kalkulus 1

1. Materi 11
Aturan Pencarian Turunan
Pengantar.
Kita telah mengetahui bahwa kemiringan garis singgung dan kecepatan sesaat adalah
manifestasi dari pemikiran dasar yang sama. Laju pertumbuhan organisme (biologi),
keuntungan marjinal (ekonomi), kepadatan kawat (fisika) dan laju pemisahan (kimia) adalah
versi-versi lain dari konsep yang sama. Pengertian matematis yang baik menyarankan agar
kita menelah konsep ini terlepas dari kosa kata yang khusus dan terapan yang beraneka
ragam ini. Kita memilih nama netral turunan (derivatif). Ini merupakan kata kunci dalam
kalkulus selain kata fungsi dan limit.
Definisi.
Turunan fungsi f adalah fungsi lain f’ (dibaca : f aksen) yang nilainya pada sebarang bilangan
c adalah
f’(c) = lim
ℎ→0
𝑓( 𝑐+ℎ) − 𝑓(𝑐)
ℎ
asalkan limit ini ada.
Jika limit ini memang ada, maka dikatakan bahwa f terdiferensialkan (terturunkan) di c.
Pencarian turunan disebut pendiferensialan; bagian kalkulus yang berhubungan dengan
turunan disebut kalkulus diferensial.
Contoh-Contoh yang Membantu Menjelaskan.
Contoh 1. Andaikan f(x) = 13x - 6. Cari f’(4)
Penyelesaian .
f’(4) = lim
ℎ→0
𝑓(4+ℎ)− 𝑓(4)
ℎ
= lim
ℎ→0
[13(4+ℎ)−6] − [13(4)− 6]
ℎ
= lim
ℎ→0
13ℎ
ℎ
= lim
ℎ→0
13 = 13
Contoh 2. Jika f(x) = x3 + 7x. Carilah f’(c).
Penyelesaian :
f’(c) = lim
ℎ→0
𝑓( 𝑐+ℎ)− 𝑓(𝑐)
ℎ

2. = lim
ℎ→0
[( 𝑐+ℎ)3
+ 7( 𝑐+ℎ)] − [𝑐3
+ 7𝑐]
ℎ
= lim
ℎ→0
3𝑐2
ℎ + 3𝑐ℎ2
+ ℎ3
+ 7ℎ
ℎ
= lim
ℎ→0
(3𝑐2
+ 3𝑐ℎ + ℎ2
+ 7)
= 3c2 + 7
Apabil c = x, maka f’(x) = 3x2 + 7
Apabila c = -1, maka f’(-1) = 3(-1)2 + 7 = 3 + 7 = 10
Latihan : carilah nilai f’(2) jika f(x) = x2 – 3x + 5
Proses pencarian turunan suatu fungsi langsung dari definisi turunan, yakni dengan
menyusun hasilbagi selisih
lim
ℎ→0
𝑓( 𝑐+ℎ)− 𝑓(𝑐)
ℎ
Dan menghitung limitnya, memakan waktu dan membosankan. Kita akan mengembangkan
alat yang akan memungkinkan kita untuk memperpendek proses yang berkepanjangan ini
yang nyatanya akan memungkinkan kita untuk mencari turunan dari fungsi-fungsi yang
tampak rumit dengan segera.
Ingat kembali bahwa turunan suatu fungsi f adalah fungsi lain f’. Misalnya, jika f(x) = x2,
adalah rumus untuk f, maka f’(x) = 2x adalah rumus untuk f’(x). Pengambilan turunan dari f
(pendiferensilan f) adalah pengoperasian pada f untuk menghasilkan f’. Seringkali kita
memakai huruf D untuk menunjukkan operasi ini. Jadi kita menuliskan Df = f’, Df(x) = f’(x),
atau dalam contoh yang disebutkan di atas D(x2) = 2x. Semua teorema di bawah ini
dinyatakan dalam cara penulisan fungsional dan dalam cara penulisan operator D.
Konstanta dan aturan pangkat
Grafikfungsi konstantaf(x) =k merupakansebuahgarishorisontal (gambar1),sehinggamempunyai
kemiringan nol di mana-mana.
Ini adalah cara untuk memahami teorema pertama kita.
Teorema A: Aturan fungsi Konstanta
Jika f(x) = k , dengan k suatu konstanta, maka untuk sebarang x, f’(x) = 0,
Atau : D(k) = 0

3. Grafik f(x) = x merupakan sebuah garis yang melalui titik asal dengan kemiringan 1. (gambar 2;
sehingga kita dapat menduga turunan fungsi ini adalah 1 untuk semua x.
Teorema B : Aturan Fungsi Identitas
Jika f(x) = x, maka f’(x) = 1
Atau: D(x) = 1
Teorema C : Aturan Pangkat
Jika f(x) = xn
, dengan n bilangan bulat positif, maka f’(x) = nxn-1
Atau : D(xn
) = nxn-1
Sebagai ilustrasi dari Teorema C:
D(x3
) = 3x2
, D(x9
) = 9x8
, D(x100
) = 100x99
, dst
D adalah Sebuah Operator Linier
Operator D berfungsi sangat baik bilamana diterapkan pada kelipatan konstanta fungsi atau pada
jumlah fungsi.
Teorema D : Aturan Kelipatan Konstanta
Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yang terdiferensialkan maka (k.f)’(x) = k.f’(x)
Atau : D[k . f(x)] = k . Df(x)
Contoh yang mengilustrasikan Teorema D
D(-7x3
) = -7D(x3
) = -7 . 3x2
= -21x2
D(4/3 x9
) = 4/3 D(x9
) = 4/3 . 9x8
= 12x8
dst
Teorema E : Aturan Jumlah.
Jika f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka (f + g)’(x) = f’(x) + g’(x)
Atau : D[f(x) + g(x)] = Df(x) + Dg(x)
Teorema F : Aturan Selisih
Jika f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka (f – g)’(x) = f’(x) – g’(x)
Atau : D[f(x) – g(x)] = Df(x) – Dg(x)

4. Contoh 1 : carilah turunan dari : 5x2
+ 7x – 6 dan 4x6
– 3x5
– 10x2
+ 5x + 16
Penyelesaian :
D(5x2
+ 7x – 6) = D(5x2
) + D(7x) – D(6)
= 5D(x2
) + 7D(x) – D(6)
= 5 . 2x + 7 . 1 – 0
= 10x + 7
D(4x6
– 3x5
– 10x2
+ 5x + 16) = D(4x6
) – D(3x5
) – D(10x2
) + D(5x) + D(16)
= 4D(x6
) – 3D(x5
) – 10D(x2
) + 5D(x) + D(16)
= 4 . 6x5
– 3 . 5x4
– 10 . 2x + 5 . 1 + 0
= 24x5
– 15x4
– 20x + 5
Aturan Hasilkali dan Hasilbagi
Sekarangkitasiapuntuksuatu kejutan.Turunanhasil kali fungsi-fungsi tidak sama dengan hasil kali
turunan fungsi-fungsi.
Teorema G : Aturan Hasilkali
Andaikan f dan g fungsi-fungsi yang dapat didiferensialkan, maka (f . g)’(x) = f(x).g’(x) + g(x).f’(x)
Atau : D[f(x) . g(x)] = f(x) . Dg(x) + g(x) . Df(x)
Contoh 2 : Gunakanaturan hasil kali untukmencari turunan(3x2
– 5)(2x4
– x).Periksajawabanaanda
dengan cara lain.
Penyelesaian :
D[(3x2
– 5)(2x4
– x)] = (3x2
– 5). D[(2x4
– x)] + (2x4
– x). D(3x2
– 5)
= (3x2
– 5)(8x3
– 1) + (2x4
– x)(6x)
= 24x5
– 3x2
– 40x3
+ 5 + 12x5
– 6x2
= 36x5
– 40x3
– 9x2
+ 5
Dengan cara lain:
(3x2
– 5)(2x4
– x)= 6x6
– 10x4
– 3x3
+ 5x

5. D[(3x2
– 5)(2x4
– x)] = D[6x6
– 10x4
– 3x3
+ 5x]
= 36x5
– 40x3
– 9x2
+ 5
Teorema H : Aturan Hasil bagi
Andaikan f dan g fungsi-fungsi yang didiferensialkan dengan g(x) ≠ 0, maka
(
𝑓
𝑔
)
′
(𝑥) =
𝑔( 𝑥).𝑓′( 𝑥)− 𝑓( 𝑥).𝑔′(𝑥)
𝑔2(𝑥)
Atau : D
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
𝑔( 𝑥).𝐷𝑓( 𝑥)− 𝑓( 𝑥).𝐷𝑔(𝑥)
𝑔2(𝑥)
Contoh 3: Carilah turunan dari
(3𝑥 − 5)
(𝑥2 + 7)
Penyelesaian :
D [
3𝑥 − 5
𝑥2 + 7
] =
( 𝑥2 + 7).𝐷(3𝑥 − 5) − (3𝑥 − 5).𝐷(𝑥2 + 7)
(𝑥2 + 7)2
=
( 𝑥2 + 7).(3) − (3𝑥 − 5).(2𝑥)
(𝑥2 + 7)2
=
(3𝑥2 + 21) − (6𝑥2 − 10𝑥)
(𝑥2 + 7)2
=
−3𝑥2 + 10𝑥 + 21
(𝑥2 + 7)2
Contoh 4 : Cari Dy jika y =
2
𝑥4 + 1
+
3
𝑥
Penyelesaian :
Dy = D(
2
𝑥4 + 1
+
3
𝑥
)
= D[
2
𝑥4 + 1
] + D[
3
𝑥
]
=
( 𝑥4 + 1).𝐷(2) − 2.𝐷(𝑥4 + 1)
(𝑥4 + 1)2
+
𝑥.𝐷(3) − 3.𝐷(𝑥)
𝑥2
=
( 𝑥4 + 1).0 − 2.(4𝑥3)
(𝑥4 + 1)2
+
𝑥.0 − 3.1
𝑥2
=
0− 8𝑥3
(𝑥4 + 1)2
+
0− 3
𝑥2
=
− 8𝑥3
(𝑥4 + 1)2
+
−3
𝑥2

6. Aturan pangkat juga berlaku untuk pangkat negatif.
D(x-n
) = -nx-n-1
.
Contoh 5 : carilah D(3/x)
Penyelesaian:
D(3/x) = D(3x-1
) = 3D(x-1
) = 3 . -1x-2
= -3x-2
= -3/x2
Sama dengan nilai pada contoh 4 suku ke-2
Turunan Sinus Kosinus
Teorema I : Fungsi f(x) = sin(x) dan g(x) = cos(x) keduanya dapat didiferensialkan. Yakni
D(sin x) = cos x D(cos x) = -sin x
Contoh 6 : Cari D(3 sin x – 2 cos x)
Penyelesaian :
D(3sinx – 2cosx) = 3D(sin x) – 2D(cos x) =3cos x + 2sinx
Contoh 7 : carilah D(tan x)
Penyelesaian :
D(tan x) = D(
sin 𝑥
cos𝑥
)
=
cos𝑥 𝐷(sin 𝑥)−sin𝑥 𝐷(cos𝑥)
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
(aturansil bagi)
=
cos𝑥 cos𝑥 + sin 𝑥 sin 𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
=
𝑐𝑜𝑠2 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
=
1
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
= sec2
x
Rumus-rumus dasar trigonometri
1. Sin2
x + cos2
x = 1 (identitas)
2. Tan x = sinx / cos x
3. Cot x = cos x / sin x = 1/tan x
4. Sec x = 1 / cos x
5. Cosec x = 1/sin x

7. Soal-soal latihan
Untuk soal 1 – 18 carilah Dy, dengan menggunakan aturan yang sudah diberikan
1. Y = 3x4
2. Y = πx2
3. Y = √2 x5
4. Y = -3x-3
5. Y = 4x-2
6. Y = -2/x4
7. Y = -8/x10
8. Y = 3/5x5
9. Y = -2/3x6
10. Y = -x4
+ 3x2
– 6x + 1
11. Y = 3x-5
+ 2x-3
12. Y = 2/x - 1/x2
13. Y = 2/3x - 5/x4
14. Y = (x2
+ 2)(x3
+ 1)
15. Y = (5x2
– 7)(3x2
– 2x + 1)
16. Y = 2/(3x2
+ 1)
17. Y = (2x – 1)/(x – 1)
18. Y = (2x2
– 3x + 1)/(2x + 1)
19. Jikaf(0) = 4, f’(0) = -1, g(0) = -3 dan g’(0) = 5. Carilah: (f-g)’(0), (f+g)’(0), (f.g)’(0) dan (f/g)’(0)
20. Jikaf(3) = 7, f’(3) = 2, g(3) = 6 dan g’(3) = -10. Carilah: (g-f)’(3), (g+f)’(3), (g.f)’(3) dan (g/f)’(3)
21. Gunakan aturan hasil kali untuk membuktikan bahwa : D[f(x)]2
= 2 . f(x) . f’(x)
22. Cari persamaan garis singgung pada y = 3x2
– 6x + 1 di titik (1 , -2)
23. Cari persamaan garis singgung pada y = 1/(x2
+ 1) di titik (1 , ½)
24. Cari semua titik pada garis y = x3
– x2
dimana garis singgung mendatar.
25. Cari semuatitikpadagarisy = 1/3 x3
+ x2
– x dimanagarissingungmempunyai kemiringan1.
Untuk no 26 – 32 gunakan aturan sinus dan kosinus untuk mencari Dy.
26. Y = 3sin x – 5cos x
27. Y = sinx cosx
28. Y = cot x = cos x / sin x
29. Y = sec x = 1/cos x
30. Y = cosec x = 1 / sin x
31. Y = sin x / (sin x + cos x)
32. Y = tan x / (sin – cos x)