Aplikasi matriks dalam penyelesaian

61,585 views

Published on

0 Comments
19 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
61,585
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
31
Actions
Shares
0
Downloads
1,337
Comments
0
Likes
19
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Aplikasi matriks dalam penyelesaian

  1. 1. D. Aplikasi Matriks dalam Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua VariabelSetelah mempelajari materi pada kompetensi dasar ini, kalian diharapkan dapat : Menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan invers matriks; Menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan aturan Cramer;Pada materi Kelas X semester ganjil, Anda telah mempelajari metode penyelesaian dari sistempersamaan linear dua variable dengan metode substitusi/eliminasi. Pada sub bab ini, Anda akanmempelajari metode lain yaitu dengan menggunakan matriks.1. Penyelesaian Persamaan Matriks AX = B dan XA = BDalam menyelesaikan persamaan matriks AX = B dan XA = B, digunakan konsep invers matriksyang telah Anda pelajari pada sub bab C. Dalam hal ini konsep yang digunakan adalahA-1A = I = AA-1 = I.Jika A dan B merupakan matriks berordo sama, dengan A matriks non singular, bagaimana caramencari matriks X yang memenuhi persamaan AX = B dan XA = B. Untuk mengetahuinya,pelajari uraian berikut dengan baik. a) Persamaan AX = B AX = B A-1AX = A-1B (kedua ruas dikalikan dengan invers matriks A dari kiri) IX = A-1B X = A-1B Jadi, persamaan AX = B dapat diselesaikan dengan X = A-1B b) Persamaan XA = B XA = B XAA-1 = BA-1 XI = BA-1 X = BA-1 Jadi, persamaan XA = B dapat diselesaikan dengan X = BA-1 1 http://matematika-pariwisata.moodlehub.com/
  2. 2. Contoh Soal 1 Misalkan dan tentukan matriks X yang memenuhi persamaan a. AX = B b. XA = B Jawab : , maka det A a. ⇔ b. ⇔2. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear dengan Invers MatriksSalah satu metode dalam menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel adalah denganmenggunakan invers matriks. Perhatikan bentuk umum dari SPL berikut : 2 http://matematika-pariwisata.moodlehub.com/
  3. 3. Bentuk di atas dapat ditulis dalam bentuk perkalian matriks koefisien dengan variabelnya, yaitu : dengan merupakan matriks koefisienBerikut adalah langkah-langkah dalam menyelesaikan sistem persamaan linear denganmenggunakan invers matriks.a. Nyatakan sistem persamaan linear tersebut ke dalam bentuk matriks, kemudian tentukan matriks koefisien dari sistem persamaan linear tersebut;b. Tentukan invers dari matriks koefisien;c. Gunakan konsep persamaan AX = B atau XA = B.Contoh Soal 2 Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan metode invers matriks. Jawab : Langkah 1 , misal , dan Langkah 2 , maka det A Langkah 3 3 http://matematika-pariwisata.moodlehub.com/
  4. 4. Sehingga diperoleh x = 1, dan y = 2 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1,2)}.Contoh Soal 3 Zoel dan Ade pergi ke kios pulsa. Zoel membeli 3 buah kartu perdana A dan 2 buah kartu perdana B. Untuk itu Zoel harus membayar Rp. 53.000,-. Ade membeli 2 buah kartu perdana A dan sebuah kartu perdana B, Ade harus membayar Rp. 32.500,-. Tentukan harga sebuah kartu perdana A dan harga sebuah kartu perdana B. Jawab : Buatlah table untuk masalah tersebut di atas Kartu Perdana A Kartu Perdana B Harga Zoel 3 2 53.000,- Ade 2 1 32.500,- Misalkan, harga sebuah kartu perdana A adalah x rupiah dan harga sebuah kartu perdana B adalah y rupiah. Sistem persamaan linear dari masalah tersebut adalah Bentuk matriks dari sistem persamaan linear tersebut adalah A X B det 4 http://matematika-pariwisata.moodlehub.com/
  5. 5. Sehingga, diperoleh x = 12.000 dan y = 8.500. Jadi, harga sebuah kartu perdana A adalah Rp. 12.000,- dan harga sebuah kartu perdana B adalah Rp. 8.500,-.3. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dengan Aturan CramerDeterminan yang telah Anda pelajari di sub bab sebelumnya, selain digunakan untuk mencariinvers dari suatu matriks, dapat pula digunakan dalam mencari penyelesaian sistem persamaanlinear dua variabel.Sistem persamaan linear tersebut jika diselesaikan akan diperoleh nilai-nilai x dan y sebagaiberikut :Bentuk-bentuk (c1b2 – c2b1), (a1b2 – a2b1) dan (a1c2 – a2c1) jika dinyatakan dalam bentukdeterminan adalah sebagai berikut :Dengan demikian nilai x dan nilai y jika dinyatakan dalam bentuk determinan adalah sebagaiberikut : dan atau dan 5 http://matematika-pariwisata.moodlehub.com/
  6. 6. Dengan : Yaitu determinan dari matriks koefisien x dan y Yaitu determinan dari matriks koefisien x dan y, yang kolom pertamanya diganti oleh konstanta c1 dan c2. Yaitu determinan dari matriks koefisien x dan y, yang kolom keduanya diganti oleh konstanta c1 dan c 2.Berdasarkan uraian tersebut di atas, maka diperoleh kesimpulan berikut :Jika diberikan sistem persamaan linear dua variabel.Sistem persmaan linear tersebut memiliki penyelesaian dan , dengan D # 0Dimana , ,Contoh Soal 4 Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear pada contoh soal 2 dan contoh soal 3 di atas dengan menggunakan aturan Cramer. Jawab : Pada contoh soal 2 diketahui sistem persamaan linear berikut 6 http://matematika-pariwisata.moodlehub.com/
  7. 7. Tentukan terlebih dahulu nilai D, Dx, dan Dy Dengan demikian diperoleh dan Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1,2)}. Pada contoh soal 3 diketahui sistem persamaan linearnya sebagai berikut : Tentukan terlebih dahulu nilai D, Dx, dan Dy Dengan demikian diperoleh dan Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(12.000; 8.500)}Contoh Soal 5Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel dengan menggunakankadiah Cramer. x + 2z = 7 -3x + 4y + 6z = 7 - x - 2y + 3z = 12 7 http://matematika-pariwisata.moodlehub.com/
  8. 8. Jawab :Bentuk perkalian matriks dari sistem persamaan di atas adalahDari bentuk di atas diperoleh : , det (A) , det (A1) , det (A2) , det (A3)Dengan demikian, , , dan 8 http://matematika-pariwisata.moodlehub.com/

×