Recommended
More Related Content
Similar to 229515136-Makalah-Mat.docx
Similar to 229515136-Makalah-Mat.docx (20)
229515136-Makalah-Mat.docx
- 1. TUGAS MAKALAH MATEMATIKA BARISAN DAN DERET & PELUANG DISUSUN OLEH : Dwiky Rizky S. (09) Guru Pembimbing : Arifa Riana Rahmawati S.Pd SMK NEGERI 1 PATI 2013/2014
- 2. KATA PENGANTAR Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat serta karunia-Nya kepada kami sehingga kami berhasil menyelesaikan Makalah ini yang berjudul Tugas Makalah Matematika Barisan dan Deret & Peluang Alhamdulillah selesai tepat pada waktunya. Kami menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu kritik dan saran dari semua pihak yang bersifat membangun selalu kami harapkan demi kesempurnaan makalah ini. Akhir kata, kami sampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telah berperan serta dalam penyusunan makalah ini dari awal sampai akhir. Semoga Allah SWT senantiasa meridhai segala usaha kita, Amin. Pati, 24 November 2013 Penyusun
- 3. Daftar Isi Kata Pengantar……………………………………………………….................... 1 Daftar Isi……………………………………………………….............................. 2 Bab I Pendahuluan A. Latar Belakang........................................................................................ 3 B. Rumusan Masalah................................................................................... 3 C. Tujuan Penulisan..................................................................................... 3 Bab II Materi Pembelajaran A. Barisan dan Deret.................................................................................... 4 1. Barisan Bilangan.................................................................................. 4 2. Barisan dan Deret Aritmatika.............................................................. 7 3. Barisan dan Deret Geometri................................................................. 9 4. Barisan dan Deret Lainnya serta Bentuk Tak Hingga............................. 10 B. Peluang...................................................................................................... 10 1. Permutasi…………………………………………………………….. 10 2. Kombinasi……………………………………………………………. 11 3. Peluang……………………………………………………………….. 12 Daftar Pustaka......................................................................................................... 16
- 4. BAB I Pendahuluan A. LATAR BELAKANG Dalam materi ini kita akan membahas teori barisan deret aritmatika dan geometri serta peluang, permuitasi dan kombinasi. Yang mungkin sudah pernah anda pelajari pada waktu SMA namun demikian, materi akan diberikan dalam makalah ini bukan hanya sekedar mengulang, tetapi diharapkan pula memberi wawasan yang luas mengenai pendefinisikan barisan deret aritmatika dan geometri serta peluang, permutasi dan kombinasi. Untuk mendukung kelancaran anda terhadap penguasaan materi dalam modul ini perlu juga dipelajari teknik menghitung yang mencakup prinsip perkalian dan penjumlahan. B. RUMUSAN MASALAH 1. Bagaimana menentukan rumus suku ke – n dan rumus jumlah suku ke – n deret aritmetika 2. Bagaimana mencari suku tengah dan sisipan 3. Bagaimana menentukan rumus suku ke – n dan rumus jumlah suku ke – n deret geometri 4. Bagaimana menghitung nilai-nilai permutasi dan kombinasi suatu peristiwa tertentu? 5. Bagaimana cara menghitung nilai-nilai peluang suatu peristiwa yang dibentuk oleh operasi-operasi komplemen, gabungan dan irisan ? 6. Bagaimana cara menghitung peluang bersyarat ? C. TUJUAN PENULISAN Setelah mempelajari materi ini mahasiswa diharapkan : a. Memahami dan dapat mengguankan permutasi dalam menyelesaikan persoalan terkait b. Memahami dan dapat mengguankan kombinasi dalam menyelesaikan persoalan terkait c. Memahami dan dapat mengguankan peluang dalam menyelesaikan persoalan terkait memahami pengertian barisan bilangan d. Menjelaskan rumus suku ke-n deret aritmetika dan geometri e. Menjelaskan suku tengah f. Menjelaskan rumus jumlah suku ke – n deret aritmetika dan geometri
- 5. A. Barisan dan Deret 1. Barisan Bilangan a. Mengenal pengertian barisan suatu bilangan Perhatikan ilustrasi berikut! Seorang karyawan pada awalnya memperoleh gaji sebesar Rp.600.000,00. Selanjutnya, setiap bulan berikutnya gaji yang diperoleh bertambah Rp.5.000,00. jika kita susun gaji karyawan itu mulai bulan pertama adalah sebagai berikut. Rp.600.000,00, Rp.605.000,00, Rp.610.000,00, Rp.615.000,00,........ Susunan yang demikian dinamakan barisan. Bilangan pertama disebut suku pertama (U1),bilangan kedua disebut suku kedua (U2), dan seterusnya.Suku ke-n dari suatu barisan bilangan dinotasikan dengan Un. Dengan demikian, dapat disimpulkan sebagai berikut. Barisan bilangan adalah bilangan-bilangan yang diurutkan dengan aturan atau pola tertentu. Suku dari barisan bilangan adalah setiap bilangan pada barisan bilangan tersebut. b. Menentukan dan menghitung suku ke-n suatu barisan bilangan. Seperti yang telah kalian ketahui bahwa suatu barisan selalu memiliki pola yang teratur sehingga suku ke-n dapat ditentukan. Jika pola barisan bilangan telah diketahui kalian dapat dengan mudah menentukan suku ke-n barisan tersebut. Perhatikan contoh berikut! 1. Manakah suku yang harus diganti dari barisan di bawah ini? 2,3,5,7,9,13,17,19,23,29,........... Jawab: Jika dipandang sekilas tampaknya suku pertama yang harus diganti sebab bukan bilangan ganjil. Namun, dengan mengganti suku pertama ternyata belum menjadi barisan yang benar (lihat suku ke-6,ke-7, ke-8, ke-9,dan ke-10). Jadi, manakah yang harus kita ganti? Ternyata semua bilangan pada barisan di atas adalah bilangan prima, kecuali suku ke-5 sehingga suku ke-5 itulah yang harus diganti dengan 11. 1. Jika Un = n 2 -1, tentukan suku-suku dari barisan itu dan bentuklah barisannya!
- 6. Jawab: Un = n2 - 1 U1 = 12 - 1 = 1-1 = 0 U2 = 22 - 1 = 4-1 = 3 U3 = 32 - 1 = 9-1 = 8 U4 = 42 - 1 = 16-1=15 U5 = 52 - 1 = 25-1=24, dan seterusnya. Jadi barisan bilangan tersebut adalah 0, 3, 8, 15, 24,.......... Jika bilangan – bilangan diurutkan dengan aturan tertentu, maka akan diperoleh suatu barisan bilangan. Tiap-tiap bilangan yang terdapat pada barisan bilangan disebut suku dari barisan itu. Jika aturan suatu barisan telah diketahui, maka suku berikutnya dari barisan tersebut dapat ditentukan. Contoh 1 : 1. 2, 6, 10, 14, . . . +4 +4 +4 Aturan pembentukannya adalah “ditambah 4” Dua suku berikutnya adalah 18 dan 22 2. 1, 2, 5, 10, . . . +1 +3 +5 Aturan pembentukannya adalah “ditambah bilangan ganjil berurutan” Dua suku berikutnya adalah 17 dan 26 3. 1, 1, 2, 3, 5, ... Aturan pembentukannya adalah “suku berikutnya adalah dengan menjumlahkan dua suku di depannya”. Dua suku berikutnya adalah 3 + 5 = 8 dan 5 + 8 = 13 Barisan bilangan 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... disebut barisan Fibonacci. Suku ke-n dari suatu barisan bilangan dapat di tulis Un . Dengan demikian suku ke-1 dapat di tulis U1 dan suku ke-100 dapat ditulis U100 . a. Barisan dengan aturan di tambah bilangan yang sama. Jika aturan suatu barisan di tambah b, maka suku ke-n akan memuat b x n yaitu U n = b x n + .....atau U n = b x n -.... Contoh 2:
- 7. 1) 5, 8, 11, 14,.... Karena aturannya di tambah 3, maka rumus suku ke-n memuat 3n, yaitu U1 = 5 = 3 x 1 + 2 ditentukan sendiri agar hasilnya sama dengan yang dimaksud U2 = 8 = 3 x 2 + 2 . Jadi Un = 3 x n + 2 = 3n + 2 2) 3, 6, 9, 12, . . . +3 +3 +3 U1 = 3 = 3 x 1 U3 = 9 = 3 x 3 U2 = 6 = 3 x 2 U4 = 12 = 3 x 4 Jadi suku ke-n = Un = 3 x n = 3n 3) 4, 8, 12 16, . . . +3 +3 +3 U1 = 4 = 4 x 1 U3 = 12 = 4 x 3 U2 = 8 = 4 x 2 U4 = 16 = 4 x 4 Jadi suku ke-n = Un = 3 x n = 3n Dari contoh 2 dan 3 di atas, diperoleh hubungan sebagai berikut. (i) jika aturan barisan ditambah dengan 3, maka rumus suku ke-n memuat 3 x n (ii) jika aturan barisan ditambah dengan 4, maka rumus suku ke-n memuat 4 x n Contoh 3: 1) 5, 8, 11, 14,... +3 +3 +3 karena aturannya ditambah 3, maka rumus suku ke-n memuat 3n, yaitu U1 = 5 = 3 x 1 + 2 ditentukan sendiri agar hasilnya sama seperti barisan yang dimaksud Jika aturan suatu barisan ditambah dengan b, maka suku ke-n akan memuat b x n yaitu Un = b x n + ... atau Un = b x n - ...
- 8. U2 = 8 = 3 x 2 + 2 Jadi, Un = 3 x n + 2 = 3n + 2 Gunakan rumus di atas untuk mengecek suku ke-4, maka: Un = 3n + 2 U4 = 3 x 4 + 2 = 14 sesuai dengan suku ke-4 pada barisan di atas b. Barisan dengan aturan dikali atau di pangkatkan Untuk menentukan suku ke-n barisan seperti ini, maka harus di tentukan hubungan antara masing-masing suku dengan bentuk bilangan berpangkat. Contoh 4: 1. 2, 4, 8, 16,.... U1 = 2 = 21 U2 = 4 = 22 , U3 = 8 = 23 , U4 = 16 = 24 Bilangan pokok selalu 2 dan pangkat sesuai dengan urutan suku, maka Un = 2n . 2. Barisan dan Deret Aritmatika Pengertian, rumus suku ke-n dan rumus Jumlah n suku pertama Barisan aritmatika adalah barisan yang setiap dua suku berurutan memiliki selisih yang konstan. a, a + b, a + 2b, a + 3b ⋅⋅⋅ adalah barisan aritmatika dengan suku pertama = a dan beda = b. Suku ke-n, Un, dirumuskan dengan : Un = a + (n − 1)b Jumlah n bilangan pertama, Sn, dirumuskan dengan Sn = 𝑛 2 (2a + (n − 1)b) = 𝑛 2 (a + Un) Contoh 5 : Diketahui barisan 2, 5, 8, 11, ⋅⋅⋅. Tentukan suku ke-10 dan jumlah 4 suku pertama. Solusi : 2, 5, 8, 11, ⋅⋅⋅ adalah barisan aritmatika dengan suku pertama 2 dan beda 3. Suku ke-10, U10 = 2 + (10 − 1) ⋅ 3 = 29
- 9. Jumlah 4 suku pertama = 4 2 (2(2) +(4-1)3) = 26 Contoh 6: Sebuah barisan jumlah n buah suku pertama dirumuskan dengan Sn = 3n 2 − 15n, maka U3 =⋅⋅⋅⋅ Solusi : Perhatikan bahwa jika kita mengurangkan jumlah n suku pertama, Sn dengan jumlah n − 1 suku pertama, Sn-1, maka akan didapatkan suku ke-n, Un. Jadi, Un = Sn − Sn-1. Un = (3n 2 − 15n) − (3(n − 1) 2 − 15(n − 1)) Un = 3n 2 − 15n − 3n 2 + 6n − 3 + 15n − 15 = 6n − 18 Maka U3 = 6(3) − 18 = 0 Cara lain adalah dengan langsung menghitung U3 = S3 − S2. Suku Tengah Misalkan Ut menyatakan suku tengah dari suatu barisan aritmatika maka : Ut = 𝑈1+𝑈𝑛 2 dengan n merupakan bilangan ganjil Contoh 7 : Diketahui 3, ⋅⋅⋅, 13, 15, ⋅⋅⋅ adalah barisan aritmatika. Tentukan suku tengah barisan tersebut. Solusi : 3, ⋅⋅⋅, 13, 15 adalah barisan aritmatika. Maka U1 = a = 3 dan Un = 15. Maka suku tengah, Ut = 21(3 + 15) = 9 Sisipan Misalkan setiap dua bilangan berurutan pada barisan aritmatika disisipi k buah bilangan namun tetap membentuk barisan aritmatika. Maka beda barisan tersebut akan memiliki perubahan dengan suku pertama tetap. Misalkan bB = beda barisan yang baru dan bL = beda barisan yang lama. Hubungan keduanya adalah
- 10. bB = 𝑏𝐿 𝑘+1 3. Barisan dan Deret Geometri a. Pengertian, rumus suku ke-n dan rumus Jumlah n suku pertama Barisan geometri adalah barisan yang setiap dua suku berurutan memiliki perbandingan yang konstan. Misalkan a, ar, ar, ⋅⋅⋅ adalah barisan geometri dengan suku pertama = a dan rasio = r maka : Suku ke-n, Un, dirumuskan dengan : Un = a ⋅ rn-1 Jumlah n bilangan pertama, Sn, dirumuskan dengan : Sn = 𝑎(𝑟𝑛−1) 𝑟−1 Contoh 9 : Diketahui barisan 2,6,18,54,... Tentukan suku ke-5 dan jumlah 4 suku pertama barisan tersebut. Solusi : 2, 6, 18, 54, Suku ke-5, U5 = 2 ⋅ 35-1 = 162 Jumlah 4 suku pertama = 2(34−1) 3−1 = 80 Suku Tengah Misalkan Ut menyatakan suku tengah dari suatu barisan geometri maka : Ut 2 = U1.Un dengan n merupakan bilangan ganjil Contoh 11: Diketahui 2, 6, 18, 54, 162, ⋅⋅⋅⋅ adalah barisan geometri. Tentukan suku tengah dari barisan tersebut. Solusi : 2, 6, 18, 54, 162 adalah barisan geometri. Maka U1 = a = 2 dan Un = 162. Maka suku tengah, 𝑈𝑡 = √2.162 = 18
- 11. 4. Barisan dan Deret Lainnya serta Bentuk Tak Hingga Suatu barisan tidak harus masuk ke dalam salah satu dari dua bentuk di atas. Sebagai contoh adalah arisan yang berbentuk 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ⋅⋅⋅ yang merupakan penjumlahan dari dua bilangan sebelumnya. Untuk menyelesaikan persoalan yang ditanyakan memerlukan pengetahuan terhadap pola dari barisan tersebut. Beberapa contoh rumus deret lainnya : 1 2 + 2 2 + 3 2 + ⋅⋅⋅ + n 2 = 𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1) 6 1 3 + 2 3 + 3 3 + ⋅⋅⋅ + n 3 = ( 𝑛(𝑛+1) 2 )2 B. Peluang Peluang suatu kejadian A sama dengan jumlah terjadinya kejadian A dibagi dengan seluruh yang mungkin. 1. Permutasi Permutasi adalah susunan unsur-unsur yang berbeda dalam urutan tertentu. Pada permutasi urutan diperhatikan sehingga Permutasi k unsur dari n unsur adalah semua urutan yang berbeda yang mungkin dari k unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda. Banyak permutasi k unsur dari n unsur ditulis atau . Permutasi siklis (melingkar) dari n unsur adalah (n-1) ! Cara cepat mengerjakan soal permutasi dengan penulisan nPk, hitung 10P4 kita langsung tulis 4 angka dari 10 mundur, yaitu 10.9.8.7 jadi 10P4 = 10x9x8x7 berapa itu? hitung sendiri Contoh permutasi siklis :
- 12. Suatu keluarga yang terdiri atas 6 orang duduk mengelilingi sebuah meja makan yang berbentuk lingkaran. Berapa banyak cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan dengan cara yang berbeda? Jawab : Banyaknya cara agar 6 orang dapat duduk mengelilingi meja makan dengan urutan yang berbeda sama dengan banyak permutasi siklis (melingkar) 6 unsur yaitu : 2. Kombinasi Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan urutannya. Pada kombinasi AB = BA. Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat disusun himpunan bagiannya dengan untuk Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan , Contoh : Diketahui himpunan . Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur! Jawab : Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6, 2).
- 13. Cara cepat mengerjakan soal kombinasi dengan penulisan nCk, hitung 10C4 kita langsung tulis 4 angka dari 10 mundur lalu dibagi 4!, yaitu 10.9.8.7 dibagi 4.3.2.1 jadi 10C4 = 10x9x8x7 / 4x3x2x1 berapa itu? hitung sendiri Ohya jika ditanya 10C6 maka sama dengan 10C4, ingat 10C6=10C4. contoh lainnya 20C5=20C15 3C2=3C1 100C97=100C3 melihat polanya? 3. Peluang 1. Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari suatu percobaan disebut ruang sampel. Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel. Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S. Contoh: Diberikan percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali, yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ). Jika P adalah kejadian muncul dua angka, tentukan S, P (kejadian)! Jawab : S = { AAA, AAG, AGA, GAA, GAG, AGG, GGA, GGG} P = {AAG, AGA, GAA} 2. Pengertian Peluang Suatu Kejadian Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing berkesempatan sama untuk muncul. Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A, maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan dengan rumus :
- 14. Contoh : Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang percobaan kejadian muncul bilangan genap! Jawab : S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} maka n ( S ) = 6 Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap, maka: A = {2, 4, 6} dan n ( A ) = 3 3. Kisaran Nilai Peluang Matematika Misalkan A adalah sebarang kejadian pada ruang sampel S dengan n ( S ) = n, n ( A ) = k dan Jadi, peluang suatu kejadian terletak pada interval tertutup [0,1]. Suatu kejadian yang peluangnya nol dinamakan kejadian mustahil dan kejadian yang peluangnya 1 dinamakan kejadian pasti. 4. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian Jika A adalah suatu kejadian pada frekuensi ruang sampel S dengan peluang P ( A ), maka frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah n x P( A ). Contoh : Bila sebuah dadu dilempar 720 kali, berapakah frekuensi harapan dari munculnya mata dadu 1? Jawab : Pada pelemparan dadu 1 kali, S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } maka n (S) = 6. Misalkan A adalah kejadian munculnya mata dadu 1, maka: A = { 1 } dan n ( A ) sehingga : Frekuensi harapan munculnya mata dadu 1 adalah
- 15. 5. Peluang Komplemen Suatu Kejadian Misalkan S adalah ruang sampel dengan n ( S ) = n, A adalah kejadian pada ruang sampel S, dengan n ( A ) = k dan Ac adalah komplemen kejadian A, maka nilai n (Ac) = n – k, sehingga : Jadi, jika peluang hasil dari suatu percobaan adalah P, maka peluang hasil itu tidak terjadi adalah (1 – P).