Lets Study Alajabar Matriks

1. ALJABAR MATRIKS
By
Dzikri Nashrul Fauzi
142151021

2. MINOR
Untuk mencari nilai kofaktor terlebih dahulu kita harus mencari nilai minor dari setiap
elemen matrik. Untuk memudahkan, selanjutnya minor kita beri simbol dengan huruf M
dan minor untuk setiap elemen matrik akan kita beri simbol dengan Mij dimana i adalah
letak baris dan j adalah letak kolom dari setiap elemen matrik.
contoh:
diketahui matrik A sebagai berikut:

3. • maka minor elemen 2 yang terletak pada baris ke 1 kolom ke 1 diberi simbol dengan M11.
Untuk mencari harga minornya dapat kita lakukan dengan mencoret atau menghilangkan baris
ke 1 dan kolom ke 1 sehingga didapatkan matrik baru seperti berikut:
• jadi minor elemen 2 (M11) adalah :
• Serupa dengan cara di atas , minor elemen 3 (M12) adalah :

4. KOFAKTOR
Setelah mendapatkan harga minor dari masing-masing elemen matriks kita dapat menentukan
nilai atau harga dari kofaktor. Cara mencarinya adalah dengan mengalikan masing-masing nilai
minor di atas dengan tanda tempat masing-masing elemen. Adapun tanda tempatnya dapat dilihat
pada gambar berikut:
Jadi berdasarkan tanda tempat di atas kita dapat mencari nilai kofakto dari masing-masing elemen
matriks. Untuk selanjutnya kita akan berikan simbol untuk nilai kofaktor masing-masing elemen
dengan Cij, dimana i menandakan baris dan j menandakan kolom. jadi untuk setiap elemen di atas
kita dapatkan harga kofaktornya sebagai berikut:

6. MATRIK KOFAKTOR
Setelah kita mendapatkan harga atau nilai kofaktor dari masing-masing elemen
matrik di atas, maka kita sekarang akan menyusun setiap nilai kofator tersebut
sesuai dengan alamat tempatnya masing-masing. Susunan masing-masing elemen
dari nilai kofaktor ini akan menghasilkan sebuah matrik baru yang kita namakan
dengan matrik kofaktor. Untuk selanjutnya matrik kofaktor akan kita beri simbol
dengan huruf C. Jadi matrik kofaktor (C) dari matrik di atas adalah:

7. EKSPANSI KOFAKTOR
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama
Pada dasarnya ekspansi kolom hampir sama dengan ekspansi baris seperti di atas.
ada satu hal yang membedakan keduanya yaitu faktor pengali. Pada ekspansi baris, kita
mengalikan minor dengan komponen baris pertama. Sedangkan dengan ekspansi
kolom pertama, kita mengalikan minor dengan kompone kolom pertama.
Misalkan ada sebuah matriks A3x3

8. maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,
det(A) = a11 - a21 + a31
= a11(a22a33 - a23a32) - a21(a21a33 - a23a31) + a31(a21a32 - a22a31)
= a11a22a33 + a21a23a31 + a31a21a32 - a22(a31)2 - (a21)2a33 - a11a23a32
Contoh Soal: A =
Tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor kolom pertama
Jawab:
det(A) = = 1 -4 +3
= 1(-3) - 4(-8) + 3(-7) = 8

9. ADJOIN MATRIK BUJUR SANGKAR
Jika kita sudah mendapatkan matrik kofaktor (C) maka kita sudah bisa mendapatkan
adjoin dari matrik tersebut. Adjoin matrik bujur sangkar sama nilainya dengan
transpose dari matrik kofaktor, jadi dengan mencari transpose dari matrik kofaktor kita
sudah mendapatkan nilai adjoin matrik. Transpose dari matrik C adalah :
Maka matrik transpose dari matrik kofaktor dinamakan dengan matrik adjoin dari
matrik A.
Jadi untuk memperoleh adjoin dari suatu matrik bujur sangkar A kita harus
- Membentuk matrik kofaktor C
- Menuliskan transpose dari matrik C yaitu CT

10. 10
Aturan Cramer:
Solusi untuk Sistem Persamaan Linier Ax = b
A matriks koefisien; b vektor (nx1); x vektor yang dicari
xi = i = 1, 2, 3, …, n
det(Ai)
det(A)
di mana Ai adalah matriks A dengan menggantikan kolom-i
dengan (vektor) b

11. 11
ATURAN CRAMER :
 A . X = B
Aj  mengganti kolom ke j dengan matrix B
det(A1) det(A2) det(An)
x1= , x2= … , xn=
det(A) det(A) det(A)

12. 12
Contoh :
x + y + 2z = 9
2x + 4y - 3z = 1
3x + 6y - 5z = 0
=
A . X = B
Det (A) = = -1
9
1
0
x
y
z
1 1 2
2 4 -3
3 6 -5
1 1 2
2 4 -3
3 6 -5

13. 13
Det (A1) = = -1  x= det(A1)/det(A)
= -1/-1
= 1
Det (A2) = = -2  y= det(A2)/det(A)
= -2/-1
= 2
Det (A3) = = -3  z= det(A3)/det(A)
= -3/-1
= 3
9 1 2
1 4 -3
0 6 -5
1 9 2
2 1 -3
3 0 -5
1 1 9
2 4 1
3 6 0

14. TERIMAKASIH 