metode numerik interpolasi polynomial newton

1. LOGO
Interpolasi Newton
Oleh:
Davi Apriandi
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
IKIP PGRI MADIUN
2013
1

2. Tujuan: Mencari nilai
antara dua titik data.
Metode: Mendapatkan sebuah
fungsi eksak (semua titik data
dipenuhi) yang memiliki order
(n-1), dengan n adalah jumlah
data.
Pendahuluan
2

3. Interpolasi Linier
Pendekatan interpolasi dengan derajat 1, pada
kenyataannya sama dengan mendekati suatu harga
tertentu melalui garis lurus.
Untuk memperbaiki kondisi tersebut dilakukan sebuah
interpolasi dengan membuat garis yang menghubungkan
titik yaitu melalui orde 2, orde 3, orde 4, dst, yang sering
juga disebut interpolasi kuadratik, kubik, dst.
3

4. x0 x1
f(x0)
f(x1)
f1(x)
Persamaan garis lurus f1(x)
adalah:
Atau:
1. Interpolasi Linear (membutuhkan dua titik data)
       
 
 0
01
01
01 xx
xx
xfxf
xfxf 



   
01
01
0
01 )()(
xx
xfxf
xx
xfxf





4

5. Contoh1:
Diketahui:
x0 = 5  f(x0) = 2,015
x1 = 2,5  f(x1) = 2,571
x = 4  f(x) = ?
Dilakukan pendekatan dengan orde 1 :
       
 
 0
01
01
01 xx
xx
xfxf
xfxf 



  
237,22374,2
54
55,2
015,2571,2
015,2





5

6. Diketahui:
log 3 = 0,4771213
log 5 = 0,698700
Harga sebenarnya:
log (4,5) = 0,6532125 (kalkulator).
Ditanya log(4,5) dengan interpolasi linier.
Jawab: Harga yang dihitung dengan interpolasi:
log (4,5) = 0,6435078
%49,1%100
6532125,0
6435078,06532125,0


t
Contoh2:
6

7. Soal:
7

8. 8

9. f2(x)
 x = x1 :
 x = x0 :
2. Interpolasi Kuadratik / Newton orde dua
(membutuhkan tiga titik data )
x0 x2
f(x0)
f(x2)
x1
f(x1)
 00 xfb 
))(()()( 1020102 xxxxbxxbbxf 
01
01
1
)()(
xx
xfxf
b



 x = x2 :
02
01
01
12
12
2
)()()()(
xx
xx
xfxf
xx
xfxf
b







9

10. Sehingga
f2(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1)
dengan
Pendekatan dengan
kelengkungan
Pendekatan dengan
garis linier
 
   
 
 
   
 
   
 
 
 012
02
01
01
12
12
2
01
01
01
1
00
,,
,
xxxf
xx
xx
xfxf
xx
xfxf
b
xxf
xx
xfxf
b
xfb













10

11. 3. Interpolasi Kubik (membutuhkan empat titik data )
f3(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1) + b3(x-x0)(x-x1)(x-x2)
dengan:
 
   
 
 
 
   
 
   
 
 
 
 
 0123
03
012123
3
012
02
01
01
12
12
02
0112
2
01
01
01
1
00
,,,
],,[],,[
,,
],[],[
,
xxxxf
xx
xxxfxxxf
b
xxxf
xx
xx
xfxf
xx
xfxf
xx
xxfxxf
b
xxf
xx
xfxf
b
xfb




















11

12. • Secara umum:
f1(x) = b0 + b1(x-x0)
f2(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1)
f3(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1) +
b3(x-x0)(x-x1)(x-x2)
…
fn(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1) +
b3(x-x0)(x-x1)(x-x2) + … +
bn(x-x1)(x-x2)…(x-xn-1)
Dengan:
• b0 = f(x0)
• b1 = f[x1, x0]
• b2 = f[x2, x1, x0]
…
• bn = f[xn, xn-1, xn-2, . . . ., x0]
Interpolasi Beda Terbagi Newton (pembagi beda Newton)
12

13. ki
kjji
kji
x-x
]x,[xf-]x,[xf
]x,x,[xf 
0n
011-n11-nn
011-nn
x-x
]x,x,...,[xf-]x,...,x,[xf
]x,x,...,x,[xf 
Fungsi siku […] disebut pembagian beda hingga
Definisi:
ji
ji
ji
x-x
)f(x-)f(x
]x,f[x 
13

14. f[x1,x0] f[x2,x1,x0] f[x3,x2,x1,x0]
f[x2,x1] f[x3,x2,x1]
f[x3,x2]
0 x0 f(x0)
1 x1 f(x1)
2 x2 f(x2)
3 x3 f(x3)
i xi f(xi) I II III
Langkah skematis pembagian hingga
14

15. Contoh1:
Hitung nilai tabel distribusi ‘Student t’ pada derajat
bebas dengan  = 4%, jika diketahui:
t10% = 1,476 t2,5% = 2,571
t5% = 2,015 t1% = 3,365
dengan interpolasi Newton orde 2 dan orde 3!
15

16. Penyelesaian:
Interpolasi Newton Orde 2:  butuh 3 titik
 x0 = 5 f(x0) = 2,015
x1 = 2,5 f(x1) = 2,571
x2 = 1 f(x2) = 3,365
b0 = f(x0) = 2,015
   
 
   
 
 02
01
01
12
12
2
xx
xx
xfxf
xx
xfxf
b







   
 
222,0
55,2
015,2571,2
xx
xfxf
b
01
01
1 






077,0
51
55,2
015,2571,2
5,21
571,2365,3








16

17. f2(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1)
f2(4) = 2,015 + (-0,222) (4-5) + 0,077 (4-5)(4-2,5)
= 2,121
17

18. Interpolasi Newton Orde 3:  butuh 4 titik
x0 = 5 f(x0) = 2,015
x1 = 2,5 f(x1) = 2,571
x2 = 1 f(x2) = 3,365
x3 = 10 f(x3) = 1,476
18

19. b0 = f(x0) = 2,015
b1 = -0,222  f[x1,x0]
b2 = 0,077  f[x2,x1,x0]
007,0
5
077,0043,0
510
077,0
5,210
5,21
571,2365,3
110
365,3476,1
3











b
19

20. f3(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1) +b3(x-x0)(x-x1)(x-x2)
f3(4) = 2,015 + (-0,222)(4-5) + 0,077 (4-5)(4-2,5) +
(-0,007)(4-5)(4-2,5)(4-1)
= 2,015 + 0,222 + 0,1155 + 0,0315
= 2,153
20

21. dst
xx
xxfxxf
xxxf
xx
xfxf
xxf
xx
xfxf
xxf
i
...1
13
42),(),(
),,(
2
23
68)()(
),(
4
12
26)()(
),(
02
012
012
12
12
12
01
01
01





















Contoh2:
Dapatkan nilai fungsi ketika x = 2,5 jika diketahui titik-titik
data dibawah ini dengan metode Interpolasi Newton
yi
xi 1 2 3 4 5
2 6 8 11 16
Jawab:
21

22. 4 -1 0.5 -0.0833
2 0.5 0.166
3 1
5
0 1 2
1 2 6
2 3 8
3 4 11
4 5 16
i xi f(xi) I II III IV
dan f4(2,5) = . . . . . . . . .
( ) ( )( ) ( )( )( )
( )( )( )( )43210833,0
3215,0211-x42(x)f4
-----
---+---+=
xxxx
xxxxx
22

23. Soal:
23

24. 24