Soal-soal tentang pertidaksamaan berikut merupakan bagian dari instrumen pada sebuah penelitian yang telah dipublikasikan: http://bit.ly/rationalineq Agung Anggoro (2018)

1. Soal dan Pembahasan
Soal-soal Pertidaksamaan Rasional (Rational Inequalities)
Untuk SMA dan Prakalkulus
masketirr.wordpress.com
masketirr.tumblr.com
slideshare.net/anggoroag
facebook.com/masketirr.admin
Saran/koreksi/kerjasama
masketirr@outlook.co.id

2. Dokumen ini berguna ?
Beri kami donasi
GO PAY BNI 0258 130 311
Kontak
masketirr@outlook.co.id

3. 1
Soal-soal berikut merupakan bagian dari instrumen pada sebuah penelitian yang
telah dipublikasikan:
http://bit.ly/rationalineq

4. 2
Rancangan Asesmen Kemampuan Matematis : Conceptual Understanding pada
Materi Pertidaksamaan
Mengenal Conceptual Understanding
Conceptual understanding dapat diterjemahkan sebagai pemahaman konseptual. Mwakapenda
(2004) menyatakan bahwa pembelajaran matematika di sekolah perlu memberikan perhatian
yang signifikan terhadap pemahaman para siswa terhadap konsep-konsep matematika dan
kaitan-kaitan diantaranya. Kilpatrick, Swafford, dan Findell (2001) memosisikan pemahaman
konseptual sebagai satu dari lima komponen yang saling terkait pada kemahiran matematis
(mathematical proficiency) dan mengartikan pemahaman konseptual sebagai daya paham
(bukan hanya daya ingat) terhadap konsep-konsep matematis secara operasional dan saling
keterkaitannya.
Menjabarkan Indikator
Kilpatrick, Swafford, dan Findell (2001) menyatakan bahwa siswa dengan pemahaman
konseptual yang baik ditandai dengan terpenuhinya hal-hal berikut.
 memahami konsep-konsep dan metode-metode matematika secara tidak terpisah-pisah,
namun saling berkaitan;
 mengetahui konsep mana yang dapat digunakan dalam menyelesaikan masalah;
 memiliki kemampuan mengoreksi;
 merepresentasikan sebuah situasi matematis ke dalam bentuk yang sesuai tujuan yang
ingin diperoleh
Salah satu materi yang dipelajari siswa di tingkat SMA adalah materi tentang berbagai jenis
pertidaksamaan. Pertidaksamaan merupakan konsep matematika yang memiliki keterkaitan
dengan konsep-konsep matematika lainnya, yaitu manipulasi aljabar, sifat operasi bilangan,
dan himpunan. Dengan memperhatikan uraian mengenai tanda-tanda siswa memiliki
pemahaman konseptual yang baik, maka dapat dibuat sebuah asesmen untuk menilai
pemahaman konseptual siswa pada materi pertidaksamaan. Adapun indikator-indikator yang
dapat diamati pada asesmen ini, yaitu :
1) memahami konsep pertidaksamaan dan kaitannya dengan konsep aljabar, operasi bilangan,
dan himpunan;
2) mengenali dan menggunakan konsep tertentu yang bermanfaat dalam menentukan
himpunan penyelesaian suatu pertidaksamaan;
3) memiliki kemampuan mengoreksi;
4) menjelaskan hubungan grafik suatu fungsi dengan pertidaksamaan yang berkaitan dengan
fungsi tersebut.

5. 3
Referensi
Jeremy Kilpatrick, J. S. (2001). Adding It Up: Helping Children Learn Mathematics.
Washington, DC: National Academy Press.
Mwakapenda, W. (2004, Desember). Understanding student understanding in mathematics.
Pythagoras(60), 28-35.

6. 4
Rancangan Soal-soal
Indikator : 1) memahami konsep pertidaksamaan dan kaitannya dengan konsep aljabar, operasi
bilangan, dan himpunan.
Nomor Soal Penjelasan
[1] Jelaskan bagaimana memperoleh himpunan
penyelesaian dari pertidaksamaan berikut ini.
2𝑥 − 1
𝑥 + 1
≥ 1
Siswa perlu menjelaskan
bagaimana ia memperoleh
himpunan penyelesaian dari
sebuah pertidaksamaan
untuk memperoleh informasi
mengenai pemahaman siswa
tentang konsep
pertidaksamaan dan
kaitannya dengan konsep
aljabar, operasi pembagian,
dan himpunan (irisan dan
gabungan).
Penyelesaian
Alternatif 1
2𝑥 − 1
𝑥 + 1
≥ 1 ⟹
2𝑥 − 1
𝑥 + 1
− 1 ≥ 0 ⟹
2𝑥 − 1 − (𝑥 + 1)
𝑥 + 1
≥ 0 ⟹
𝑥 − 2
𝑥 + 1
≥ 0
Kemungkinan pertama adalah 𝑥 − 2 ≥ 0 dan 𝑥 + 1 > 0. Ekuivalen dengan 𝑥 ≥ 2 dan 𝑥 > −1.
Himpunan semua nilai 𝑥 yang memenuhi kondisi ini adalah 𝐴 = {𝑥 | 𝑥 ≥ 2} ∩ 𝐵 =
{𝑥 | 𝑥 > −1} = {𝑥 | 𝑥 ≥ 2}.
Kemungkinan kedua adalah 𝑥 − 2 ≤ 0 dan 𝑥 + 1 < 0. Ekuivalen dengan 𝑥 ≤ 2 dan 𝑥 < −1.
Himpunan semua nilai 𝑥 yang memenuhi kondisi ini adalah 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 ≤ 2} ∩ 𝐵 =
{𝑥 | 𝑥 < −1} = {𝑥 | 𝑥 < −1}.
Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah
𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 < −1 atau 𝑥 ≥ 2}
Alternatif 2
Kalikan kedua ruas dengan 𝑥 + 1 ≠ 0. Bagi menjadi dua kasus.
Untuk 𝑥 + 1 > 0 maka 𝑥 > −1 dan
2𝑥 − 1 ≥ 𝑥 + 1 ⟹ 𝑥 ≥ 2
Himpunan semua nilai 𝑥 yang memenuhi kondisi ini adalah 𝐴 = {𝑥 | 𝑥 ≥ 2} ∩ 𝐵 =
{𝑥 | 𝑥 > −1} = {𝑥 | 𝑥 ≥ 2}.
Untuk 𝑥 + 1 < 0 maka 𝑥 < −1 dan
2𝑥 − 1 ≤ 𝑥 + 1 ⟹ 𝑥 ≤ 2
Himpunan semua nilai 𝑥 yang memenuhi kondisi ini adalah 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 ≤ 2} ∩ 𝐵 =
{𝑥 | 𝑥 < −1} = {𝑥 | 𝑥 < −1}.

7. 5
Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah
𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 < −1 atau 𝑥 ≥ 2}
Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan ini adalah {𝑥 | 𝑥 < −1}.
Alternatif 3
Memanfaatkan pengamatan terhadap posisi grafik 𝑦 = 2𝑥 − 1 dan 𝑦 = 𝑥 + 1. Penyelesaiannya
alternatif ini analog dengan konsep pada penyelesaian pada soal selanjutnya (nomor [2],
Alternatif 3).
Nomor Soal Penjelasan
[2] Apakah pertidaksamaan
𝑥 − 1
𝑥 + 2
> 0
dan
𝑥 + 𝑥 − 2 > 0
memiliki himpunan penyelesaian yang sama ?
Jelaskan.
Siswa perlu menjelaskan
bagaimana ia memperoleh
himpunan penyelesaian dari
sebuah pertidaksamaan
untuk memperoleh informasi
mengenai pemahaman siswa
mengenai konsep
pertidaksamaan serta
kaitannya dengan konsep
aljabar (termasuk
faktorisasi), operasi
pembagian dan perkalian,
dan himpunan (irisan dan
gabungan).
Penyelesaian
Alternatif 1
Dengan menyelesaikan masing-masing pertidaksamaan (rasional dan kuadrat) diperoleh
himpunan penyelesaian yang sama yaitu {𝑥 | 𝑥 < −2 atau 𝑥 > 1}.
Alternatif 2
Dengan faktorisasi diperoleh 𝑥 + 𝑥 − 2 = (𝑥 − 1)(𝑥 + 2)
Jadi, pertidaksamaan pertama merupakan bentuk pembagian (𝑥 − 1) oleh (𝑥 + 2) sedangkan
pertidaksamaan kedua merupakan bentuk perkalian (𝑥 − 1) dengan (𝑥 + 2), penyebab hasil
operasinya positif adalah sama, yaitu ketika (𝑥 − 1) dan (𝑥 + 2) sama-sama positif atau sama-
sama negatif. Dengan demikian, himpunan penyelesaiannya akan sama.
Alternatif 3

8. 6
Penyebab perkalian maupun pembagian (𝑥 + 2) dan (𝑥 − 1) bernilai positif adalah ketika kedua
garis sama-sama “berada” di bawah sumbu 𝑋 (sama-sama negatif) atau sama-sama “berada” di
atas sumbu 𝑋 (sama-sama positif). Memanfaatkan posisi dua garis tersebut, tentu saja himpunan
penyelesaian kedua pertidaksamaan tersebut adalah sama.
Indikator : 2) mengenali dan menggunakan konsep tertentu yang bermanfaat dalam
menentukan himpunan penyelesaian suatu pertidaksamaan
Nomor Soal Penjelasan
[3] Jelaskan bagaimana memperoleh himpunan
penyelesaian dari
|𝑥| + 1
𝑥 − 1
< 0 .
Siswa perlu menjelaskan
bagaimana ia memperoleh
himpunan penyelesaian dari
sebuah pertidaksamaan
untuk memperoleh informasi
apakah siswa mengenali
konsep nilai mutlak sebagai
hal yang penting dalam
menyelesaikan masalah
pertidaksamaan tersebut dan
dapat menggunakannya.
Penyelesaian
Alternatif 1
|𝑥| + 1
𝑥 − 1
> 0

9. 7
Karena |𝑥| ≥ 0 maka |𝑥| + 1 > 0, maka tinggal memperhatikan penyebutnya. Supaya ruas kiri
bernilai positif, haruslah 𝑥 − 1 > 0 ⟹ 𝑥 > 1. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{𝑥 | 𝑥 > 1}.
Alternatif 2
Terlihat bahwa grafik 𝑦 = |𝑥| + 1 dan 𝑦 = 𝑥 − 1 sama-sama “berada” di atas sumbu 𝑋 (penyebut
dan pembilang sama-sama positif) ketika 𝑥 > 1. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{𝑥 | 𝑥 > 1}.
Nomor Soal Penjelasan
[4] Tentukan himpunan penyelesaian dari
pertidaksamaan
𝑥 − 1
𝑥 + 𝑥 + 1
≤ 0 .
Jelaskan.
Siswa perlu menjelaskan
bagaimana ia menjawab
sebuah masalah
pertidaksamaan untuk
memperoleh informasi
apakah siswa mengenali
konsep diskriminan ataupun
melengkapi kuadrat sebagai
hal yang penting dalam
menyelesaikan masalah
pertidaksamaan tersebut dan
dapat menggunakannya.
Penyelesaian
Alternatif 1
Dengan terlebih dahulu memperhatikan penyebut diperoleh

10. 8
𝑥 + 𝑥 + 1 = 𝑥 + 𝑥 +
1
4
+
3
4
= 𝑥 +
1
2
+
3
4
> 0
Karena penyebut selalu positif, maka pertidaksamaan dipenuhi jika pembilang negatif atau nol,
yaitu
𝑥 − 1 ≤ 0
⟺ 𝑥 ≤ 1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {𝑥 | 𝑥 ≤ 1}.
Alternatif 2
Diskriminan dari persamaan kuadrat yang melibatkan penyebut sama dengan
𝐷 = 1 − 4.1.1 = −3 < 0
Maka nilai dari 𝑥 + 𝑥 + 1 selalu positif atau negatif (persamaan 𝑥 + 𝑥 + 1 = 0 tidak memiliki
solusi real), periksa dengan 𝑥 = 0 ⟹ 0 + 0 + 1 = 1 > 0. Dengan demikian, nilai dari 𝑥 + 𝑥 + 1
selalu positif. Karena penyebut selalu positif, maka pertidaksamaan dipenuhi jika pembilang
negatif atau nol, yaitu
𝑥 − 1 ≤ 0
⟺ 𝑥 ≤ 1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {𝑥 | 𝑥 ≤ 1}.
Indikator : 3) memiliki kemampuan mengoreksi
Nomor Soal Penjelasan
[5] Perhatikan penjelasan Jon dalam memperoleh
himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
𝑥
𝑥 − 1
≥ 0
berikut ini.
Karena 𝑥 selalu positif untuk berapapun nilai 𝑥, maka
tinggal memperhatikan penyebutnya, yaitu haruslah
𝑥 − 1 ≥ 0
⇔ 𝑥 ≥ 1
Jadi, 𝐻𝑃 = {𝑥 | 𝑥 ≥ 1}
Jelaskan hal-hal yang salah dalam penjelasan Jon.
Soal ini digunakan untuk
memperoleh informasi
mengenai kemampuan siswa
dalam mengoreksi.
Penyelesaian
Kesalahan terletak pada hal-hal berikut.
1. pernyataan “𝑥 selalu positif”, karena untuk 𝑥 = 0, maka 𝑥 = 0. Seharusnya 𝑥 ≥ 0 untuk
setiap bilangan real 𝑥.
2. penyebut tak boleh nol, maka 𝑥 − 1 ≥ 0 seharusnya 𝑥 − 1 > 0.

11. 9
Nomor Soal Penjelasan
[6] Perhatikan penjelasan Erik dalam memperoleh
himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
𝑥 >
√
𝑥 + 2
berikut ini.
Karena ada bentuk
√
𝑥 + 2, maka
𝑥 + 2 > 0
⇔ 𝑥 > −2
Dengan menguadratkan kedua ruas diperoleh
𝑥 > 𝑥 + 2
⇔ 𝑥 − 𝑥 − 2 > 0
⇔ (𝑥 − 2)(𝑥 + 1) > 0
⇔ 𝑥 < −1 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 > 2
Karena 𝑥 < −1 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 > 2 dan 𝑥 > −2 maka
𝐻𝑃 = {𝑥 | − 2 < 𝑥 < −1 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 > 2}
Soal ini digunakan untuk
memperoleh informasi
mengenai kemampuan siswa
dalam mengoreksi.
Penyelesaian
Kesalahan terletak pada hal-hal berikut.
1. menguadratkan kedua ruas tanpa mengubah tanda pertidaksamaan, perlu dijamin kedua ruas
positif.
2. telah dijamin bahwa 𝑥 > 0 karena 𝑥 >
√
𝑥 + 2 ≥ 0, namun Erik tidak memperhatikan hal ini.
3. himpunan penyelesaiannya seharusnya {𝑥 | 𝑥 > 2} dengan mempertimbangkan hal pada
nomor 2.
Indikator : 4) menjelaskan hubungan grafik suatu fungsi dengan pertidaksamaan yang berkaitan
dengan fungsi tersebut.
Nomor Soal Penjelasan
[7] Diketahui 𝑓 merupakan fungsi linear dan ℎ merupakan
fungsi kuadrat. Di bawah ini merupakan sketsa grafik
kedua fungsi tersebut.
Soal ini diberikan untuk
memperoleh informasi
mengenai kemampuan siswa
dalam menyelesaikan
pertidaksamaan dengan
memanfaatkan informasi
berupa sketsa grafik fungsi
(menemukan representasi
berupa himpunan
penyelesaian dari situasi
matematis yang ditunjukkan
grafik).

12. 10
Berdasarkan sketsa grafik di atas, tentukan himpunan
penyelesaian dari pertidaksamaan
𝑓(𝑥)
ℎ(𝑥)
≤ 0 .
Penyelesaian
Karena ( )
( )
≤ 0, kemungkinan pertama 𝑓(𝑥) ≥ 0 dan ℎ(𝑥) < 0 dan kemungkinan kedua 𝑓(𝑥) ≤ 0
dan ℎ(𝑥) > 0.
Kemungkinan pertama ditunjukkan pada sketsa grafik dimana grafik 𝑦 = 𝑓(𝑥) berada di atas
sumbu 𝑋 atau tepat berpotongan dengan sumbu 𝑋 dan grafik 𝑦 = ℎ(𝑥) berada di bawah sumbu
𝑋. Kondisi ini berlaku untuk 3 < 𝑥 ≤ 4.
Kemungkinan kedua ditunjukkan pada sketsa grafik dimana grafik 𝑦 = 𝑓(𝑥) berada di bawah
sumbu 𝑋 atau tepat berpotongan dengan sumbu 𝑋 dan 𝑦 = ℎ(𝑥) berada di atas sumbu 𝑋.
Kondisi ini berlaku untuk 𝑥 < −1.
Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah {𝑥 | 𝑥 < −1} ∪ {𝑥 | 3 < 𝑥 ≤
4} = {𝑥 | 𝑥 < −1 atau 3 < 𝑥 ≤ 4}.
Nomor Soal Penjelasan
[8] Diketahui 𝑓 merupakan fungsi kuadrat dan ℎ
merupakan fungsi linear. Di bawah ini merupakan
sketsa grafik kedua fungsi tersebut.
Soal ini diberikan untuk
memperoleh informasi
mengenai kemampuan siswa
dalam menyelesaikan
pertidaksamaan dengan
memanfaatkan informasi
berupa sketsa grafik fungsi

13. 11
Berdasarkan sketsa grafik di atas, tentukan himpunan
penyelesaian dari pertidaksamaan
𝑓(𝑥)
ℎ(𝑥)
≥ 1 .
(menemukan representasi
berupa himpunan
penyelesaian dari situasi
matematis yang ditunjukkan
grafik).
Penyelesaian
Alternatif 1
Untuk ℎ(𝑥) > 0 maka dengan mengalikan kedua ruas dengan ℎ(𝑥) diperoleh 𝑓(𝑥) ≥ ℎ(𝑥).
Dengan memperhatikan grafik, kondisi ini dipenuhi ketika grafik 𝑦 = ℎ(𝑥) berada di atas sumbu
𝑋 sekaligus berada di bawah atau tepat berpotongan dengan grafik 𝑦 = 𝑓(𝑥), yaitu ketika 𝑥 ≥ 2.
Untuk ℎ(𝑥) < 0 maka dengan mengalikan kedua ruas dengan ℎ(𝑥) diperoleh 𝑓(𝑥) ≤ ℎ(𝑥).
Dengan memperhatikan grafik, kondisi ini dipenuhi ketika grafik 𝑦 = ℎ(𝑥) berada di atas bawah
𝑋 sekaligus berada di atas atau tepat berpotongan dengan grafik 𝑦 = 𝑓(𝑥). Kondisi tersebut
tidak pernah terjadi.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {𝑥 | 𝑥 ≥ 2}.
Alternatif 2
Karena gambar dilengkapi dengan grid berskala, maka bisa juga menentukan bentuk eksplisit
dari fungsi 𝑓 dan 𝑔. Yaitu, 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2𝑥 − 3 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 3. Dimana pertidaksamaan
𝑥 + 2𝑥 − 3
𝑥 + 3
≥ 1
memiliki himpunan penyelesaian {𝑥 | 𝑥 ≥ 2}.