Tes OSN matematika berisi 10 soal yang mencakup materi persamaan, ketidakteraturan, fungsi polinomial, dan bilangan. Soal-soal tersebut harus dikerjakan lengkap dan benar dalam waktu 120 menit.

1. TES II
PEMBINAAN OSN SEKOLAH BIDANG MATEMATIKA
AHAD, 29 NOP. 2015
Durasi: 120 Menit
Kerjakan semua soal di bawah ini dengan lengkap dan benar!
1. Misalkan 𝑥, 𝑦, 𝑧 > 0 Buktikan bahwa
12
𝑥 + 𝑦
+
12
𝑦 + 𝑧
+
12
𝑧 + 𝑥
≥
54
𝑥 + 𝑦 + 𝑧
2. Untuk a, b, c bilangan real tak nol, tentukan semua kemungkinan nilai dari
𝑎
| 𝑎|
+
𝑏
| 𝑏|
+
𝑐
| 𝑐|
+
𝑎𝑏𝑐
| 𝑎𝑏𝑐|
3. Selesaikan persamaan |5𝑥 − 4| − 2𝑥 = 3
4. Banyaknya bilangan bulat x berbeda yang memenuhi persamaan
|𝑥 − |2𝑥 + 1|| = 4
5. Tunjukkan bahwa untuk setiap 𝑎 bilangan bulat positif berlaku
1
1. 2
+
1
2.3
+
1
3.4
+ ⋯+
1
𝑎. ( 𝑎 + 1)
=
𝑎
𝑎 + 1
6. Untuk sebarang bilangan real a, b, dan c, buktikan bahwa
7𝑎2
+ 7𝑏2
+ 7𝑐2
≥ 6𝑎𝑏 + 6𝑏𝑐 + 6𝑎𝑐
7. Diketahui a, b, c bilangan real positif dan 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 1. Tunjukkan bahwa
1
𝑎
+
1
𝑏
+
1
𝑐
≥ 9
8. Misalkan ℎ(𝑥) polinomial sedemikian hingga ℎ( 𝑥2
− 1) = 𝑥4
− 3𝑥2
+ 3. Carilah ℎ( 𝑥2
+ 1).
9. Misalkan 𝑓( 𝑥) = 𝑎𝑥7
+ 𝑏𝑥3
+ 𝑐𝑥 − 2015, dimana a, b, dan c konstanta. Jika 𝑓(−7) = −2014,
maka 𝑓(7) = ⋯
10. Jika 𝑝(𝑥) merupakan sukubanyak derajat tiga dengan 𝑝(1) = 1, 𝑝(2) = 2, 𝑝(3) = 3, 𝑝(4) =
5. Tentukan 𝑝(10).