permutasi dan kombinasi

1. PERMUTASI
DAN
KOMBINASI

3. MATERI SEBELUMNYA

4. n faktorial adalah hasil perkalian semua bilangan
bulat positif dari 1 sampai n, dan diberi notasi n!
n! = nx(n-1)x(n-2)x. . . 3x2x1, dengan
1! = 1 dan 0!=1
Contoh
Tentukanlah nilai dari :
a. 5! = . . .
b. = . . .
Jawab :
a. 5! = 4x3x2x1 = 24
b.
FAKTORIAL

5. PEMBATASAN MATERI
Materi permutasi dan kombinasi yang
akan dibahas kali ini adalah
Permutasi dan kombinasi k objek dari n
objek yang berbeda, k n

6. Permutasi

7. Permutasi dengan Semua Unsur Berbeda
Jika ada n unsur yang berbeda
diambil n unsur, maka banyak
susunan (permutasi) yang berbeda
dari n unsur tersebut adalah
P(n,n)= n!
• P(n,n) = nPn dibaca permutasi
Tingkat n dari n unsur
Contoh:
1. Berapa banyak kenderaan yang
dapat diberikan nomor polisi yang
menggunakan lambang bilangan 1,
2, 3, 4, dan ada lambang yang
berulang Dimana tiap nomor terdiri
dari 4 angka?

8. Inilah angka ratusan yang dibentuk
dari angka 4, 5, dan 6
456 465 564
546 645 654
Hai..
Dapatkah kalian menyusun angka
ratusan yang terdiri dari angka 4,
5, dan 6 ?
Dengan cara mendata seperti ini kita
memperoleh 6 buah angka ratusan
yang dibentuk dari angka 4, 5, dan 6
Cermatilah!
susunanangka-angka dalam angka
ratusantersebut mempengaruhinilai
angka ratusan. Contoh 456 ≠ 465
Kasus ini memperhatikan urutan
karena kedua haltersebut bukanlah
halyang sama.
Permutasi dengan Sebagai Unsur yang Berbeda

9. Bagaimana susunannya jika angka-angka
yang tersedia 4, 5, 6, dan 7? Berapa
banyak angka ratusan yang dapat kalian
buat dari angka-angka yang tersedia itu?
456 465 546 564 645 654
457 475 547 574 745 754
467 476 647 674 746 764
567 576 657 675 756 765
Dengancara mendataseperti
yangsebelumnya kita dapat
menyusunangka-angka
sepertiberikut :
Jadi kita
memperoleh 24
buah angka
ratusan yang
dibentuk dari
angka 4, 5, 6 dan
7
Letak angka dalam susunantersebut
mempengaruhi nilai susunan angka
yang dibuat.
Misal : Angka 457 ≠ 475

10. Jadi teman-teman, susunan objek-objek
yang memperhatikan urutan seperti kasus-
kasus diatas dinamakan permutasi
Wah, profesor repot ya kalau
harus mendata satu persatu
seperti itu? Ya kan teman-
teman?
Nah, ada cara yang lebih sederhana dan
efektif, yaitu menggunakan rumus.
Rumus permutasi sebagai berikut :

11. C O N T O H S O A L
Tersedia 5 buah buku matapelajaran yang berbeda diambil 3 buku
dan akan disusun di atas rak buku. Ada berapa macam susunan yang
dapat dilakukan?
Analisis
Misalkan,
Buku 1 : matematika
Buku 2 : biologi
Buku 3 : fisika
Buku 4 : kimia
Buku 5 : ekonomi

12. Misalkan tiga buku yang dipilih : buku matematika, kimia,
ekonomi.
Perhatikan!
Susunan buku yang dapat kita buat adalah sebagai
berikut :
Letak buku dalam susunan tersebut
mempengaruhi urutan susunan buku dirak.
1 Matematika Kimia Ekonomi
2 Matematika Ekonomi Kimia
3 Ekonomi Matematika Kimia
4 Ekonomi Kimia Matematika
5 Kimia Ekonomi Matematika
6 KImia Matematika Ekonomi

13. Susunan buku matematika kimia ekonomi berbeda dengan susunan buku
matematika ekonomi kimia, begitu juga untuk susunan yang lainnya.
Sehingga banyaknya cara menyusun 3 buku dari 5 buku berbeda di rak
dapat dicari sebagai berikut :
Jadi terdapat 60 cara menyusun 3 buah buku dari 5 buah buku mata
pelajaran yang berbeda di rak buku.

14. Permutasi dengn Beberapa Unsur yang Sama
Permutasi dari n unsur yang
menggunakan K1, K2,…Kt unsur
yang sama
1. Tentukan permutasi dari
unsur-unsur {a, a, b, b, b, c}
𝑃
𝑛, 𝐾1, 𝐾2, 𝐾𝑡 =
𝑛!
𝑘1!.𝑘2!……𝑘𝑡!
Jawab:
Jika S = { a, a, b, b, b, c}, maka
n(S)= 6 (Banyak contoh
(anggota) himpunan S}
n(p)= 2 (banyak huruf a)
n(q)= 3 (banyak huruf b)
n(r) = 3 (banyak huruf c)
Sehingga, banyaknya permutasi ada
6
2.3.1
=
6!
2! 3! 1!
= 60

15. 2. Berapa banyak permutasi dari
huruf-huruf pada kata
LITERATUR?
Jawab:
Unsur-unsur yang sama meliputi R dan T masing-masing
2 buah dan banyak huruf ada 9 buah maka:
𝑝 =
9!
2! 2!
=
9.8.7.6.5.4.3.2.1
2.1.2.1
= 9072

16. Kombinasi

17. Sebuah kejuaraan sepak bola antar kelas
di SMA Sadhar diikuti oleh 10 kelas.
Berapakah banyak cara menyusun
pertandingan sepak bola tersebut?
Kasus diatas menuntut kita untuk dapat menyusun
pertandingan yang diikuti oleh 10 kelas.
Jika sebuah pertandingan adalah pertandingan kelas A
melawan kelas B, maka hal ini sama saja dengan
Kelas B melawan kelas A. Atau kelas C melawan kelas
A maka sama saja kelas A melawan kelas C.

18. Susunan objek-objek yang tidak memperhatikan
urutan seperti ini dinamakan kombinasi.
Rumus Umum kombinasi :
NAH!!!
Kasus jenis ini tidak memperhatikan urutan, karena
terdapat dua hal yang dapat dianggap sama. Berbeda
dengan kasus menyusun angka puluhan dari angka 6 dan
9 maka hasilnya 69 dan 96. Angka 69 berbeda dengan
angka 96.

19. Contohsoal
USOP
KAMI SIAP MENGIKUTI
UJIAN HARI INI!!!
Jika guru penguji
akan memanggil 2
orang sekaligus
untuk di uji. Banyak
susunan yang
mungkin adalah?
Analisis:
Jika guru penguji memanggil Sanji dan Nami untuk
mengikuti ujian, hal ini sama saja dengan guru tersebut
memanggil Nami dan Sanji. Kasus ini adalah jenis kasus
yang tidak memperhatikan urutan.

20. Jawab :
Banyak susunan berbeda yang mungkin dapat kita data seperti ini :
1. Sanji-Nami
2. Sanji-Luffy
3. Sanji-Zorro
4. Sanji-Usop
Jadi banyak susunan berbeda yang mungkin
adalah 10 susunan
5. Nami-Luffy
6. Nami-Zorro
7. Nami-Usop
8. Luffy-Zorro
9. Luffy-Usop
10. Zorro-Usop

21. Jadi banyak susunan berbeda yang mungkin
adalah 10 susunan
Sekali lagi, cara mendata demikian akan membutuhkan
waktu yang cukup lama, apalagi bila objeknya banyak.
Maka sebaiknya gunakanlah Rumus Umum Kombinasi :
Sehingga menjadi

23.  AYO 

25. Pembahasan
Perhatikanlah
Analisis :
Diketahui 4 org calon pengisi jabatan jabatan yang
kosong 2.
Cermatilah!
Misalkan 4 org tersebut A,B,C,D, dipilih A sebagai
Bendahara dan B sebagai Sekretaris, hal ini akan
berbeda dengan bila dipilih A sebagai Sekretaris dan B
sebagai Bendahara. Jadi kasus ini adalah kasus yang
memperhatikan urutan, yaitu kasus Permutasi.
Jadi terdapat 6 cara memilih.

27. Pembahasan
Perhatikanlah
Analisis :
Akan dipilih 6 org dari 11org yang akan dijadikan pemain
cadangan.
Cermatilah!
Misalkan 11 org tersebut A,B,C,D,…,K. Dipilih 6 org sebagai
pemain cadangan yaitu : A,B,C,D,E,F, hal ini sama saja dengan
memilih F,E,C,D,B,A, karena bagaimanapun cara memilihnya 6
org inilah pemain cadangannya.
Ini adalah kasus yang tidak memperhatikan urutan, yaitu kasus
Kombinasi.
Jadi terdapat 462 cara memilih.

29. Pembahasan
Perhatikanlah
Analisis :
Akan dipilih 5 soal dari 8 soal yang tersedia.
Cermatilah!
Misalkan mahasiswa tersebut ingin memilih soal no 4-8.
Bagaimanapun cara memilihnya, yang mahasiswa
tersebut kerjakan hanyalah no 4-8
Ini adalah kasus yang tidak memperhatikan urutan, yaitu
kasus Kombinasi.
Jadi terdapat 56 cara memilih.

30. SEMOGA SUKSES