(1) (3) (2) :
2
2
2
2
b q p
= - = - =
q
37. Pada saat awal diamati 8 virus jenis tertentu. Setiap 24 jam masing-masing virus
membelah diri menjadi dua. Jika setiap 96 jam seperempat dari seluruh virus dibunuh, maka
tentukan banyaknya virus pada hari ke-6 !
Jawab :
7

8. 96 jam = hari ke-4 dibunuh
1
4
jumlah virus. Berarti tersisa
3
jumlah virus.
4
= =
.8.2 48
2 2
48. 48.2 192
6
3
4 3
4
= = =
U
U r
38. Diketahui p dan q akar-akar persamaan 2x2 + x + a = 0 . Jika p, q dan
pq merupakan
2
barisan geometri, maka tentukan a !
Jawab :
q q p q q p
= Û = Û =
p q p p
p
p q b
+ = - Þ + = - Þ + = -
a
+ = Þ = - Þ = - =
1
2 2
1
( p 1) 0 p 1 q
( 1)
pq a a pq
2 2.( 1).1
2
2
1
2
2
2 .
1
2
2 2
2
2
2
2 2
2
2
= Û = = - = -
q
pq
39. Diketahui 1 2 x dan x akar-akar positif persamaan kuadrat x2 + ax + b = 0 . Jika
1 2 12, x , x membentuk barisan aritmetika dan , , 4 1 2 x x membentuk barisan geometri,
maka tentukan diskriminan persamaan kuadrat tersebut !
Jawab :
x x x x x
- = - Û = +
12 12
x x
= Û =
x x
x x x x
+ 12
= Û - + =
x x
= Þ =
6 9
x x a a a
+ = - Þ + = - Û = -
x x b b b
= Þ = Û =
9.6 54
2
2 1
D a b
4 ( 15) 4.54 9
1
9 6 15
1
( 6)( 4) 0
2 4
4
4
2
1 2
2 2
1 2
2 2
2
2 2
2
2
1
1 2
2
1 2 1 1
= - = - - =
x
40. Diketahui deret geometri ........ 1 2 3 a +a +a + .
Jika 162 log log log log 4log2 6log3 6 2 3 4 5 a = dan a + a + a + a = + maka tentukan 3 a !
8

9. Jawab :
162 162 162
= Û = Û =
( ) ( )
a a a a a r
= Þ =
log log 2 .3 2 .3
162 . 2 .3 3 3
ö çè
= Û = Û = ÷ø
.3 6
2
3
162
= =
3
162 2 .3 :
2
3 2
2
a
3
5
10 4 6 10 10
4
5
4 10 4 6
5
4 6 4 10 4 6
2 3 4 5
5
5
6
= = =
æ
= =
a ar
r r r
r
ke a r sehingga
r
Substitusi a
r
a ar a
1 1 141. Tentukan jumlah 10 suku pertama deret a log + a log + a
log +
........ 2 3 x x x
Jawab :
log 1 log 1 2 log log log
a a a a a
x x x
= - = - + =-
x x
b
S a x ( a x a x) a
x
x
a
(2. log 1
9.( log )) 5 2 log 9 log 55 log
10
2
10
2
= + - = - - = -
x jumlahnya mempunyai limit, maka tentukan nilai
42. Agar deret ( ) ,..........
1
1, 1 , 1
-
-
x x x x
x !
Jawab :
0 0 2
Syarat r sehingga
1 1
x x x x
x x
< Û -
0 ( 2)
( 1)
-
x x
- - +
2 1
2 1
= = -
1
2 1
1
2 1
1
1
1
1 1
1
1 1
1 1 :
2
2 2
2
2
1
1
> Þ < >
-
- +
- +
<
- +
< Þ
-
< Û
-
- <
- < <
x atau x
x
x x
x x
x
r
x
x
x
43. Suku-suku barisan geometri tak hingga positif, jumlah 45 20 1 2 3 4 U +U = dan U +U = .
Tentukan jumlah suku-suku barisan itu !
Jawab :
U + U = a + ar = 45 . r Þ ar + ar =
45
r
45 20 2
2 3 2
U U ar ar r r
+ = + = = Þ =
a a r a a a
+ = Þ + = Û =
. 45 45 27
81
27
1
S a
1
3
3 2
3 2
3 4
2 2 3 2
1 2
=
-
=
-
=
¥ r
9

10. 44. Jika suku pertama deret geometri tak hingga adalah 1, sedang jumlah suku-suku yang
bernomor ganjil = 2, maka tentukan jumlah deret dengan rasio yang positif !
Jawab :
......... 2 1
1 3 5 2
2 2
1
1
2 1
2
1
1
2
= +
-
=
= Þ =
-
+ + + = Þ
¥ S
r
r
U U U
45. Jika 2 0 < x < p maka sin x + cos x + sin3 x + cos3 x + sin5 x + cos5 x +...... = .......
Jawab :
S x 2 2
x x
sin = + = +
sin cos
x x
x
x
x
x
x
x
x
3 3
cos
sin
cos
2 1 cos
2 cos
2 sin
2 sin cos
1 sin
-
+
-
= ¥
10