Sistem persamaan linear dapat ditulis dalam bentuk matriks A x = b, dimana A adalah matriks koefisien, x adalah vektor variabel tidak diketahui, dan b adalah vektor konstanta. Penyelesaian sistem persamaan linear meliputi metode eliminasi Gauss, eliminasi Gauss-Jordan, dan aturan Cramer. Determinan digunakan untuk menentukan apakah suatu matriks dapat diinverskan.

1. Matriks dan Determinan

2. Sistem Persamaan Linear
Secara umum, sistem persamaan linear (SPL) dengan m
persamaan dan n variable yang tidak diketahui dapat
dituliskan dalam bentuk:
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
   
   
   

3. Atau bentuk matriks:
atau
Ax = b
Dimana A adalah matriks ukuran m  n, x vektor ukuran
n  1 dan b vektor ukuran m  1.
Jika b = 0, SPL di atas disebut SPL homogen
dan jika b  0, disebut SPL Nonhomogen
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2
n
n
m m mn n m
a a a x b
a a a x b
a a a x b
     
     
     

     
     
     

4. SPL Nonhomogen dengan Dua Persamaan Dua Variabel
11 12 1
21 22 2
a x a y b
a x a y b
 
 
Tepat satu penyelesaian Tidak terdapat penyelesaian Banyak penyelesaian

5. Kemungkinan penyelesaian SPL Nonhomogen Ax=b
• Tepat satu penyelesaian
• Banyak penyelesaian
• Tidak mempunyai penyelesaian
SPL Nonhomogen disebut konsisten jika mempunyai paling
sedikit satu penyelesaian, jika tidak disebut inkonsisten

6. Metode Penyelesaian SPL Ax = b
• Eliminasi Gauss
• Eliminasi Gauss-Jordan
• Dengan mencari invers dari A, yaitu A–1 dan x = A–1b
• Aturan Cramer

7. Eliminasi Gauss – Jordan
Matriks diperbesar (Augmented Matrix)
Operasi Baris Elementer:
• Mengalikan suatu baris dengan konstanta yang tidak
nol
• Menukar dua baris
• Menambah suatu baris dengan kelipatan baris lain.
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
n
n
m m mn m
a a a b
a a a b
a a a b
 
 
 
 
 
 

8. Contoh:
Selesaikan SPL
Jawab:
Matriks yang diperbesar
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 8
2 3 1
3 7 4 10
x x x
x x x
x x x
  
   
  
1 1 2 8
1 2 3 1
3 7 4 10
 
 
 
 
 

 

9. 1 1 2 8
1 2 3 1
3 7 4 10
 
 
 
 
 

 
1 1 2 8
0 1 5 9
3 7 4 10
 
 

 
 

 
1 1 2 8
0 1 5 9
0 10 2 14
 
 

 
 
  
 
1 1 2 8
0 1 5 9
0 10 2 14
 
 
 
 
 
  
 
1 1 2 8
0 1 5 9
0 0 52 104
 
 
 
 
 
 
 
1
52

1 1 2 8
0 1 5 9
0 0 1 2
 
 
 
 
 
 
B2 + B1

B3 – 3B1

B2(–1 )

B3+10 B2

B3( )

Matriks yang terakhir bersesuaian dengan SPL
1 2 3
2 3
3
2 8
5 9
2
x x x
x x
x
  
  

Dengan melakukan substitusi balik akan
diperoleh
Sampai langkah ini, matriksnya kita sebut
matriks eselon baris (metode Eliminasi
Gauss).
1 2 3
3, 1, 2
x x x
  

10. Jika dilanjutkan…
1 1 2 8
0 1 5 9
0 0 1 2
 
 
 
 
 
 
1 0 7 17
0 1 5 9
0 0 1 2
 
 
 
 
 
 
1 0 0 3
0 1 5 9
0 0 1 2
 
 
 
 
 
 
1 0 0 3
0 1 0 1
0 0 1 2
 
 
 
 
 
B1 – B2 B1 – 7B3 B2+5B3
.
1 2 3
3, 1, 2
x x x
  
Diperoleh hasil yang sama,
Matriks tersebut dinamakan matriks eselon baris
tereduksi dan metodenya disebut eliminasi Gauss-
Jordan.

11. Matriks dan Operasi Matriks
Definisi :
Matriks adalah kelompok bilangan yang disusun dalam
suatu jajaran berbentuk persegi atau persegi panjang yang
terdiri atas baris-baris atau kolom-kolom.
Bilangan-bilangan tersebut disebut entri/elemen dari
matriks
Ukuran/ordo matriks m  n menyatakan bahwa matriks
tersebut mempunyai m baris dan n kolom
Jika m= n, maka disebut matriks bujursangkar/persegi

12. Penjumlahan Dua Matriks
Definisi :
Misalkan A dan B adalah matriks-matriks berukuran m x n
dengan entri aij dan bij. Jika matriks C adalah jumlah
matriks A dengan matriks B atau C = A+B,
maka matriks C juga berukuran m x n dengan
cij = aij+bij ,untuk semua i dan j.

13. Sifat-Sifat Penjumlahan Matriks
Misalkan A,B,C dan 0 adalah matriks-matriks yang
berukuran sama, maka dalam penjumlahan matriks :
• Komutatif : A + B = B + A
• Asosiatif : (A + B) + C = A + (B + C)
• Terdapat sebuah matriks identitas, yaitu matriks 0
bersifat
A + 0 = 0 + A = A
• Semua matriks A mempunyai lawan atau negatif –A
bersifat
A + (-A) = 0

14. Perkalian skalar
Definisi :
Misalkan A adalah suatu matriks berukuran m x n dengan
entri aij dan k adalah suatu bilangan real. Jika
matriks C adalah hasil perkalian bilangan real k terhadap
matriks A, ditulis C = kA, maka matriks C berukuran m x n
dengan entrinya adalah
cij = kaij ,untuk semua i dan j

15. Sifat-Sifat Perkalian Skalar
Misalkan p dan q adalah bilangan-bilangan real, A dan B
adalah matriks-matriks berukuran m x n, maka perkalian
bilangan real dengan matriks memenuhi sifat-sifat :
(p + q)A = pA + qA
p(A + B) = pA + pB
p(qA) = (pq)A
1A = A
(-1)A = -A

16. Perkalian Dua Matriks
Definisi :
Misalkan A adalah matriks berukuran m x n dengan
entri aij dan B adalah matriks berukuran n x p dengan
entri bij.
Jika matriks C adalah hasil perkalian matriks A terhadap
matriks B,atau C = AB, maka matriks C berukuran m x p
dan entri matriks C pada baris ke-i dan kolom ke-j (cij)
diperoleh dengan cara mengalikan elemen-elemen baris
ke-i dari matriks A terhadap elemen-elemen kolom ke-j dari
matriks B, kemudian masing-masing dijumlahkan. atau
ditulis
1
n
ij ik kj
k
c a b

 

17. Catatan :
Jika banyak kolom matriks A sama banyak dengan banyak baris
matriks B, maka matriks A dan B dikatakan dua matriks yang
sepadan untuk dikalikan.
Sifat-Sifat Perkalian Dua Matriks atau lebih yang sepadan
• Pada umumnya tidak komutatif
• Bersifat asosiatif
• Bersifat distributif
• Dalam perkalian matriks yang hanya memuat matriks-matriks
persegi dengan ukuran yang sama, terdapat sebuah matriks
identitas I yang bersifat IA =AI = A
• Jika AB = 0, belum tentu A = 0 atau B = 0
• Jika AB = AC, belum tentu B = C
• Jika p dan q adalah bilangan-bilangan real serta A dan B
adalah matriks-matriks, maka berlaku (pA)(qB)=(pq)(AB)
• Jika AT dan BT berturut-turut adalah transpos dari matriks A
dan B, maka berlaku (AB)T =BTAT.

18. Invers Matriks
Definisi
Misalkan A dan B masing-masing adalah matriks persegi
berukuran n  n dan
berlaku
AB = BA = I
Maka A adalah invers dari B atau B adalah invers A atau A
dan B merupakan dua matriks yang saling invers.

19. Invers matriks bujursangkar berukuran 2  2
Jika matriks , maka
invers matriks A adalah
dengan syarat ad – bc ≠ 0
Sifat Invers dari perkalian dua matriks
Misalkan matriks A dan B merupakan matriks-matriks bujursangkar
yang tak singular, A-1 dan B-1 berturut-turut adalah invers dari matriks
A dan B, maka berlaku :
• (AB)-1= B-1A-1
• (BA)-1= A-1B-1
a b
A
c d
 
  
 
1 1 d b
A
c a
ad bc
 
 
  

  

20. 3 4
5 6
 

 
 
2 5 5
1 1 0
2 4 3
 
 
  
 
 
 
-2
- 1
1 3 1 1
2 5 2 2
1 3 8 9
1 3 2 2
 
 
  
 
 
 
?
Determinan

21. Fungsi Determinan
Definisi
Suatu permutasi dari bilangan-bilangan bulat {1, 2, 3, …, n}
adalah penyusunan bilangan-bilangan tersebut dengan
urutan tanpa pengulangan
Contoh:
Permutasi dari {1, 2, 3} adalah
(1, 2, 3) (2, 1, 3) (3, 1, 2)
(1, 3, 2) (2, 3, 1) (3, 2, 1)
Secara umum, bilangan-bilangan pada {1, 2, …, n} akan
mempunyai n! permutasi

22. Suatu permutasi (j1, j2, …, jn) dikatakan mempunyai 1
inversi jika terdapat satu bilangan yang lebih besar
mendahului suatu bilangan yang lebih kecil.
Contoh:
(6, 1, 3, 4, 5, 2)
• 6 mendahului 1, 3, 4, 5, 2 = 5 inversi
• 3 mendahului 2 = 1 inversi
• 4 mendahului 2 = 1 inversi
• 5 mendahului 2 = 1 inversi
Jadi terdapat 8 inversi dalam permutasi di atas
(1, 2, 3, 4) : tidak terdapat inversi

23. Definisi
• Suatu permutasi dikatakan permutasi genap jika
banyaknya inversinya sejumlah genap dan dikatakan
permutasi ganjil jika banyak inversinya sejumlah ganjil
• Perkalian elementer dari matriks A ukuran nn adalah
perkalian dari n entri dari A dimana tidak ada yang
datang dari baris atau kolom yang sama
Contoh:
maka a11a22 dan a12a21 merupakan perkalian elementer
11 12
21 22
a a
a a
 
 
 

24. Perkalian elementer dari matriks A adalah dalam bentuk
a1_a2_a3_
dimana bilangan pada kolom diisi dengan permutasi dari
{1, 2, 3}
Jadi perkalian elementer dari A adalah:
a11a22a33 a12a21a33 a13a21a32
a11a23a32 a12a23a31 a13a22a31
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
 
 
  
 
 

25. Jika A adalah matriks berukuran nn maka terdapat n!
perkalian elementer dengan bentuk dimana adalah
permutasi dari {1, 2, ..., n}
Perkalian elementer bertanda dari A adalah perkalian
elementer dikali +1 jika merupakan permutasi genap dan
dikali 1 jika merupakan permutasi ganjil.
Pada Contoh 2 bagian b di atas perkalian bertanda dari A
adalah
a11a22a33 a12a21a33 a13a21a32
a11a23a32 a12a23a31 a13a22a31

26. Definisi
Jika A adalah matriks bujursangkar. Fungsi determinan dari
A, det(A) didefinisikan sebagai jumlah semua perkalian
elementer bertanda dari A.
det(A) = a11a22a33 + a13a21a32 + a12a23a31  a12a21a31
 a11a23a32  a13a22a31

27. Reduksi Baris untuk mencari determinan
Teorema
Misalkan A adalah matriks bujursangkar
Jika A memiliki satu baris nol atau kolom nol,maka
• det(A) = 0
• det(A) = det (AT)
Teorema
Jika A adalah matriks segitiga nn (segitiga atas, segitiga
bawah atau diagonal), maka det(A) adalah perkalian entri-
entri pada diagonal utamanya
det(A) = a11a22...ann

28. Teorema 2.2.3
Misalkan A adalah matriks bujursangkar
• Jika B adalah matriks yang dihasilkan dari perkalian
suatu baris atau kolom dengan skalar k ≠ 0 maka
det(B) = k det(A)
• Jika B adalah matriks yang dihasilkan dari pertukaran
dua baris atau kolom dari A maka det(B) = –det(A)
• Jika B adalah matriks yang dihasilkan ketika suatu baris
ditambahkan dengan kelipatan baris lain atau suatu
kolom ditambahkan dengan kelipatan kolom lain dari A,
maka det(B) = det(A).

29. Contoh:
11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 23
31 32 33 31 32 33
ka ka ka a a a
a a a k a a a
a a a a a a

11 12 13 11 12 13
31 32 33 21 22 23
21 22 23 31 32 33
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
 
11 31 12 32 13 33 11 12 13
21 22 23 21 22 23
31 32 33 31 32 33
a ka a ka a ka a a a
a a a a a a
a a a a a a
  


30. Teorema
Misal E adalah matriks elementer berukuran n  n,
• Jika E dihasilkan dari suatu baris In dikali k, maka
det(E) = k
• Jika E dihasilkan dari pertukaran dua baris pada In,
maka det(E) = 1
• Jika E dihasilkan dari suatu baris ditambah kelipatan
baris lain di In, maka det(E) = 1

31. 1 0 0
0 1 0 2
0 0 2

1 0 0
0 0 1 1
0 1 0
 
1 2 0
0 1 0 1
0 0 1

Contoh:

32. Teorema
Jika A adalah matriks bujursangkar dimana terdapat dua
baris atau dua kolom yang saling berkelipatan, maka
det(A) = 0

33. 1 3 0
2 4 1
5 2 2
A

 
 
 
 
 

 
1 3 0
2 4 1
5 2 2



2 1
2
B B


1 3 0
0 2 1
5 2 2



3 1
5
B B


1 3 0
0 2 1
0 13 2


1
2
1 3 0
2 0 1
0 13 2

 
3 2
13
B B


17
( 2)(1)(1) 17
2
 
   
 
 
Contoh:
= 1
2
17
2
1 3 0
2 0 1
0 0

 

34. 1 0 0 3
2 7 0 6
0 6 3 0
7 3 1 5
A
 
 
 

 
 

 
1 0 0 3
2 7 0 6
0 6 3 0
7 3 1 5

4 1
3
C C


1 0 0 0
2 7 0 0
(1)(7)(3)( 26) 546
0 6 3 0
7 3 1 26
   


35. Teorema
Suatu matriks bujursangkar A invertible jika dan hanya jika
det (A) ≠ 0
Teorema
Jika A dan B adalah matriks bujursangkar dengan ukuran
sama, maka
det(AB) = det (A) det(B)
Teorema
Jika A invertible, maka
1 1
det( )
det( )
A
A



36. Ekspansi Kofaktor dan Aturan Cramer
Definisi
Jika A matriks bujursangkar, maka minor dari entri aij,
dinotasikan dengan Mij adalah determinan dari submatriks
setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan dari A.
Kofaktor dari entri aij adalah bilangan , dinotasikan
dengan Cij.
( 1)i j
ij
M



37. 3 1 4
2 5 6
1 4 8
A

 
 
  
 
 
11
3 1 4
5 6
2 5 6 16
4 8
1 4 8
M

  
Contoh:
C11 = (-1)1+1M11 = M11 = 16

38. Tanda untuk cij dapat digambarkan dari posisinya
pada matriks berikut
    
 
 
    
 
 
    
 
    
 
 
 

39. Ekspansi Kofaktor
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
 
 
  
 
 
det(A) = a11a22a33 + a13a21a32 + a12a23a31
 a12a21a33  a11a23a32  a13a22a31
det(A) = a11 (a22a33  a23a32)  a12 (a21a33  a23a31)
+ a13 (a21a32  a22a31)
= a11M11 – a12M12 + a13M13
= a11c11 + a12c12 + a13c13
Formula ini menyatakan determinan matriks A ekspansi kofaktor
berdasarkan baris pertama dari A

40. Teorema
Determinan dari matriks A n  n dengan cara ekspansi
kofaktor
• , i = 1, 2, ..., n : Ekspansi menurut baris i
• , j = 1, 2, ..., n : Ekspansi berdasarkan
kolom j
1
det( )
n
ij ij
j
A a c

 
1
det( )
n
ij ij
i
A a c

 

41. 3 1 0
2 4 3
5 4 2
A
 
 
  
 
 

 
3 1 0
4 3 1 0 1 0
2 4 3 3 2 5
4 2 4 2 4 3
5 4 2
A

     
  

Contoh:
Hitung determinan
Ekspansi berdasarkan kolom 1
= 3(4) + 2(2) + 5(3) = 1

42. Atau berdasarkan baris pertama
3 1 0
4 3 2 3
2 4 3 3 1
4 2 5 2
5 4 2
A
 
    
 

= 3(4)  (11) = 1

43. 3 5 2 6
1 2 1 1
2 4 1 5
3 7 5 3



3 7 4 6
0 0 0 1
3 6 6 5
0 1 8 3
 

 
3 7 4
3 6 6
0 1 8
 
 
3 7 60
3 6 54
0 1 0
 
   
3 60
18
3 54

  


44. Definisi
Jika A adalah matriks nn, Cij kofaktor dari aij, maka
11 12 1
21 22
1 2
n
n n nn
C C C
C C
C C C
 
 
 
 
 
 
disebut matriks kofaktor dari A.
Transposenya disebut matriks Adjoin dari A, ditulis Adj(A)

45. 3 2 1
1 6 3
2 4 0
A

 
 
  
 

 
12 6 16
4 2 16
12 10 16

 
 
 
 

 
12 4 12
Adj( ) 6 2 -10
-16 16 16
A
 
 
  
 
 
Contoh:
Kofaktor dari A
C11 = 12, C12 = 6, C13 = 16, C21= 4, C22 = 2,
C23 = 16, C31 = 12, C32 = 10, C33 = 16
Maka matriks kofaktor dari A adalah
Matriks adjoin dari A adalah

46. Teorema
Jika A adalah matriks invertible, maka
1 1
Adj( )
det( )
A A
A


Teorema (Aturan Cramer)
Jika Ax = b adalah spl dengan n peubah, det (A) ≠ 0 maka
spl mempunyai solusi tunggal
det( )
det( )
i
i
A
x
A

dimana Ai adalah matriks A dengan kolom ke-i diganti
dengan b