1. SEMESTER II
1
Selasa, 30 Oktober 2012
FAKULTAS EKONOMI
PROGRAM STUDI MANAJEMEN
UNIVERSITAS ISLAM LABUHANBATU
PERKULIAHAN-3
Matematika ekonomi
Hitung Diferensial
3. Deskripsi Singkat
• Dalam perkuliahan ini, anda akan mempelajari tentang limit
dan pengertian diferensial yang menyangkut fungsi yang
mengandung hanya satu variabel bebas dalam
persamaannya.
• Bagian akhir perkuliahan akan membahas tentang kaidah-
kaidah diferensial
3
4. Bahan Bacaan
Buku Wajib
• Dumariy, 2003, Matematika Terapan untuk Bisnis dan
Ekonomi, Penerbit BPFE, Yogyakarta.
• Habieb dan aziz, 2008, Matematika Ekonomi dan Bisnis, Penerbit
Ghalia Indonesia, Jakarta.
Buku Pelengkap
• D. Sriyono, 2008, Matematika Ekonomi dan Keuangan, Penerbit
Andi, Yogyakarta.
• Suprian Atmaja Saputra, 2002, Matematika Ekonomi 1, PT. Ghalia
Indonesia, Jakarta.
4
5. tugas
1. Selesaikan soal-soal limit berikut :
a.
b.
c.
2. Soal turunan fungsi :
a. Diketahui fungsi f(x) = 2x2 + 4
• Tentukan arah dari garis singgung di titik x = 1,5
• Tetapkan garis singgung tersebut
• Gambarkan grafiknya
b. Hitunglah turunan pertama fungsi-fungsi berikut :
•
•
3. Hitunglah dy/dx dan d2y/d2x jika diketahui :
• x2 – xy + y = 2
• x3 – 3xy + y2 = 1
5
6. limit
• L.artinya, jika x bertambah secara terus menerus mendekati a, maka
nilai fungsi (x) akan bertambah pula hingga mendekati L.
Contoh :
1.
2.
Ini merupakan bentuk-bentuk limit tak tentu. Untuk itu pembilang harus
diuraikan terlebih dahulu.
3.
Oleh karena itu, harga limit fungsi tersebut tidak ada
4.
(y dianggap konstanta)
6
7. Limit pada harga yang tak terbatas (Infinite)
• Tanda ∞ menunjukan tidak terbatas x -> ∞; artinya x mendekati nilai yang
tak terbatas.
Perhatikan :
• ∞ bukan suatu bilangan dan ∞ - ∞ atau ∞/ ∞ tidak mempunyai
arti, hasilnya tidak tepat nol atau satu.
Contoh :
1.
2.
3.
7
8. Fungsi Kontinou
• Suatu fungsi f(x) disebut kontinou pada x = a, jika :
1. f(a), artinya fungsi mempunyai harga untuk x = a,
2. Limit f(x) ada (terhingga),
x --> a
3. Limit f(x) = f(a)
x --> a
• Tegasnya, f(x) disebut kontinou di x = a, jika limit f(x) = f(a) ada. Jika f(x)
kontinou pada setiap titik dari suatu interval, maka f(x) dikatakan kontinou
pada interval itu. Jika satu atau lebih dari syarat-syarat kontinouitas diatas
tidak dipenuhi, maka f(x) dikatakan diskontinou di x = a.
Contoh :
• Tunjukan bahwa f(x) = 1/(x-2) diskontinou di x = 2
Jawaban :
1. f(2) = 1/(2-2) = 1/0 =∞
2.
8
9. Fungsi Hiperbolik
• Suatu fungsi nonlinier yang variabel bebasnya merupakan penyebut. Grafik
dari fungsi ini berbentuk hiperbola.
Melukis Grafik Fungsi Hiperbolik
1. Titik potong dengan sumbu y, syaratnya x = 0 --> y = b/d maka pada titik
potong P(0,b/d)
2.
3. Asimtut datar, syaratnya x = ∞, maka :
dengan demikian, asimtut datar berupa garis lurus y = a/c.
4. Asimtut tegak, syaratnya y = ∞, maka :
9
10. Contoh :
Jawaban :
1. Titik potong dengan sumbu y pada x= 0 -> y = 3 di P(0,3)
2. Titik potong dengan sumbu x pada y = 0 -> x = -3/2 -> Q(-3/2, 0)
3. Asimtut datar, syaratnya x = ∞, maka
4. Asimtut tegak, bila y =
syaratnya penyebut = 0 --> x + 1 = 0 --> x = -1
Maka persamaan garis asimtut tegak adalah x = -1
10
Sumbu y
Sumbu x
y = 2 Asimtut datar
Asimtuttegak
P(0,3)
3
2
1
x=-1
1,5 -1
0
+ ∞
- ∞
+ ∞
- ∞
11. Pengertian diferensial
• Perubahan suatu fungsi sehubungan dengan perubahan kecil dalam variabel bebas
fungsi yang bersangkutan. Sebagaimana diketahui analisis dalam bisnis dan
ekonomi sangat akrab dengan perubahan, penentuan tingkat maksimum dan
minimum.
Kuosien Diferensi dan Derivatif
• Jika y = f(x) dan terdapat tambahan variabel bebas x sebesar ∆ x (delta x), maka
bentuk persamaannya dituliskan :
y = f(x)
y + ∆ y = f(x + ∆ x)
∆ y = f(x + ∆ x) – y
∆ y = f(x + ∆ x) – y
• Dimana ∆ x adalah tambahan x, dan ∆ y adalah tambahan y berkenaan dengan
adanya tambahan x. Jadi ∆ y timbul karena adanya ∆ x. apabila ruas kiri dan kanan
persamaan akhir diatas sama-sama dibagi ∆ x, maka diperoleh :
11
12. • Bentuk ∆ y/∆ x ini disebut dengan hasilbagi perbedaan (difference
quation), mencerminkan tingkat perubahan rata-rata variabel terikat y terhadap
variabel x.
Contoh : Tentukan kuosien diferensi dari y = f(x) = 3x2 - x
y = 3x2 - x
y + ∆ y = 3 (x + ∆ x)2 - (x + ∆ x)
y + ∆ y = 3 {x2 + 2x (∆ x) + (∆ x)2} – x – ∆ x
y + ∆ y = 3 x2 + 6 x (∆ x) + 3 (∆ x)2 – x - ∆ x
∆ y = 3 x2 + 6 x (∆ x) + 3 (∆ x)2 – x - ∆ x – y
∆ y = 3 x2 + 6 x (∆ x) + 3 (∆ x)2 – x - ∆ x – 3 x2 + x
∆ y = 6 x (∆ x) + 3 (∆ x)2 – ∆ x
∆ y = 6 x (∆ x) + 3 (∆ x)2 - ∆ x = 6 x + 3 ∆ x - 1
∆ x ∆ x
• Proses penurunan sebuah fungsi, disebut proses diferensiasi, pada dasarnya
merupakan penentuan limit suatu kuosien diferensi dalam hal pertambahan variabel
bebasnya sangat kecil atau mendekati nol. Hasil yang diperoleh dari proses
diferensiasi tersebut dinamakan turunan (derivatif).
12
13. Contoh :
• Dari persamaan y = 3 x2 – x, diperoleh kuosien diferensi ∆y/∆x = 6x + ∆x – 1
Jadi, turunan (derivatif) dari fungsi y = 3x2 – x adalah
• Cara menuliskan turunan dari sesuatu fungsi dapat dilakukan dengan beberapa
macam notasi (lambang). Jika fungsi aslinya y = f(x), maka turunannya dapat
dituliskan dengan notasi-notasi :
• Semua cara penulisan diatas sama arti dan maksudnya, yaitu melambangkan
turunan dari y = f(x) terhadap x. dalam hal ∆ x sangat kecil,
• Dengan kata lain, turunan dari fungsi yang bersangkutan adalah kuosien diferensi
sendiri. Sedangkan kuosien diferensi ∆y/ ∆x tak lain adalah lereng (slope) dari garis
atau kurva y = f(x)
• Dari berbagai macam notasi turunan fungsi yang ditunjukan diatas, yang paling
lazim digunakan bentuk dy/dx (“deye deeks”)
13
14. Kaidah-kaidah diferensial
• Membentuk turunan sebuah fungsi dilakukan dengan cara menemukan question
diferensialnya, kemudian menentukan limit kuosien diferensi untuk pertambahan
variabel bebas mendekati nol.
Langkah-Langkah :
1. Andaikan fungsi aslinya y = f(x)
2. Masukan tambahan x dan y untuk memperoleh : y + ∆ y = f(x + ∆x)
3. Memanipulasikan untuk memperoleh : ∆y = f(x + ∆x) – f(x)
4. Bagi kedua ruas dengan ∆ x sehingga diperoleh quation diferensialnya :
5. Tentukan limit untuk ∆x -> 0, sehingga diperoleh turunan fungsi :
Prosedur diatas jelas membosankan dan cenderung membuahkan hasil yang tak
seharusnya, terutama untuk fungsi-fungsi tidak sederhana. Berikut ini disajikan
sejumlah kaidah yang dapat digunakan untuk menurunkan berbagai bentuk fungsi
tertentu. 14
15. Rumus Turunan Pertama
a. Pangkat,
Contoh :
y = x3 dy/dx = 3x2
b. Konstanta,
Contoh :
c. Penjumlahan (pengurangan),
Jika U = U(x)
V = V(x) y = U + V
Contoh :
d. Perkalian,
Contoh :
15
17. Fungsi Logaritma
a. Turunan fungsi logaritma dengan bilangan pokok 10
Contoh :
b. Turunan fungsi logaritma dengan bilangan pokok e
Contoh :
c. Turunan fungsi logaritma dengan bilangan pokok sembarang
17
18. Fungsi Eksponen
a. Turunan fungsi eksponen dengan bilangan pokok e
y = ex y’ = ex
y = ef(x) y’ = f’(x). ef(x)
Contoh :
b. Turunan fungsi logaritma dengan bilangan pokok sembarang
y = ax y’ = ax 1n a
y = af(x) y’ = f’(x) af(x) 1n a
Contoh :
Fungsi Implisit
• Jika hubungan fungsional ini berbentuk implisit f(x, y) = 0, untuk mencari
derivatifnya dapat dilakukan dengan dua cara: 1). Bentuk fungsi diubah, dahulu
menjadi fungsi eksplisit (jika mungkin) baru dipecahkan dan 2). Tetap dalam
bentuk implisit dengan pemecahan melalui diferensial implisit.
Contoh :
a. x2y – 10 = 0 (x2)(dy/dx) + (2x)(y) = 0
dy/dx = -2y/x
18
19. b. x3 + x2y2 + y - 6 = 0
3x2 + (2x)y2 + (x2)(2y dy/dx) + dy/dx + 0 = 0
dy/dx(2x2)y + 1) = (-3x2 – 2xy2)
dy = (-3x2 – 2xy2)
dx 2x2y + 1
c. 2x2 + 3xy + y2 = 16
4x – 3(1)y – 3x(dy/dx) + dy/dx = 0
dy = 4x – 3y
dx 3x – 2y
Turunan Tingkat Tinggi
1. y = f(x) y’ = f’(x) = df(x)/dx turunan ke-1
2. y” = f’’(x) = d2f(x)/dx2 turunan ke-2
3. y”’ = f’’’(x) = d3f(x)/dx3 turunan ke-3
4. yn = dny/dxn = dnf(x)/dxn turunan ke-n
Contoh :
y = x2 y’ = 3x2 y’’ = 6x
y’’’ = 6 y’’’’ = 0
19
20. Koefisien arah Garis Singgung (slope) suatu kurva
• Koefisien arah garis singgung suatu kurva di suatu titik adalah semua dengan
turunan pertama fungsi itu di titik tersebut. Jika y = f(x) suatu lengkungan, maka
koefisien arah garis singgung pada y = f(x) dititik x = x1 adalah :
Dengan persamaan garis singgungnya
Contoh :
Tentukan persamaan garis singgung pada lengkungan y = x3 dititik P(2, 8)
Jawaban :
y = x3 y’ = 3x2 m = f’(2) = 3(2)2 = 12
Maka persamaan garis singgungnya :
y – 8 = 12(x – 2)
y = 12x - 16
20
y – y1 = m(x – x1)
21. Menentukan Nilai Ekstrim dengan Turunan Pertama dan Kedua
y = f(x)
Syarat ekstrim : f’(x) = 0 x = a, maka :
a. Jika f’’(a) < 0 f(a) adalah suatu nilai maksimum dari f(x)
b. Jika f’’(a) > 0 f(a) adalah suatu nilai minimum dari f(x)
c. Jika f’’(a) = 0, maka titik pada x =a dan f(a) menjadi titik belok
Contoh : Hitung harga ekstrim dari : y = 2x3 + 3x2 – 72x
Jawaban :
Syarat ekstrim : y’ = 0 6x2 + 6x – 72 = 0,
diperoleh harga x1 = -4 dan x2 = 3
y’’ = 12x + 6
Untuk x1 = -4 y’’ = 12(-4) + 6 = -42 < 0 terdapat maksimum
Harga maksimumnya : ymax = 2(-4)3 + 3(-4)2 – 72(-4) = 208,
titik maksimumnya di (-4, 208)
Untuk x2 = 3 y’’ = 12(3) + 6 = -42 < 0 terdapat minimum
Harga minimumnya : ymin = 2(3)3 + 3(3)2 – 72(3) = -135,
titik minimumnya di (3, -135)
21
22. Titik Belok
• Titik belok adalah suatu titik dimana suatu fungsi berubah bentuknya dari terbuka
keatas menjadi terbuka kebawah. Suatu titik belok suatu fungsi pada x = a bisa
terjadi : f’’(a) = 0
• Contoh : Carilah titik belok : y = -x3 + 3x2 – 2x – 2
Jawaban :
Syarat ekstrim : y’ = 0 6x2 + 6x – 72 = 0,
a. y’ = -x3 + 3x2 – 2x – 2 y’’ = -6x + 6x
b. Syarat titik belok y’’ = 0 -6x + 6 = 0; x = 1
y = -(1)3 + 3(1)2 + 2(1) – 2 = 2, jadi titik beloknya di (1, 2)
c. Mencari titik ekstrim :
Syaratnya : y’ = 0 -3x2 + 6x + 2 = 0,
x1 = 2,291 dan x2 = -0,291
ternyata pada x1 = 2,291 y’’ < 0 ada nilai max
ternyata pada x2 = -0,291 y’’ > 0 ada nilai min.
22
23. Gambar Grafik
0 Sb X
Sb Y
Titik Belok
0 Sb X
Sb Y
Minimum
0 Sb X
Sb Y
Maksimum
