2. Pengantar
Dua matriks itu dikatakan sama jika keduanya mempunyai ukuran
yang sama dan jika elemen-elemen yang bersesuaian sama.
• aij: elemen matrix A pada baris ke-i dan kolom ke-j.
• Untuk sebuah matriks persegi A dengan ordo n×n, diagonal
utamanya adalah:
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
n n nn
a a a
a a a
a a
A
a
=
L
L
M M O M
L
Jadi, A = B if aij = bij.
3. Penjumlahan
Jadi, jika , maka ij ij ijC A B c a b= + = +
Misal A dan B adalah dua matriks yang berukuran sama.
Hasil penjumlahan dari A + B adalah matriks yang diperoleh dari
penjumlahan elemen-elemen yang bersesuaian dari A dan B.
Matriks A + B akan menjadi matriks yang berukuran sama seperti
matriks A dan B.
Jika A dan B tidak berukuran sama, mereka tidak dapat dijumlahkan,
dan kita katakan bahwa hasil penjumlahannya tidak ada.
4. 1 4 7 2 5 6 5 4
0 2 3 3 1
,
8 2 7
, .
= = =
− −
− −
Misalkan danA B C
Tentukan A + B dan A + C, Jika hasil penjumlahannya ada.
Penyelesaian:
1 2 4 5 7 6
0 3 2 1 3
1 4 7 2 5 6
0 2 3 3 1
8
3 9 1
3 1 1
( )
1
1
.
8
A B
+ +
+ = +
−
− − + +
− −
=
=
−
−
−
(2) Karena A adalah matriks 2 × 3 dan C adalah sebuah matriks 2
× 2, mereka bukan matriks yang berukuran sama, maka A + C
tidak ada.
5. Perkalian Skalar
Jadi, jika , maka ij ijB cA b ca= =
Misalkan A adalah sebuah matriks dan c adalah sebuah skalar.
Perkalian skalar dari A dengan c, dinyatakan dengan cA, adalah
matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen dari A
dengan c. Matriks cA akan menjadi berukuran sama seperti A.
Contoh 3
1 2 4
0
.
7 3
=
−
−
Misalkan A
3 1 3 ( 2) 3 4
3 7 3 ( 3) 3
3 .
3 6 1
10
2
2 9 0
A
× × − ×
× × − ×
−
= =
−
Perhatikan bahwa A dan 3A keduanya merupakan matriks 2 × 3.
6. Jika B adalah sebuah matriks, maka –B akan menyatakan hasil
kali (-1)B. Jika A dan B adalah dua matriks yang berukuran sama,
maka
A – B = A + (–1)B
Contoh 4
5 0 2 2 8 1
3 6 5 0 4 6
. =
− −
−
Andaikan danA
5 2 0 8 2 ( 1) 3 8 1
3 0 6 4
.
5 6 3 2 1 1
− − − − − − −
− − − −
− = =
−
A B
7. Perkalian
11 1 2 2
1
2
2 i iij i j i j i in
j
j
n
j
nj
n
a a a
b
c a b a b b
b
b
a
= = + + +
L
M
L
Misalkan bilangan yang menyatakan banyaknya kolom sebuah
matriks A sama seperti bilangan yang menyatakan banyaknya baris
sebuah matriks B. Maka hasil kali AB itu ada.
Jika bilangan yang menyatakan banyaknya kolom A tidak sama
dengan banyaknya bilangan yang menyatakan banyaknya baris B, kita
katakan bahwa hasil kalinya tidak ada.
Misalkan A: matriks m×n, B: matriks n×k,
Hasil kali matriks C = AB yang elemen-elemennya
C adalah sebuah matriks m×k.
10. Jika A adalah sebuah matriks m × r dan B adalah sebuah matriks
r × n, maka AB akan menjadi sebuah matriks m × n.
A
m × r
B
r × n
= AB
m × n
Contoh 8
Jika A adalah sebuah matriks 5 × 6 dan B adalah matriks 6 × 7.
Karena A mempunyai 6 kolom dan B mempunyai 6 baris.
Jadi, AB itu ada. Dan AB akan menjadi matriks 5 × 7.
11. Sebuah matriks nol adalah sebuah matriks yang semua elemen-
elemennya nol.
Matriks diagonal adalah sebuah matriks yang semua elemen yang
bukan pada diagonal utama adalah nol.
Matriks identitas adalah sebuah matriks diagonalyang semua
elemen pada diagonal utama adalah 1.
0 0 0
0 0 0
0 0 0
matriks nol
mn0
L
L
M M L M
L
=
11
22
0 0
0 0
0 0
matriks diagonal A
nn
A
a
a
a
L
L
M M L M
L
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
matriks identitas
nI
L
L
M M L M
L
=
Matriks Khusus
12. Beberapa Sifat Matriks
Misalkan A adalah matriks m × n dan 0mn adalah matriks nol m × n.
Misalkan B adalah sebuah matriks persegi n × n. 0n dan In adalah
matriks nol dan matriks identitas matriks n × n. Maka
A + 0mn = 0mn + A = A
B0n = 0nB = 0n
BIn = InB = B
Contoh 9
2 1 3 2 1
Misalkan dan .
4 5 8 3 4
A B
−
= = −
23
2 1 3 0 0 0 2 1 3
4 5 8 0 0 0 4 5 8
A A
− −
+ = + = =
0
2 2
2 1 0 0 0 0
3 3 0 0 0 0
B
= = =
−
0 0
2
2 1 1 0 2 1
3 4 0 1 3 4
BI B
= = =
− −
13. Misalkan A, B, dan C adalah matriks dan a, b, and c adalah
skalar. Asumsikan bahwa ukurannya adalah sama seperti operasi
yang dapat dibentuk.
Sifat penjumlahan matriks dan perkalian skalar
1. A + B = B + A Sifat komutatif pada penjumlahan
2. A + (B + C) = (A + B) + C Sifat asosiatif pada penjumlahan
3. A + 0 = 0 + A = A (Dimana 0 adalah matriks nol)
4. c(A + B) = cA + cB Sifat distributif pada penjumlahan
5. (a + b)C = aC + bC Sifat distributif pada penjumlahan
6. (ab)C = a(bC)
14. Misalkan A, B, dan C adalah matriks dan a, b, dan c adalah
skalar. Asumsikan bahwa ukurannya adalah sama seperti
operasi yang dapat dibentuk.
Sifat-sifat Perkalian Matrix Multiplication
1. A(BC) = (AB)C Sifat asosiatif pada perkalian
2. A(B + C) = AB + AC Sifat distributif pada perkalian
3. (A + B)C = AC + BC Sifat distributif pada perkalian
4. AIn = InA = A (Dimana In adalah matriks identitas)
5. c(AB) = (cA)B = A(cB)
Catatan: bentuk umum AB ≠ BA. Perkalian pada matriks tidak
berlaku sifat komutatif.
Sifat-sifat Secara Aljabar
