1. D I F E R E N S I A L A T A U T U R U N A N S U A T U
F U N G S I
PERTEMUAN 5
2. PEMBAHASAN
Diferensial membahas tentang tingkat perubahan
suatu fungsi sehubungan dengan perubahan kecil
dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan.
Dengan diferensial dapat pula disidik kedudukan –
kedudukan khusus dari fungsi yang sedang dipelajari
seperti titik maksimum, titik belok dan titik
minimumnya jika ada.
3. Pengertian Diferensial
Turunan atau dalam matematika ekonomi lebih
dikenal dengan differensial merupakan suatu fungsi
yang menggunakan beberapa rumus yang diawali
dengan turunan pertamanya, yang digambarkan
dengan fungsi sebagai berikut :
y = f(x)
dy / dx = y’ = f’(x)
4. lanjutan
Berdasarkan kaidah deferensi, dapat disimpulkan
bahwa turunan dari suatu fungsi berderajat “n”
adalah sebuah fungsi berderajat “n-1”. Dengan
perkataan lain, turunan dari fungsi berderajat 3
adalah sebuah fungsi berderajat 2, turunan dari
fungsi berderajat 2 adalah sebuah fungsi berderajat
1, turunan dari fungsi berderajat 1 adalah sebuah
fungsi berderajat 0 alias sebuah konstanta, dan
akhirnya turunan dari sebuah konstanta adalah 0.
5. Rumus-rumus differensial
1. Turunan Fungsi
Jika c dan n adalah anggota bilangan real,
sebagaimana persamaan berikut :
y = cxn
dy / dx = c . n . x n-1
Contoh :
a. y = x5
dy / dx = 5 x 4
b. y = x
dy / dx = 1
6. lanjutan
2. Turunan suatu konstanta
Jika suatu konstanta diturunkan maka sama dengan
nol (0).
y = c
dy / dx = 0
Contoh :
a. y = 4
dy/dx = 0
b. y = -5
dy/dx = 0
7. lanjutan
3. Turunan suatu jumlah
Jika y = u + v dimana u = f(x) dan v = g (x) maka :
y = u + v
d (u + v) / dx = u’ + v’
Contoh :
a. y = x3 + x -1/2 + 3
dy / dx = 3x2 -1/2 x -3/2
b. y = 8x3 + 2x
dy / dx = 24x2 + 2
8. lanjutan
4. Turunan suatu hasil kali
Jika y = u . v di mana u = f(x) dan v = g(x)
maka : dy / dx = f’(x) . g(x) + f(x) . g’(x)
atau u’v + uv’
Jadi: y = u . v
dy / dx = uv’ + vu’
Contoh :
y = (x + 2) (2u + 1)
y = 4x + 5
9. lanjutan
5. Turunan hasil bagi
Jika y = f(x) / g(x)
maka dy / dx = (f’(x) . g(x) – f(x) . g’(x))/(g(x))2
atau y = u / v
dy / dx = vu’ – uv’ / v2
Contoh :
y = (2x2 + x) / (x3 + 3)
dy / dx = (x3 + 3)(4x + 1)-(2x2 + 1)(3x2) / (x3 +3)2
dy / dx = -2x4 – 2x3 + 12x +3 / (x3 + 32)2
10. lanjutan
6. Turunan berantai
Jika y = (f(x))n maka dy / dx = n . (f(x))n-1 . f(x)
Contoh : y = (x2 + 3x + 1)3
f(x) = (x2 + 3x + 1) maka f’(x) = 2x + 3
dy / dx = (x2 + 3x + 1)3 . (2x + 3)
atau gunakan rumus berikut ini,
y = f(u)
dy / dx = dy / du . du / dx
Contoh : y = (x2 + 3)3
Misalnya, u = x2 + 3, maka
du / dx = 2x
y = u3
dy / du = 3u2
Jadi, dy / dx = 3u2(2x)
dy / dx = 3(x2 + 3)2(2x)
11. Rumus Turunan Lainnya
Fungsi turunan juga dapat dikembangkan menjadi beberapa rumus yang lain
diantaranya sebagai berikut :
1. Fungsi Logaritma Biasa
a. y = log x
dy / dx = 1/x log e
b. y = log u
dy / dx = 1/u log e . du / dx
Catatan : 10 log e = 1/e log 10 = 1/ln10
Contoh :
y = log 8x
y = log 8 + log x
dy / dx = 0 + 1/x log e
= 1/x log e
c. d(log u) = 1/u log e du / dx
Contoh : y = 3 log (4x + 1)2
dy / dx = log 3 + 2 log (4x + 1)
12. lanjutan
2. Fungsi Logaritma Natural
a. y = ln x
dy / dx = 1/x ln e
Catatan : ln e = e log e = 1
Contoh :
y = ln x3
y = 3 ln x
dy / dx = 3 . 1/x ln e
dy / dx = 3/x
b. y = ln u
dy / dx = 1/x . du / dx
Contoh :
y = ln (4x-3)
dy / dx = 1/(4x-3) . 4
dy / dx = 4/(4x-3)
13. lanjutan
3. Fungsi Eksponen
Differensial log, jika diketahui y = xx maka fungsi
tersebut diubah terlebih dahulu dalam bentuk log.
ln y = x ln x
1/y . dy / dx + x. 1/x + ln x . 1
1/y . dy / dx = 1 + ln x
dy / dx = x x(1+ln x)
4. Turunan Pembagian Suatu Konstanta dengan Fungsi
Misalnya,
y = c / v , dimana v = h(x)
dy / dx = (-c . dv / dx)/v2
14. Turunan Kedua
Turunan kedua dari fungsi y = f(x) adalah turunan
dari turunan pertamanya yang dikonotasikan
sebagai berikut :
d2y / (dx)2 atau y”
Contoh :
Diketahui y = 2x5
y’ = 2 . 5x 5-1
= 10 x4
y” = 10 . 4x 4-1
= 40 x 3
15. U N I V E R S I T A S P A M U L A N G
TERIMA KASIH
