tentang pelajaran matrik

1. MATRIKS
IKIP Siliwangi
Oleh
Asep Ikin Sugandi

2. A. Pengantar
Deskripsi Mata Kuliah
Perkuliahan ini membahas tentang
1. Pengertian matriks dan jenis-jenis matriks
2. Determinan
3. Sistem persamaan linear
4. Ruang vector
5. Ruang hasil dalam
6. Transformasi
7. Eigen Value
2

3. B. Penilaian
Penilaian terdiri dari :
1. Kehadiran 10%
2. Tugas atau Kuis 20%
3. UTS 30%
4. UAS 40%
Penilaian Akhir:
3

4. 4
NILAI Rentang skor
A NA ≥ 90
A- 81≤NA< 90
B+ 71≤NA< 80
B 61≤NA< 70
B- 51≤NA< 60
C+ 41≤NA< 50
C 31≤NA< 40
C- 21≤NA< 30
D 11≤NA< 200
E NA <11

5. 5
DEFINISI MATRIKS
Matriks adalah suatu susunan bilangan atau huruf
berbentuk segi empat yang diatur dalam baris dan kolom
dan dibatasi oleh dua kurung. Unsur-unsur tersebut bisa
berupa bilangan dan juga suatu peubah. Nama matriks
menggunakan huruf besar seperti A, B, C dst. Sedangkan
anggota (elemen) dari matriks yang berupa huruf
dituliskan menggunakan huruf kecil. Tanda yang
digunakan untuk mengurung elemen-elemen matriks
menggunakan tanda [ ], ( )
Contoh L:
A =
1 2 2
3 4 3
1 5 1

6. 6
ORDO MATRIKS
Dimensi yang menunjukkan banyaknya baris x banyaknya kolom
A=
2 2
2 4
Ordo matriks A = 2 x 2
B=
3 4 5
6 7 5
3 2 1
Ordo matriks B = 3 x 3
C=
𝑎11 𝑎12 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 𝑎2𝑛
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚𝑛
Ordo C= m x n

7. 7
C. Jenis matriks
1. Matriks Baris
Matriks yang terdiri dari satu baris
A = 1 2 3
2. Matriks kolom
Matriks yang terdiri dari satu kolom
B=
2
1
3. Matrik bujur sangkar
Matriks yang memiliki banyaknya baris sama dengan banyaknya
kolom

8. 8
D =
2 3
3 4
4. Matriks persegi Panjang
Matriks yang banyaknya baris tidak sama dengan banyak kolom
E=
2 3 4
1 2 4
5. Matriks segitiga atas
Matrisk yang unsutr-unsur dibawah diagonal utama sama
dengan nol
F=
1 2 3
0 2 4
0 0 3
, i > j

9. 9
6. Matriks segitiga bawah
Matriks yang unsur-unsur di atas diagonal utama adalah nol
G=
1 0 0
1 3 0
2 3 5
, 𝑎𝑖𝑗=0,𝑗𝑖𝑘𝑎 i <j
7. Matriks Skalar
Matriks yang unsur-unsur pada diagonal utama sama dengan k
dan yang lainnya nol
H=
𝑘 0 0
0 𝑘 0
0 0 𝑘
, 𝑎𝑖𝑗= k, i =j dan 𝑎𝑖𝑗 = 0, jika i ≠ j

10. 10
7. Matriks Identitas
Matriks yang unsur-unsur pada diagonal utama sama dengan 1
dan yang lainnya nol
H=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Trace Matriks
J=
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
Trace (Tr) J= 𝑎11+𝑎22+𝑎23

11. 11
7. Matriks Identitas
Matriks yang unsur-unsur pada diagonal utama sama dengan 1
dan yang lainnya nol
H=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Trace Matriks
J=
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
Trace (Tr) J= 𝑎11+𝑎22+𝑎23

12. 12
8. Matriks transformasi
Matriks yang mengubah baris menjadi kolom dan kolom menjadi
baris. Matriks transformasi dari A adalah 𝐴𝑡.
Misalkan A=
1 2 3
4 5 6
7 8 9
B=
−1 −2 3
4 −5 6
9 8 9
Maka 𝐴𝑡
=
1 4 7
2 5 8
3 6 9
𝐴𝑡
=
−1 4 9
−2 −5 8
3 6 9
9. Matriks Simetri
Suatu matriks bujur sangkar A= 𝑎𝑖𝑗 dikatakan simetri jika unsur
𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖, untuk semua i dan j

13. 13
A=
1 5 7
5 3 2
7 2 4
10. Matriks simetri miring
Suatu matriks bujur sangkar A= 𝑎𝑖𝑗 dikatakan simetri miring jika
unsur 𝑎𝑖𝑗 = −𝑎𝑗𝑖, untuk semua i dan j
A=
1 −5 7
5 3 −2
−7 2 4

14. 14
Operasi Matriks
1. Kesamaan Dua Matriks Definisi: Dua matriks didefinisikan sama jika
keduanya mempunyai ukuran atau dimensi yang sama dan
elemen−elemen yang berpadanan sama. Dalam notasi matriks, jika
A = (𝑎𝑖𝑗) dan B = (𝑏𝑖𝑗) mempunyai ukuran yang sama maka A=B jika
dan hanya jika(𝐴𝑖𝑗)=(𝐵𝑖𝑗), atau secara ekuivalen 𝑎𝑖𝑗=𝑏𝑖𝑗, untuk
semua i dan j
Contoh :
Jika A = 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥 1 + 𝑡𝑔2𝑥
1 2
B= 1 𝑠𝑒𝑐2𝑥
5 − 4 1 + 1
Apakah A = B

15. 15
Penjumlahan
Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Definisi: jika A dan B adalah
matriks-matriks berukuran (berdimensi) sama, maka jumlah A+B adalah
matriks yang diperoleh dengan menambahkan elemen-elemen A
dengan elemen-elemen B yang letaknya bersesuaian, dan selisih A-B
adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan elemen-elemen
A dengan elemen-elemen B yang letaknya bersesuaian. Matriks-matriks
yang berukuran berbeda tidak dapat ditambahkan atau dikurangkan.
A=
1 2 3
4 5 6
7 8 9
B=
2 4 5
7 8 9
8 7 8
, A + B=
3 6 8
11 13 15
15 15 17
=
−1 −2 −2
−3 −3 −3
−1 1 1

16. 16
Tentuka A + B dan A-B
Andaikan dua buah matriks A = ( , B = ( dan C = ( yang dapat dilakukan
operasi penjumlahan memenuhi sifat-sifat:
a. Komutatif; A+B = B+A
Bukti:
b. Asosiatif; (A+B)+C = A + (B+C)
Bukti:
c. Identitas Penjumlahan Untuk setiap matriks A = ( berdimensi mxn
selalu ada matriks nol (0) berdimensi mxn, demikian sehingga: A+0 =
0+A = A. matriks 0 ini disebut matriks identitas penjumlahan
Bukti

17. 17
d. Invers Aditif (invers penjumlahan) Untuk setiap matriks A = (
berdimensi mxn selalu ada matriks -A = (- sedemikian hingga A + (-A) =
(-A) + (A) = 0, dimana 0 adalah matriks nol yang berdimensi sama
dengan matriks A. Matriks “-A” disebut dengan lawan atau negatif dari
matriks A, atau invers penjumlahan dari A.
Dari sifat yang terakhir ini, dapat dipahami bahwa jika dua matriks A
dan B yang mempunyai dimensi yang sama, maka: A-B = A + (-B). jadi
mengurangi matriks A dengan matriks yang lain adalah sama saja
menambah matriks A tersebut dengan negatif dari matriks yang lain.
A=
1 −1 2
−5 8 −9
2 −2 4
, maka A’=
−1 1 −2
5 −8 9
−2 2 −4

18. 18
3. Perkalian Skalar
Definisi: jika A adalah sembarang matriks dan c adalah sembarang
scalar, maka hasil kali cA adalah matriks yang diperoleh dengan
mengalikan setiap elemen A dengan c. Dalam notasi matriks, jika A =
(𝑎𝑖𝑗 , maka cA = c ( 𝑎𝑖𝑗)
Contoh :
A=
2 2
3 6
7 9
B=
−3 2
−1 3
4 5
. Tentuka C = 2A-3B dan D= 3A-2B
2A-3B = 2
2 2
3 6
7 9
-3
−3 2
−1 3
4 5
=
4 4
6 12
14 18
−
−9 6
−3 9
12 15
=
13 −2
9 3
2 3
=

19. 19
Sifat-sifat perkalian skalar dengan matriks:
a. Andaikan k dan s adalah skalar dan A = (𝑎𝑖𝑗) matriks, maka: (k+s) A
= kA + sA
Bukti:
b. Andaikan k skalar dan A = (𝑎𝑖𝑗) serta B = (𝑏𝑖𝑗) adalah dua matriks
yang berdimensi sama, maka: k (A+B) = kA +kB
Bukti:
c. Andaikan k dan s skalar serta matriks A = (𝑎𝑖𝑗) , maka: k (sA) = (ks) A
Bukti:
d. Andaikan k skalar, dan matriks A = ( , maka kA = Ak
Bukti:
e. Jika skalar k =1, maka 1A = A Sehubungan dengan sifat ini maka (-1) A
= -A

20. 20
4. Perkalian Matriks Definisi: jika A adalah sebuah matriks m x r dan B
adalah sebuah matriks r x n, maka hasil kali AB adalah matriks m x n
yang elemen-elemennya didefinisikan sebagai berikut. Untuk mencari
elemen dalam baris i dan kolom j dari AB, pilih baris i dari matriks A dan
kolom j dari matriks B. Kalikan elemen-elemen yang bersesuaian dari
baris dan kolom secara bersama-sama dan kemudian jumlahkan hasil
kalinya.
A=
2 3 5
3 1 4
1 2 3
B=
1 2 2
3 5 5
3 4 4
C=
2 2
1 2
1 2
D=
1 2 2
2 4 3

21. 21
A x B =
2 3 5
3 1 4
1 2 3
X
1 2 2
3 5 5
3 4 4
= 27
24
B x A =
1 2 2
3 5 5
3 4 4
X
2 3 5
3 1 4
1 2 3
=

22. 22
Terima kasih