1. 3 ATURAN ILMU HITUNG MATRIKS
3.1 SIFAT-SIFAT DARI OPERASI MATRIKS
Beberapa Sifat Operasi Matriks:
a. A+B = B+A Hukum Komutatif untuk Penambahan
b. A+ (B+C) = (A+B) + C Hukum Asosiatif untuk Penambahan
c. A(BC) = (AB)C Hukum Asosiatif untuk Perkalian
d. A(B+C) = AB + AC Hukum Distributif
e. (B+C)A = BA + CA Hukum Distributif
f. A(B-C) = AB – AC
g. (B-C)A = BA - CA
h. a(B+C) = aB + aC
i. a(B-C) = aB - aC
j. (a+b)C = aB + bC
k. (a-b)C = aB - bC
l. (ab) = a(bC)
m. (ab)C) = a(bC)
n. AB ≠BA
Contoh 3.1
Diketahui matriks A, B, dan C dan nilai konstanta a dan b sebagai berikut
3 2 4 0 0 − 1
A= , B = 1 5 , C = 4 6 , a= -3 , b = 2
− 1 3
Hitunglah!
a. A+ (B+C) = (A+B) + C e. A(BC) = (AB)C
b. (a+b)C = aB + bC f. a(B-C) = aB - aC
c. a(BC) g. (aB)C
d. A(B-C) h. AB – AC
Sifat-sifat Matriks Nol
a. A+ 0 = 0 + A = A
b. A–A=0
c. 0 – A = -A
d. A0 = 0; 0A = 0
Lukmanulhakim Almamalik III- 1
3. 3.3 INVERS MATRIKS
Definisi. Jika A adalah matriks kuadrat, dan jika kita dapat mencari matriks B, sehingga
AB = BA =I, maka A dikatakan dapat dibalik (invertible) dan B dinamakan invers dari A.
Jika Invers Matriks A adalah A-1 , maka AA-1 = A-1A = I
Contoh 3.4
3 5 2 − 5
Diketahui matriks B = adalah invers dari matriks A = − 1
1 2 3
3 5 2 − 5 1 0 2 − 5 3 5 1 0
karena AB = − 1 3 = 0 1 = I dan BA= − 1 3 1 2 = 0 1 =I
1 2
Jadi B adalah A-1 (B adalah invers matriks A)
Jika A dan B adalah matriks-matriks yang dapat dibalik dan yang ukurannya sama, maka
• AB dapat dibalik
• (AB)-1 = B-1 A-1
Contoh 3.5
1 2 3 2 7 6
Misalkan matriks A = B= AB =
1 3 2 2 9 8
Dengan menerapkan rumus (AB)-1 = B-1 A-1 akan didapatkan bahwa
3 − 2 1 − 1 4 − 3
B−1 = ( AB) −1 = 9
− 7
−1
A = 3
− 1 1 − 1 2 − 2 2
1 − 1 3 − 2
B −1 A −1 = 3 =…
− 1 2 − 1 1
3.4 MATRIKS KUADRAT
Definisi Jika A adalah matriks bujur sangkar, maka definisi dari pangkat integer
taknegatif dari A adalah
A0 = I
An = AAA…A , n>0
n faktor
A-n = (A-1)n = A-1 A-1 … A-1
n faktor
Lukmanulhakim Almamalik III- 3
4. Contoh 3.6
Diketahui matriks A adalah
maka
Tentukan p(A) jika diketahui p(x) = -6x3 + 10 x – 9
Contoh 3.7
Diketahui matriks A adalah:
Hitunglah A-3
Penyelesaian:
Lukmanulhakim Almamalik III- 4
5. Jika A matriks yang dapat dibalik maka
• A-1 dapat dibalik
• An dapat dibalik dan (An)-1 = (A-1)n untuk n = 0, 1, 2, …
• Untuk setiap scalar k yang taksama dengan nol, maka kA dapat dibalik dan
1
(kA)-1= A-1
k
Contoh 3.8
1 2
Diketehui matriks A = , tentukan berapa nilai dari (4A)-1
1 3
Penyelesaian:
3 2
3 − 2 3 − 2 4 − 4
A −1 =
-1 -1
, maka (4A) = ¼ (A ) = ¼ . − 1 1 = − 1 1
− 1 1
4 4
Sifat Matriks Transpose
Jika A dan B dua matriks yang dapat dioperasikan seperti diberikan di bawah, dan k
adalah suatu bilangan konstan.
a. (At )t = A
b. (AB)t = BtAt
c. (A±B)t = Bt±At
d. (kA )t = kAt
Contoh 3.9
Jika diketahui matriks A dan B, seta konstanta k berturut-turut adalah
3 2 4 0
A= dan B = 1 5 , dan k = 3
− 1 3
Lukmanulhakim Almamalik III- 5
6. 3 − 1 4 1
At = , B = 0 5
t
2 3
Hitunglah!
a. (At )t
b. (AB)t = BtAt
c. (A±B)t = Bt±At
d. (kA )t = kAt
3.5 MATRIKS ELEMENTER
Sebuah matriks n x n dinamakan matriks elementer jika matriks tersebut dapat diperoleh
dari matriks satuan (matriks identitas) n x n yakni In dengan melakukan sebuah operasi
baris elementer.
Contoh 3.10
Berikut semuanya adalah matriks elementer. Juga diberikan operasi baris yang sesuai
dengan ukuran matriks identitas.
1 0
0 − 3 Kalikan baris kedua matriks I2 dengan -3.
1 0 0 0
0 0 0 1
Pertukarkan baris kedua dan baris keempat dari matriks I4
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 3
0 1 0 Tambahkan tiga kali baris ketiga dari matriks I3 pada baris pertama
0 0 1
Kalikan baris pertama matriksI1 dengan 9
Pertukarkan baris pertama dan baris keempat dari I4
Jika matriks elementer E dihasilkan dengan melakukan sebuah operasi baris tertentu
pada Im dan jika A adalah matriks m x n, maka hasil kali EA adalah matriks yang
dihasilkan bila operasi baris yang sama ini dilakukan pada A.
Lukmanulhakim Almamalik III- 6
7. Contoh 3.11
Diketahui matriks
1 0 2 3
A = 2 − 1 3 6
1 4 4 0
Tinjaulah matriks elementer
1 0 0
E = 0 1 0
penambahan 3 kali baris pertama dari I3 ke baris ketiga.
3 0 1
yang dihasilkan oleh penambahan 3 kali baris pertama dari I3 ke baris ketiga.
Hasil kali EA adalah
1 0 0 1 0 2 3 1 0 2 3
EA = 0 1 0 2 − 1 3 6 = 2 − 1 3 6
3 0 1 1 4 4 0 4 4 10 9
3.6 MENCARI INVERS MATRIKS
Mencari matriks menggunakan metode Eliminasi Gauss-Jordan.
Jika diketahui suatu matriks A, langkah-langkah untuk mencari invers matriks A adalah
sebagai berikut.
a. Ubah matriks ke dalam bentuk [A | I n ]
b. Selesaikan menggunakan metode Eliminasi Gauss-Jordan, sehingga diperoleh
[
bentuk matriks I n | A −1 ]
Contoh 3.12
Diketahui matriks
Cari invers matriks A atau A-1
diubah ke dalam bentuk
Lukmanulhakim Almamalik III- 7
9. 1 2 0 − 14 6 3
0 1 0 13 − 5 − 3 R1 - 3R3 dan R2 - 3R3
0 0 1
5 − 2 − 1
1 0 0 − 40 16 9
0 1 0 13 − 5 − 3 R1 – 2R1
0 0 1
5 − 2 − 1
− 40 16 9
Jadi invers dari matrik A adalah 13 − 5 − 3
5
− 2 − 1
Contoh 3.14
Diketahui matriks
Tentukan invers matriks A
Coba kerjakan sendiri ……..
Jadi invers matriks A adalah
Contoh 3.15
Diketahui matriks
Lukmanulhakim Almamalik III- 9
10. Tentukan invers matriks A jika ada !
Walaupun matriks belum dalam bentuk eselon baris tereduksi, tapi perhitungan sudah
[ ]
dapat dihentikan pada tahap ini sudah terlihat bahwa bentuk IMA −1 tidak akan bisa
didapatkan, sehingga dapat disimpulkan matriks A tidak memiliki invers.
Untuk matriks 2x2, mencari Invers Matriks menggunakan rumus
berikut.
a b
Jika matrisks A = dapat dibalik dan ad – bc ≠ 0
c d
−1 1 a b
maka A =
ad − bc c d
Jika ad – bc = 0 maka dikatakan matriks singular (tidak mempunyai invers)
Contoh 3.16
Diketahui matriks
Tentukan invers matriks A jika ada !
Dengan cara cepat ad – bc = (-4).(5) – (5) (-2) = -10
Lukmanulhakim Almamalik III- 10
11. Contoh 3.17
Diketahui matriks
Tentukan invers matriks B jika ada !
Dengan cara cepat ad – bc = (-4) (3) – (-2) (6) = 0. Karena nilai ad – bc = 0 merupakan
matriks singular (tidak mempunyai invers)
3.7 SISTEM PERSAMAAN DAN KETERBALIKAN
Jika A adalah matriks n x n yang dapat dibalik, maka untuk setiap matriks B yang
berukuran n x 1, system persamaan AX = B mempunyai satu pemecahan yaitu
X = A-1 B
Contoh 3.18
Sistem Persamaan Linier
-4x1 – 2x2 = 8
5x1 + 5x2 = 10
Diubah dalam bentuk matriks AX = B
− 4 − 2 x 8
A= X = 1 B=
5 5
x 2 10
Cari Matriks Invers A
−1− 1 − 1
A = 12 5
2
2 5
Hitung x1 dan x2
Lukmanulhakim Almamalik III- 11
12. x1 − 2
1 − 1 8 − 8 − 10 −3
x = 1
5 = 8 2 20 =
2 10 +
5
2 2 4
5 2 5
Latihan
1. Tentukan Invers Matriks di bawah ini jika ada
2. Jelaskan matriks elementer di bawah ini.
3. Pecahkan sistem di bawah ini menggunakan rumus X = A-1 B
a. x1 + 2x2 = 7 b. x1 + 2x2 + 2x3 = -1
2x1 + 5x2 = - 3 x1 + 3x2 + x3 = 4
x1 + 3x2 + 2x3 = 3
c. x1 + 2x2 + 3x3 = 5
2x1 + 5x2 + 3x3 = 3
x1 + 8x3 = 17
Lukmanulhakim Almamalik III- 12
