Barisan Deret

1. January 17, 2016 [DIDIK SADIANTO, M.PD.]
Pembahasan Materi Pembinaan OSN 2016 |
LATIHAN SOAL 7.(i)-BARISAN & DERET ARITMATIKA
1. (HSMC-USC, 2010) Berapa bilangan bulat positif terkecil sehingga
Solusi:
Perhatikan bahwa
( )
( )
Jadi, n terkecil adalah 14.
2. Misalkan * + adalah barisan bilangan bulat sehingga dan
untuk setiap bilangan bulat positif m dan n. Maka adalah ...
Solusi:
Misalkan maka persamaan barisan tersebut ekuivalen dengan
( )
Perhatikan bahwa
( ) ( ) ( )
( )
3. Diketahui dengan untuk Jika dan
Tentukan
Catatan: ( ∑ )
Solusi:
Perhatikan bahwa
( )
( )
( )
Sehingga setiap 6 suku dijumlahkan hasilnya sama dengan 0.
( ) ( )

2. January 17, 2016 [DIDIK SADIANTO, M.PD.]
Pembahasan Materi Pembinaan OSN 2016 |
4. Jika jumlah 2015 bilangan bulat positif berurutan adalah sebuah bilangan kuadrat
sempurna. Tentukan nilai minimum dari ke 2015 bilangan tersebut.
Solusi:
Misalkan 2015 bilangan bulat positif berurutan tersebut adalah
Maka jumlahnya adalah
Karena harus bilangan kuadrat, maka nilai minimum
Jadi, nilai minimumnya adalah
5. Misalkan * + adalah barisan aritmatika dengan
Berapakah nilai dari .
Solusi:
Jelas bahwa
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
Dari (*) dan (**), maka
Jadi,
6. (OSK, 2006) Diketahui ( ) ( ) Jika bilangan positif,
maka
Solusi:

3. January 17, 2016 [DIDIK SADIANTO, M.PD.]
Pembahasan Materi Pembinaan OSN 2016 |
Banyaknya bilangan ( ) ( ) adalah
( )
( )( )
7. (OSK 2006) Barisan 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, ⋅⋅⋅ terdiri dari semua bilangan asli yang bukan
kuadrat atau pangkat tiga bilangan bulat. Suku ke-250 barisan adalah ⋅⋅⋅⋅⋅
Solusi:
 Perhatikan bahwa bilangan kuadrat yang juga bilangan pangkat tiga adalah
bilangan pangkat enam.
 Bilangan asli kuadrat kurang dari atau sama dengan 265 adalah ada
sebanyak 16 bilangan
 Bilangan asli pangkat tiga kurang dari atau sama dengan 265 adalah
ada sebanyak 6 bilangan.
 Bilangan asli pangkat enam kurang dari atau sama dengan 265 adalah 16
dan 26
ada sebanyak 2 bilangan.
 Banyaknya bilangan asli yang bukan pangkat dua atau pangkat tiga yang kurang
dari atau sama dengan 265 adalah bilangan.
 Sehingga bilangan 265 merupakan suku ke 265-20=245.
 Untuk mendapatkan suku yang ke-250 maka kita tinggal mencari lima bilangan
setelah 265 yang bukan kuadrat atau pangkat tiga yakni 266, 267, 268, 269, 270.
Jadi, Suku ke-250 dari barisan tersebut adalah 270.
8. (OSP, 2009) Bilangan rasional membentuk barisan hitung (aritmatika) dan
Banyaknya bilangan positif a yang memenuhi adalah ...
Solusi:
Jelas bahwa bilangan rasional positif
Berdasarkan ketaksamaan AM-GM maka kita peroleh
√
Tanda kesamaan terjadi jika
Karena maka haruslah berlaku . Hal ini kontradiksi dengan
.
Jadi, banyaknya bilangan positif a yang memenuhi adalah 0.

4. January 17, 2016 [DIDIK SADIANTO, M.PD.]
Pembahasan Materi Pembinaan OSN 2016 |
9. (OSK, 2006) Pada sebuah barisan aritmatika, nilai suku ke-25 tiga kali nilai suku ke-5. Suku
yang bernilai dua kali nilai suku pertama adalah suku ke ...
Solusi:
Perhatikan bahwa
( )
Jadi, suku yang dimaksud adalah suku ke-7.
10. (OSP 2011) Diberikan barisan bilangan rasional   kka yang didefinisikan dengan 21 a dan
1
1
1



n
n
n
a
a
a , n . Nilai 2011a adalah ....
Solusi:
Perhatikan bahwa
Amati untuk kasus maka




Dari kasus di atas, maka an berulang dengan periode 4
Bilangan 2011 dibagi 4 bersisa 3 sehingga
Jadi,
11. (SPMB, 2002/II) Enam buah bilangan membentuk deret aritmatika. Jika jumlah empat bilangan
pertama adalah 50 dan jumlah empat bilangan terakhir adalah 74, maka jumlah bilangan ketiga
dan keempat adalah ....
Solusi:
( ) ( )
( )

5. January 17, 2016 [DIDIK SADIANTO, M.PD.]
Pembahasan Materi Pembinaan OSN 2016 |
Eliminasi (1) dan (2), maka kita peroleh
Jadi, Jumlah bilangan ketiga dan keempat adalah 31.
12. (SPMB, 2002/III) Suatu deret aritmatika terdiri dari sepuluh suku dan jumlahnya 145. Jika
jumlah dari suku keempat dan suku kesembilan sama dengan lima kali suku ketiganya, maka
beda deret adalah ....
Solusi:
( ) ( )
( )
Substitusi (2) ke (1) maka kita peroleh
Jadi, Beda deret ini adalah 3.
13. (AIME, 1989) k adalah bilangan bulat positif yang memenuhi adalah
kuadrat dari tiga bilangan yang membentuk barisan aritmatika. Tentukan k.
Solusi:
Misalkan ketiga bilangan barisan aritmatika adalah
Kuadratnya adalah ( ) ( )
Sehingga kita peroleh:
( )
( )
( )
Dari (*) dan (**) serta (***) dan (**) berturut-turut kita peroleh
( ) ( )
( ) ( )
Dari (1) dan (2), kita peroleh
( ) ( )
Dari persamaan (1), kita mempunyai:
( )

6. January 17, 2016 [DIDIK SADIANTO, M.PD.]
Pembahasan Materi Pembinaan OSN 2016 |
LATIHAN SOAL 7.(ii)-BARISAN & DERET GEOMETRI
1. (SPMB, 2002/II) Jika tiga bilangan q, s, dan t membentuk barisan geometri, maka
tunjukkan bahwa
Solusi:
Jelas bahwa berlaku
Perhatikan bahwa
( )
( )
( )
( )
2. (OSK, 2014) Diberikan tiga bilangan bulat positif berurutan. Jika bilangan pertama
tetap, bilangan kedua ditambah 10 dan bilangan ketiga ditambah bilangan prima, maka
ketiga bilangan ini membentuk deret ukur. Bilangan ketiga dari bilangan bulat berurutan
adalah ....
Solusi:
Misalkan bilangan tersebut:
Karena membentuk deret ukur dengan p bilangan prima maka
( ) ( )
( )
Jelas bahwa |
 , ( )
 ( )
 ( )
Sehingga nilai m yang memenuhi adalah 11.
Jadi bilangan yang dimaksud adalah
3. (CMO, 1975) Pada sebuah bilangan positif 3,27 mempunyai arti bahwa 3 mewakili
bagian bulat dari bilangan dan 0,27 mewakili bagian desimal suatu bilangan. Tentukan
bilangan positif yang memenuhi bagian desimal, bagian bulat, dan bilangan itu sendiri
membentuk barisan geometri.
Solusi:
Misalkan bilangan tersebut adalah , bagian bulat dari a = n dan desimalnya adalah b.
Jelas bahwa maka
Karena membentuk barisan geometri maka berlaku

7. January 17, 2016 [DIDIK SADIANTO, M.PD.]
Pembahasan Materi Pembinaan OSN 2016 |
Karena maka ( )
( )
 Untuk
Karena maka nilai minimal ruas kiri ( )
Nilai maksimal ruas kanan
Maka tidak ada nilai n yang memenuhi.
 Untuk
Karena b bagian desimal dari suatu bilangan maka
√ √
(
√
)
√
Jadi, bilangan positif yang dimaksud adalah
√
4. (CMO, 1979) Buktikan bahwa jika
i.
ii. adalah barisan aritmatika dan
iii. adalah barisan geometri.
Solusi:
Misalkan beda barisan aritmatika adalah d maka
Karena adalah barisan geometri maka
( )
Terbukti bahwa: