2. A. PENGERTIAN,NOTASI,DAN ORDO MATRIKS
1.Pengertian matriks
Matriks adalah susunan bilangan dalam bentuk persegi panjang yang
disusun menurut baris dan kolom
2. Notasi dan ordo matriks
Nama suatu matriks digunakan suatu huruf kapital,misalnya A,B,C,P dan Q
disebut notasi matriks.
Jika suatu matriks A terdiri atas m baris dan n kolom,maka m x n
menyatakan ukuran matriks A atau disebut ordo matriks A.
3. Macam – macam matriks
a. Matriks persegi ( bujur sangkar)
Suatu matriks dikatakan matriks persegi jika banyaknya baris sama
dengan banyaknya kolom.
contoh
A=
3. b. Matriks segitiga
Jika pada matriks persegi semua eleman dibawah diagonal utamanya nol,maka disebut
matriks segitiga atas. Jika semua elemen diatas diagonal utamanya nol,maka disebut
matriks segitiga bawah
contoh
1. Mariks segitiga atas, A=
2. Matriks segitiga bawah , B =
C. Matriks diagonal
Matriks diagonal adalah matriks persegi yang semua elemennya(kecuali pada diagonal
utama) adalah Nol.
contoh
A=
4. d. Matriks baris dan kolom
Matriks baris ialah matriks yang hanya terdiri atas satu baris saja.
contoh
A=
Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri atas satu kolom saja
contoh
P=
e. Matriks Identitas
Matriks identitas adalah matriks diagonal yang semua elemen pada
diagonal utamanya bernilai 1.
contoh
I=
5. f. Matriks Nol
Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya bernilai nol.
contoh
P=
4. Transpose suatu matriks
Transpose matriks A terjadi jika baris matriks A diubah menjadi kolom
matrks A, atau jka matriks diubah menjadi. Transpose
matrks A dilambangkan denan “AT’’
contoh
tentukan transpose dari matriks berikut
A=
Jawab;
A=
6. B.KESAMAAN MATRIKS
Dua buah matriks A dan B dikatakan sama jika ordo matriks A sama
dengan ordo matriks B serta elemen-elemen yang seletak juga sama.
contoh
A= dan B=
Dikatakan, A=B
C. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN MATRIKS
1. Penjumlahan matriks
Dua buah matriks A berordo m x n dan B berordo s x t,dapat
dijumlahkan jika ordonya sama (m=s dan n=t).cara menjumlahkan
elemen-elemen yang seletak.
contoh
Diketahui A= , B= ,C=
7. Tentukan:
a. A+B b.B+C
Jawab
a. A+B = +
=
b. B+C = +
=
2. Sifat penjumlahan matriks
*sifat komutatif
A+B=B+A
*sifat asosiatif
(A+B)+C=A+(B+C)
*Identitas o
A+O=O+A=A
9. 3.Lawan suatu matriks
Jika A danB adalah dua matriks yang berordo sama dan penjumlahannya
menghasilkan matriks Nol,maka dikatakan A lawan dari B dan B Lawan dari A
Contoh
A= dan B =
Tentukanlah A+B
Jawab;
A+B = +
=
Dari contoh diatas A+B menghasilkan matriks nol,sehingga dikatakan bahwa
matriks A lawan dari matriks B dan sebaliknya
10. 4. Pengurangan matriks
Pengurangan matriks A dengan matriks B adalah penjumlahan
matriks A dengan lawan matriks B yang dinyatakan dengan rumus:
A – B = A+ (-B)
Contoh
Diketahui matriks;
P= dan Q=
Tentukanlah P-Q
Jawab:
P-Q = P + (-Q)
= +
=
11. D. PERKALIAN BILANGAN REAL DENGAN MATRIKS
Jika sebuah matriks dikalikan dengan sebuah bilangan, maka akan
terbentuk matriks baru yan semua elemennya merupakan hasil kali
bilangan tersebut dengan unsur matriks semula.
Contoh
Diketahui A= .tentukanlah matriks berikut ini
a.3A b. A
Jawab
a.3A= 3 b . A =
= =
12. E. PERKALIAN MATRIKS
1. Syarat perkalian matriks
Dua buahmatriks dapat dikalikan jika jumlah kolom matriks pertama
sama dengan jumlah baris matriks kedua,dan hasil perkaliannya adalah
matriks yang berordo jumlah baris matriks pertama kali kolom matriks
kedua.Dengan kata lain:
Jika dan ,maka x =
C0ntoh
Tentukan hasil kali berikut
a.
13. 2.Matriks satuan dan sifatnya
Jika A matriks persegi dan I adalah matriks satuan yang ordonya sama
dengan A, maka berlaku sifat :
IA =AI = A
C ontoh
tentukan hasil kali matriks berikut
a. b.
Jawab:
a. = b. =
= =
Hasil dari a sama dengan b.jadi terbukti bahwaIA =AI =A
14. 3. Pangkat dari matriks bujur sangkar
Pangkat dari matriks bujur sangkar A didefinisikan sebagai berikut:
= A . A
= A .
= A.
Contoh
Jika diketahui matriks A = , tentukan
Jawab:
= A .A
=
=
=
15. 4.Sifat perkalian matriks
Jika A,B, dan C matriks yang masing-masing dapat saling dikalikan,maka
berlaku :
* (A.B)C = A(B.C) (asosiatif)
* A (B+C) =AB+AC (distributif kiri)
*(B+C)A =BA+CA (distributif kanan)
*k (A.B) = (kA) B = A (kB), k= skalar
Contoh
Jika A = , B= ,dan C = , tentukan yang berikut ini
a. (B+C)A
b. 5 (A.B)
Jawab:
a. (B+C)A = [ + ]
=
=
=
16. b. 5 (A.B) = 5 [ ]
= 5
= 5
=
5. Determinan matriks ordo 2x2
Jika matriks A = maka determinannya dinyatakan oleh:
det (A) =
=
Contoh
Jika A = ,tentukan det (A).
17. Jawab:
det (A) =
= 3(2)-1 (5)
= 1
6. Determinan matriks ordo 3x3
a. Kaidah sarrus
- - -
det (A) =
+ + +
=
Contoh
Tentukanlah determinan dari A =
Jawab:
det (A) =
= (1.1.5) + (3.6.1) + (4.2.2)-(4.1.1)-(1.6.2)-(3.2.5)
= 5+18+16-4-12-30
=39-46
= -7
18. b. Dengan penggunaan (ekspansi) baris dan kolom
Contoh
Hitunglah det (A) =
Jawab:
Det (A) = + 1 - 3 + 4
= + 1 (1.5 -2.6) – 3 (2.5-1.6) + 4 (2.2-1.1)
= + 1 (-7) – 3 (4) + 4 (3)
= -7-12+12
= -7
F. INVERS MATRIKS
1. Dua matriks yang saling invers
Jika A dan B masing-masing matriks persegi berordo sama dan berlaku
AB = BA = I, maka B adalah invers A, dan B adalah invers B.
19. 2. Invers matriks berordo 2x2
Invers matriks biasa dilambangkan sebagai , yang dapat dinyatakan
dengan rumus :
Contoh
Tentukan invers dari A = .
Jawab:
20. 3. Minor. Kofaktor, dan adjoin
4. Invers matriks berordo 3x3
Jika dan det (A) ≠ 0, maka invers A adalah :
Contoh
Carilah invers dari A =
Jawab:
det (A) =
