Rencana pelaksanaan pembelajaran (RPP) ini membahas pengajaran materi permutasi dan kombinasi pada pelajaran matematika kelas XI. Guru akan mengajarkan materi ini melalui diskusi kelompok dan presentasi, serta menggunakan metode pengajaran kooperatif untuk memotivasi siswa dalam memahami dan menerapkan rumus-rumus permutasi dan kombinasi dalam menyelesaikan soal."

1. RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
(RPP)
Sekolah : SMA
Mata Pelajaran : Matematika
Kelas / Semester : XI IPA / 1
Standar Kompetensi :
Menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan, dan sifat-sifat peluang
dalam pemecahan masalah.
Kompetensi Dasar :
Menggunakan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi dalam pemecahan
masalah.
Indikator :
Setelah mendapat materi ini siswa diharapkan dapat :
1. menerapkan rumus permutasi untuk menyelesaikan soal
2. menggunakan permutasi dalam menyelesaikan masalah kehidupan sehari-
hari
3. menerapkan rumus kombinasi untuk menyelesaikan soal
4. menggunakan kombinasi dalam menyelesaikan masalah kehidupan sehari-
hari
Alokasi Waktu :
1 pertemuan, 3 x 45 menit
I. Tujuan
1. Siswa dapat menerapkan rumus permutasi untuk menyelesaikan soal
2. Siswa dapat menggunakan permutasi dalam menyelesaikan masalah
kehidupan sehari-hari
3. Siswa dapat menerapkan rumus kombinasi untuk menyelesaikan soal
4. Siswa dapat menggunakan kombinasi dalam menyelesaikan masalah
kehidupan sehari-hari
II. Materi Pokok
Permutasi dan kombinasi

2. III. Strategi Pembelajaran
 Model Pembelajaran : Pengajaran Kooperatif
 Pendekatan Pembelajaran : STAD (Student Team Achievement Division)
 Metode Pembelajaran : diskusi, tanya jawab, dan kuis
IV. Langkah – Langkah Pembelajaran
Kegiatan Pendahuluan (15 menit)
Fase 1 : Menyampaikan tujuan dan memotivasi siswa (15 menit)
a. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran yang akan dicapai pada pertemuan
kali ini, yaitu dapat menerapkan rumus permutasi dan kombinasi untuk
menyelesaikan soal, serta dapat menggunakannya dalam menyelesaikan
masalah dalam kehidupan sehari-hari.
b. Apersepsi : Dengan menggunakan metode tanya jawab, guru mengingatkan
siswa tentang materi sebelumnya yang berkaitan, yaitu mengenai aturan
perkalian yang meliputi aturan pengisian tempat dan faktorial. Contoh :
Masih ingatkah kalian mengenai faktorial?
Untuk setiap bilangan asli n, didefinisikan :
n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x (n-2) x (n-1) x n atau
n ! = n x (n-1) x (n-2) x ... x 3 x 2 x 1
c. Motivasi : Guru memotivasi siswa mengenai materi yang akan diajarkan yaitu
mengaitkan materi permutasi dan kombinasi dengan kehidupan sehari-hari,
seperti :
Misalkan, Toni mempunyai 3 buah baju berwarna hijau, cokelat, dan batik. Ia
juga mempunyai 2 buah celana warna hitam dan celana jins. Ada berapa
pasang baju dan celana dapat dipakai dengan pasangan yang berbeda? Nah,
pasangan-pasangan baju dan celana itu dapat kita pelajari menggunakan
permutasi.

3. Kegiatan Inti (110 menit)
Fase 2 : Menyajikan informasi (15 menit)
a. Guru membagikan rangkuman materi.
b. Guru menerangkan dan menyelesaikan contoh yang tadi diberikan bersama-
sama dengan siswa, sebagai pengetahuan awal siswa. Penjelasannya adalah
sebagai berikut :
Apakah kalian penasaran dengan pertanyaan ibu tadi? Mari kita bahas
bersama-sama. Kemungkinan pasangan dari ketiga baju dan dua celana adalah
(sambil menuliskannya di papan).
Baju hijau
Baju cokelat
Baju batik
Jadi, banyaknya pasangan baju dan celana yang mungkin dipakai adalah
3 x 2 = 6 cara. Informasi ini akan lebih lengkap kalian dapatkan pada materi
ini.
c. Guru memberikan informasi mengenai subbab yang akan dipelajari, antara
lain notasi permutasi, permutasi jika ada unsur yang sama, dan permutasi
siklis, serta kombinasi.
Fase 3 : Mengorganisasikan siswa ke dalam kelompok-kelompok belajar (15
menit)
d. Guru membagi kelas menjadi kelompok-kelompok kecil, dimana setiap
kelompok beranggotakan 5-6 siswa yang heterogen (berdasarkan campuran
kemampuan akademik siswa).
Celana hitam
Celana jins
Celana hitam
Celana jins
Celana hitam
Baju hijau & Celana hitam
Baju cokelat & Celana jins
Baju cokelat & Celana hitam
Baju batik & Celana jins
Baju batik & Celana hitam
Celana jins Baju hijau & Celana jins

4. e. Guru membantu transisi setiap kelompok agar lebih efisien, seperti mengecek
kelengkapan anggota kelompok. Jika terdapat anggota yang belum masuk
dalam kelompoknya, guru memanggil nama anggota tersebut agar segera
bergabung dalam kelompoknya.
f. Guru meminta masing-masing kelompok membuat nama untuk kelompoknya.
Kemudian meminta mereka mengumpulkan nama kelompok beserta
anggotanya pada selembar kertas.
g. Guru juga menjelaskan aturan mainnya bahwa nama-nama kelompok tersebut
akan diundi. Dan nama yang muncul akan maju untuk mempresentasikan
materi dan LKS (dengan soal yang berkaitan dengan materi).
h. Guru membagikan lembar kerja siswa kepada masing-masing kelompok
belajar.
Fase 4 : Membimbing kelompok bekerja dan belajar (30 menit)
i. Siswa diberi waktu untuk membaca rangkuman materi dan memahami
petunjuk yang ada pada Lembar Kerja Siswa.
j. Guru berkeliling kelas untuk membimbing kelompok-kelompok belajar pada
saat mereka mengerjakan tugas. Misalnya, guru menghampiri kelompok yang
kelihatan bingung ketika mengerjakan tugas dan menanyakan adakah materi
yang masih sulit untuk dipahami dan guru menyarankan untuk
mendiskusikannya dan atau mencatat pertanyan-pertanyaan tersebut untuk
ditanyakan pada kelompok yang presentasi di depan nanti.
Fase 5 : Evaluasi (50 menit)
k. Setelah diberi waktu untuk berdiskusi, guru mengundi kelompok yang akan
presentasi submateri & LKS (soal yang berkaitan dengan submateri).
Pembagian submateri adalah sebagai berikut :
Kelompok Pertama : Notasi Permutasi + LKS No. 1, 2
Kelompok Kedua : Permutasi jika ada unsur yang sama + LKS No. 3

5. Kelompok Ketiga : Permutasi Siklis + LKS No. 4
Kelompok Keempat : Kombinasi + LKS No. 5, 6
l. Masing-masing kelompok yang terpilih diminta untuk mempresentasikan hasil
kerjanya di depan kelas secara bergantian dan kelompok lainnya memberi
tanggapan dan atau bertanya apabila belum paham mengenai materi yang
dipresentasikan di depan.
m. Guru meluruskan dan menambahkan hasil presentasi tiap kelompok.
n. Guru memberikan kesempatan kepada siswa untuk bertanya apabila ada yang
belum dimengerti.
o. Siswa dan guru bersama-sama menyimpulkan materi secara keseluruhan.
p. Guru membagikan lembar Kuis kepada siswa untuk dikerjakan secara individu
dan setelah itu diminta mengumpulkannya.
Kegiatan Penutup (10 menit)
Fase 6 : Memberikan penghargaan
Guru memberikan penghargaan kepada kelompok yang mampu
mempresentasikan materi dengan jelas dan kepada kelompok yang paling aktif
bertanya, serta siswa yang aktif pada saat berdiskusi.
V. Alat, Bahan, dan Sumber Belajar
Sumber belajar :
Rangkuman Materi
LKS
VI. Penilaian
Teknik : Tes tulis
Bentuk Instrumen : Tes Uraian
Contoh Instrumen :

6. PEDOMAN PENSKORAN UNTUK SOAL KUIS
Indikator Jawaban Skor
a. Menerapkan
rumus permutasi
untuk
menyelesaikan
soal
1.
)!25(
!5
25

P
20
45
!3
!345
!3
!5





3
1
2
1
3
10
b. Menggunakan
permutasi dalam
menyelesaikan
masalah
kehidupan
sehari-hari
2. Diketahui 5 buah buku yang terdiri dari buku
Matematika, Fisika, Kimia, Biologi, dan Ekonomi.
Dari 5 buku tersebut diambil 3 buah buku dan
diletakkan secara berderetan.
Ditanya : banyaknya cara buku-buku tersebut
diletakkan
Penyelesaian :
5P3, dengan n = 5 (banyak buku) dan r = 3 (banyak
buku terambil).
60
!2
!2345
)!35(
!5
)!(
!
35







rn
n
P
Jadi, terdapat 60 cara meletakkan buku-buku
tersebut
1
1
2
4
4
3
4
1
20

7. 3. Diketahui dua orang laki-laki dan tiga orang
perempuan akan menempati lima buah kursi yang
diletakkan secara berderetan.
Ditanya : banyaknya posisi lima orang tersebut
dilihat dari jenis kelaminnya
Penyelesaian :
Banyaknya posisi lima orang yang terdiri dari 2
orang laki-laki dan 3 orang perempuan adalah :
10
2
20
!312
!345
!3!2
!5
)3,2(5





P
Jadi banyaknya posisi lima orang tersebut dilihat
dari jenis kelaminnya adalah 10
4. Diketahui terdapat 7 orang yang mengelilingi meja
bundar (n = 7)
Ditanya : banyaknya cara posisi duduk
Penyelesaian :
Banyaknya cara posisi duduk 7 orang yang
mengelilingi meja bundar adalah :
Psiklis = (n – 1)!
= (7 - 1)!
= 6!
= 123456 
= 720
Jadi banyaknya cara posisi duduk adalah 720 cara
1
1
6
4
2
5
1
20
1
1
6
3
1
2
5
1
20

8. c. Menerapkan
rumus kombinasi
untuk
menyelesaikan
soal
21
2
42
!512
!567
!5!2
!7
!5)!57(
!7
.5 57







C
3
1
1
1
4
10
d. Menggunakan
kombinasi dalam
menyelesaikan
masalah
kehidupan
sehari-hari
6. Diketahui terdapat 8 pemain yang tersedia, akan
dibentuk satu tim pemain bola voli
Ditanya : banyak cara pengambilan satu tim
pemain bola voli
Penyelesaian :
Karena dari 8 pemain akan dipilih 6 pemain (satu
tim bola voli ada 6 orang), maka banyak cara
pengambilan satu tim pemain bola voli adalah :
28
2
56
!612
!678
!6!2
!8
)!68(
!8
68







C
Jadi, banyak cara pengambilan satu tim pemain bola
voli adalah 28 cara
1
1
6
2
2
2
5
1
20

9. PEDOMAN PENILAIAN STAD
Kriteria Nilai Peningkatan
Nilai kuis terkini turun lebih dari 10 poin
di bawah nilai awal
5
Nilai kuis turun 1 sampai dengan 10 poin
di bawah nilai awal
10
Nilai kuis terkini sama dengan nilai awal
sampai dengan 10 poin di atas nilai awal
20
Nilai kuis terkini lebih dari 10 poin di
atas nilai awal
30
Penghargaan kelompok diberikan berdasarkan rata-rata nilai peningkatan yang
diperoleh masing-masing kelompok dengan memberikan predikat cukup, baik, sangat
baik, dan sempurna.
Kriteria untuk status kelompok :
 Cukup, bila rata-rata nilai peningkatan kelompok kurang dari 15 (Rata-rata
nilai peningkatan kelompok < 15).
 Baik, bila rata-rata nilai peningkatan kelompok antara 15 dan 20 (15 Rata-
rata nilai peningkatan kelompok 20)
 Sangat baik, bila rata-rata nilai peningkatan kelompok antara 20 dan 25 (20
rata rata nilai peningkatan kelompok 25)
 Sempurna, bila rata-rata nilai peningkatan kelompok lebih atau sama dengan
25 rata-rata nilai peningkatan kelompok 25)

10. RANGKUMAN MATERI
1. Permutasi
a. Notasi Permutasi
Seorang pengusaha mebel ingin menulis kode nomor pada kursi buatannya
yang terdiri dari 3 angka, padahal pengusaha itu hanya memakai angka-angka
1, 2, 3, 4, dan 5. angka-angka itu tidak boleh ada yang sama. Berapakah
banyaknya kursi yang akan diberik kode normor?
Kotak (a) dapat diisi dengan 5 angka yaitu 1, 2, 3, 4, atau 5.
Kotak (b) dapat diisi dengan 4 angka karena 1 angka sudah diisikan di kotak
(a).
Dan kotak (c) hanya dapat diisi dengan 3 angka.
A b c
5 4 3
Sehingga banyaknya kursi yang akan diberi kode adalah 5 x 4 x 3 = 60 kursi.
Susunan seperti ini disebut permutasi karena urutannya diperhatikan, sebab
125 tidak sama dengan 215 ataupun 521.
Permutasi seperti ini disebut permutasi tiga-tiga dari 5 unsur dan dinotasikan
dengan 5
3P atau P(5,3) atau 5P3, sehingga :
5P3 = 5 x 4 x 3
= 5 x (5 – 1) x (5 – 2)
= 5 x (5 - 1) x ... x (5 - 3 + 1)
Secara umum dapat diperoleh simpulan sebagai berikut :
Banyaknya permutasi dari n unsur diambil r unsur dinotasikan sebagai :
nPr = n (n – 1) (n – 2) (n – 3) ... (n – r + 1)
atau dapat juga ditulis :

11. )!(
!
1.2.3)...1)((
1.2.3)...2)(1(
1.2.3)...1)((
1.2.3)...1)()(1)...(3)(2)(1(
1.2.3)...1)((
1.2.3)...1)((
)1)...(3)(2)(1(
rn
n
P
rnrn
nnn
rnrn
rnrnrnnnnn
rnrn
rnrn
rnnnnnP
rn
rn











)!(
!
rn
n
Prn


Perhatikan contoh berikut !
1. Tentukan nilai dari :
a. 7P3
b. 9P4
c. 3P3
Penyelesaian :
a. 8404567
!3
!34567
!3
!7
)!47(
!7
47 



P
b. 504789
!6
!6789
!6
!9
)!39(
!9
39 



P
c. 6
1
123
!0
!3
)!33(
!3
33 



P
2. Tiga orang wiraniaga dicalonkan untuk mengisi kekosongan jabatan
kepala cabang di dua kota. Tentukan banyak cara untuk memilih dua
kepala cabang dari tiga orang wiraniaga tersebut!
Penyelesaian :
n = 3 (banyak wiraniaga) dan r = 2 (banyak wiraniaga terpilih)
6
!1
123
)!23(
!3
)!(
!







rn
n
Prn
Jadi, terdapat 6 cara untuk memilih wiraniaga tersebut.

12. b. Permutasi jika ada unsur yang sama
Pada kata “BUKU” terdapat dua huruf yang sama, yaitu U. Permutasi huruf-
huruf pada kata “BUKU” dapat diamati pada diagram pohon berikut.
Lanjutkan kolom-kolom yang belum terisi !
B
U
K
U
Jika Anda benar mengerjakannya, hasil dari seluruh diagram pohon tersebut
adalah sebagai berikut :
1. BUKU
2. BUUK
3. BKUU
4. BKUU
5. BUKU
6. BUUK
7. UKBU
8. UKUB
9. UUBK
10. UUKB
11. UBUK
12. UBKU
13. KUBU
14. KUUB
15. KBUU
16. KBUU
17. KUUB
18. KUBU
19. UBUK
20. UBKU
21. UUBK
22. UUKB
23. UKBU
24. UKUB
K
U
U
K
B
U
U
B
U
U
B
K
K
U K
K
K
U
U
U
U
U
U
U

13. Amatilah 24 susunan huruf tersebut ! Tampak ada beberapa suusnan huruf
yang sama sehinga permutasinya menjadi :
1. BUKU
2. BUUK
3. BKUU
4. UKBU
5. UKUB
6. UUBK
7. UUKB
8. UBUK
9. UBKU
10. KUBU
11. KUUB
12. KBUU
Banyaknya permutasi huruf-huruf pada kata “BUKU” adalah 12 atau
12 = 4 x 3 =
!2
!4
12
1234



Dari contoh dapat dijabarkan permutasi 4 unsur dengan 2 unsur sama ditulis :
!2
!4
. Secara umum permutasi n unsur dengan p1 unsur sama dan p2 unsur sama
ditulis :
!!
!
21 pp
n
banyak permutasi n unsur yang memuat p1, p2,...pk unsur yang sama dapat
ditulis dengan
!!...!
!
21 kppp
n
P 
Contoh :
1. Tentukan perrmutasi atas semua unsur yang dapat dibuat dari kata
“MATEMATIKA” !
2. Berapa banyak bilangan 7 angka yang dapat disusun dari angka-angka
2,2,2,3,4,4,4 ?
Penyelesaian :
1. MATEMATIKA
Banyaknya huruf = 10, banyaknya huruf M = 2, banyaknya huruf A = 3,
banyaknya huruf T = 2
200.151
)12)(12)(123(
12345678910
!2!2!3
!10



P
2. 2,2,2,3,4,4,4
Banyaknya angka =7, banyaknya angka 2 = 3, banyaknya angka 4 = 3

14. 140
123123
1234567
!3!3
!7



P
c. Permutasi Siklis
Permutasi siklis adalah permutasi yang cara menyusunnya melingkar,
sehingga banyaknya menyusun n unsur yang berlainan dalam lingkaran
ditulis:
)!1(1.2.3)...2)(1(
1.2.3)...2)(1(!


 nnn
n
nnn
n
n
atau )!1(P  nsiklis
Contoh soal :
Pada saat rapat pengurus OSIS SMA 5, dihadiri oleh 6 orang yang duduk
mengelilingi sebuah meja bundar. Berapakah susunan yang dapat terjadi ?
Penyelesaian :
12012345!5)!16()!1(P  nsiklis
Jadi, susunan yang dapat terjadi adalah 120 susuunan.
2. Kombinasi
a. Notasi Kombinasi
Pada waktu kenaikan kelas dari kelas X ke kelas XI, siswa yang niak akan
memasuki jurusan masing-masing. Ada yang IPA, IPS, maupun Bahasa. Oleh
karena itu, diadakan perpisahan kelas dengan jalan berjabat tangan. Kita
contohkan ada 3 siswa saling berjabat tangan misalkan Adi, Budi, Ceri. Ini
dapar ditulis Adi-Budi, Adi-Ceri, Budi-Ceri, Ceri-Adi, Ceri-Budi. Dalam
himpunan Adi berjabat tangan dengan Budi ditulis (Adi, Budi). Budi berjabat
tangan dengan Adi ditulis (Budi, Adi). Antara (Adi, Budi) dan (Budi, Adi)
menyatakan himpunan yang sama, berarti keduanya merupakan kombinasi
yang sama. Di lain pihak, Adi – Budi, Budi – Adi menunjukkan urutan yang
berbeda yang berarti permutasi yang berbeda.
Dari contoh di atas dapat diambil simpulan :

15. Permutasi = Adi-Budi, Adi-Ceri, Budi-Adi, Budi-Ceri, Ceri-Adi, Ceri-Budi
= 6 (karena urutan diperhatikan)
Kombinasi = Adi-Budi, Adi-Ceri, Budi-Ceri
= 3 (karena urutan tidak diperhatikan)
Sehingga, Kombinasi = 3 =
2
permutasi
2
6

Jika kombinasi dari 3 unsur yang diambil 2 unsur ditulis :
)!23(!2
!3
2
23
23


P
C
Secara umum dapat disimpulkan bahwa :
Banyaknya kombinasi dari n unsur yang berbeda dengan setiap pengambilan
dengan r unsur ditulis )(atau, rnrn
n
r CCC  adalah
!)!(
!
! rrn
n
r
P
C rn
rn


Contoh soal :
1. 37 C
2.
46
2526
C
CC 
3. Dari 20 siswa akan dipilih sebuah tim sepakbola yang terdiri atas 11 orang.
Tentukan banyak cara dalam pemilihan tersebut !
Penyelesaian :
1. 35
!4123
!4567
!4!3
!7
)!37(!3
!7
37 




C

16. 2.
10
12
120
1.2.1.2.3.4
1.2.3.4.5.6
1.2.3.1.2
1.2.3.4.5
1.2.3.4.1.2
1.2.3.4.5.6
!2!4
!6
!3!2
!5
!4!2
!6
)!46(!4
!6
)!25(!2
!5
)!26(!2
!6
46
2526











C
CC
3. Pemilihan tim sepakbola tersebut adalah masalah kombinasi karena tidak
memperhatikan urutan. Banyak cara memilih 11 orang siswa dari 20 orang
siswa, yaitu 11
20C
167.960
)1.2.3.4.5.6.7.8.9(!11
!11.12.13.14.15.16.17.18.19.20
!9!11
!20
)!1120(!11
!2011
20




C
b. Binomial Newton (Pengayaan)
Kita tentu masihh ingat mengenai susunan bilangan-bilangan yang dinamakan
segitiga Pascal
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
dan seterusnya
Dari bagian itu dapat ditulis dalam koefisien binomial atau suku dua sebagai
berikut, misalkan x dan y :
(x+y)1 = x + y
(x+y)2 = x2 + 2 xy + y2

17. (x+y)3 = x3 + 3 x2y + 3 xy2 + y3
(x+y)4 = x4 + 4 x3y + 6 x2y2 + 4 xy3 + y4
(x+y)5 = x5 + 5 x4y + 10 x3y2 + 10 x2y2 + 5xy4 + y5
(x+y)6 = . . .
Tetapi ada metode lain yang lebih mudah diterapkan untuk mencari koefisien
binomial yaitu dengan menggunakan nCr; sehingga dapat ditulis sebagai
berikut :
(x+y)1 → n = 1 1C0 1C1
(x+y)2 → n = 2 2C0 2C1 2C2
(x+y)3 → n = 3 3C0 3C1 3C2 3C3
(x+y)4 → n = 4 4C0 4C1 4C2 4C3 4C4
(x+y)5 → n = 5 5C0 5C1 5C2 5C3 5C4 5C5
:
Maka (x+y)n = nC0 xny0 + nC0 xn-1y1 + ... + nCn x0yn
= nC0 xn1 + nC0 xn-1y1 + ... + nCn 1yn
= nC0 xn + nC0 xn-1y1 + ... + nCn yn
(x+y)n = 

n
k
kkn
kn ycC
0
Jadi teorema binomial Newton dapat dirumuskan sebagai berikut :



n
k
kkn
kn
n
ycCyx
0
)(
Untuk lebih memahami teorema Binomial Newton, pelajarilah contoh soal berikut :
Jabarkan tiap binomial berikut ini !
a. (x+y)3
b. (x+2y)4

18. Penyelesaian
a.
321123
321123
333
33
223
23
113
13
003
03
3
3
0
3
3
.11.3..311.
CCCC
)(
yyxyxx
yyxyxx
yxyxyxyx
yxCyx kk
k
k








b.
432234
443322234
444
44
334
34
224
24
114
14
004
04
4
4
0
4
4
1632248
2.11.24262.41.
)2(C
)2(C)2(C)2(C)2(C
)2()2(
yxyyxyxx
yyxyxyxx
yx
yxyxyxyx
yxCyx kk
k
k









DAFTAR RUJUKAN
Soedyarto, Nugroho dan Maryanto. 2008. Matematika Untuk SMA dan MA Kelas
XI Program IPA. Jakarta : Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan
Nasional.
Djumanta, Wahyudin dan R. Sudrajat. 2008. Mahir Mengembangkan
Kemampuan Matematika : untuk Kelas XI Sekolah Menengah Atas /
Madrasah Aliyah Program Ilmu Pengetahuan Alam. Jakarta : Pusat
Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional.

19. LEMBAR KERJA SISWA
Indikator :
Setelah mendapat materi ini siswa diharapkan dapat :
1. menerapkan rumus permutasi untuk menyelesaikan soal
2. menggunakan permutasi dalam menyelesaikan masalah kehidupan sehari-hari
3. menerapkan rumus kombinasi untuk menyelesaikan soal
4. menggunakan kombinasi dalam menyelesaikan masalah kehidupan sehari-hari
Kelompok :
Anggota :
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Petunjuk :
1. Buatlah kelompok beranggotakan 5-6 orang!
2. Berkumpullah bersama kelompok kalian untuk mendiskusikan masalah yang
di berikan di bawah!
3. Lengkapilah titik-titik yang sudah tersedia berdasarkan hasil diskusi kelompok
kalian!
1. Dari enam calon pengurus OSIS, berapa kemungkinan susunan yang dapat terjadi
untuk menentukan sekaligus ketua, wakil ketua, bendahara dan sekretaris ?
Masalah di atas adalah masalah permutasi 4 objek dari 6 objek.
6P… = ....
!2
...............
....
!6
)!46(
....




kemungkinan

20. 2. Tentukan banyaknya kemungkinan dalam pemilihan presiden dan wakil presiden
jika ada lima orang calon !
Masalah di atas adalah masalah permutasi 2 objek dari 5 objek.
....45
31
.........
....
!5
)!25(
....
... 2 



P kemungkinan
3. Petugas perpustakaan akan menyusun tiga buku matematika yang sama, dua buku
ekonomi yang sama dan empat buku sastra yang sama secara berderet pada
sebuah rak buku. Berapa banyak susunan berbeda yang dapat dibuat ?
Banyaknya susunan yang mungkin adalah . . .
26
.........89
!4!2!3
..................
!4!2!3
....
...)...,(...,9




P
= . . . cara
4. Raymond, Dina, Riki, Rizal, Rani dan Medhi akan mengadakan sebuah rapat
tertutup di suatu meja berbentuk lingkaran. Ada berapa cara berbeda sehingga
kedudukan seorang peserta rapat terhadap peserta rapat lainnya berbeda ?
Masalah di atas adalah masalah permutasi siklis dengan n = . . .
6Psiklis = (6 – 1) ! = . . . = . . . × . . . × . . . × . . . × . . . = . . . cara
5. Dari 8 siswa terbaik perwakilan kelas 2 SMA “Merah Jambu” akan dipilih tiga
orang untuk mewakilli sekolah dalam kompetisi cerdas cermat se-Propinsi Papua.
Jika ke-8 siswa tersebut memiliki kemampuan yang cukup seimbang, berapa
banyak susunan yang mungkin terpilih ?
Masalah di atas adalah masalah memilih 3 objek dari 8 objek, tanpa memperhatikan
urutan. Jadi banyaknya susunan yang mungkin adalah....

21. ....
...
.........
!3!5
............
......
!8
3....







C
6. Tiga bola akan di ambil dari dalam kotak berisi 5 bola merah, 3 bola putih dan 2
bola biru.
a. Berapa banyak cara pengambilan tiga bola dari kotak ?
b. Berapa banyak cara pengambilan tiga bola terdiri dari 2 bola merah dan 1 bola
putih ?
c. Berapa banyak cara pengambilan tiga bola terdiri dari 1 bola merah, 1 bola
merah, 1 bola putih, dan 1 bola biru ?
d. Berapa banyak cara pengambilan tiga bola sudah sedikitnya terdapat 2 bola
merah.
a. Dalam kotak terdapat terdapat . . . bola dan akan diambil 3 bola. Banyaknya
kemungkinan bola yang terambil adalah
....
6
.........
!7!3
............
!7!3
!10
)!310(...
....
.... 3









C
b. Tersedia 5 bola merah, di ambil … bola. Banyak cara pengambilan 2 bola
merah :
…C3 = …
Tersedia 3 bola putih, di ambil 1 bola. Banyak cara pengambilan 1 bola putih :
3C… = …
Banyak cara pengambilan 2 bola merah dan 1 bola putih adalah
5C2 3C1 = …

22. c. Dengan cara yang sama dengan nomor b, banyak cara pengambilan 1 bola
merah, 1 bola putih, dan 1 bola biru adalah
5C1 . 3C1 . 2C1 … = …
d. Kemungkinan-krmungkinan terambil sedikitnya 2 bola merah adalah terambil
2 merah dan 1 putih atau 2 merah dan 1 biru atau ketiganya merah, jadi
banyak cara pengambilannya adalah :
5C2 . 3C1 + 5C2 . 2C1 + 5C3 = (10 3) + (10 … ) + … = …

23. SOAL KUIS
Kerjakan soal-soal berikut ini secara individu!
1. Hitunglah 5P2 !
2. Diketahui 5 buah buku yang terdiri dari buku Matematika, Fisika, Kimia, Biologi,
dan Ekonomi. Dari 5 buku tersebut diambil 3 buah buku dan diletakkan secara
berderetan. Tentukan banyaknya cara buku-buku tersebut diletakkan!
3. Dua orang laki-laki dan tiga orang perempuan akan menempati lima buah kursi
yang diletakkan secara berderetan. Tentukan banyaknya posisi lima orang tersebut
dilihat dari jenis kelaminnya!
4. Dalam berapa cara posisi duduk 7 orang mengelilingi meja bundar?
5. Hitunglah 7C5 !
6. Berapakah banyaknya cara pengambilan satu tim pemain bola voli dari 8 pemain
yang tersedia?

24. LEMBAR JAWABAN KUIS
1.
)!25(
!5
25

P
20
45
!3
!345
!3
!5





Jadi, terdapat 60 cara meletakkan buku-buku tersebut
2. Diketahui 5 buah buku yang terdiri dari buku Matematika, Fisika, Kimia, Biologi,
dan Ekonomi. Dari 5 buku tersebut diambil 3 buah buku dan diletakkan secara
berderetan.
Ditanya : banyaknya cara buku-buku tersebut diletakkan
Penyelesaian :
5P3, dengan n = 5 (banyak buku) dan r = 3 (banyak buku terambil).
60
!2
!2345
)!35(
!5
)!(
!
35







rn
n
P

25. Jadi banyaknya cara posisi duduk adalah 720 cara
21
2
42
!512
!567
!5!2
!7
!5)!57(
!7
.5 57







C
3. Diketahui dua orang laki-laki dan tiga orang perempuan akan menempati lima
buah kursi yang diletakkan secara berderetan.
Ditanya : banyaknya posisi lima orang tersebut dilihat dari jenis kelaminnya
Penyelesaian :
Banyaknya posisi lima orang yang terdiri dari 2 orang laki-laki dan 3 orang
perempuan adalah :
10
2
20
!312
!345
!3!2
!5
)3,2(5





P
Jadi banyaknya posisi lima orang tersebut dilihat dari jenis kelaminnya adalah 10
4. Diketahui terdapat 7 orang yang mengelilingi meja bundar (n = 7)
Ditanya : banyaknya cara posisi duduk
Penyelesaian :
Banyaknya cara posisi duduk 7 orang yang mengelilingi meja bundar adalah :
Psiklis = (n – 1)!
= (7 - 1)!
= 6!
= 123456 
= 720

26. 6. Diketahui terdapat 8 pemain yang tersedia, akan dibentuk satu tim pemain bola
voli
Ditanya : banyak cara pengambilan satu tim pemain bola voli
Penyelesaian :
Karena dari 8 pemain akan dipilih 6 pemain (satu tim bola voli ada 6 orang),
maka banyak cara pengambilan satu tim pemain bola voli adalah :
28
2
56
!612
!678
!6!2
!8
)!68(
!8
68







C
Jadi, banyak cara pengambilan satu tim pemain bola voli adalah 28 cara
DAFTAR RUJUKAN
Djumanta, Wahyudin dan R. Sudrajat. 2008. Mahir Mengembangkan Kemampuan
Matematika : untuk Kelas XI Sekolah Menengah Atas / Madrasah Aliyah
Program Ilmu Pengetahuan Alam. Jakarta : Pusat Perbukuan, Departemen
Pendidikan Nasional.
Listya, Tri Dewi, dkk. 2000. Matematika 2A untuk Kelas 2 SMU. Jakarta: Yudhistira.
Soedyarto, Nugroho dan Maryanto. 2008. Matematika Untuk SMA dan MA Kelas XI
Program IPA. Jakarta : Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional.