Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
Surfiani
TRANSFORMASI
 Unsur tetap Kolineasi Identitas Isometri Involusi
KOLINEASI
ISOMETRI
1. Diketahui  a. Selidiki apakah       suatu kolineasi  b. Selidiki apakah       suatu involusi  a.   a.        ambil pers...
a. (x,y) a. (x,y)        (x’,y’)                  (x’,y’)        (x’’,y’’)                                  (x’’,y’’)     ...
Jika V transformasi dan W transformasi, berkenaan sifat V dan W sebagai fungsi,maka dapat didefinisikan komposisi atau has...
Hasil kali dua transformasi akan merupakan transformasi.Hasil kali dua transformasi akan merupakan transformasi.Bukti :: B...
1. Diketahui  a. Carilah  b. Kenakan   pada persamaan garis yang melalui (-4,-6) dan sejajar dengan    Jawab:    a. (x,y) ...
a. Persamaan garis melalui (-2,-3) dan sejajar dengan a. Persamaan garis melalui (-2,-3) dan sejajar dengan  Karena sejaja...
1. Diketahui  a. Selidiki apakah   suatu involusi  b. Kenakan T pada   a. (x,y)    a. (x,y)           (x’,y’)             ...
a. T pada a. T pada
S merupakan geseran apabila terdapat suatu ruas garis berarah ABsedemikian sehingga untuk setiap titik P pada bidang V ber...
S AB = S CD ⇔ AB = CDMisalkan tiga titik A, B dan C tidak segaris,S AB = S CD ⇔ CABD jajar genjangGeseran adalah suatu iso...
S AB = S CD ⇔ AB = CDBukti :   1) S AB = S CD ⇒ AB = CD        Ambil titik P dan kenakan S dengan vektor geser AB.        ...
Misalkan tiga titik A, B dan C tidak segaris,S AB = S CD ⇔ CABD jajar genjang  Bukti :     1) S AB = S CD ⇒ CABD jajar gen...
Geseran adalah suatu isometri Bukti :    1)                      A                       B                        P       ...
Y                                                 a                                            OB =                   ...
aOB =   → vektor     b      B(a, b) → titik koordinat                   Q(c,d)          P(a,b)     c−aPQ =     ...
Diketahui titik-titik A(4, -6) dan B(3, 1)1)   Carilah rumus SAB dan SBA?2)   Kena Apakah SBA kolineasi?3)   kan SBA pada ...
   Diketahui titik-titik A(4, -6) dan B(3, 1)    ◦ Apakah SBA kolineasi?    ◦ Kenakan SBA pada garis h di mana h melalui ...
TeoremaHasil kali dua geseran SAB dan SCD akan merupakan geseran lagi dengan = AB + CD                   PQ               ...
Y                          B        A                                      D            Q(x2,y2)                       P(x...
Setengah putaran terhadap titik P        A’             (dengan pusat P) dilambangkan             dengan Hp, adalah pemeta...
Bukti :Akan ditunjukkan Hp2=IAmbil A, kenakan Hp sehingga Hp(A)=A’Kenakan A’ dengan Hp, maka         Hp   Hp(A’)=A   Hp(Hp...
TEOREMASetengah putaran adalah isometriBukti :Ambil titik P, A dan B yang tidak segaris.P sebagai pusat putar.            ...
LanjutanPerhatikan ∆APB dan ∆A’PB’Karena      AP=PA’     ∠APB = ∠A PB  (bertolak belakang)      BP=PB’Maka ∆APB dan ∆A’PB’...
Y                          A’(x’,y’)                                       Ambil   P(a,b) sebagai                        ...
Diperoleh hubungan bahwa :      x + x   a=        → 2a = x + x  → x  = 2a − x        2      y + y   b=        → 2b = y + y...
LATIHANDiketahui A(-3,-5) dan B(-2,3)1. Carilah   HA•HB2. Apakah    HA•HB involusi?3. HB   memetakan ∆KLM ke∆K’L’M’ dengan...
1.   Diketahui A(4,4), B(2,-5) dan P(6,4), tentukan HA•HB(P)     dan HB•HA(P).2.   Diketahui P(3,2). Tentukan Hp((1,3)) da...
TEOREMAHasil kali dua setengah putaran merupakan geseranBukti :              P                                     P’’    ...
Ambil titik P, A dan B tidak segaris, kenakan P dengan HAsehingga :      HA(P)=P’ berlaku PA=AP’      HB(P)=P’ berlaku P’B...
Hasil kali geseran dan setengah           putaran ???
   Diketahui koordinat P(-2,8) dan R(0,10) serta ∆A’B’C’    dengan A’(5,1) B’(-3,-4) dan C’(1,-5). Carilah ∆ABC    sehing...
    Diketahui koordinat E(-5,-1) F(1,4) G(-2,-8)1.       Apakah hasil dari HF•HG         Jawab : (6-x, 22-y)1.   Jika HF•...
   Transformasi pencerminan /refleksi    menghasilkan bayangan yang tergantung pada    acuannya.
   Refleksi terhadap sumbu x                      Refleksi titik A (a, c) terhadap                      sumbu x menghasil...
Sama seperti refleksi terhadap                sumbu x menghasilkan                persamaan a’= - a, b’ = - b dan c’      ...
   Refleksi terhadap titik asal (0,0)    Menghasilkan persamaan    :    a’= - a, dan c’ = -c,    b’= - b, dan c’ = -c,   ...
   Refleksi terhadap garis y = x    Menghasilkan persamaan :    a’= c, dan c’ = a,    b’= c, dan c’’ = b,    d’= e, dan e...
   Refleksi terhadap garis y = - x    Menghasilkan persamaan :    a’= -c, dan c’ = -a,    b’= -c, dan c’’ = -b,    d’= -e...
   Refleksi terhadap garis y = h    Sumbu x digeser sejauh h,    menghasilkan persamaan :    a’= a, dan c’ = 2h-c,    b’=...
Bukti :Sumbu-x dipindahkan sejauh h sehingga sumbu-x yang baru adalah y = h. Maka koefisien setiap titik berubah        ′...
   Refleksi terhadap garis x = k                        Sekarang yang digeser adalah                        sumbu y sejau...
Contoh Soal :Tentukan bayangan jajaran-genjang ABCD dengan titik sudut A(-2,4), B(0,-5) C(3,2) dan D(1,11) jika direfleksi...
Refleksi terhadap sumbu-x adalah sebagai berikut :
Selanjutnya titik A’, B’, C’ dan D’ direfleksikan pada sb-y
Hasil akhir diperoleh jajaran-genjang A’’B’’C’’D’’ dengantitik sudut A’’(2,-4), B’’(0,5), C’’(-3,-2) dan D’’(-1,- 11).
   Telah dibahas bahwa :    ◦ Hasil kali 2 pencerminan dengan kedua sumbu sejajar     adalah berupa geseran.    ◦ Hasil k...
   Ambil sebarang sumbu s dan t yang berpotongan di P.    Sebuah titik A sebarang dikenai Ms dan Mt , berarti :    Ms(A) ...
Akibat pencerminan :   1.   2. PA = PA’        PA’ = PA’’        Jadi PA = PA’’Sehingga Mt•Ms menghasilkan :   1. PA = PA’...
   Putaran terhadap P dengan sudut θ sebagai sudut    putar dilambangkan dengan RP,θ adalah pemetaan    yang memenuhi :  ...
   Jika θ = 0o maka RP,θ = I   Jika θ = 180o maka RP,θ = HP   Jika α = β maka α = β + k•360o, dengan k anggota    B+  ...
   Sebarang putaran RP,θ selalu dapat dianggap sebagai    hasil kali 2 pencerminan, satu terhadap sumbu s dan    satu ter...
    Dengan pusat putar (0,0)    Ambil sumbu cermin s dan t di mana s berimpit dengan sumbu x dan t garis melalui (0,0)   ...
•   Sumbu t,               , maka    Mt : (x’,y’) → (x’’,y’’) dengan
•   Mt•Ms : (x,y) → (x’,y’) denganJadi, jika P(0,0) maka :RP,θ : (x,y) → (x’,y’) dengan
    Dengan pusat putar P(a,b)    Ambil suatu koordinat dengan pangkal P(a,b) dari suatu sumbu   .    Terhadap sumbu      ...
JadiJadi jika pusat putar P(a,b) makaRP,θ : (x,y) → (x’,y’) dengandenganSuatu transformasi yang dipenuhi    merupakan puta...
1. Kesebangunan mempertahankan besar sudut     Misalkan diberikan sebarang sudut < ABC dan T(<ABC) =<A’B’C’.Diperoleh |A’B...
Definisi      Misal P suatu titik tertentu dan k ≠0. Transformasi DP,kdisebut suatu dilatasi terhadap P dengan faktor k ji...
Teorema        Hasil kali suatu dilatasi dan suatu isometri adalah suatu    similaritas. Sebaliknya, suatu similaritas sel...
1.   Rumus Dilatasi Misalkan       titik   P(x,y) suatu   titik   tertentu.   T(a,b)   sebarang   titik dengan T’(a’,b’) s...
atausehingga
Materi ajar-geometri-transformasi
Materi ajar-geometri-transformasi
Materi ajar-geometri-transformasi
Materi ajar-geometri-transformasi
Materi ajar-geometri-transformasi
Materi ajar-geometri-transformasi
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Materi ajar-geometri-transformasi

24,087 views

Published on

Materi ajar-geometri-transformasi

  1. 1. Surfiani
  2. 2. TRANSFORMASI
  3. 3.  Unsur tetap Kolineasi Identitas Isometri Involusi
  4. 4. KOLINEASI
  5. 5. ISOMETRI
  6. 6. 1. Diketahui a. Selidiki apakah suatu kolineasi b. Selidiki apakah suatu involusi a. a. ambil persamaan garis ambil persamaan garis diperoleh diperoleh sehingga sehingga Karena g’ adalah garis maka T merupakan kolineasi. Karena g’ adalah garis maka T merupakan kolineasi.
  7. 7. a. (x,y) a. (x,y) (x’,y’) (x’,y’) (x’’,y’’) (x’’,y’’) TT TT TT=T22 TT=T Jadi Jadi
  8. 8. Jika V transformasi dan W transformasi, berkenaan sifat V dan W sebagai fungsi,maka dapat didefinisikan komposisi atau hasil kali dari V dan W. Seperti halnyamenyusun komposisi dua fungsi maka komposisi , W dikerjakan dahulubaru V. Jadi .Kemudian untuk menyingkat, seringkali ditulis
  9. 9. Hasil kali dua transformasi akan merupakan transformasi.Hasil kali dua transformasi akan merupakan transformasi.Bukti :: BuktiAmbil V dan W adalah transformasi dari bidang ke bidang semula, maka V•WAmbil V dan W adalah transformasi dari bidang ke bidang semula, maka V•Wmerupakan transformasi bila dapat dibuktikan bahwa V•W adalah pemetaanmerupakan transformasi bila dapat dibuktikan bahwa V•W adalah pemetaanbidang kepada bidang dan bahwa V•W satu-satu. bidang kepada bidang dan bahwa V•W satu-satu.Ambil sebarang titik Q’’Ambil sebarang titik Q’’Karena V transformasiKarena V transformasiKarena W transformasiKarena W transformasiSehingga SehinggaBerarti setiap titik pasti merupakan hasil fungsi V•W terhadap salah satu titik Berarti setiap titik pasti merupakan hasil fungsi V•W terhadap salah satu titikdalam bidang. Kemudian karena V dan W fungsi satu-satu, maka V•W juga akan dalam bidang. Kemudian karena V dan W fungsi satu-satu, maka V•W juga akanmerupakan fungsi satu-satu.merupakan fungsi satu-satu.Terbukti bahwa V•W adalah transformasi. Terbukti bahwa V•W adalah transformasi.
  10. 10. 1. Diketahui a. Carilah b. Kenakan pada persamaan garis yang melalui (-4,-6) dan sejajar dengan Jawab: a. (x,y) (x’,y’) (x’’,y’’) T2 T1 T1 T2 Jadi
  11. 11. a. Persamaan garis melalui (-2,-3) dan sejajar dengan a. Persamaan garis melalui (-2,-3) dan sejajar dengan Karena sejajar maka Karena sejajar maka Jadi Jadi Jadi Jadi
  12. 12. 1. Diketahui a. Selidiki apakah suatu involusi b. Kenakan T pada a. (x,y) a. (x,y) (x’,y’) (x’,y’) (x’’,y’’) (x’’,y’’) TT TT TT=T2 2 TT=T Jadi Jadi
  13. 13. a. T pada a. T pada
  14. 14. S merupakan geseran apabila terdapat suatu ruas garis berarah ABsedemikian sehingga untuk setiap titik P pada bidang V berlaku S(P)=P’dengan PQ=AB. Selanjutnya geseran dengan vektor geser AB dinyatakansebagai SAB A B P P’
  15. 15. S AB = S CD ⇔ AB = CDMisalkan tiga titik A, B dan C tidak segaris,S AB = S CD ⇔ CABD jajar genjangGeseran adalah suatu isometri
  16. 16. S AB = S CD ⇔ AB = CDBukti : 1) S AB = S CD ⇒ AB = CD Ambil titik P dan kenakan S dengan vektor geser AB. Berarti S AB ( P ) = P berarti AB = PP . Karena S AB = S CD maka S CD ( P ) = P berarti CD = PP . Karena AB = PP CD = PP Maka akibatnya AB = CD 2) AB = CD ⇒ S AB = S CD Ambil P dan kenakan S AB berarti S AB ( P) = P ⇒ AB = PP . Karena AB = CD maka CD = PP . Sehingga S CD ( P ) = P S AB ( P) = P Maka akibatnya S AB = S CD Dari (1) dan (2) terbukti bahwa S AB = S CD ⇔ AB = CD
  17. 17. Misalkan tiga titik A, B dan C tidak segaris,S AB = S CD ⇔ CABD jajar genjang Bukti : 1) S AB = S CD ⇒ CABD jajar genjang Dengan dalil 2.1 diperoleh bahwa jika S AB = S CD ⇒ AB = CD Karena S AB = S CD ⇒ AB = CD berakibat AC = BD Jadi CABD jajar genjang. 2) CABD jajar genjang ⇒ S AB = S CD CABD jajar genjang, berarti terdapat 2 pasang sisi yang sejajar dan sama panjang, yaitu AB = CD AC = BD Karena AB = CD dengan dalil 2.1 (jika AB = CD ⇒ S AB = S CD ) Jadi S AB = S CD Dari (1) dan (2) terbukti bahwa S AB = S CD ⇔ CABD jajar genjang.
  18. 18. Geseran adalah suatu isometri Bukti : 1) A B P P’ Q Q’ = S AB ( P ) = P ⇒ AB = PP S AB (Q) = Q ⇒ AB = QQ Akibatnya PP = QQ Akan dibuktikan P Q = PQ PP dan Q tidak segaris, dengan dalil 2.2 PQQ’P’ jajar genjang Berakibat P Q = PQ ⇒ P Q = PQ 2) P P’ Q Q’ PP dan Q segaris P Q = PQ − PP = PQ + QQ − PP karena PP = QQ maka P Q = PQ akibat P Q = PQ Jadi S isometri
  19. 19. Y a OB =   b    x a P’(x’,y’) SOB =   +    y b      x + a = y + b  B(a,b) b   b P(x,y) a XO a
  20. 20. aOB =   → vektor b  B(a, b) → titik koordinat Q(c,d) P(a,b) c−aPQ =  d − b   
  21. 21. Diketahui titik-titik A(4, -6) dan B(3, 1)1) Carilah rumus SAB dan SBA?2) Kena Apakah SBA kolineasi?3) kan SBA pada garis h di mana h melalui titik A dan tegak lurus dengan garis g : 8x-3y+10=9.4) Apakah SBA involusi?5) Apakah SBA isometri?6) Apakah hasil kali SAB dan SBA?
  22. 22.  Diketahui titik-titik A(4, -6) dan B(3, 1) ◦ Apakah SBA kolineasi? ◦ Kenakan SBA pada garis h di mana h melalui titik A dan tegak lurus dengan garis g : 8x-3y+10=0. ◦ Apakah SBA involusi? ◦ Apakah SBA isometri? ◦ Apakah hasil kali SAB dan SBA ?
  23. 23. TeoremaHasil kali dua geseran SAB dan SCD akan merupakan geseran lagi dengan = AB + CD PQ Q A B D T’’ P C T T’
  24. 24. Y B A D Q(x2,y2) P(x1,y1) CO X
  25. 25. Setengah putaran terhadap titik P A’ (dengan pusat P) dilambangkan dengan Hp, adalah pemetaan yang memenuhi untuk sebarang titik A di bidang V : P 1.Jika A ≠ P maka titik P titik tengah AA’ Hp(A)=A’A 2.Jika A = P maka Hp(A)=P=A
  26. 26. Bukti :Akan ditunjukkan Hp2=IAmbil A, kenakan Hp sehingga Hp(A)=A’Kenakan A’ dengan Hp, maka Hp Hp(A’)=A Hp(Hp(A))=A’=A Hp2(A)=A A P A’ Hp2=IJadi Hp involusi Hp
  27. 27. TEOREMASetengah putaran adalah isometriBukti :Ambil titik P, A dan B yang tidak segaris.P sebagai pusat putar.  Kenakan A dengan Hp, B sehingga Hp(A)=A’ dengan A’ AP=PA’. P  Kenakan B dengan Hp, A sehingga Hp(B)=B’ dengan B’ BP=PB’.
  28. 28. LanjutanPerhatikan ∆APB dan ∆A’PB’Karena AP=PA’ ∠APB = ∠A PB (bertolak belakang) BP=PB’Maka ∆APB dan ∆A’PB’ kongruen (s, sd, s)Akibat : AB=A’B’Jadi setengah putaran adalah isometri
  29. 29. Y A’(x’,y’)  Ambil P(a,b) sebagai pusat putar. P(a,b)  Hp memetakan A(x,y) ke A’(x’,y’). A(x,y) XO
  30. 30. Diperoleh hubungan bahwa : x + x a= → 2a = x + x → x = 2a − x 2 y + y b= → 2b = y + y → y = 2b − y 2Jadi jika P(a,b) maka :Hp = (x,y)→(x’,y’) dengan  x   2a − x   =  y   2b − y      
  31. 31. LATIHANDiketahui A(-3,-5) dan B(-2,3)1. Carilah HA•HB2. Apakah HA•HB involusi?3. HB memetakan ∆KLM ke∆K’L’M’ dengan K(3,5), L(-5,-4) dan M(5,6). Carilah koordinat K’, L’ dan M’4. Carilah Q s.d.s HA•HB(Q)=P dengan P(-4,7)
  32. 32. 1. Diketahui A(4,4), B(2,-5) dan P(6,4), tentukan HA•HB(P) dan HB•HA(P).2. Diketahui P(3,2). Tentukan Hp((1,3)) dan Hp-1 ((2,4)).3. Misalkan L={(x,y)│x2+y2=25}.Tentukan L’=HB•HA(L) jika A(2,1) dan B(-3,5).4. Misalkan g={(x,y)│y=5x+3} dan A(2,3), B(-1,-2) dan C(3,5). Tentukan SAB•Hc(g).
  33. 33. TEOREMAHasil kali dua setengah putaran merupakan geseranBukti : P P’’ A B C P ’
  34. 34. Ambil titik P, A dan B tidak segaris, kenakan P dengan HAsehingga : HA(P)=P’ berlaku PA=AP’ HB(P)=P’ berlaku P’B=BP’’Berarti : HB(P’)=P’’ HB(HA(P))=P’’ HB•HA(P)=P’’Karena PA=AP’ dan P’B=BP’’Maka AB merupakan garis tengah sejajar alas PP’ dalam∆PP’P’’ sehingga PP’’=2ABBerarti HA•HB merupakan geseran atau HA•HB=SAC dengan AC=2AB
  35. 35. Hasil kali geseran dan setengah putaran ???
  36. 36.  Diketahui koordinat P(-2,8) dan R(0,10) serta ∆A’B’C’ dengan A’(5,1) B’(-3,-4) dan C’(1,-5). Carilah ∆ABC sehingga : HR•HP(A)=A’ HR•HP(B)=B’ HR•HP(C)=C’ Jawab : A(1,-3) B(-7,-8) C(-3,-9)
  37. 37.  Diketahui koordinat E(-5,-1) F(1,4) G(-2,-8)1. Apakah hasil dari HF•HG Jawab : (6-x, 22-y)1. Jika HF•HG=SED carilah koordinat D Jawab : (1, 21)3. Kenakan HE•HF pada garis g di mana g melalui E dan tegak lurus garis yang melalui F dan G4. Apakah hasil dari HF•HE•HG5. Selidiki apakah HG•SEF involusiFind the answers by yourself, pasti bisa!!!
  38. 38.  Transformasi pencerminan /refleksi menghasilkan bayangan yang tergantung pada acuannya.
  39. 39.  Refleksi terhadap sumbu x Refleksi titik A (a, c) terhadap sumbu x menghasilkan bayangan yaitu A’(a’, c’), demikian juga untuk titik B dan titik C. Diperoleh persamaan bahwa : a’ = a, b’ = b, c’= -c dan seterusnya sehingga persamaan matrik transformasinya adalah : 1 0  Tx =   0 -1 Refleksi ditulis dengan notasI : sumbu x A(a,c) A’(a, -c) x′  x  1 0  x  Dengan notasi  y ′ = Tx  y  = 0 -1  y  matrik :       
  40. 40. Sama seperti refleksi terhadap sumbu x menghasilkan persamaan a’= - a, b’ = - b dan c’ = c dan seterusnya. sehingga persamaan matrik transformasinya-1 0  adalah : Ty =    0 1 Refleksi ditulis dengan notasI : sumbu y A(a,c) A’(-a, c) x′  x  -1 0  x Dengan notasi  y ′ = Ty  y  =  0 1  y        matrik :
  41. 41.  Refleksi terhadap titik asal (0,0) Menghasilkan persamaan : a’= - a, dan c’ = -c, b’= - b, dan c’ = -c, d’= - d, dan c’ = -c, sehingga persamaan matrik transformasinya -1 0  adalah :=  T(0,0)  0 -1  Refleksi ditulis dengan notasI : titik(0,0) A(a,c) A’(-a,-c)  x′   x  -1 0   x  Dengan notasi  y′ = T(0,0)  y  =  0 -1  y  matrik :       
  42. 42.  Refleksi terhadap garis y = x Menghasilkan persamaan : a’= c, dan c’ = a, b’= c, dan c’’ = b, d’= e, dan e’ = d dan seterusnya sehingga persamaan matrik transformasinya adalah : 0 1 Ty = x =  1 0  Refleksi ditulis dengan notasI : y=x A(a,c) A’(c,a)  x′   x  0 1  x  Dengan notasi  y ′ = Ty = x  y  = 1 0   y  matrik :       
  43. 43.  Refleksi terhadap garis y = - x Menghasilkan persamaan : a’= -c, dan c’ = -a, b’= -c, dan c’’ = -b, d’= -e, dan e’ = -d dan seterusnya, sehingga persamaan matrik transformasinya adalah : 0 -1 Ty =− x =   -1 0   Refleksi ditulis dengan notasI : y =- x A(a,c) A’(-c,-a)  x′   x  0 -1   x  Dengan notasi  y′ = Ty =− x  y  = -1 0   y  matrik :       
  44. 44.  Refleksi terhadap garis y = h Sumbu x digeser sejauh h, menghasilkan persamaan : a’= a, dan c’ = 2h-c, b’= b, dan c’ = 2h-c, d’= d, dan e’ = 2h-e, sehingga notasi persamaan matrik transformasinya adalah :  x′  1 0   x  0   y′ = 0 -1  y  + 2h        
  45. 45. Bukti :Sumbu-x dipindahkan sejauh h sehingga sumbu-x yang baru adalah y = h. Maka koefisien setiap titik berubah  ′ x’,  x 0  menjadix( = y’)dengan : x   y′ − =  y  h   y − h        Kemudian titik tersebut direfleksikan pada sumbu-x yang  x′′  1 0   x   x  baru menjadi :  y ′′ = 0 -1  y − h  = − y + h        Tahap terakhir, menggeser sumbu-x yang baru ke sumbu- x semula dengan memakai translasi diperoleh:  x′′′   x  0   x   y′′′ = − y + h  + h  = − y + 2h           x  0  1 0   x  0  = +  =   y  +  2h  - y  2h  0 -1    
  46. 46.  Refleksi terhadap garis x = k Sekarang yang digeser adalah sumbu y sejauh k, menghasilkan persamaan : a’= 2k-a, dan c’ = c, b’= 2k-b, dan c’ = c, d’= 2k-d, dan e’ = e, sehingga notasinya adalah : x=k A(a,c) A’(2k- a,c)  x′  -1 0   x  2k  Dengan notasi  y ′ =  0 1   y  +  0  matrik :       
  47. 47. Contoh Soal :Tentukan bayangan jajaran-genjang ABCD dengan titik sudut A(-2,4), B(0,-5) C(3,2) dan D(1,11) jika direfleksikan terhadap sumbu-x, kemudian dilanjutkan dengan refleksi terhadap sumbu-y.Jawab :Penyelesaian soal tersebut dilakukan dengan dua tahap yaitu mencari bayangan jajaran-genjang ABCD dari refleksi terhadap sumbu-x, kemudian bayangan yang terjadi direfleksikan terhadap sumbu-y.
  48. 48. Refleksi terhadap sumbu-x adalah sebagai berikut :
  49. 49. Selanjutnya titik A’, B’, C’ dan D’ direfleksikan pada sb-y
  50. 50. Hasil akhir diperoleh jajaran-genjang A’’B’’C’’D’’ dengantitik sudut A’’(2,-4), B’’(0,5), C’’(-3,-2) dan D’’(-1,- 11).
  51. 51.  Telah dibahas bahwa : ◦ Hasil kali 2 pencerminan dengan kedua sumbu sejajar adalah berupa geseran. ◦ Hasil kali 2 pencerminan dengan kedua sumbu yang saling tegak lurus adalah berupa setengah putaran. Apakah hasil kali 2 pencerminan jika kedua sumbu sebarang???
  52. 52.  Ambil sebarang sumbu s dan t yang berpotongan di P. Sebuah titik A sebarang dikenai Ms dan Mt , berarti : Ms(A) = A’ Mt(A’) = A’’ Jadi, Mt(A’) = A’’ Mt(Ms(A)) = A’’ (Mt•Ms)(A) =A’’ Ambil Q titik tengah AA’ Ambil R titik tengah A’A’’
  53. 53. Akibat pencerminan : 1. 2. PA = PA’ PA’ = PA’’ Jadi PA = PA’’Sehingga Mt•Ms menghasilkan : 1. PA = PA’’ 2.
  54. 54.  Putaran terhadap P dengan sudut θ sebagai sudut putar dilambangkan dengan RP,θ adalah pemetaan yang memenuhi : ◦ RP,θ (P) = P ◦ Rp,θ (A) =A’ di mana PA=PA’ dan P = pusat putar θ = sudut putar
  55. 55.  Jika θ = 0o maka RP,θ = I Jika θ = 180o maka RP,θ = HP Jika α = β maka α = β + k•360o, dengan k anggota B+ Sudut θ positif jika arah berlawanan jarum jam
  56. 56.  Sebarang putaran RP,θ selalu dapat dianggap sebagai hasil kali 2 pencerminan, satu terhadap sumbu s dan satu terhadap sumbu t. P = titik (s,t) Jadi, hasil kali 2 pencerminan Mt•Ms : ◦ Jika s//t maka Mt•Ms = SAB dengan AB = 2 jarak (s,t) ◦ Jika s tidak sejajar t maka Mt•Ms = Rp,θ dengan P = titik (s,t) dan ◦ Jika s tegak lurus t maka Mt•Ms = RP,θ = HP
  57. 57.  Dengan pusat putar (0,0) Ambil sumbu cermin s dan t di mana s berimpit dengan sumbu x dan t garis melalui (0,0) dengan RP,θ dinyatakan sebagai hasil kali pencerminan : • Sumbu s, y = 0 Ms : (x,y) → (x’,y’) dengan
  58. 58. • Sumbu t, , maka Mt : (x’,y’) → (x’’,y’’) dengan
  59. 59. • Mt•Ms : (x,y) → (x’,y’) denganJadi, jika P(0,0) maka :RP,θ : (x,y) → (x’,y’) dengan
  60. 60.  Dengan pusat putar P(a,b) Ambil suatu koordinat dengan pangkal P(a,b) dari suatu sumbu . Terhadap sumbu koordinat C(x,y) dan C’(x,y). RP,θ : (x,y) →(x’,y’) dengan Bila terhadap sumbu XOY, koordinat C(x,y) dan C’(x’,y’)
  61. 61. JadiJadi jika pusat putar P(a,b) makaRP,θ : (x,y) → (x’,y’) dengandenganSuatu transformasi yang dipenuhi merupakan putaran.
  62. 62. 1. Kesebangunan mempertahankan besar sudut Misalkan diberikan sebarang sudut < ABC dan T(<ABC) =<A’B’C’.Diperoleh |A’B’| = k|AB|, |B’C’| = k|BC|, dan |A’C’| = k|A’C’|.Sehingga segitiga A’B’C’ sebangun dengan segitiga ABC. Diperolehbesar sudut A’B’C’ sama dengan besar sudut ABC.Jadi terbukti bahwa kesebangunan mempertahankan besar sudut.Akibat langsung dari bukti ini adalah kesebangunan jugamempertahankan ketegaklurusan.
  63. 63. Definisi Misal P suatu titik tertentu dan k ≠0. Transformasi DP,kdisebut suatu dilatasi terhadap P dengan faktor k jikaa. DP,k (P)=P.b. Untuk sebarang titik Q≠P, DP,k(Q) = Q’ dengan PQ’=kPQ dan Q’ pada PQ untuk k>0 kemudian Q’ pada P/Q untuk k<0. Teorema Untuk sebarang garis g dan g’=DP,k(g) berlaku : a. g’=g jika P terletak pada g. b. g’//g jika P tidak terletak pada g.
  64. 64. Teorema Hasil kali suatu dilatasi dan suatu isometri adalah suatu similaritas. Sebaliknya, suatu similaritas selalu dapat dinyatakan sebagai hasilkali suatu dilatasi dan suatu isometri. Teorema Untuk sepasang segitiga yang sebangun ABC dan A’B’C’ terdapattepat satu similaritas L yang membawa A ke A’, B ke B’ , dan C ke C’
  65. 65. 1. Rumus Dilatasi Misalkan titik P(x,y) suatu titik tertentu. T(a,b) sebarang titik dengan T’(a’,b’) sedemikian hingga T’=D P,k(T). Kemudian p adalah vektor posisi dari P(x,y), t’ vektor posisi dari T’(a’,b’) dan t vektor posisi dari T(a,b) T’(a’,b’) P(x,y) t’ x T(a,b) tSehingga dengan menggunakan aturan vektor dan matriksdiperoleh:PT’ = k(PT)t’-x = k(t-x)
  66. 66. atausehingga

×