Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
http://olimattohir.b...
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
http://olimattohir.b...
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
http://olimattohir.b...
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
http://olimattohir.b...
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
http://olimattohir.b...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Soal dan pembahasan osn matematika smp tingkat nasional 2016 (hari pertama)

Soal dan pembahasan osn matematika smp tingkat nasional 2016 (hari pertama)

  • Login to see the comments

Soal dan pembahasan osn matematika smp tingkat nasional 2016 (hari pertama)

  1. 1. Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2016 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember http://olimattohir.blogspot.co.id/ 1 Pembahasan Soal Hari Pertama OSN SMP Tingkat Nasional Tahun 2016 Bidang Matematika Waktu: 2×90 Menit HARI PERTAMA 1. Tentukan semua bilangan real yang memenuhi persamaan (1 + x2 + x4 + .... + x2014 )(x2016 + 1) = 2016x2015 . Pembahasan: x = 1 Diketahui (1 + x2 + x4 + .... + x2012 + x2014 )(x2016 + 1) = 2016x2015 Kemudian mencari pola penyelesaiannya, yakni sebagai berikut: (1 + x2 + x4 + .... + x2012 + x2014 )(x2016 + 1) = 2016x2015 Ruas kiri dan kanan dikalikan 2015 1 x , didapat: (1 + x2 + x4 + .... + x2012 + x2014 )(x2016 + 1)       2015 1 x = 2016x2015       2015 1 x (1 + x2 + x4 + .... + x2012 + x2014 )        2015 1 x x = 2016 (x + x3 + x5 + .... + x2013 + x2015 ) +        xxxxx 11 .... 111 3201120132015 = 2016        x x 1 +        3 3 1 x x +        5 5 1 x x + .... +        2013 2013 1 x x +        2015 2015 1 x x = 2016 Perhatikan persamaan aljabar di atas, terlihat jelas bahwa persamaan tersebut akan terpenuhi jika dan hanya jika terjadi x x 1  , 3 3 1 x x  , 5 5 1 x x  , .... , 2013 2013 1 x x  , 2015 2015 1 x x  Dengan demikian didapat x x 1   x2 = 1  x = ± 1, Akan tetapi untuk nilai x < 0 pada persamaan awal mengakibatkan ruas kiri bernilai positif dan ruas kanan bernilai negatif, sehingga nilai x yang memenuhi hanyalah x > 0, yaitu x = 1 Jadi, nilai x yang memenuhi dari persamaan (1 + x2 + x4 + .... + x2014 )(x2016 + 1) = 2016x2015 adalah x = 1
  2. 2. Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2016 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember http://olimattohir.blogspot.co.id/ 2 2. Misalkan A adalah suatu bilangan bulat dan A = 2 + 20 + 201 + 2016 + 20162 + .... +    angka40 2016....20162016 Tentukan tujuh angka terakhir dari A berurutan mulai dari angka jutaan sampai dengan satuan. Pembahasan: 2.402.230 Penjumlahan dari 2 + 20 + 201 + 2016 + 20162 + .... +    angka40 2016....20162016 Sama seperti penjumlahan bersusun berikut: .... Sebanyak 1 angka .... 2 .... Sebanyak 2 angka .... 2 0 .... Sebanyak 3 angka .... 2 0 1 .... Sebanyak 4 angka .... 2 0 1 6 .... Sebanyak 5 angka .... 2 0 1 6 2 .... Sebanyak 6 angka .... 2 0 1 6 2 0 .... Sebanyak 7 angka .... 2 0 1 6 2 0 1 .... Sebanyak 8 angka .... 2 0 1 6 2 0 1 6 .... Sebanyak 9 angka .... .... 0 1 6 2 0 1 6 2 .... Sebanyak 10 angka .... .... 1 6 2 0 1 6 2 0 .... Sebanyak 11 angka .... .... 6 2 0 1 6 2 0 1 .... Sebanyak 12 angka .... .... 2 0 1 6 2 0 1 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... Sebanyak 37 angka .... .... 0 1 6 2 0 1 6 2 .... Sebanyak 38 angka .... .... 1 6 2 0 1 6 2 0 .... Sebanyak 39 angka .... .... 6 2 0 1 6 2 0 1 .... Sebanyak 40 angka .... .... 2 0 1 6 2 0 1 6 .... jutaan ratusan ribu puluham ribu ribuan ratusan puluhan satuan .... 74 75 81 83 83 84 90 Setelah dijumlahkan berurut, maka angka-angkanya menjadi seperti berikut: .... 2 4 0 2 2 3 0 Jadi, tujuh angka terakhir dari A berurutan mulai dari angka jutaan sampai dengan satuan adalah 2.402.230 9 × 10 = 90 9 × 10 – 6 = 84 9 × 10 – 7(1+6) = 83 9 × 10 – 7(0+1+ 6) = 83 9 × 10 – 9(2+0+1+6) = 81 9 × 10 – 15(6+2+0+1+6) = 75 9 × 10 – 16(1+6+2+0+1+6) = 74 angka2016sebanyak10kali danjumlahdariangka-anganya adalah2+0+1+6=9
  3. 3. Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2016 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember http://olimattohir.blogspot.co.id/ 3 3. Pada segitiga ABC, Titik P dan Q berada pada sisi BC sehingga panjang BP sama dengan CQ, BAP = CAQ dan APB lancip. Apakah segitiga ABC sama kaki? Tulis alasan Anda. Pembahasan: iya Diketahui Pada segitiga ABC, Titik P dan Q berada pada sisi BC sehingga panjang BP sama dengan CQ, BAP = CAQ Perhatikan ilustrasi gambar berikut. Berdasarkan ilustrasi gambar a), b), dan c), maka gambar yang sesuai berdasarkan kondisi soal adalah pada gambar c) yaitu bahwa APB lancip. Kemudian, perhatikan ilustrasi gambar berikut Diketahui panjang BP = CQ dan BAP = CAQ, maka besar BPA = CQA. Sehingga segitiga BAP kongruen dengan segitiga CAQ. Hal ini berakibat, bahwa besar ABP = ACQ atau dapat ditulis besar ABC = ACB Dengan demikian, segitiga ABC merupakan segitiga sama kaki dengan kaki-kaki sudutnya terletak pada titik B dan C Jadi, benar bahwa segitiga ABC adalah segitiga sama kaki 4. Ayu akan membuka koper tetapi dia lupa kuncinya. Kode koper tersebut terdiri dari Sembilan angka yakni empat angka 0 (nol) dan lima angka 1. Ayu ingat bahwa tidak ada empat angka sama yang berurutan. Berapa banyak kode yang mungkin harus dicoba sehingga dipastikan koper tersebut terbuka? Pembahasan: ada 99 kode A B C t Q D P ** (c) Panjang BP > BD dan panjang CQ > CD, maka berturut-turut besar APB dan  AQC lancip A B C t P,D,Q (b) Panjang BP = BD =CQ, maka besar APB =  AQC = 90 A B C t P D Q (a) Panjang BP < BD dan panjang CQ < CD, maka berturut-turut besar APB dan  AQC tumpul A B C t Q D P
  4. 4. Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2016 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember http://olimattohir.blogspot.co.id/ 4 Banyaknya susunan 9 angka yang diambil dari 4 angka 0 (nol) dan 5 angka 1, permasalahan ini merupakan permasalahan permutasi berulang tanpa syarat. misalkan q1 = munculnya huruf 1, yaitu q1 = 5 q2 = munculnya huruf 0, yaitu q2 = 4 sehingga kqqq n P   ....!! ! 21  !! !9 21 qq P    !4!5 !9  P  P = 9 × 2 × 7  P = 126 Akan tetapi, ada syaratnya yakni “bahwa tidak ada empat angka sama yang berurutan” Ada tiga kemungkinan yang terdapat empat angka sama yang berurutan, yaitu 1) Lima angka 1 berurutan 111110000 011111000 001111100 ada 1 2) Empat angka 1 berurutan 111100001 111100010 111100100 111101000 011110001 011110010 011110100 001111001 001111010 000111101 Atau banyak cara empat angka 1 seperti halnya menempatkan empat angka 1 dan satu angka satu dari lima angka 1 yang ada di antara angka 0, yaitu sebanyak 5P2 = 20 3) Empat angka 0 berurutan selain yang terdapat pada kemungkinan 1) dan 2) 111000011 ada sebanyak 2 kali, sehingga ada 2 Sehingga, banyak empat angka sama yang berurutan ada sebanyak 5 + 20 + 2 = 27 Dengan demikian, Banyaknya susunan 9 angka yang diambil dari 4 angka 0 (nol) dan 5 angka 1 dengan syarat bahwa tidak ada empat angka sama yang berurutan sebanyak 126 – 27 = 99 Jadi, banyak kode yang mungkin harus dicoba sehingga dipastikan koper tersebut terbuka adalah ada 99 kode 5. Fulan memelihara 100 kalkun dengan bobot kalkun ke- i adalah xi untuk i  {1, 2, 3, .... , 100}. Bobot kalkun ke-i dalam gram diasumsikan mengikuti fungsi xi(t) = Sit + 200 – i dengan t menyatakan waktu dalam satuan hari dan Si merupakan suku ke-i suatu barisan aritmatika dengan suku pertama adalah bilangan positif a dengan beda b = 5 1 . Diketahui rata-rata data bobot seratus kalkun tersebut pada saat t = a adalah 150,5 gram. Hitunglah median data bobot kalkun tersebut pada saat t = 20 hari. ada sebanyak 2 kali, sehingga ada 4 ada sebanyak 5 ada sebanyak 2 kali, sehingga ada 20
  5. 5. Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2016 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember http://olimattohir.blogspot.co.id/ 5 Pembahasan: 349,5 gram Diketahui fungsi xi(t) = Sit + 200 – i Si merupakan suku ke-i suatu barisan aritmatika S1 = a, b = 5 1 dan 100 )( axi = 150,5 gram Karena S1 = a dan b = 5 1 , maka S2 = S1 + 1( 5 1 ) atau S2 = a + 5 1 Kemudian mencari x1(a), yaitu x1(a) = (a)a + 200 – 1 x1(a) = a2 + 199 x2(a), yaitu x2(a) = (a + 5 1 )a + 200 – 2 x2(a) = a2 + 5 a + 198 beda dari bobot perkalkun: x2(a) – x1(a) = 5 a – 1 sehingga  )(100 ax = 2 100 [2(a2 + 199) + (100 – 1)( 5 a – 1)] = 50(2a2 + 398 + 5 99a – 99) = 50(2a2 + 5 99a + 299)  )(100 ax = 100a2 + 990a + 14950 Dengan demikian, 100 )( axi = 150,5  100a2 + 990a + 14950 = 15050  100a2 + 990a – 100 = 0  (10a – 1)(10a + 100) = 0 a = 10 1 atau a = –10 nilai a yang memenuhi adalah a = 10 1 Sehingga mediannya 2 )20()20( 5150 xx  = 2 5120020 5 50 5020020 5 49                          aa = 2 14920 5 50 10 1 15020 5 49 10 1                          = 2 14920021501962  = 2 699 = 349,5 Jadi, median data bobot kalkun tersebut pada saat t = 20 hari adalah 349,5 gram Dibahas oleh : Mohammad Tohir Jika ada saran, kritik maupun masukan silahkan kirim ke- My email: suidhat.family@gmail.com Terima kasih. My blog : http://matematohir.wordpress.com/ http://olimattohir.blogspot.co.id/

×