Transformasi geometri mencakup pergeseran, refleksi, rotasi dan perkalian ukuran terhadap objek geometri. Refleksi menghasilkan bayangan objek dengan menggunakan sumbu, garis, atau titik sebagai acuan. Refleksi terhadap sumbu x, y, atau titik asal akan mengubah tanda koordinat y. Refleksi terhadap garis acuan akan menukar koordinat objek.

3. 
Pemindahan objek (titik, garis, bidang datar)
pada bidang.

Perubahan yang (mungkin) terjadi:



Kedudukan / letak
Arah
Ukuran

4. 



Pergeseran tanpa merubah
bentuk(Translasi)
Pencerminan (Refleksi)
Pemutaran (Rotasi)
Perkalian bangun/penskalaan (Dilatasi)

5. Suatu titik atau sistem diproyeksikan terhadap suatu garis
acuan sehingga setiap titik atau sistem tersebut sejajar
dengan garis acuan.
• Proyeksi merupakan jarak terpendek.
Jika titik A diproyeksikan terhadap sumbu x, maka hasil
tersebut adalah titik B dengan AB merupakan jarak
terpendek titik A terhadap sumbu x.
Jika diproyeksikan terhadap sumbu y, maka hasilnya adalah
titik C dengan AC merupakan jarak terpendek titik A
terhadap sumbu y
y
A
C
•
O
B
x

6. Titik A(a,b) diproyeksikan pada
garis y = x menghasilkan titik
A’(a’,b’)
Cara mencari matrik
transformasi- nya adalah
sebagai berikut :
Perhatikan bahwa :
a= r cos θ dan b = r sin θ
a’=OA’ cos 45 dan b’ = OA’ sin
45
OA’=r cos (45 – θ)
Maka :
a’= r cos (45 – θ) cos 45
a b
= r cos 45 cos 45 cos θ + r cos 45 sin 45 sin θ = +
2 2
a b
Karena a’ = b’, maka b’ = 2 + 2

7. Sehingga diperoleh :
′  1
a
2
A′ =   =  1
b′   2
a b
+ 
1
2 2
2  a 

  = 
1
b
a + b
2  
2 2


Matrik transformasi untuk titik
yang diproyeksikan pada garis y =x

8. 

Suatu titik atau sistem mengalami pergeseran
namun tidak merubah bentuk, karena setiap titik
penyusun sistem mengalami pergeseran yang
sama.
Contoh : Sebuah titik P(x,y) ditranslasikan sejauh a
satuan sepanjang sumbu x dan y satuan sepanjang
sumbu y, diperoleh peta titik P’(x’,y’).
y’
Y
a
b
T=
y
P’(x’,y’) = P’(x+a,y+b)
P(x,y)
b
a
X
O
x
x’

9. Translasi dari titik P ke titik P’ secara linier.
P’(x’,y’)
dy
P(x,y)
dx
x’ = x + dx
y’ = y + dy
Model Matrik:
 x'  x   dx 
 y ' =  y  + dy 
     

10. •
Sebuah buku yang terletak di atas meja digeser
sejauh h, maka setiap titik yang menyusun buku
tersebut harus bergeser sejauh h juga.
Buku bergeser dalam satu arah yaitu arah x positif

11. 
Bagaimana jika buku digeser ke arah x dan y
sekaligus ?

12. •
Penulisan proses translasi titik A menjadi titik M,
dan titik B menjadi titik N dengan
A(a, c)
B(b, c)
h
T= 
s 
h
T= 
s 
h
T =   adalah
s  :
M(a + h, c + s)
N(b + h, c + s)

13. Contoh soal :
Tentukan bayangan dari lingkaran (x – 2) 2 + (y – 1)2 = 9 jika
3
ditranslasikan oleh :
T=  
 4
Jawab :
Misalkan titik P(a,b) adalah titik pada lingkaran, sehingga
persamaan dapat ditulis : (a – 2)2 + (b – 1)2 = 9.
Titik P ditranslasi dengan
P(a, b)
3 
T= 
 4
3
T =   diperoleh titik T’
 4  sbb :
P'(a + 3, b + 4)

14. Maka : a’ = a + 3 dan b’ = b + 3 a = a’ – 3 dan b = b’ –
3
Substitusi ke persamaan :
(a’ – 3– 2)2 + (b’ – 4– 1)2 = 9
(a’ – 5)2 + (b’ – 5)2 = 9
Jadi bayangan lingkaran : (x – 5)2 + (y – 5)2 = 9
Cara lain :
Persamaan lingkaran mempunyai pusat (2,1).
Dengan dilakukan translasi pusat lingkaran
diperoleh :
O(2,1)
3 
T= 
 4
O'(2 + 3,1 + 4) = O '(5,5)
Jadi bayangan lingkaran : (x – 5)2 + (y – 5)2 = 9

15. 
Transformasi pencerminan /refleksi menghasilkan
bayangan yang tergantung pada acuannya.

16. 
Refleksi terhadap sumbu x
Refleksi titik A (a, c) terhadap sumbu
x menghasilkan bayangan yaitu A’(a’,
c’), demikian juga untuk titik B dan
titik C.
Diperoleh persamaan bahwa : a’ =
a, b’ = b, c’= -c dan seterusnya
sehingga persamaan matrik
transformasinya adalah :
1 0 
Tx = 

0 -1
Refleksi ditulis dengan notasI :
A(a,c)
Dengan notasi
matrik:
sumbu x
x′ 
 y ′ = Tx
 
A’(a, -c)
x  1 0  x 
 y  = 0 -1  y 
  
 

17. Sama seperti refleksi terhadap
sumbu x menghasilkan persamaan
a’= - a, b’ = - b dan c’ = c dan
seterusnya. sehingga persamaan
matrik transformasinya adalah :
-1
Ty = 
0
0
1

Refleksi ditulis dengan notasI :
A(a,c)
Dengan notasi
matrik:
sumbu y
x′ 
 y ′ = Ty
 
A’(-a, c)
x  -1 0  x 
 y  =  0 1  y 
  
 

18. 
Refleksi terhadap titik asal (0,0)
Menghasilkan persamaan :
a’= - a, dan c’ = -c,
b’= - b, dan c’ = -c,
d’= - d, dan c’ = -c,
sehingga persamaan
matrik transformasinya
adalah : -1 0 
T(0,0) = 
0 -1


Refleksi ditulis dengan notasI :
A(a,c)
titik(0,0)
A’(-a,-c)
Dengan notasi
matrik:
 x′ 
 x  -1 0   x 
 y′ = T(0,0)  y  =  0 -1  y 
 
  
 

19. 
Refleksi terhadap garis y = x
Menghasilkan persamaan :
a’= c, dan c’ = a,
b’= c, dan c’’ = b,
d’= e, dan e’ = d dan
seterusnya
sehingga persamaan matrik
transformasinya adalah :
0 1
Ty = x = 
1 0


Refleksi ditulis dengan notasI:
A(a,c)
y=x
A’(c,a)
Dengan notasi
matrik:
 x′ 
 x  0 1  x 
 y ′ = Ty = x  y  = 1 0   y 
 
  
 

20. 
Refleksi terhadap garis y = - x
Menghasilkan persamaan :
a’= -c, dan c’ = -a,
b’= -c, dan c’’ = -b,
d’= -e, dan e’ = -d dan
seterusnya, sehingga persamaan
matrik transformasinya adalah :
Ty =− x
0 -1
=
-1 0 


Refleksi ditulis dengan notasI:
A(a,c)
y =- x
A’(-c,-a)
Dengan notasi
matrik:
 x′ 
 x  0 -1   x 
 y′ = Ty =− x  y  = -1 0   y 
 
  
 

21. 
Refleksi terhadap garis y = h
Sumbu x digeser sejauh h,
menghasilkan persamaan :
a’= a, dan c’ = 2h-c,
b’= b, dan c’ = 2h-c,
d’= d, dan e’ = 2h-e,
sehingga notasi persamaan
matrik transformasinya adalah :
 x′  1 0   x  0 
 y′ = 0 -1  y  + 2h 
  
   

22. Bukti :
Sumbu-x dipindahkan sejauh h sehingga sumbu-x yang baru
adalah y = h. Maka koefisien setiap titik berubah menjadi
(x’, y’) dengan :  x   0   x 
 x′ 
 y′ =  y  −  h  =  y − h 
      

Kemudian titik tersebut direfleksikan pada sumbu-x yang baru
menjadi x′′
:
  1 0   x   x 
 y ′′ = 0 -1  y − h  = − y + h 
  

 

Tahap terakhir, menggeser sumbu-x yang baru ke sumbu-x
semula dengan memakai translasi diperoleh:
 x′′′   x  0   x 
 y′′′ = − y + h  + h  = − y + 2h 
  
   

 x  0  1 0   x  0 
= +  =
  y  +  2h 
- y  2h  0 -1    

23. 
Refleksi terhadap garis x = k
Sekarang yang digeser adalah
sumbu y sejauh k, menghasilkan
persamaan :
a’= 2k-a, dan c’ = c,
b’= 2k-b, dan c’ = c,
d’= 2k-d, dan e’ = e,
sehingga notasinya adalah :
x=k
A(a,c)
A’(2ka,c)
Dengan notasi
matrik:
 x′  -1 0   x  2k 
 y ′ =  0 1   y  +  0 
  
   

24. Contoh Soal :
Tentukan bayangan jajaran-genjang ABCD dengan titik
sudut A(-2,4), B(0,-5) C(3,2) dan D(1,11) jika
direfleksikan terhadap sumbu-x, kemudian dilanjutkan
dengan refleksi terhadap sumbu-y.
Jawab :
Penyelesaian soal tersebut dilakukan dengan dua tahap
yaitu mencari bayangan jajaran-genjang ABCD dari
refleksi terhadap sumbu-x, kemudian bayangan yang
terjadi direfleksikan terhadap sumbu-y.

25. Refleksi terhadap sumbu-x adalah sebagai berikut :

26. Selanjutnya titik A’, B’, C’ dan D’ direfleksikan pada
sb-y

27. Hasil akhir diperoleh jajaran-genjang A’’B’’C’’D’’ dengan
titik sudut A’’(2,-4), B’’(0,5), C’’(-3,-2) dan D’’(-1,-11).
Coba pikirkan :
Bagaimana cara mendapatkan matrik transformasi pada
suatu sistem yang mengalami refleksi lebih dari satu
kali tetapi penyelesaiannya hanya dengan mengunakan
satu tahap saja ?

28. 
Rotasi adalah perpindahan obyek dari titik P ke
titik P’, dengan cara diputar dengan sudut θ
y
P’(x’,y’)
θ
x’ = x cos(θ) - y sin(θ)
y’ = x sin(θ) + y cos(θ)
P(x,y)
x

29. •
Untuk memudahkan perhitungan, maka dibuat
notasi dalam bentuk matrik :
 x′   cos θ -sinθ   x 
 y′ = sinθ cosθ   y 
  
 
dengan :
- sin θ dan cos θ adalah fungsi linier dari θ
- x’ kombinasi linier dari x dan y
- y’ kombinasi linier dari x dan y

30. Titik A berpindah ke titik A’ sejauh α.
Dalam koordinat kutub, titik A(a,b) ditulis : A(r cos θ, r sin
θ).
Sedangkan A’(a’,b’) ditulis : A’(r cos (θ + α), r sin (θ + α)).
Maka, diperoleh :
Matrik transformasi
untuk titik yang dirotasi
terhadap titik pusat O
(0,0)

31. •
Merupakan transformasi suatu titik atau sistem
terhadap suatu acuan yang menyebabkan jarak
titik atau sistem berubah dengan perbandingan
tertentu.
(Perpindahan titik P ke titik P’ dengan jarak titik P’
sebesar m kali titik P)
y
P’(x’,y’)
my.y
P(x,y)
mx.x
x
x’ = mx x
y’ = my y

32. 
Dalam bentuk matrik dituliskan :
 x ′   mx 0   x 
 y′  =  0 m   y 
y 
  

Transformasi ini tidak mengalami perubahan
bentuk, hanya mengalami perubahan ukuran
karena jarak titik-titik penyusun berubah dengan
perbandingan tertentu terhadap acuan.

33. •
•



•
Dikenal suatu istilah faktor dilatasi k yang
menyebab-kan perbesaran atau perkecilan suatu
sistem.
Jika nilai k (bilangan nyata):
k> 1 : hasil dilatasi diperbesar
-1<k<1 : hasil dilatasi diperkecil
k = 1 : hasil dilatasi sama dengan aslinya.
Contoh :
Gambar disamping
dilakukan dilatasi dengan
faktor k = 2. Carilah titik-titik
A’, B’ C’ dan D’ !

34. 
Jawab :
Transformasi dapat dilakukan dengan :
Jadi hasil dilatasi
terhadap titik O(0,0):
A’(4,6), B’(10,6)
C’(12,10), D’ (6,10)
Notasi :
(0,k)
A(a,b)
A’(ka,kb)

35. Wassalamu’alaikum wr.wb.