1. Pers_Non_Linier.ppt

1. PERSAMAAN NON LINIER
KOMPUTASI NUMERIK TEKNIK
KIMIA (KNTK)

2. Persamaan Non Linier
Penyelesaian persamaan non linier, f(x)=0 :
 Analitis (sering kali sulit dilakukan/tidak ada)
 Pendekatan numerik (successive approximation
atau successive approximation –linearization) 
iteratif
 Penentuan akar-akar persamaan non linier.
 Akar sebuah persamaan f(x) =0 adalah nilai-nilai x
yang menyebabkan nilai f(x) sama dengan nol.
 Akar persamaan f(x) adalah titik potong antara
kurva f(x) dan sumbu x.

3. Persamaan Non Linier
 Metode Tabel
 Metode Bagi-Paruh (Bisection)
 Metode Regula Falsi
 Metode Iterasi Sederhana
 Metode Newton-Raphson
 Metode Secant.

4. Persamaan Non Linier
y=f(x)
y
x

5. Persamaan Non Linier
 Penyelesaian persamaan linier mx + c = 0 dimana m
dan c adalah konstanta, dapat dihitung dengan :
mx + c = 0
 Penyelesaian persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0
dapat dihitung dengan menggunakan rumus ABC.
m
c
x 

a
ac
b
b
x
2
4
2
12





6. Penyelesaian Persamaan Non Linier
 Metode Tertutup
 Mencari akar pada range [a,b] tertentu
 Dalam range[a,b] dipastikan terdapat satu akar
 Hasil selalu konvergen  disebut juga metode konvergen
 Metode Terbuka
 Diperlukan tebakan awal
 xn dipakai untuk menghitung xn+1
 Hasil dapat konvergen atau divergen

7. Metode Tertutup
 Metode Tabel
 Metode Biseksi
 Metode Regula Falsi

8. Metode Terbuka
 Metode Iterasi Sederhana
 Metode Newton-Raphson
 Metode Secant.

9. Theorema
 Suatu range x=[a,b] mempunyai akar bila f(a) dan
f(b) berlawanan tanda atau memenuhi f(a)*f(b)<0
Karena f(a).f(b)<0 maka
pada range x=[a,b]
terdapat akar.
Karena f(a).f(b)>0 maka
pada range x=[a,b] tidak
dapat dikatakan terdapat
akar.

10. a b

11. Metode Table
 Metode Table atau
pembagian area.
 Dimana untuk x di antara
a dan b dibagi sebanyak
N bagian dan pada
masing-masing bagian
dihitung nilai f(x)
sehingga diperoleh tabel :
X f(x)
x0=a f(a)
x1 f(x1)
x2 f(x2)
x3 f(x3)
…… ……
xn=b f(b)

12. Metode Table

13. Metode Table
Contoh :
X f(x)
-1,0 -0,63212
-0,9 -0,49343
-0,8 -0,35067
-0,7 -0,20341
-0,6 -0,05119
-0,5 0,10653
-0,4 0,27032
-0,3 0,44082
-0,2 0,61873
-0,1 0,80484
0,0 1,00000
 Selesaikan persamaan :
x+ex = 0 dengan range x =
[-1,0]
 Untuk mendapatkan
penyelesaian dari
persamaan di atas range x =
[-1,0] dibagi menjadi 10
bagian sehingga diperoleh :

14. Metode Table
 Dari table diperoleh penyelesaian berada di antara
-0,6 dan -0,5 dengan nilai f(x) masing-masing -
0,0512 dan 0,1065, sehingga dapat diambil
keputusan penyelesaiannya di x=-0,6.
 Bila pada range x = [-0,6,-0,5] dibagi 10 maka
diperoleh f(x) terdekat dengan nol pada x = -0,57
dengan f(x) = 0,00447

15. Kelemahan Metode Table
 Metode table ini secara umum sulit mendapatkan
penyelesaian dengan error yang kecil, karena itu
metode ini tidak digunakan dalam penyelesaian
persamaan non linier
 Metode ini digunakan sebagai taksiran awal
mengetahui area penyelesaian yang benar sebelum
menggunakan metode yang lebih baik dalam
menentukan penyelesaian.

16. Metode Biseksi
 Ide awal metode ini adalah metode table, dimana
area dibagi menjadi N bagian.
 Hanya saja metode biseksi ini membagi range
menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini dipilih
bagian mana yang mengandung dan bagian yang
tidak mengandung akar dibuang.Hal ini dilakukan
berulang-ulang (iteratif) hingga diperoleh akar
persamaan.

17. Metode Biseksi
 Jika terdapat suatu f(x) yang kontinyu [a,b] dan
f(a)*f(b)<0, maka menurut teorema nilai antara paling
tidak f(x) mempunyai satu akar [a,b]
 Suatu deret hasil iterasi {xn|n0} dikatakan menuju titik 
dengan derajat p 1, jika :
Jika p=1, deretnya disebut menuju titik  secara linier
dalam kasus ini diperlukan nilai c<1, c disebut laju linier
dari xn menuju 
 Tingkat kelajuan metode biseksi :
|-xn+1|cn|-xn|p n0, untuk nilai c>0
|-cn|(1/2)n(b-a)

18. Metode Biseksi
c c’ c’’
c

19. Metode Biseksi
 Untuk menggunakan metode biseksi, terlebih dahulu
ditentukan batas bawah (a) dan batas atas (b).Kemudian
dihitung nilai tengah :
 Dari nilai x ini perlu dilakukan pengecekan keberadaan akar.
Secara matematik, suatu range terdapat akar persamaan bila
f(a) dan f(b) berlawanan tanda atau dituliskan :
f(a) * f(b) < 0
 Setelah diketahui dibagian mana terdapat akar, maka batas
bawah dan batas atas di perbaharui sesuai dengan range dari
bagian yang mempunyai akar.
2
b
a
x



20. Algoritma Biseksi
1. Pilih harga x1 dan x2 sedemikian sehingga f(x1) dan f(x2)
berlawanan tanda.
2. Tentukan harga x3 dengan rumus : x3 = (x1 + x2)/2
3. Bila ½| x1 - x2 | Toleransi, harga x3 adalah harga x
yang dicari. Bila tidak, lanjutkan ke tahap 4.
4. Bila f(x3 ) berlawanan tanda dengan f(x1 ), tetapkan x2 =
x3
5. Bila f(x3 ) berlawanan tanda dengan f(x2 ), tetapkan x1 =
x3
6. Kembali ke tahap 2.

21. Algoritma Start
Read x1, x2, Tol
f1 = f (x1), f2 = f (x2)
f1. f2 > 0
N
x3 = 1/2 ( x1 + x2 )
E = 1/2 .abs( x1 – x2 )
E<Tol
f3 = f ( x3 )
f1. f3 < 0
x1 = x3, f1 = f3
x2 = x3, f2 = f3
Print x3
End
N
N
Y
Y
Y

22. Contoh
Tentukan akar
persamaan
f(x)=x3+x2-3x-
3=0 dengan
metode Biseksi
pada interfal
[1,2]

23. Contoh Soal
 Selesaikan persamaan xe-x+1 = 0, dengan menggunakan
range x=[-1,0], maka diperoleh tabel biseksi sebagai
berikut :

24. Contoh Soal
 Dimana x = (a+b)/2
Pada iterasi ke 10 diperoleh x = -0.56738 dan
f(x) = -0.00066
 Untuk menghentikan iterasi, dapat dilakukan dengan
menggunakan toleransi error atau iterasi maksimum.
Catatan :
Dengan menggunakan metode biseksi dengan tolerasi error
0.001 dibutuhkan 10 iterasi, semakin teliti (kecil toleransi
errornya) maka semakin besar jumlah iterasi yang
dibutuhkan.

25. Metode Regula Falsi
 Metode Biseksi relatif mudah dengan analisa
kesalahan sederhana, tetapi tidak efisien
 Untuk mempercepat tercapainya konvergensi, dapat
menggunakan metode “interpolasi linear”
 Metode pencarian akar persamaan dengan
memanfaatkan kemiringan dan selisih tinggi dari dua
titik batas range.
 Dua titik a dan b pada fungsi f(x) digunakan untuk
mengestimasi posisi c dari akar interpolasi linier.
 Metode ini dikenal dengan metode False Position
(Regula Falsi)

26. Metode Regula Falsi
a
c
b
f(a)
f(b)
f(x)
a
c
a
f
a
b
a
f
b
f
slope






)
(
)
(
)
( 0
)
(
)
(
)
(
a
f
b
f
a
b
a
f
a
c





)
(
)
(
)
(
a
f
b
f
a
b
a
f
a
c





27. Metode Regula Falsi
x
b
b
f
a
b
a
f
b
f




 0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)(
(
a
f
b
f
a
b
b
f
b
x




)
(
)
(
)
(
)
(
a
f
b
f
a
bf
b
af
x




28. Algoritma
1. Pilih harga x1 dan x2 sedemikian sehingga f(x1) dan f(x2)
berlawanan tanda.
2. Tentukan harga x3 dengan rumus :
3. Bila |f(x3)|  Toleransi, harga x3 adalah harga x yang
dicari. Bila tidak, lanjutkan ke tahap 4.
4. Bila f(x3) berlawanan tanda dengan f(x1), tetapkan x2 = x3
Bila f(x3) berlawanan tanda dengan f(x2), tetapkan x1 = x2
Kembali ke tahap 2.
)
(
)
(
)
(
)
(
1
2
1
2
2
2
3 x
x
x
f
x
f
x
f
x
x 




29. Metode Regula Falsi
)
(
)
(
)
(
1
2
2
1
2
3
2
x
f
x
f
x
f
x
x
x
x




)
(
)
(
)
(
)
(
1
2
1
2
2
2
3 x
x
x
f
x
f
x
f
x
x 



Pada gambar :

30. Metode Regula Falsi
)
(
)
(
)
(
1
2
2
1
2
3
2
x
f
x
f
x
f
x
x
x
x




)
(
)
(
)
(
)
(
1
2
1
2
2
2
3 x
x
x
f
x
f
x
f
x
x 



Contoh :
Metode
Regula Falsi
lebih cepat
daripada
metode
Biseksi

31. Contoh Soal
 Selesaikan persamaan xe-x+1=0 pada range x= [0,-1]

32. Contoh Soal
 Selesaikan persamaan xe-x+1=0 pada range x= [0,-1]

33. Metode Regula Falsi
 Metode Regula Falsi lebih cepat konvergen dibanding
metode Biseksi
 Akar didekati hanya dari satu sisi, sehingga untuk fungsi
yang mempunyai kelengkungan curam lebih lambat
konvergennya
f(x)
x1
x3 x2
x

34. Metode Regula Falsi
 Modifikasi dilakukan dengan posisi f(x) stagnan dibagi 2
f(x)
x1
x3 x2
x
f(x2)/2

35. Algoritma
1. Pilih harga x1 dan x2  f(x1).f(x2)<0
2. Nyatakan f1 = f(x1) dan f2 = f(x2).
3. Tentukan harga x3 dengan rumus :
4. Bila |f(x3)|  Toleransi, harga x3 adalah akar fungsi f(x)=0, bila
tidak, lanjutkan ke tahap 5.
5. Bila f(x1)f(x3 ) <0  x2 = x3 dan f2=f3 dan f1=1/2f1 (f stagnan/2)
Bila tidak  x1 = x3 dan f1=f3 dan f2=1/2f2
Kembali ke tahap 3.
)
(
)
(
)
(
)
(
1
2
1
2
2
2
3 x
x
x
f
x
f
x
f
x
x 




36. Metode Iterasi Sederhana
 Metode iterasi sederhana adalah metode yang
memisahkan x dengan sebagian x yang lain
sehingga diperoleh : x = g(x).
 Contoh :
 x – ex = 0  ubah  x = ex atau g(x) = ex
 g(x) inilah yang menjadi dasar iterasi pada metode
iterasi sederhana ini

37. PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR
METODA PENDEKATAN BERTURUTAN
Bentuk f(x) =0 diubah kebentuk x = g(x)
Ada banyak cara untuk merubah bentuk f(x)=0 menjadi x = g(x)
Misal: f(x) = x2 - 2 x - 3 = 0
dapat ditulis dalam bentuk ,
3
2 
 x
x
2
3


x
x
2
3
2


x
x

38. PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR
Algoritma:
1.Pilih satu harga x, yaitu x0
2.Hitung harga baru x1: x1 = g(x0)
3.Bila abs((x1-x0)/x0) < tol, x1 = harga x yang
dicari. Bila abs((x1-x0)/x0) > tol, lanjut ke 4
4.x0=x1, kembali ke 2

39. PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR
Y
X
Y=x
.x0 .x1 .x2
Y
X
Y=x
.x0 .x1
.x2 .x3
Y
X
Y=x
.x0 .x1 .x2
Y
X
Y=x
.x0 .x1
.x2
Syarat Konvergensi :
konvergen
Divergen
1
)
(
' 
x
g

40. Metode Iterasi Sederhana

41. Contoh :
 Carilah akar pers f(x) = x2-2x-3
 x2-2x-3 = 0
 X2 = 2x + 3
 Tebakan awal = 4
 E = 0.00001
 Hasil = 3
3
2 
 x
x
3
2
1 

 n
n x
x

42. Contoh :
 x2-2x-3 = 0
 x(x-2) = 3
 x = 3 /(x-2)
 Tebakan awal = 4
 E = 0.00001
 Hasil = -1

43. Contoh :
 x2-2x-3 = 0
 X = (x2-3)/2
 Tebakan awal = 4
 E = 0.00001
 Hasil divergen

44. Syarat Konvergensi
 Pada range I = [s-h, s+h] dengan s titik tetap
 Jika 0<g’(x)<1 untuk setiap x  I iterasi konvergen
monoton.
 Jika -1<g’(x)<0 untuk setiap x  I iterasi konvergen
berosilasi.
 Jika g’(x)>1 untuk setiap x  I, maka iterasi divergen
monoton.
 Jika g’(x)<-1 untuk setiap x  I, maka iterasi divergen
berosilasi.

45. Contoh :
 Tebakan awal 4
 g’(4) = 0.1508 < 1
 Konvergen Monoton
3
2
2
1
)
(
'
3
2
)
(
3
2
1







r
r
r
r
x
x
g
x
x
g
x
x
 Tebakan awal 4
 g’(4) = |-0.75| < 1
 Konvergen Berisolasi
2
1
)
2
(
3
)
(
'
)
2
(
3
)
(
)
2
(
3








x
x
g
x
x
g
x
x
r
r

46. Contoh
 Tebakan awal 4
 G’(4) = 4 > 1
 Divergen Monoton
x
x
g
x
x
g



)
(
'
2
)
3
(
)
(
2

47. Latihan Soal
 Apa yang terjadi dengan pemilihan x0 pada
pencarian akar persamaan :
x3 + 6x – 3 = 0
dengan x
Cari akar persamaan dengan :
x0 = 0.5, x0 = 1.5, x0 = 2.2, x0 = 2.7
6
3
3
1




r
r
x
x

48. Contoh :

49. Metode Newton Raphson
Metode pendekatan yang menggunakan satu titik
awal dan mendekatinya dengan memperhatikan
slope atau gradien pada titik tersebut.Titik
pendekatan ke n+1 dituliskan dengan :
 
 
n
n
n
n
x
f
x
f
x
x
'
1 

 turunan f(xn)

50. Metode Newton Raphson

51. PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR
METODA NEWTON RAPHSON
x
f(x)
1
2
3
4
-
4
-
3
-
2
-
1
xn+1
xn+2 xn
(xn,fn)  
 
n
n
n
n
x
f
x
f
x
x
'
1 



52. PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR
1. Pilih satu harga x, yaitu x0
2. Hitung harga baru x1: x1 = x0 - f(x0) / f ’(x0)
3. Bila abs((x1-x0)/x0) < tol, x1 = harga x yang dicari
Bila abs((x1-x0)/x0) > tol, lanjut ke 4
4. x0=x1, kembali ke 2
Algoritma:
   
 
 
1
'
"
2

x
f
x
f
x
f
Syarat Konvergensi :

53. Algoritma Metode Newton Raphson
1. Definisikan fungsi f(x) dan f’(x)
2. Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n)
3. Tentukan nilai pendekatan awal x0
4. Hitung f(x0) dan f’(x0)
5. Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |f(xi)|> e
 Hitung f(xi) dan f1(xi)
6. Akar persamaan adalah nilai xi yang terakhir diperoleh.
 
 
i
i
i
i
x
f
x
f
x
x 1
1 



54. Flow chart Metode Newton-Raphson
start
x0 , Tol
f(x0), f’(x0)
x0=x1
Cetak
x1
end
0
0
1
x
x
x 


Tol


)
(
)
(
'
0
0
0
1
x
f
x
f
x
x 

Y
T

55. Contoh Soal
 Selesaikan persamaan x - e-x = 0 dengan titik
pendekatan awal x0 =0
 f(x) = x - e-x  f’(x)=1+e-x
 f(x0) = 0 - e-0 = -1
 f’(x0) = 1 + e-0 = 2
 
 
5
,
0
2
1
0
0
1
0
0
1 





x
f
x
f
x
x

56. Contoh Soal
 f(x1) = -0,106631 dan f1(x1) = 1,60653
 x2 =
 f(x2) = -0,00130451 dan f1(x2) = 1,56762
 x3 =
 f(x3) = -1,96.10-7. Suatu bilangan yang sangat kecil.
 Sehingga akar persamaan x = 0,567143.
 
 
566311
,
0
60653
,
1
106531
,
0
5
,
0
1
1
1
1 




x
f
x
f
x
 
 
567143
,
0
56762
,
1
00130451
,
0
566311
,
0
2
1
2
2 




x
f
x
f
x

57. Contoh
 x - e-x = 0  x0 =0, e = 0.00001

58. Contoh :
 x + e-x cos x -2 = 0  x0=1
 f(x) = x + e-x cos x - 2
 f’(x) = 1 – e-x cos x – e-x sin x

59. Permasalahan pada pemakaian metode
newton raphson
 Metode ini tidak dapat digunakan ketika titik pendekatannya berada
pada titik ekstrim atau titik puncak, karena pada titik ini nilai F1(x) = 0
sehingga nilai penyebut dari sama dengan nol, secara grafis dapat
dilihat sebagai berikut:
Bila titik pendekatan
berada pada titik puncak,
maka titik selanjutnya
akan berada di tak
berhingga.
 
 
x
F
x
F
1

60. PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR
Tentukan salah satu akar real dari persamaan sin x -(x/2)2 =0 dengan metoda
Newton Raphson. Toleransi = 10-5
Contoh 2.5
Penyelesaian:
 2
2
/
sin
)
( x
x
x
f 

2
/
cos
)
(
' x
x
x
f 

)
(
'
/
)
(
1 n
n
n
n x
f
x
f
x
x 


Hasil perhitungan ditunjukkan pada Tabel 2.4

61. Ite xn f(xn) f'(xn) hn xn+1 (xn+1 - xn)/xn
1 1.5 0.43499 -1.4293 -0.3043 1.80435 0.20289947
2 1.80435 0.15893 -2.0358 -0.0781 1.88242 0.04326702
3 1.88242 0.06596 -2.189 -0.0301 1.91255 0.01600796
4 1.91255 0.0277 -2.2477 -0.0123 1.92488 0.00644463
5 1.92488 0.01168 -2.2716 -0.0051 1.93002 0.00267059
6 1.93002 0.00493 -2.2816 -0.0022 1.93218 0.00111923
7 1.93218 0.00208 -2.2857 -0.0009 1.93309 0.00047124
. .
. .
12 1.93373 2.8E-05 -2.2888 -1E-05 1.93374 6.3244E-06
Tabel 2-4: Metoda Newton Raphson untuk f(x) = sin x -(x/2)2 =0
PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR
Akar yang dicari : 1,93374

62. Permasalahan pada pemakaian metode
newton raphson
 Metode ini menjadi sulit atau
lama mendapatkan
penyelesaian ketika titik
pendekatannya berada di
antara dua titik stasioner.
 Bila titik pendekatan berada
pada dua tiitik puncak akan
dapat mengakibatkan
hilangnya penyelesaian
(divergensi). Hal ini
disebabkan titik selanjutnya
berada pada salah satu titik
puncak atau arah
pendekatannya berbeda.

63. Hasil Tidak Konvergen

64. Penyelesaian Permasalahan pada
pemakaian metode newton raphson
1. Bila titik pendekatan berada pada titik puncak maka titik
pendekatan tersebut harus di geser sedikit, xi = xi
dimana adalah konstanta yang ditentukan dengan
demikian dan metode newton raphson tetap
dapat berjalan.
2. Untuk menghindari titik-titik pendekatan yang berada
jauh, sebaiknya pemakaian metode newton raphson ini
didahului oleh metode tabel, sehingga dapat di jamin
konvergensi dari metode newton raphson.



  0
'

i
x
f

66. Metode Secant
 Metode Newton Raphson memerlukan perhitungan
turunan fungsi f’(x).
 Tidak semua fungsi mudah dicari turunannya terutama
fungsi yang bentuknya rumit.
 Turunan fungsi dapat dihilangkan dengan cara
menggantinya dengan bentuk lain yang ekivalen
 Modifikasi metode Newton Raphson dinamakan metode
Secant.

67. 1

r
x 1

r
x
r
x
r
x

68.  Metode Newton-Raphson
1
1)
(
)
(
)
(
'








r
r
r
r
x
x
x
f
x
f
x
y
x
f
)
(
'
)
(
1
r
r
r
r
x
f
x
f
x
x 


)
(
)
(
)
)(
(
1
1
1







r
r
r
r
r
r
r
x
f
x
f
x
x
x
f
x
x

69. Algoritma Metode Secant :
 Definisikan fungsi f(x)
 Definisikan torelansi error (e) dan iterasi maksimum (n)
 Masukkan dua nilai pendekatan awal yang di antaranya
terdapat akar yaitu x0 dan x1, sebaiknya gunakan metode
tabel atau grafis untuk menjamin titik pendakatannya
adalah titik pendekatan yang konvergensinya pada akar
persamaan yang diharapkan.
 Hitung f(x0) dan f(x1) sebagai y0 dan y1
 Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |f(xi)|
hitung yi+1 = f(xi+1)
 Akar persamaan adalah nilai x yang terakhir.
1
1
1







i
i
i
i
i
i
i
y
y
x
x
y
x
x

70. Contoh Soal
 Penyelesaian
 x2 –(x + 1) e-x = 0 ?

71. METODA BAIRSTOW

72. PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR
Metoda ini digunakan untuk mencari semua akar-akar persamaan
polinomial dengan menentukan faktor-faktor kwadratisnya. Berikut ini
akan diterangkan cara menentukan suatu faktor kwadratis dari suatu
polinomial.
METODA BAIRSTOW
Pn (x) = a1 xn + a2 xn-1 + ......... + an x + an+1
Pn (x) = a1 xn + a2 xn-1 + ......... + an x + an+1
= (x2 - rx - s)(b1 xn-2 + b2 xn-3 + ... + bn-1) + { bn (x-r) + bn+1 }
Suatu polinomial drajat n
Polinomial dibagi faktor kwadratis: x2 - rx - s
Polinomial hasil bagi Sisa (residual)

73. PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR
METODA BAIRSTOW
a1 = b1 ……………. b1 = a1
a2 = b2 – rb1 ……………. b2 = a2 + rb1
a3 = b3 – rb2 – sb1 ……………. b3 = a3 + rb2 + sb1
‘ ‘
‘ ‘
an = bn – rbn-1 – sbn-2 ……………. bn = an + rbn-1 + sbn-2
an+1 = bn+1 – rbn – sbn-1 ……………. bn+1 = an+1 + rbn + sbn-1
Dengan perkalian dan identitas :
Diinginkan bahwa bn = 0 dan bn+1 = 0.
bn = bn (r,s); bn+1 = bn+1 (r,s)
Terlihat:
Andaikan harga r=r* dan s=s*, merupakan harga r dan s yang
menyebabkan bn = 0 dan bn+1 = 0, maka :
bn (r*, s* ) = 0 dan bn+1 (r*,s* ) = 0.

74. PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR
METODA BAIRSTOW
Bila bn (r*, s* ) dan bn+1 (r*,s* ) , diekspansikan menurut deret Taylor
disekitar (r,s) sampai pada suku-suku linier saja , maka :
       
s
s
s
b
r
r
r
b
s
r
b
s
r
b n
n
n
n 







 *
*
*
*
,
,
       
s
s
s
b
r
r
r
b
s
r
b
s
r
b n
n
n
n 







 



*
1
*
1
1
*
*
1 ,
,
s
s
b
r
r
b
b n
n
n 








0
s
s
b
r
r
b
b n
n
n 







 


1
1
1
0
Atau:
r = r* - r dan s = s* - s .

75. PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR
METODA BAIRSTOW
0
1



r
b 0
1



s
b
1
1
2
c
b
r
b



 0
2



s
b
r
b
r
b
r
b





 2
2
3
1
1
3
c
b
s
b




1




n
n
c
r
b
2




n
n
c
s
b
n
n
c
r
b


 1
1
1





n
n
c
s
b
b1 =a1
c1 = b1
b2 = a2 – rb1
c2 = b2 – r c1
b3 = a3 – rb2 – sb1
c3 = b3 – r c2 –sc1
bn = an – rbn-1 – sbn-2
cn = bn – r cn-1 – s cn-2
bn+1 = an+1 – rbn – sbn-1
cn+1 = bn+1 – r cn – s cn-1
PENENTUAN
s
b
s
b
r
b
r
b n
n
n
n







 
 1
1
,
,
,
2
1
2 c
rc
b 



76. PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR
n
n
n b
s
c
r
c 



 
 2
1
METODA BAIRSTOW
1
1 
 



 n
n
n b
s
c
r
c
Penentuan r* dan s* dari harga r dan s
r = r* - r dan s = s* - s .
  2
2
1
2
1
1
.
.
.










n
n
n
n
n
n
n
c
c
c
c
b
c
b
r
  2
2
1
1
1
.
.
.









n
n
n
n
n
n
n
c
c
c
c
b
c
b
s

77. PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR
METODA BAIRSTOW
1. Pilih harga pendekatan awal r dan s, dan pilih harga toleransi.
2. Tentukan b(i) dan c(i) sebagai berikut :
b1 = a1 c1 = b1
b2 = a2 + rb1 c2 = b2 – rc1
bi = ai + rbi-1 + sbi-2 ci = bi – rci-1 – sci-2
( i = 3,4, ….., n+1)
3. Tentukan :
DENOM = (cn-1 )2 - cn . cn-2
4. Bila D E N O M = 0, maka set R = R + 1, S = S + 1 ,dan kembali ke tahap 2 .
Bila DENOM # 0 lanjutkan ke tahap 5.
5. Tentukan DELR dan DELS yaitu :
DELR = [ -bn . cn-1 + bn-1 . cn-2 ] / D E N O M .
DELS = [-bn+1 . cn-1 + bn . cn ] / D E N O M .
6. Tentukan R baru dan S baru yaitu :
Rbaru = Rlama + DELR
Sbaru = Slama + DELS
7. Bila abs(DELR) + abs(DELS) < tol , Rbaru dan Sbaru adalah harga r dan s yang dicari
Bila abs(DELR) + abs(DELS) > tol, r = Rbaru, s = Sbaru, kembali ke 2
Algoritma penentuan faktor kuadratis

78. PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR
METODA BAIRSTOW
Contoh 2-5:
Cari semua akar-akar persamaan berikut dengan
metoda Bairstow.
x3 - 6 x2 + 11 x - 6 = 0, Toleransi = 0.05,
Penyelesaian :
Sebagai pendekatan awal, dipilih : r = 0 s = 0,

79. PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR
METODA BAIRSTOW
Iterasi 1:
1 - 6 11 -6
r = 0 0 0 0
S =0 0 0
-------------------------------------------------------
1 - 6 11 - 6
r = 0 0 0 0
s = 0 0 0
--------------------------------------------------------
1 - 6 11 -6
bn
bn+1
cn
cn-1
cn-2
 
4
,
2
.
.
.
2
2
1
2
1
1











n
n
n
n
n
n
n
c
c
c
c
b
c
b
r
 
4
,
3
.
.
.
2
2
1
1
1










n
n
n
n
n
n
n
c
c
c
c
b
c
b
s r* = r +r = 2,4
s* = s +s =3,4
  tol
S
R 



 8
,
5

80. PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR
METODA BAIRSTOW
Iterasi 2:
1 - 6 11 -6
r = 2,4 2,4 -8,64 13,824
S =3,4 3,4 -12,24
-------------------------------------------------------
1 -3, 6 5,76 - 4,416
r = 2,4 2,4 -2,88 15,072
s =3,4 3,4 - 4,08
--------------------------------------------------------
1 -1,2 6,28 6,576
bn
bn+1
cn
cn-1
cn-2
 
5157
,
0
.
.
.
2
2
1
2
1
1












n
n
n
n
n
n
n
c
c
c
c
b
c
b
r
 
3788
,
6
.
.
.
2
2
1
1
1











n
n
n
n
n
n
n
c
c
c
c
b
c
b
s r* = r +r = 1,8843
s* = s +s =-2,9788
  tol
S
R 



 8945
,
6

81. PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR
METODA BAIRSTOW
Iterasi r s Δr Δs r* s* |Δr|+|Δs|
1 0 0 2,4 3,4 2,4 3,4 5,8
2 2,4 3,4 -0,5157 -6,3788 1,8843 -2,9788 6,8945
3 1,8843 -2,9788 0,6182 1,1135 2,5025 -1,8653 1,7317
4 2,5025 -1,8653 0,3749 -0,0092 2,8774 -1,8745 0,3841
5 2,8774 -1,8745 0,1169 -0,1119 2,995 -1,987 0,2288
6 2,995 -1,987 0,00576 -0,0136 3 -2 0,0194
Jadi faktor kuadratis: x2 -3 x + 2

82. Iterasi 2:
1 - 6 11 -6
r = 3 3 - 9 0
S =-2 - 2 6
-------------------------------------------------------
1 -3 0 0
Polinomial hasil bagi: x - 3
Berarti: x3 – 6 x2 + 11 x - 6 = ( x2 – 3 x + 2 ) ( x – 3) = ( x – 1) (x – 2) (x – 3)
Akar-akar: x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3
PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR
METODA BAIRSTOW

83. PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR
METODA BAIRSTOW
N
Start
i=1,N+1
A(i)
NN = N
k = 1
R =0, S=0
i=3,N+1
B(1)=A(1)
B(2)=A(2)+R*B(1)
C(1)=B(1)
C(2)=B(2)+R*C(1)
B(i)=A(i)+R*B(i-1)+S*B(i-2)
C(i)=B(i)+R*C(i-1)+S*C(i-2)
DENOM=C(N-1)^2-C(N)*C(N-2)
DELR=(-B(N)*C(N-1)+B(N+1)*C(N-2))/DENOM
DELS=(-B(N+1)*C(N-1)+B(N)*C(N))/DENOM
R=R+DELR, S=S+DELS
ER=abs(DELR)+abs(DELS)
ER<TOL
No
Yes
A
B

84. A
AA=1, BB=-R, CC = -S
RUMUS ABC
N = N-2
N=1
N=2
X(NN)= -B(2)/B(1)
AA=B(1), BB=B(2), CC=B(3),k = NN-1
CETAK END
RUMUS ABC CETAK END
i=1,N+1
A(i)=B(i)
k = k + 2 B
PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR
METODA BAIRSTOW

85. PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR
METODA BAIRSTOW
RUMUS ABC
DISK =BB^2 – 4 * AA * CC
DISK<0
X(k)= -BB/(2*AA) +((√|DISK|)/(2*AA)) i
X(k+1)= -BB/(2*AA) -((√|DISK|)/(2*AA)) i
END
DISK=0
X(k)= -BB/(2*AA)
X(k+1)= - BB/(2*AA)
X(k)= -BB/(2*AA) +((√DISK)/(2*AA))
X(k+1)= -BB/(2*AA) -((√DISK)/(2*AA))
END
END
Y
Y
N
N