![ALJABAR LINEAR
A. PENGERTIAN DAN NOTASI MATRIKS
1. PENGERTIAN
Matriks adalah susunan bilangan berbentuk persegi panjang yang diatur berdasarkan baris dan kolom
yang ditulis diantara tanda kurung ( ) atau [ ] atau || ||
Susunan horizontal disebut dengan baris sedangkan susunan vertikal disebut dengan kolom
Bentuk Umum Matriks :
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
...
.
...
...
21
22221
11211
a mn adalah elemen atau unsur matriks yang terletak pada baris ke-m dankolom ke-n
Nama matriks ditulis dengan menggunakan huruf besar A,B, P, Q, dsb . Sedangkan Unsur/elemen-
elemen suatu matriks dengan huruf kecil sesuai nama matriks dengan indeks sesuai letak elemennya,
seperti a11, a12, ...
Contoh 1: Diketahui matriks A =
−−
−
105703
412952
83641
Tentukan :
a. banyak baris d. elemen-elemen kolom ke-3
b. banyak kolom e. 4.3a
c. elemen-elemen baris ke-1 f. 3.1a
Jawab : a. banyak baris : 3 buah
b. banyak kolom :5 buah
c. elemen-elemen baris ke-1 : 1, 4, 6, -3, 8
d. elemen-elemen kolom ke-3 : 6, 9, 7
e. 4.3a = elemen baris ke-3 kolom ke-4 = 5
f. 3.1a = elemen baris ke-1 kolom ke-3 = 6
Contoh 2: Diketahui
−=
83
52
71
A
Tentukan letak elemen -2 dan 8 !
Jawab : elemen -2 = a21
elemen 8 = a32
1
Kolom1
Kolom2
Kolomn
baris 1
baris 2
baris m](https://image.slidesharecdn.com/matriks-180905021708/85/Matriks-1-320.jpg)
![2. ORDO MATRIKS
Yaitu banyaknya baris dan kolom yang menyatakan suatu matriks.
mxnA artinya matriks A berordo m x n yaitu banyaknya baris m buah dan banyaknya kolom n buah.
Contoh : Diketahui
−−
=
8205
4631
P
−
=
39
45
01
Q
Tentukan ordo matriks P dan Q
Jawab : Ordo matriks P = 2 x 4 atau P 2 x3 ; Ordo matriks Q = 3 x 2 atau Q2 x3
3. JENIS-JENIS MATRIKS
1. Matriks Nol
Yaitu matriks yang setiap elemennya nol.
Contoh :
=
00
00
A ,
=
000
000
B
=
000
000
000
C
2. Matriks Baris
Yaitu matriks yang hanya mempunyai satu baris
Contoh : [ ]423 −=A , [ ]3201−=B
3. Matriks Kolom
Yaitu matriks yang hanya mempunyai satu kolom.
Contoh :
−=
8
5
4
P
−
=
3
6
0
1
Q
4. Matriks Bujur sangkar/Matriks Persegi
Yaitu suatu matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama.
Ordo matriks n x n sering disingkat dengan n saja.
Contoh :
−
=
45
32
K ,
−
=
032
120
321
L ,
−
−
=
6526
9490
2375
6421
M
5. Matriks Diagonal
Yaitu matriks persegi yang semua elemennya nol, kecuali elemen-elemen diagonal utamanya.
Contoh :
−
=
500
020
001
E
−
=
4000
0500
0010
0002
F
6. Matriks Satuan /MatriksIdentitas (I)
Yaitu matriks persegi yang semua elemen diagonal utamanya satu, dan elemen lainnya nol.
Contoh :
=
10
01
2I
=
100
010
001
3I
=
1000
0100
0010
0001
4I
7. Matriks Skalar
Yaitu matriks persegi yang semua elemen pada diagonal utamanya sama, tetapi bukan nol dan
semua elemen lainnya nol.
2](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Recommended
More Related Content
What's hot
What's hot (20)
Similar to MATRIKS
Similar to MATRIKS (20)
Recently uploaded
Recently uploaded (10)
MATRIKS
- 1. ALJABAR LINEAR A. PENGERTIAN DAN NOTASI MATRIKS 1. PENGERTIAN Matriks adalah susunan bilangan berbentuk persegi panjang yang diatur berdasarkan baris dan kolom yang ditulis diantara tanda kurung ( ) atau [ ] atau || || Susunan horizontal disebut dengan baris sedangkan susunan vertikal disebut dengan kolom Bentuk Umum Matriks : mnmm n n aaa aaa aaa ... . ... ... 21 22221 11211 a mn adalah elemen atau unsur matriks yang terletak pada baris ke-m dankolom ke-n Nama matriks ditulis dengan menggunakan huruf besar A,B, P, Q, dsb . Sedangkan Unsur/elemen- elemen suatu matriks dengan huruf kecil sesuai nama matriks dengan indeks sesuai letak elemennya, seperti a11, a12, ... Contoh 1: Diketahui matriks A = −− − 105703 412952 83641 Tentukan : a. banyak baris d. elemen-elemen kolom ke-3 b. banyak kolom e. 4.3a c. elemen-elemen baris ke-1 f. 3.1a Jawab : a. banyak baris : 3 buah b. banyak kolom :5 buah c. elemen-elemen baris ke-1 : 1, 4, 6, -3, 8 d. elemen-elemen kolom ke-3 : 6, 9, 7 e. 4.3a = elemen baris ke-3 kolom ke-4 = 5 f. 3.1a = elemen baris ke-1 kolom ke-3 = 6 Contoh 2: Diketahui −= 83 52 71 A Tentukan letak elemen -2 dan 8 ! Jawab : elemen -2 = a21 elemen 8 = a32 1 Kolom1 Kolom2 Kolomn baris 1 baris 2 baris m
- 2. 2. ORDO MATRIKS Yaitu banyaknya baris dan kolom yang menyatakan suatu matriks. mxnA artinya matriks A berordo m x n yaitu banyaknya baris m buah dan banyaknya kolom n buah. Contoh : Diketahui −− = 8205 4631 P − = 39 45 01 Q Tentukan ordo matriks P dan Q Jawab : Ordo matriks P = 2 x 4 atau P 2 x3 ; Ordo matriks Q = 3 x 2 atau Q2 x3 3. JENIS-JENIS MATRIKS 1. Matriks Nol Yaitu matriks yang setiap elemennya nol. Contoh : = 00 00 A , = 000 000 B = 000 000 000 C 2. Matriks Baris Yaitu matriks yang hanya mempunyai satu baris Contoh : [ ]423 −=A , [ ]3201−=B 3. Matriks Kolom Yaitu matriks yang hanya mempunyai satu kolom. Contoh : −= 8 5 4 P − = 3 6 0 1 Q 4. Matriks Bujur sangkar/Matriks Persegi Yaitu suatu matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama. Ordo matriks n x n sering disingkat dengan n saja. Contoh : − = 45 32 K , − = 032 120 321 L , − − = 6526 9490 2375 6421 M 5. Matriks Diagonal Yaitu matriks persegi yang semua elemennya nol, kecuali elemen-elemen diagonal utamanya. Contoh : − = 500 020 001 E − = 4000 0500 0010 0002 F 6. Matriks Satuan /MatriksIdentitas (I) Yaitu matriks persegi yang semua elemen diagonal utamanya satu, dan elemen lainnya nol. Contoh : = 10 01 2I = 100 010 001 3I = 1000 0100 0010 0001 4I 7. Matriks Skalar Yaitu matriks persegi yang semua elemen pada diagonal utamanya sama, tetapi bukan nol dan semua elemen lainnya nol. 2
- 3. Contoh : = 300 030 003 A − − − = 200 020 002 B = 500 050 005 C 8. Matriks Segitiga Atas Yaitu matriks yang semua elemen di bawah diagonal utamanya nol. Contoh : − = 500 410 312 A − = 3000 8400 6110 4975 B 9. Matriks Segitiga Bawah Yaitu matriks yang semua elemen di atas diagonal utamanya nol. Contoh : − = 231 044 003 K − = 7628 0439 0010 0005 B 10. Matriks Koefisien Yaitu matriks yang semua elemennya merupakan koefisien-keofisien dari suatu sistem persamaan linear. Contoh1: Matriks koefisien dari sistem persamaan liniear 2x + 3y =7 adalah : − 54 32 -4x + 5y =-3 Contoh 2: Matriks koefisien dari sistem persamaan liniear 3x +2y-z = 7 4x +2z = 8 adalah x -5y+4z =-6 11. Dan lain-lain LATIHAN SOAL 1. Diketahui − − = 53101 35230 54211 P Tentukan : a. elemen-elemen baris ke-2 b. elemen-elemen kolom ke-2 c. elemen-elemen kolom ke-4 d. elemen baris ke-1 kolom ke-3 e. elemen baris ke-3 kolom ke-5 f. ordo P 2. Diketahui −− − − = 6204 0413 1532 X Tentrukan : a. ordo X b. elemen-elemen baris ke-2 c. 3.2x d. 1.3x e. 2.3x 3 − − 451 204 123
- 4. 3. Diketahui − − −− = 423 151 520 642 A Tentukan letak elemen : a. –2 b. 5 c. 6 d. 3 e. 0 4. Berikut ini termasuk jenis matriks apa ? a. = 10 21 A b. [ ]201−=B c. −= 334 031 003 C d. = 400 040 004 D 5. Berikan contoh lain dari matriks : a. skalar b. segitiga bawah c. segitiga atas d. diagonal 4. KESAMAAN DUA MATRIKS Dua matriks dikatakan sama jika ordo dan elemen-elemen yang seletak sama. Contoh 1: = dc ba A = sr qp B Jika A= B maka: a=p, b=q, c=r dan d=s Contoh 2: Tentukan x dan y dari − = − 52 3 58 13 y x Jawab : x = 1 2y = 8 ⇒ y =4 5. TRANSPOSE MATRIKS Transpose (putaran) matriks A yaitu matriks yang diperoleh dari matriks A dengan menukarkan elemen- elemen pada baris menjadi kolom dan sebaliknya elemen-elemen pada kolom menjadi baris. Transpose matriks A dinyatakan dengan T A atau A’. Contoh 3: Jika = 937 421 P maka tentukan T P Jawab : T P = 94 32 71 LATIHAN SOAL 1. Tentukan x dan y dari : a. − − = − 52 93 58 33 y x b. = + xy x 0 14 30 1 2 1 4
- 5. c. − −− = +− 35 24 32 14 x xy x y d. = − + 4 12 yx yx 2. Tentukan a, b, c dan d dari : a. = − 46 25 43 625 b b a b. −− = − 8 6 2 2 10 c a bda c b c. − − = + − 52 3 2 1 3 a d b c d b a d. = −+− ++ 58 151 23 43 cadb dbca 3. Tentukan transposenya dari : a. − = 054 321 A b. − = 521 305 124 B 4. Tentukan c jika = cb a A 32 44 , ++ − = 14224 26 ba abc B dan T BA = B. OPERASI MATRIKS 1. PENJUMLAHAN MATRIKS Dua matriks dapat dijumlahkan jika ordonya sama. Yang dijumlahkan yaitu elemen-elemen yang seletak. + sr qp dc ba = ++ ++ sdrc qbpa Contoh 1: A = 43 21 , B = −− 12 12 Maka A + B = 43 21 + −− 12 12 = −+−+ ++ )1(4)2(3 1221 = 31 33 Contoh 2: Jika = 31 02 A , = 42 13 B dan − = 04 25 C , tentukan : a). A + B b). B + A c). B + C d). A + (B + C) e) A+B f). (A + B) + C Jawab : a. A + B = 31 02 + 42 13 = 73 15 b. B + A = 42 13 + 31 02 = 73 15 c. B + C = 42 13 − + 04 25 = − 46 18 d. A + (B + C) = 31 02 + − 46 18 = − = 77 110 5
- 6. e. (A + B) = 31 02 + 42 13 = 73 15 f. (A + B)+C = 73 15 − + 04 25 = − 77 110 Contoh 3: Diketahui = 43 21 A + −− −− 43 21 dan = 00 00 O . Tunjukkan : a. A + (-A) = (-A) + A = O b. A + O = O + A = A Jawab : a. A + (-A) = 43 21 + −− −− 43 21 = 00 00 (-A) + A = −− −− 43 21 + 43 21 = 00 00 b. A + O = 43 21 + 00 00 = 43 21 O + A = 00 00 + 43 21 = 43 21 Sifat-sifat penjumlahan matriks : 1. A + B = B + A (bersifat komutatif) 2. A + (B + C) = (A + B) + C (bersifat asosiatif) 3. A + O = O + A = A (O matriks identitas dari penjumlahan) 4. A + (-A) = (-A) + A = O (-A matriks invers penjumlahan) 6
- 7. 2. PENGURANGAN MATRIKS Dua matriks dapat dikurangkan jika ordonya sama. Yang dikurangkan elemen-elemen yang seletak. − sr qp dc ba = −− −− sdrc qbpa Contoh : Jika − − = 41 32 A dan − − = 53 14 B , maka tentukan : a. A – B b. B – A c. (A-B)-C d. A-(B-C) Jawab : a. A – B = − − 41 32 − − − 53 14 − −− = 94 22 … b. B – A = − − 53 14 − − − 41 32 = −94 22 Sifat-sifat Pengurangan matriks : 1. A – B ≠ B – A (tidak komutatif) 2. A – (B – C) = (A – B) – C (asosiatif) LATIHAN SOAL 1. Sederhanakanlah ! a. − + − 5 3 2 10 b. − − + − 510 43 51 12 c. [ ]31 2 5 −+ − d. − − − − 74 32 51 20 e. −− −− − − − 753 143 824 315 f. − − − − + − − 53 21 40 37 12 45 g. − + − − − − 01 24 15 27 34 12 h. [ ] [ ] [ ]454312 −−−−−− i. − − − +− − yxx xy xyy xyx 45 3 532 2 2. Tentukan x jika − − =+ − 32 41 54 32 x 3. Tentukan x jika − = − −− +− 36 27 53 14 x 4. Tentukan a, b, c dan d dari : a. − = − − 11 30 51 48 dc ba b. = − − − + 51 04 53 24 dcc aba 7
- 8. 3. PERKALIAN MATRIKS 3.1 PERKALIAN MATRIKS DENGAN BILANGAN REAL (SKALAR) Hasil perkalian skalar k dengan sebuah matriks A yang berordo m x n adalah sebuah matriks yang berordo m x n dengan elemen-elemennya adalah hasil kali skalar k dengan setiap elemen matriks A. Contoh 1: Jika − − = 53 12 A maka tentukan : a. 2A b. A 2 1 − Jawab : a. 2A = − − 53 12 2 − − = 106 24 b. A 2 1 − = − −− 53 12 . 2 1 − = 2/52/3 2/11 … Contoh 2: Jika − = 31 24 A dan − = 13 46 B maka tentukan : a. 2(A + B) b. 2A + 2B c. 2(3A)d. 6A Jawab : a. 2(A + B) = … b. 2A + 2B = … c. 2(3A) = … d. 6A = … Sifat-sifat perkalian skalar k dengan suatu matriks : 1. k(A + B) = … 2. (k + l)A = … 3. k(lA) = … LATIHAN SOAL 1. Jika − = 13 52 A dan − = 02 41 B , maka tentukan : a. 2A + 2B b. 3A – 2B c. )( 2 1 BA + d. –4(A – B) 2. Tentukan matriks X jika: a. − = 810 64 2X b. = − + 03 67 45 23 2X c. − = − 42 31 010 15 2X d. − − −= − 1 2 1 30 2 1 10 01 X 3. Tentukan a, b, c dan d dari : 8
- 9. a. − = − − + 54 75 3 1 3 1 2 2 c b d a b. − − = + + − + 64 2 3 642 284 2 1 3 1 4 cb c db ab ca 4. Diketahui = cb a A 32 4 dan + +− = 7 1232 ba abc B . Jika T BA 2= , maka tentukan nilai c ! 3.2 PERKALIAN MATRIKS DENGAN MATRIKS Dua matriks A dan B dapat dikalikan jika jumlah kolom matriks A (matriks kiri) sama dengan jumlah baris matriks B (matriks kanan). Ordo hasil perkalian matriks mxnA dengan nxpB , misalnya matriks C yang akan berordo mxp (seperti permainan domino). Cara mengalikan matriks A dan B yaitu dengan menjumlahkan setiap perkalian elemen pada baris matriks A dengan elemen kolom matriks B dan hasilnya diletakkan sesuai dengan baris dan kolom pada matriks C (matriks hasil perkalian). Misal : = dc ba A dan = usq trp B maka : AB = usq trp dc ba = +++ +++ ductdscrdqcp buatbsarbqap Contoh 1: Diketahui [ ]97, 6 5 , 41 23 = = = CBA dan = 87 65 D . Terntukan : a. AB b. AC c. AD Jawab : a. AB = + + = 245 1215 6 5 41 23 = 29 27 b. AC tidak dapat dikalikan, karena banyaknya kolom matriks A ≠ banyaknya baris matriks c. AD = = ++ ++ = 3833 3429 326285 16181415 87 65 41 23 … Contoh 2: Diketahui − = = 52 04 , 30 21 BA dan − = 41 23 C . Tentukan : a. AB b. BA c. BC d. AC e. (AB)C f. A(BC) g. B + C h. A(B + C) i. AB + AC j. AI k. IA Jawab : a. AB = − = +− +− = − 156 100 15060 10044 52 04 30 21 b. BA = − = +−+− ++ = − 112 84 15402 0804 30 21 52 04 c. BC = − − = ++− +−+ = − − 241 812 20456 08012 41 23 52 04 9 Am x n . B n x p = C m x p
- 10. d. AC = = ++ +−+ = − 123 65 12030 8223 41 23 30 21 e. (AB)C = − = ++− ++ = − − 723 4010 60121518 400100 41 23 156 100 f. A(BC) = − = +− +−− = − − 723 4010 72030 488212 241 812 30 21 g. B + C = − − = ++− −++ = − + − 91 27 4512 )2(034 41 23 52 04 f. A(B + C) = − = +− +−− = − − 273 163 27030 18247 91 27 30 21 g. AB + AC = = ++ ++ = − 3833 3429 326285 16181415 123 65 156 100 g. AI = = ++ ++ = 30 21 3000 2001 10 01 30 21 … h. IA = = ++ ++ = 30 21 3000 0201 30 21 10 01 … Sifat-sifat perkalian matriks : 1. Umumnya tidak komutatif (AB ≠ BA) 2. Asosiatif : (AB)C = A(BC) 3. Distributif kiri : A(B + C) = AB + AC Distributif kanan : (B + C)A = BA + CA 4. Identitas : IA = AI = A 5. k(AB) = (kA)B LATIHAN SOAL 1. Sederhanakan ! a. [ ] − 2 5 43 b. [ ] − − 40 13 21 c. − −− 3 1 2 1 98 64 d. − 1 5 14 30 e. − − 12 53 01 43 f. − 203 412 31 42 g. − − − 30 24 13 524 301 h. − − −− − − 332 514 421 207 364 125 2. Diketahui −− = 42 13 X . Jika XXX .2 = dan XXXX ..3 = maka tentukan : a. 2 X b. 3 X 3. Jika = 243 021 A dan −= 00 11 24 B maka tentukan : a. T BA)( b. T AB)( 10
- 11. 4. Tentukan a jika + − − = − − + − − 1 12 34 12 3 54 3 1 ac c bb d C. INVERS MATRIKS 1. INVERS MATRIKS ORDO 2 x 2 Jika AB = BA = I , dimana I matriks satuan yaitu = 10 01 I maka A dan B dikatakan saling invers. Invers matriks A dinotasikan 1− A . Misal = dc ba A dan = sr qp B maka : AB = I ⇒ = 10 01 sr qp dc ba ⇒ = ++ ++ 10 01 dscqdrcp bsaqbrap ap + br = 1 ⇒ bcad d p − = dan bcad c r − − = cp + dr = 0 aq + bs = 0 ⇒ bcad b q − − = dan bcad a s − = cq + ds = 1 Karena 1− = AB = sr qp maka − − − =− ac bd bcad A 11 ad – bc disebut Determinan (D) atau A atau det(A). Jadi bcadAAD −=== )det( . Jika D = 0, maka matriks A tidak mempunyai invers dan matriks A disebut matriks Singular. Jika ad – bc 0≠ maka matriks A disebut matriks Non Singular. Contoh 1: Tentukan determinan − − = 15 32 A Jawab : ....=A Contoh 2: Tentukan invers dari −− = 13 25 P Jawab : ....1 =− P Contoh 3: Tentukan x jika − = x A 2 65 merupakan matriks singular ! Jawab : ad – bc = 0 ⇒ … Contoh 4: Tentukan matriks X jika −− − = − 23 313 23 12 X Jawab : XA = B ⇒ X = 1− BA = … 11
- 12. Jika ada persamaan matriks berbentuk : AX = B maka X BA 1− = XA = B maka X = 1− BA LATIHAN SOAL 1. Tentukan determinannya ! a. = 23 35 A b. B = 32 64 c. −− = 13 32 C d. − − = 32 54 D 2. Tentukan inversnya ! (jika ada) a. − = 35 11 A b. − − = 04 15 B c. −− = 63 84 C d. − − = 58 610 D 3. Tentukan x jika − − = xx x P 2 8 singular 4. Tentukan matriks X jika : a. = 1514 58 02 54 X b. − = 12 34 43 21 X c. − = − 14 28 41 23 X d. − = − 210 514 28 14 12 X 2. INVERS MATRIKS ORDO 3 x 3 2.1 DETERMINAN MATRIKS ORDO 3 X 3 Cara menentukan determinan matriks ordo 3 x 3 dengan menggunakan diagram SARRUS, yaitu : 1. Salin kolom ke-1 dan ke-2 pada kolom ke-4 dan ke-5 2. Kurangkan jumlah perkalian elemen-elemen pada diagonal ke bawah dengan jumlah perkalian elemen-elemen pada diagonal ke atas. = 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A ⇒ det (A) = 3231 2221 1211 333231 232221 131211 aa aa aa aaa aaa aaa A = = ( ….. ) + ( …. ) + ( …. ) – ( … ) - ( … ) – ( … ) 12
- 13. Contoh 1: Jika = 341 431 321 P maka tentukan P Jawab : ........ ........ ........ ............ ............ ............ =P = … = … MINOR, KOOFAKTOR DAN ADJOINT Minor yaitu sebuah determinan yang diperoleh dengan cara menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j, dan ditulis dengan ijM . Sedangkan koofaktor diperoleh dari perkalian ijM dengan ( ) ji+ −1 dan ditulis dengan ijA . Sedangkan adjoint yaitu koofaktor yang ditransposekan dan ditulis dengan Adj(A). Contoh 2: Diketahui − − − = 112 211 121 M . Tentukan : a. 12M b. 22M c. 31A d. 23A e. Adj(M) Jawab : a. 12M = .... ........ ........ = b. 22M = .... ........ ........ = c. 31A = ( ) .... ........ ........ 1 ....... =− + d. 23A = ( ) .... ........ ........ 1 ....... =− + f. Adj(M) = T − − − − ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... = T ......... ......... ......... = ......... ......... ......... 2.3 INVERS MATRIKS ORDO 3 X 3 Untuk menentukan invers matriks A ordo 3 x 3 dengan menggunakan rumus : )( 11 AAdj A A =− 13
- 14. Contoh 3: Tentukan invers dari = 541 431 321 P Jawab : .... ...... ...... ...... ......... ......... ......... ==P − −− − = ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... )(PAdj =…. .... ......... ......... ......... ... ...1 = =− P LATIHAN SOAL 1. Tentukan determinan dari : a. − = 130 123 021 A b. − − − = 211 033 124 B c. − − − = 214 301 425 C 2. Tentukan x jika 35 312 104 13 = −− − x 3. Diketahui −− − = 143 110 224 X . Tentukan : a. 21M b. 33M c. 12A d. 22A e. Adj(X) 4. Tentukan inversnya dari : a. − −= 011 231 204 P b. − − = 210 433 125 Q 14
- 15. 15