Perkuliahan membahas tentang matriks, operasi matriks, jenis matriks, determinan, dan matriks invers. Materi penting lainnya adalah persamaan linier simultan.

1. SEMESTER II
1
Selasa, 23 Maret 2012
FAKULTAS EKONOMI
PROGRAM STUDI MANAJEMEN
UNIVERSITAS ISLAM LABUHANBATU
PERKULIAHAN-1
Matematika ekonomi
Matriks
ME-M.SP

2. TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
Setelah mempelajari bab ini, anda diharapkan dapat :
1. Pengertian matriks
2. Operasi matriks
3. Jenis matriks
4. Determinan
5. Matriks invers
6. Persamaan linier simultan
2

3. Deskripsi Singkat
• Dalam perkuliahan ini, anda akan mempelajari tentang
matriks dan operasi matriks
• Bagian selanjutan akan membahas tentang jenis matriks dan
determinan
• Bagian akhir perkuliahan akan membahas matriks invers dan
persamaan linier simultan
3

4. Bahan Bacaan
Buku Wajib
• Dumariy, 2003, Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi,
Penerbit BPFE, Yogyakarta.
• Habieb dan aziz, 2008, Matematika Ekonomi dan Bisnis, Penerbit
Ghalia Indonesia, Jakarta.
Buku Pelengkap
• D. Sriyono, 2008, Matematika Ekonomi dan Keuangan, Penerbit
Andi, Yogyakarta.
• Suprian Atmaja Saputra, 2002, Matematika Ekonomi 1, PT. Ghalia
Indonesia, Jakarta.
4

5. tugas
1. Diketahui :
A = 1 1 -1 B = 1 3 C = 1 2 3 -4
2 0 3 0 2 2 0 -2 1
3 -1 2 -1 4
• Buktikan : (AB)C = A(BC)
2. Diketahui :
a. Jika A = 2 4 -1  AT = ?
3 5 7
6 0 8
b. Jika B = 1 0 B = 0 1 2  (AB)T = ?
2 1 1 1 3
3. Hitung adjoint matriks dari :
a. 2 4 -1 b. 1 2 3 c. 1 0 2 d. 5 0 0 2
3 5 7 0 1 2 2 1 0 1 1 0 2
6 0 8 0 1 1 3 2 1 0 0 2 1
1 0 0 1 5

6. matriks
• Matriks A ditulis sebagai berikut :
A = a11 a12 a13 contoh A = 1 3 5
a21 b22 a23 0 3 7
a31 a32 a33 6 4 8
• Artinya a23 menunjukkan unsur matriks A yang terletak pada baris ke
2 dan kolom ke 3. Arti aij menunjukkan nilai/angka dari suatu matriks
A, misalnya yang terletak pada baris ke i dan kolom ke j. Demikian
pula untuk Amxn artinya matriks A berdimensi/berorder mxn. Matriks
Anxn dinamakan matriks bujur sangkar, ditulis An. Contoh : matriks
A3x3 dapat ditulis dengan A3.
Ada 3 macam matriks :
1. Matriks baris, yaitu merupakan vektor baris
2. Matriks kolom, yaitu merupakan vektor kolom
3. Matriks berorder/berdimensi banyak : Amxn
6

7. Operasi matriks
1. Sama dengan, apabila dimensi atau order kedua matriks tersebut
sama sehingga nilai unsur yang berindeks sama harus sama.
a12 = b12 ; a23 = b23
2. Penjumlahan, dimana matriks A dapat ditambahkan dengan matriks
B apabila kedua matriks tersebut mempunyai dimensi yang sama.
A = a11 a12 B = b11 b21  A +B + C = a11 + b11 a12 + b12
a12 a22 b12 b22 a21 + b21 a22 + b22
3. Pengurangan, dimana pengurangan dalam matriks dapat dilakukan
dengan syarat kedua matriks tersebut mempunyai dimensi yang
sama.
A = 4 6 B = 1 3  A – B = 4 - 1 6 - 3 = 3 3
7 5 0 2 7 - 0 5 – 2 7 3
4. Perkalian, apabila kedua matriks tersebut mempunyai kesamaan
dalam jumlah kolom matriks yang dikalikan dengan jumlah baris
matriks yang digunakan sebagai penggali.
Amxn . Bnxm = Cmxm 7

8. Jenis matriks
a. Identity matriks, yaitu jika nilai diagonal matriks tersebut adalah 1
dan nilai unsur lainnya nol. Null matrix (zero matrix) jika nilai semua
unsur bernilai nol. Contoh :
I = 1 0 0 N = 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
b. Transpose suatu matriks, suatu matriks A ditulis AT atau A’
ditentukan dengan mengubah tiap baris matriks A menjadi kolom-
kolom matriks AT atau sebaliknya tiap kolom matriks A diubah
menjadi baris-baris matriks AT.
Contoh :
A = 4 6 AT = 4 7 9
7 5 6 5 8
9 8
8
A = (aij)  AT = (aij)

9. c. Matriks setangkup, yaitu transpose sendiri, misalnya matriks
diagonal D dan matriks satuan I.
D’ = D
I’ = I
keterangan : D = matriks diagonal
I = matriks satuan
Contoh :
I = 1 0  I’ = 1 0
0 1 0 1
d. Matriks satuan atau identitas I, yaitu matriks I adalah matriks bujur
sangkar yang semua unsur diagonal utamanya = 1 dan semua
unsur lainnya sama dengan nol.
Sifat : Imxn . Amxn = Amxn
Imxn . Amxn = tidak dapat dioperasikan
9

10. e. Sifat invers matriks, yaitu invers A-1 suatu matriks A memenuhi
syarat : AA-1 = A-1 A = 1.
Matriks A harus bujur sangkar
• (A-1)-1 = A
• (AB)-1 = B-1A-1
• (AT)-1 = (A-1)T
Invers transposenya suatu matriks sama dengan transpose invers
faktornya dengan urutan terbalik.
f. Matriks diagonal, yaitu matriks bujur sangkar yang setiap elemennya
sama dengan nol; kecuali elemen diagonal pokoknya, minimal salah
satu elemennya tidak sama dengan nol.
Contoh : A = 10 0 B = 0 0 0
0 ½ 0 1 0
0 0 0
10

11. g. Skalar, yaitu matriks bujur sangkar yang hanya mempunyai satu
baris dan satu kolom saja.
3 = (3)1x1 = (3) ; 10 = (10)1x1 = (10)
h. Skalar matriks, yaitu matriks bujur sangkar yang nilai setiap elemen
diagonal sebesar k (bilangan skalar) dan elemen lainnya sama
dengan nol.
aij = k apabila i = j
aij = 0 apabila i ≠ j
Contoh : S = k.I3 = k 0 0 ; S = 1/3 0
0 k 0 0 1/3
0 0 k
i. Matriks invers, yaitu matriks bujur sangkar dimana aij = aji
Contoh : A = 2 4 ; B = 2 4 6 7
4 3 4 1 2 9
6 2 3 8
7 9 8 4
11

12. j. Vektor, yaitu matriks yang hanya terdiri dari satu baris atau satu
kolom saja.
Contoh : A = (1 4 6) B = 2
5
1
3
k. Matriks singular, yaitu matriks bujur sangkar yang tidak mempunyai
invers dan determinannya sama dengan nol.
l. Matriks nonsingular, yaitu matriks bujur sangkar yang mempunyai
invers dan determinannya tidak sama dengan nol.
m. Matriks commute, yaitu bila AB = BA, maka kedua matriks tersebut
adalah commute.
12

13. determinan
• Determinan adalah sumbu bilangan (skalar) yang didefenisikan secara unik
dalam hubungannya dengan suatu matriks bujur sangkar dan dinamakan
determinan matriks, ditulis | An |.
Matriks bujur sangkar order 2x2
Bentuk umum :
Menguraikan determinan derajat tiga dengan cara sarrus
• Aturan sarrus hanya berlaku khusus untuk determinan berderajat tiga.
3 2 1 3 2 = (3.3.3 + 2.1.1 + 1.2.2) – (1.3.1 + 2.1.3 + 3.2.2)
2 3 1 2 3 (33) – (21) = 12
1 2 3 1 1
13
( + )
( - )( - ) ( - )
( + ) ( + )

14. Menguraikan determinan dengan cara menentukan terlebih dahulu
determinan matriks minor tiap elemen dan kofaktor
• Menentukan minor elemen, kalau dari suatu determinan B matriks Bnxn
dihapus baris I dan kolom j, maka determinan | M | orde (n-1) yang sisa
dinamakan minor elemen bij pada potongan baris i kolom j. Minor unsur bij
yang diberi tanda minus bila (i + j) ganjil, dinamakan kofaktor unsur bij
determinan | B |.
b11 b12 b13
B = b12 b22 b23
b13 b23 b33
Minor elemen bij adalah sebagai berikut
b11 = | M11 | = b22 b23 ; b33 = | M33 | = b11 b12
b32 b33 b21 b22
14

15. b13 = |M13| = b21 b22 ; b22 = |M22| = b11 b13
b31 b32 b31 b33
b31 = |M31| = b12 b13 ; b12 = |M12| = b21 b23
b22 b23 b31 b33
Demikian pula untuk :
• |M21| dihapus dari baris 2 dan kolom 1
• |M23| dihapus dari baris 2 dan kolom 3
• |M32| dihapus dari baris 3 dan kolom 2
Contoh matriks kofaktor
K = K11 K12 ; K = K11 K12 K13
K21 K22 K21 K22 K23
K31 K23 K33
15
Kofaktor = Kij = (-1)i+j |Mij|

16. Contoh :
K11 = (-1)1+1 |M11| = b22 b23 = b22.b33 – b32.b23
b32 b33
K12 = (-1)1+2 |M12| = b21 b23 = -b21.b33 + b31.b23
b31 b33
Nilai determinan |B| dapat diuraikan dalam kofaktor unsur bij suatu baris atau
kolom sebagai berikut ;
• |B| = (terhadap sembarang baris i = 1,2…n) atau
• |B| = (terhadap sembarang kolom j = 1,2…n)
Contoh :
Terhadap baris 1
|B| = b11K11 + b12K12 + b13K13
16
n
j
ijij Kb
1
n
j
ijij Kb
1

17. |B| = b11(b22.b33 – b32.b23) – b12(b21.b33 – b31.b23) + b13(b21.b32 – b31.b22)
Dan seterusnya
Terhadap kolom 3
|B| = b13K13 + b23K23 + b33K33
|B| = b13(b21.b32 – b31.b22) – b23(b11.b32 – b31.b12) + b33(b11.b22 - b21.b12)
Dan seterusnya
Contoh : B = 1 2 1
1 2 3
2 1 3
Misal terhadap baris ke 1 maka :
|B| = b11K11 + b12K12 + b13K13
= (1)(-1)1+1 2 2 + (2)(-1)1+2 1 3 + (1)(-1)1+3 1 2
1 3 2 3 2 1
= 6…..(1)
17

18. Misal terhadap kolom 2, maka
|B| = b12K12 + b22K22 + b32K32
= (2)(-1)1+2 1 3 + (2)(-1)2+2 1 1 + (1)(-1)3+2 1 1
2 3 2 3 1 3
= (2)(3) + 2(1) + 1(-2) = 6…(2)
Ternyata (1) = (2) yaitu |B| = 6
Contoh :
A = 1 4 , cari Ā
3 2
Jawaban :
A = a11 a12  K = K11 K12  KT = K11 K12
a21 a22 K21 K22 K21 K22
18
A = adjoint A = Transpose dari matriks kofaktornya

19. A = KT K11 K21
K12 K22
K11 = (-1)1+1 |M11| = 1|2| = 2
K12 = (-1)1+2 |M12| = -1|3| = -3
K21 = (-1)2+1 |M21| = -1|4| = -4
K22 = (-1)2+2 |M22| = 1|1| = 1
Jadi :
Ā = KT = 2 -4
-3 1
19

20. Matriks invers
Contoh : hitung invers matriks
1 2 3
B = 2 1 4
2 1 3
Jawab :
|B| = 1 2 3 1 2 = (1.1.3 + 2.4.2 + 3.2.1) – (2.1.3 + 1.4.1 + 3.2.2)
2 1 4 2 1
2 1 3 2 1
K = K11 K12 K13 B = KT K11 K21 K31
K21 K22 K23 K12 K22 K23
K31 K32 K33 K13 K23 K33
K11 = (-1)1+1 |M11| = 1 1 4 = -1
1 3 20
A-1 = Ā invers = adjoint
|A| determinan

21. K12 = (-1)1+2 |M12| = -1 2 4 = 2
2 3
K13 = (-1)1+3 |M13| = 1 2 1 = 0
1 1
K21 = (-1)2+1 |M21| = 1 2 3 = -3
1 3
K22 = (-1)2+2 |M22| = 1 1 3 = -3
2 3
K23 = (-1)2+3 |M23| = 1 1 2 = 3
2 1
K31 = (-1)3+1 |M31| = 1 2 3 = 5
1 4
K32 = (-1)3+2 |M32| = 1 1 3 = 2
2 4
K33 = (-1)3+3 |M33| = 1 1 2 = -3
2 1
21
-1 -3 5
B = 2 -3 2
0 3 -3
B-1 = B = 1 -1 -3 5
|B| 3 2 -3 2
0 3 -3
1 -1 5
3 -3
= 2 -1 2
3 3
0 1 -1

22. Persamaan linier simultan
• Matriks dapat digunakan untuk mencari jawaban persamaan linier simultan.
Sistem n persamaan tak homogin dengan n/hasil yang tidak diketahui dapat
ditulis sebagai berikut :
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a21x2 + a22x2 + … + a2nxn = b2
…………………………………….. ----- I
an1x2 + an2x2 + … + annxn = bn
• Mengingat rumus defenisi hasil kali matriks baris dengan matriks kolom dan
bahwa suatu matriks dapat juga dianggap terdiri atas sejumlah matriks baris
maka sistem persamaan (I) dapat ditulis sebagai berikut :
a11 a12…a1n x1 b1
a21 a22…a2n x2 b2
…………….. . = .  Ax = b
an1 an2…ann xn bn
22

23. Anxn . Xnx1 = bnx1
• Matriks pertama adalah matriks bujur sangkar Anxn = A
• Matriks kedua adalah vektor kolom Xnx1 = X
• Matriks ketiga adalah vektor kolom bnx1 = b
Sehingga sistem persamaan dapat ditulis sebagai berikut :
Cara I : mencari harga-harga x dengan invers A-1
A-1 A = I
I X = X
Persamaan : Ax = b, kalikan ruas kiri dan kanan dengan A-1, maka
A-1 A X = A-1 b  A-1 b syarat |A| ≠ 0
Invers A-1 diperoleh dari matriks koefisien A persamaan-persamaan itu
23
Ax = b  x = b/A = A-1b = Ā . b
|A|

24. Cara II : mencari harga-harga dengan kaidah Cramer
Keterangan :
|A| = determinan matriks A
|Aj| = determinan matriks A yang kolom ke j (=i) telah diganti oleh vektor
kolom b
Contoh soal :
x1 + 2x2 – 3x3 = 7
6x1 + 4x2 + x3 = 37
5x1 + 3x2 + 2x3 = 31
Jawaban :
Cara I dengan invers matriks koefisien
1 2 -3 x1 7
6 4 1 x2 = 37
5 3 2 x3 31
24
X1 = |Āj| ; syarat A ≠ 0
|A|

25. A . X = b
|A| = 1(8-3) -2(12-5) -3(18-20) = -3
Matriks kofaktor A
K = K11 K12 K13 4 1 - 6 1 6 4 = 5 -7 -2
K21 K22 K23 = 3 2 5 2 5 3 -13 17 7
K31 K32 K33 2 -3 1 -3 - 1 2 14 -19 -8
3 2 5 2 5 3
2 -3 - 1 -3 1 2
4 1 6 1 6 4
Ā = KT = 5 -13 14 Ā = A-1 = 1 -5 13 -14
|A| 3 7 -17 19
2 -7 8
25

26. X = A-1.b = 1 -5 13 -14 7
3 7 -17 19 37
2 -7 8 31
Maka l
x1 = 1 -7.5 + 37.13 – 31.14 4
x2 3 = 7.7 – 37.17 + 31.19 = 3
X3 7.2 – 37.7 + 31.8 1
Jadi diperoleh harga-harga x sebagai berikut ;
x1 = 4; x2 = 3 dan x3 = 1
Cara pemecahan II dengan kaidah Cramer
Kolom 1 diganti matriks kolom b
|A1| = 7 2 -3 = 7(8-3) – (12(74-31) – 3(111-124) = -12
37 4 1
31 3 2
|A| = -3; jadi x1 = |A1| = -12 = 4
|A| -3
26

27. Kolom 2 diganti matriks kolom b
|A2| = 1 7 -3 = 1(74-31) – 7(1-5) – 3(186-185) = -9
6 37 1
5 31 2
|A| = -3; jadi x1 = |A2| = -9 = 3
|A| -3
Kolom 3 diganti matriks kolom b
|A3| = 1 2 7 = 1(124-111) – 2(186-185) + 7(18-20) = -3
6 4 37
5 3 31
|A| = -3; jadi x3 = |A3| = -3 = 1
|A| -3
Ternyata jawaban cara 1 dan cara 2 sama.
27

28. 28
Terima kasih, Semoga Bermanfaat