Modul ini membahas tentang anuitas tumbuh dan variabel. Anuitas tumbuh adalah anuitas dimana pembayarannya tumbuh dengan tingkat pertumbuhan yang sama setiap periode. Anuitas variabel adalah anuitas dimana besaran pembayarannya berbeda setiap periode. Modul ini memberikan rumus untuk menghitung nilai sekarang dari anuitas tumbuh, variabel, dan perpetuitas tumbuh. Contoh soal juga diberikan beserta penjelasan cara pen

1. 79
Modul 5
ANUITAS TUMBUH DAN VARIABEL
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari Modul 5, mahasiswa diharapkan mampu: (1)
Memahami konsep anuitas tumbuh, anuitas variabel, anuitas
perpetuitas, dan memahami perbedaan anuitas tumbuh, anuitas variabel
dan anuitas perpetuitas; dan (2) Mampu merumuskan serta
menggunakan persamaan-persamaan anuitas tumbuh, anuitas variabel,
dan anuitas perpetuitas, dan juga mampu menyelesaikan persoalan-
persoalan anuitas tumbuh, variabel, dan perpetuitas.
KULIAH 8 : ANUITAS TUMBUH DAN
VARIABEL
8.1 Pendahuluan
Anuitas-anuitas yang telah dipelajari besarnya pembayaran atau
penerimaan umumnya adalah tetap sebesar A . Periode pembayaran
dilakukan di akhir setiap periode, di awal setiap periode, atau di tunda
untuk beberapa periode. Selanjutnya, bagaimana jika pembayaran atau
penerimaan tiap periode besarnya tidak sama, tetapi tumbuh dengan
tingkat pertumbuhan g yang sama untuk beberapa periode tertentu.
Misalnya, periode ini besarnya pembayaran atau penerimaan adalah

2. 80
0A , periode berikutnya adalah 1A = )1(0 gA  , periode berikutnya lagi
adalah 2
02 )1( gAA  , dan seterunya. Oleh karena itu, dalam bagian
ini akan dibahas bentuk-bentuk persamaan anuitas tumbuh, anuitas
variabel, dan anuitas perpetuitas.
8.2 Anuitas Tumbuh
Misalkan 0A besarnya pembayaran atau penerimaan awal, 1A
besarnya pembayaran atau penerimaan satu periode berikutnya, dan n
jumlah periode. Jika diberikan i tingkat bunga relevan, dan g tingkat
pertumbuhan, di mana gi  , maka anuitas tumbuh (growing annuity)
nilai sekarang gna | adalah sebagai berikut:

























gi
i
g
Aa
n
gn
1
1
1
1| , (8.1)
atau


























gi
i
g
AAa
n
gn
1
10|
1
1
1
, (8.2)
Contoh 8.1 Hitung nilai sekarang dari suatu pembayaran sebesar Rp
10.000.000,00 tahun depan, Rp 11.000.000,00 tahun
berikutnya, dan seterusnya tumbuh sebesar 10% setiap

3. 81
tahun selama 10 kali, di mana tingkat bunga nominal 1j
= 12%.
Jawab : 1A = Rp 10.000.000,00; g = 10% = 0,10; i = 12% =
0,12; dan n = 10

























gi
i
g
Aa
n
gn
1
1
1
1| ,

























10,012,0
12,01
10,01
1
,0010.000.000Rp
10
%10|01 ga
= Rp 82,442,172.62
Contoh 8.2 Hitunglah nilai sekarang dari suatu penerimaan sebesar
Rp 1.000.000,00 awal tahun ini, Rp 1.100.000,00 tahun
berikutnya, dan seterusnya yang tumbuh sebesar 10%
selama 15 kali dengan tingkat bunga 13% p.a.
Jawab : 0A = Rp 1.000.000; 1A = Rp 1.100.000; g = 10% =
0,10; i = 13% = 0,13; dan n = 15


























gi
i
g
AAa
n
gn
1
10|
1
1
1
,

4. 82



























10.013.0
13.01
10.01
1
1.100.000Rp1.000.000Rp
115
%10|51 ga ,
= Rp 12.508.973,62
8.3 Perpetuitas Tumbuh
Perpetuitas tumbuh adalah apabila anuitas tumbuh untuk seumur hidup
atau dengan periode n . Notasi untuk perpetuitas tumbuh di sini
adalah ga | , sehingga persamaan perputuitas tumbuh adalah



























gi
i
g
Aa
n
n
g
1
1
1
lim 1| ,
gi
A
a g


1
| , (8.3)
atau
gi
A
Aa g


1
0| , (8.4)
Konsep untuk mendapatkan persamaan (8.3) juga digunakan
menentukan persamaan untuk penialaian harga saham yang
memberikan dividen tumbuh. Persamaan yang dimaksud adalah:
gk
D
P

 1
0 , (8.5)

5. 83
dengan 0P harga wajar saat ini, 1D perkiraan dividen satu periode
akan datang, k tingkat bunga diskonto, dan g tingkat pertumbuhan.
Contoh 8.3 Hitunglah anuitas tumbuh seumur hidup dari suatu
pembayaran sebesar Rp 100.000.000,00 mulai tahun
depan, sebesar Rp 110.000.000,00 tahun berikutnya,
dan seterusnya yang tumbuh sebesar 10%, bila
diberikan tingkat bunga 15% p.a.
Jawab : 1A = Rp 100.000.000,00; g = 10% = 0,10; dan i = 15%
= 0,15. Perpetuitas tumbuh adalah
gi
A
a g


1
| ,
10.015.0
0,00100.000.00Rp
%10|

 ga = Rp 2.000.000.000,00
Contoh 8.4 Hitunglah harga wajar suatu saham yang diperkirakan
memberikan dividen sebesar Rp 530,00 tahun depan,
jika tingkat bunga diskonto sebesar 15% p.a. dan
dividen tahun ini yang baru saja dibayarkan adalah
sebesar Rp 500,00.
Jawab : 0D = Rp 500,00; 1D Rp 530,00; dan k = 15% = 0,15
%100
0
01 


D
DD
g = %100
500Rp
500,00Rp-530,00Rp
 =
6% = 0,06

6. 84
gk
D
P

 1
0 =
0,06-0,15
530,00Rp
= Rp 5.888,89
8.4 Anuitas Variabel Menurun
Anuitas variabel (variable annuity) adalah anuitas tumbuh yang besar
pertumbuhannya dinyatakan dalam bentuk nilai nominal, misalnya
100.000,00. Baik dalam anuitas tumbuh maupun dalam anuitas
variabel, tingkat pertumbuhan dan besar pertumbuhan memungkinkan
bernilai negatif.
Untuk merumuskan persamaan anuitas variabel, perhatikan
ilustrasi sebagai berikut:
Contoh 8.5 Dengan memisahkan arus kas menjadi dua seri
(barisan),yakni seri-1 dan seri-2, hitunglah nilai
sekarang dari anuitas variabel yang diberikan dalam
Tabel-1, jika diberikan tingkat bunga 5% p.a.
Tabel-1
Tahun Arus Kas
1 Rp 2.000.000
2 Rp 1.950.000
3 Rp 1.900.000
4 Rp 1.850.000
5 Rp 1.800.000
Jawab : 1a = Rp 2.000.000; d = Rp 1.950.000 – Rp 2.000.000 =
- Rp 50.000;
n = 5; dan i = 5% = 0,05

7. 85
Besarnya arus kas untuk seri-1dapat dihitung
menggunakan persamaan:
nd
i
d
aA  1
= 50.000)Rp(5
0,05
50.000Rp-
2.000.000Rp 






= Rp 750.000,00
Berdasarkan hasil perhitungan arus kas seri-1 di atas,
arus kas dapat dipisahkan menjadi arus kas seri-1 dan
arus kas seri-2 seperti dalam Tabel-2.
Tabel-2
Tahun Arus Kas Seri-1 Seri-2
1 Rp 2.000.000 = Rp 750.000 + Rp 1.250.000
2 Rp 1.950.000 = Rp 750.000 + Rp 1.200.000
3 Rp 1.900.000 = Rp 750.000 + Rp 1.150.000
4 Rp 1.850.000 = Rp 750.000 + Rp 1.100.000
5 Rp 1.800.000 = Rp 750.000 + Rp 1.050.000
Present Value (PV) anuitas variabel Seri-1adalah:







 


i
i
APV
n
)1(1
1 =







  
05,0
)05,01(1
750.000Rp
5
= Rp 3.247.107,50
Present Value (PV) anuitas variabel Seri-2 adalah:
i
nd
PV 2 =
0,05
50.000,00)Rp(5 
 = Rp 5.000.000,00
Present Value (PV) = PV (Seri-1) + PV (Seri-2), atau
21 PVPVPV  = Rp 3.247.107,50 + Rp 5.000.000,00
= Rp 8.247.107,50

8. 86
Berdasarkan ilustrasi di atas, dapat disimpulkan bahwa, jika
diketahui 1a besarnya pembayaran periode pertama, d perbedaan
nominal antar periode, i tingkat bunga, dan n jumlah periode, maka
nilai sekarang (present value) anuitas variabel adalah:
i
nd
nd
i
d
a
i
i
PV
n














 


1
)1(1
. (8.6)
atau
i
nd
i
i
APV
n








 


)1(1
. (8.7)
8.5 Anuitas Variabel Meningkat
Ilustrasi pada contoh 8.5 di atas, menggambarkan suatu anuitas
variabel menurun yakni besarnya nilai 0d , dalam bagian ini akan
dibahas anuitas variabel bilamana besarnya nilai 0d . Seperti halnya
pada anuitas variabel menurun, pembagian arus kas menjadi arus kas
seri-1 dan arus kas seri-2 masih dapat dilakukan untuk menghitung
anuitas variabel meningkat. Oleh karena itu, persamaan (8.6) juga
dapat digunakan untuk menghitung nilai sekarang (present value)
anuitas variabel.
Contoh 8.6 Hitunglah nilai sekarang dari arus kas sebesar Rp
1.000.000,00 mulai tahun depan, yang meningkat
sebesar Rp 5.000,00 setiap tahunnya selama 5 kali, jika
diketahui tingkat diskonto yang relevan adalah 10% p.a.

9. 87
Jawab : 1a = Rp 1.000.000,00; d = Rp 5.000,00; n = 5; dan i =
10% = 0,10.
nd
i
d
aA  1
= 5.000,00Rp5
0,10
5.000,00Rp
001.000.000,Rp 
= Rp 1.055.000,00
i
nd
i
i
APV
n








 


)1(1
10,0
000.55
10,0
)10,01(1
001.055.000,Rp
5









 


PV
= Rp 3.999.280.04 – Rp 250.000,00
= Rp 3.749.280,04
Soal Latihan dan Penyelesaian
1. Hitunglah nilai sekarang dari suatu pembayaran sebesar Rp
2.000.000,00 awal tahun ini, Rp 2.100.000,00 dan seterusnya
yang tumbuh sebesar 5% selama 12 kali dengan tingkat bunga
12% p.a.
Jawab :
0A = Rp 2.000.000; 1A = Rp 2.100.000; g = 5% = 0,10; i = 12%
= 0,12; dan n = 12

10. 88



























05.012.0
12.01
05.01
1
2.100.000Rp2.000.000Rp
112
%5|21 ga ,
= Rp 17.249.549,14
2. Hitunglah anuitas tumbuh seumur hidup dari suatu penerimaan
sebesar Rp 100.000.000,00 mulai tahun depan, sebesar Rp
120.000.000,00 tahun berikutnya, dan seterusnya yang tumbuh
sebesar 20%, bila diberikan tingkat bunga 25% p.a.
Jawab :
1A = Rp 100.000.000,00; g = 20% = 0,20; dan i = 25% = 0,25.
Perpetuitas tumbuh adalah
20.025.0
0,00100.000.00Rp
%20|

 ga = Rp 2.000.000.000,00
3. Hitunglah harga wajar suatu saham yang diperkirakan
memberikan dividen sebesar Rp 330,00 tahun depan, jika tingkat
bunga diskonto sebesar 35% p.a. dan dividen tahun ini yang baru
saja dibayarkan adalah sebesar Rp 250,00.
Jawab :
0D = Rp 250,00; 1D Rp 330,00; dan k = 35% = 0,35
%100
0
01 


D
DD
g = %100
250Rp
250,00Rp-330,00Rp
 = 32%
= 0,32

11. 89
gk
D
P

 1
0 =
0,32-0,35
330,00Rp
= Rp 11.000,00
4. Hitunglah nilai sekarang dari arus kas sebesar Rp 3.000.000,00
mulai tahun depan, yang menurun sebesar Rp 20.000,00 setiap
tahunnya selama 8 kali, jika diketahui tingkat diskonto yang
relevan adalah 12% p.a.
Jawab :
1a = Rp 3.000.000,00; d = -Rp 20.000,00; n = 8; dan i = 12% =
0,12.
A = 20.000,00Rp8
0,12
20.000,00Rp
003.000.000,Rp 
= Rp 2,673,333.33
12,0
000.208
12,0
)12,01(1 8









 


PV = Rp 13,440,156.98
5. Hitunglah nilai sekarang dari arus kas sebesar Rp 3.000.000,00
mulai tahun depan, yang meningkat sebesar Rp 20.000,00 setiap
tahunnya selama 8 kali, jika diketahui tingkat diskonto yang
relevan adalah 12% p.a.
Jawab :
1a = Rp 3.000.000,00; d = Rp 20.000,00; n = 8; dan i = 12% =
0,12.
A = 20.000,00Rp8
0,12
20.000,00Rp
003.000.000,Rp 

12. 90
= Rp 2.673.333,33
12,0
000.208
12,0
)12,01(1
332.673.333,Rp
8









 


PV
= Rp 15.192.348,29
Soal Latihan dan Kunci Jawaban
1. Hitunglah nilai sekarang dari suatu penerimaan sebesar Rp
4.000.000,00 awal tahun ini, Rp 4.200.000,00 dan seterunya yang
tumbuh sebesar 5% selama 9 kali dengan tingkat bunga 13% p.a.
Kunci jawaban : %5|9 ga = Rp 27,322,629.64
2. Hitunglah anuitas tumbuh seumur hidup dari suatu pembayaran
sebesar Rp 100.000,00 mulai tahun depan, sebesar Rp 103.000,00
tahun berikutnya, dan seterusnya yang tumbuh sebesar 3%, bila
diberikan tingkat bunga 7% p.a.
Kunci jawaban : %3|  ga = Rp 2.500.000,00
3. Hitunglah harga wajar suatu saham yang diperkirakan
memberikan dividen sebesar Rp 400,00 tahun depan, jika tingkat
bunga diskonto sebesar 25% p.a. dan dividen tahun ini yang baru
saja dibayarkan adalah sebesar Rp 320,00.
Kunci jawaban : 0P Rp 8.000,00

13. 91
4. Hitunglah nilai sekarang dari arus kas sebesar Rp 2.500.000,00
mulai tahun depan, yang menurun sebesar Rp 2.000,00 setiap
tahunnya selama 6 kali, jika diketahui tingkat diskonto yang
relevan adalah 9% p.a.
Kunci jawaban : PV = Rp 11.194.611,71
5. Hitunglah nilai sekarang dari arus kas sebesar Rp 300.000,00
mulai tahun depan, yang meningkat sebesar Rp 1.000,00 setiap
tahunnya selama 5 kali, jika diketahui tingkat diskonto yang
relevan adalah 15% p.a.
Kunci jawab : PV = Rp 1.011.421,67
Daftar Pustaka
Badrudin, R. & Algifari. (1997). Matematika Bisnis. Edisi Pertama.
Penerbit : BPFE, Yogyakarta.
Capinski, M. & Zastawniak, T. (2004). Mathematics for Finance : An
Introduction to FinanciL Engineering. Springer-Verlag London
Limited.
Frensidy, B. (2010). Matematika Keuangan. Edisi 3. Penerbit: Salemba
Empat, Jakarta.
Kellison, S.G. (1970). The Theory of Interest. Richard D. Irwin, Inc.,
Homewood, Illinois 60430.

14. 92
Kellison, S.G. (1991). The Theory of Interest. Second Edition. IRWIN,
Burr Ridge, Illinois.
Sembiring, L., Wirasasmita, R., Yogia, S.M. & Yance, L.M. (1997).
Matematika Keuangan. Penerbit : M2S, Bandung.
Van Horne, J.C. (1992). Financial Management and Policy. Ninth
Edition. Prentice-Hall International Editions. London.