1. Dokumen menjelaskan berbagai jenis transformasi geometri dua dimensi seperti translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi. 2. Translasi adalah perpindahan titik tanpa merubah bentuk dengan menambahkan vektor translasi. Refleksi memproyeksikan titik ke cermin. 3. Rotasi memutar titik di sekitar pusat putar dengan sudut tertentu. Dilatasi memperbesar atau memperkecil ukuran dengan faktor sk

1. TRANSFORMASI
KELOMPOK 7
UFIT FITRIANI (145500016)
MAR’ATUS SH (145500042)
FIKA ALIFTIANA (145500165)
ANI ROSIDAH (145500181)

2. Apa saja yang akan kita pelajari ?

3. P (x,y)
• Suatu titik atau sistem mengalami pergeseran
namun tidak merubah bentuk, karena setiap titik
penyusun sistem mengalami pergeseran yang sama.
• Contoh :
1. Translasi (Perpindahan)
Sebuah titik P(x,y)
ditranslasikan sejauh a
satuan sepanjang
sumbu x dan b satuan
sepanjang sumbu y,
diperoleh peta titik
P’(x’,y’).
x‘x
y‘
y
Y
X
P ‘ (x ‘,y ‘) = P ‘ (x+a , y+b)
T=
a
b
b
a
0

4. dy
dx
• Translasi dari titik P ke titik P’ secara linier.
x’ = x + dx
y’ = y + dy
Model Matrik:


















dy
dx
y
x
y
x
'
'
P (x,y)
P‘ (x ‘,y ‘)

5. O (n,d)P (m,d)D (a,d)
N (n,c)M (m,c)B (b,c)A (a,c)
nmba
c
d
• Sebuah buku yang terletak di atas meja digeser sejauh
h, maka setiap titik yang menyusun buku tersebut
harus bergeser sejauh h juga.
• Buku bergeser dalam satu arah yaitu arah x positif
Y
X
C (b,d)
h

6. s
o
p
O (n,p)P (m,p)
N (n,o)M (m,o)
C (b,d)D (a,d)
B (b,c)A (a,c)
• Bagaimana jika buku digeser ke arah x dan y sekaligus ?
nmba
c
d
Y
X
h
Karena bentuk buku harus tetap, maka

7. • Penulisan proses translasi titik A menjadi titik M, dan
titik B menjadi titik N dengan T
h
s
 
  
 
adalah :
A( , ) M( , )a c a h c s 
T
h
s
 
  
 
B( , ) N( , )b c b h c s 
T
h
s
 
  
 

8. Tentukan bayangan dari lingkaran (x – 2)2 + (y – 1)2 = 9 jika ditranslasikan oleh :
Titik P ditranslasi dengan diperoleh titik T’ sbb :
3
T
4
 
  
 
P( , ) P'( 3, 4)a b a b 
3
T
4
 
  
 
Jawab :
Contoh soal :
Misalkan titik P(a,b) adalah titik pada lingkaran, sehingga persamaan dapat
ditulis : (a – 2)2 + (b – 1)2 = 9
3
T
4
 
  
 

9. Persamaan lingkaran mempunyai pusat (2,1). Dengan dilakukan translasi pusat
lingkaran diperoleh :
Jadi bayangan lingkaran : (x – 5)2 + (y – 5)2 = 9
Maka : a’ = a + 3 dan b’ = b + 4
Substitusi ke persamaan :
(a’ – 3– 2)2 + (b’ – 4– 1)2 = 9
(a’ – 5)2 + (b’ – 5)2 = 9
Jadi bayangan lingkaran : (x – 5)2 + (y – 5)2 = 9
a = a’ – 3 dan b = b’ – 4
O(2,1) O'(2 3,1 4) O'(5,5)  
3
T
4
 
  
 
Cara lain :

10. 2. Refleksi (Pencerminan)
Refleksi adalah transformasi yang memindahkan titik-titik
dengan menggunakan sifat bayangan oleh suatu cermin.
1. Pencerminan terhadap sumbu x (dilambangkan dengan Mx)
Mx : P(x,y) P‘(x‘,y‘) = P‘(x,-y)
Persamaan matriksnya :
y
y
-y
A (x,y)
A‘ (x,-y)

11. A‘ (-x,-y)
2. Pencerminan terhadap sumbu y (dilambangkan dengan My)
My : P(x,y) P‘(x‘,y‘) = P‘(-x,y)
Persamaan matriksnya :
3. Pencerminan terhadap titik asal O(0,0) (dilambangkan dengan Mo)
Mo : P(x,y) P‘(x‘,y‘) = P‘(-x,-y)
Persamaan matriksnya :
y
x -x
A‘ (-x,y) y A (x,y)
x
y
x
A (x,y)

12. 4. Pencerminan terhadap garis y = x (dilambangkan dengan My = x)
My = x : P(x,y) P‘(x‘,y‘) = P‘(y,x)
Persamaan matriksnya :
5. Pencerminan terhadap garis y = -x (dilambangkan dengan My = -x)
My = -x : P(x,y) P‘(x‘,y‘) = P‘(-y,-x)
Persamaan matriksnya :
y
A‘ (x,y)
A (x,y)
x
y = x
y
A‘ (-y,-x)
A (x,y)
x
y = -x

13. x
6. Pencerminan terhadap garis x = h (dilambangkan dengan Mx =
h)
Mx = h : P(x,y) P‘(x‘,y‘) = P‘(2h - x , y)
7. Pencerminan terhadap garis y = k (dilambangkan dengan My =
k)
My = k : P(x,y) P‘(x‘,y‘) = P‘(x , 2k-y)
A=(x,y) A ‘(2h-x,y)
x
x h-x
2h-xh
h-x
y
2k-y
k
A ‘(x,2k-y)
A(x,y)
y=k
k-y
k-y
y

14. 8. Pencerminan terhadap titik (a,b)(dilambangkan dengan
M(a,b))
M(a,b) : P(x,y) P‘(x‘,y‘) = P‘(2a-x , 2b-y)

15. CONTOH :
1. P (3,5) di refleksikan terhadap garis x = 4. Maka bayangannya
adalah....
Penyelesaian :
P(3,5) Mx = 4 P‘(2h-x, y)
P‘(2(4)-3, 5))
P‘(5,5)
2. Q (4,-1) di refleksikan terhadap garis y = 5. Maka Q‘....
Penyelesaian :
Q(4,-1)My = 5 Q‘(x, 2k-y)
Q‘(4, 2(5)+1)
Q‘(4,11)

16. 
x
y
3. Rotasi (Perputaran)
Rotasi adalan transformasi yang memindahkan titik pada
bidang dengan perputaran yang ditentukan oleh pusat rotasi,
besar sudut rotasi dan arah sudut rotasi.
x’ = x cos() - y sin()
y’ = x sin() + y cos()
P‘ (x ‘,y ‘)
P (x,y)

17. • Untuk memudahkan perhitungan, maka dibuat
notasi dalam bentuk matrik :
dengan :
- sin θ dan cos θ adalah fungsi linier dari θ
- x’ kombinasi linier dari x dan y
- y’ kombinasi linier dari x dan y
cos -sin
sin cos
x x
y y
 
 
     
          

18. Bukti :
Titik A berpindah ke titik A’ sejauh α.
Dalam koordinat kutub, titik A(a,b) ditulis : A(r cos θ, r sin θ).
Sedangkan A’(a’,b’) ditulis : A’(r cos (θ + α), r sin (θ + α)).
Maka, diperoleh :
Matrik transformasi
untuk titik yang dirotasi
terhadap titik pusat O (0,0)
α
r cos (θ + α)
r cos θ
 x
y
A‘ (a‘, b‘)
A (a , b)

19. CONTOH :
1. P (2,3) diputar 90 berlawanan arah jarum jam dengan pusat O
(0,0). Bayangan titik P adalah ….
Penyelesaian :
x‘
y‘
A‘

20. 4. Dilatasi (Penskalaan )
• Merupakan transformasi suatu titik atau sistem terhadap
suatu acuan yang menyebabkan jarak titik atau sistem
berubah dengan perbandingan tertentu.
(Perpindahan titik P ke titik P’ dengan jarak titik P’ sebesar
m kali titik P)
x
y
P(x,y)
P’(x’,y’)
mx.x
my.y
x’ = mx x
y’ = my y

21. • Dalam bentuk matrik dituliskan :
• Transformasi ini tidak mengalami perubahan bentuk,
hanya mengalami perubahan ukuran karena jarak titik-
titik penyusun berubah dengan perbandingan tertentu
terhadap acuan.
0
0
x
y
mx x
my y
     
         

22. • Dikenal suatu istilah faktor dilatasi k yang menyebab-kan
perbesaran atau perkecilan suatu sistem.
• Jika nilai k (bilangan nyata):
 k > 1 : hasil dilatasi diperbesar
 -1 < k < 1 : hasil dilatasi diperkecil
 k = 1 : hasil dilatasi sama dengan aslinya.
• Contoh :
Gambar disamping dilakukan
dilatasi dengan faktor k = 2.
Carilah titik-titik A’, B’ C’ dan D’
!

23. • Jawab :
Transformasi dapat dilakukan dengan :
Jadi hasil dilatasi
terhadap titik O(0,0):
A’(4,6), B’(10,6)
C’(12,10), D’ (6,10)
Notasi :
A(a,b) A’(ka,kb)
(0,k)

24. CONTOH :
1. Garis y = 2x – 1 didilatasi dengan pusat O (0,0) dan faktor skala 3.
Petanya adalah ....
Penyelesaian :
A (x , y) [0 , 3] A‘(3x , 3y)
x‘ = 3x
y‘ = 3y
Bayangan : | x3= 2. - 1
= 2 x ‘ - 3
y = 2x - 3
2x – y – 3 = 0
Benda : y = 2x - 1
TERIMA KASIH