pengertian mekanika newtonian, mekanika hamiltonian, mekanika langrangian penurunan fungsi hamilton dan kekekalan energi kekekalan energi dan kasus fungi hamilton dan aplikasi kasus

1. MEKANIKA II
FUNGSI HAMILTONIAN DAN KEKEKALAN ENERGI
ASSALAMUALAIKUM 

2. LATAR BELAKANG
TUJUAN
KEKEKALAN ENERGI
HAMMILTON
KASUS

3.  Dalam mekanika klasik kita biasanya menggunakan mekanika Newtonian dalam
memecahkan permasalahan gerak benda. Dengan meninjau gaya total yang dialami benda
tersebut. Contoh, ditinjau dari gerak partikel yang terkendala pada suatu permukaan bidang,
maka diperlukan adanya gaya tertentu yakni gaya konstrain yang berperan mempertahankan
kontak antara partikel dengan permukaan bidang. Namun sayang, tak selamanya gaya konstrain
yang beraksi terhadap partikel dapat diketahui. Oleh karena itu, jika dalam kondisi khusus
terdapat gaya yang tak dapat diketahui,maka pendekatan Newtonian tak berlaku.
 Diperlukan pendekatan khusus ketika benda berada dalam sistem dinamis yang berpindah dari
satu titik ke titik lain dalam interval waktu spesifik. Metode ini menggunakan tinjauan energi
total dari karakteristik benda objek. Muncullah pendekatan Hamiltonian.
MENU

4. TUJUAN
MENGETAHUI MEKANIKA
HAMMILTON
MEMAHAMI PRINSIP DASAR
HAMMILTON
MENINJAU PEMECAHAN KASUS
DENGAN HAMILTON
MENU

5. SEBAGAI
DASAR
HUKUM KEKEKALAN ENERGI
SEKILAS
KONSEP KEKEKALAN ENERGI :
“Energi dapat diubah dari satu bentuk ke bentuk lain dan dipindahkan dari satu benda
kebenda yang lain tetapi jumlahnya selalu tetap. Jadi energi total tidak berkurang dan
juga tidak bertambah”
SALAH SATUNYA
KEKEKALAN ENERGI MEKANIK
Energi Mekanik selalu tetap atau kekal selama terjadi perubahan energi antara EP
dan EK
EP + EK = EM

6. PENURUNAN RUMUS KEKEKALAN ENERGI
DITINJAU DARI GAYA TAK KONSERVATIF
“Secara umum, sebuah gaya bersifat konservatif
apabila usaha yang dilakukan oleh gaya pada sebuah
benda yang melakukan gerakan menempuh lintasan
tertentu hingga kembali ke posisi awalnya sama
dengan nol. Sebuah gaya bersifat tak-konservatif
apabila usaha yang dilakukan oleh gaya tersebut pada
sebuah benda yang melakukan gerakan menempuh
lintasan tertentu hingga kembali ke posisi semula tidak
sama dengan nol.”
ENERGI POTENSIAL
W = EP1 – EP2 = mgh1 – mgh2
ENERGI KINETIK
W = EK2 – EK1 = ½ mv2
2 – ½ mv1
2
Kedua persamaan ini kita tulis
kembali menjadi :
Wp = Wk
EP1 – EP2 = EK2 – EK1
mgh1 – mgh2 = ½ mv2
2 – ½ mv1
2
mgh1 + ½ mv1
2 = mgh2 + ½ mv2
2
EM1 = EP1 + EK1 (KEDUDUKAN AWAL)
EM2 = EP2 + EK2 (KEDUDUKAN AKHIR)
EM1 = EM2
EP + EK = EM (konstan)

7. KEKEKALAN ENERGI DARI TINJAUAN
LANGRANGE
• Gerak suatu system mekanik terdapat perubahan sebanyak
2𝑠 𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑞, 𝑑𝑎𝑛 𝑞𝑖 (
𝑖 = 1, 2, 3, … . )
𝑚𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛𝑑𝑢𝑛𝑔 integral geark
yang menentukan keadaan system.
• Karena persamaan gerak system tertutup tidak bergantung pada waktu secara eksplisit, maka
waktu awal dapat dipilih mempunyai harga sembarang sehingga konstanta yang muncul pada
penyelesaian persamaan gerak selalu dapat dianggap sebagai penambahan konstanta waktu to
Dengan mengeliminasi t + to dari fungsi banyak 2s didapat rumusan qi dan qi dalam C1 C2 …… C2s-
1 sebagai berikut
qi = qi ( t + to ,C1 . C2 , …… C2s-1 )
𝑞i = 𝑞i ( t + to ,C1 . C2 , …… C2s-1 )
jika 2s – 1 konstanta C1 . C2 ….., C2s-1 ditulis dalam variable q dan q akan diperoleh integral gerak
yang dimaksud.
• homogenitas waktu akan menghasilkan fungsi Lagrange suatu system tertutup yang tidak
bergantung pada waktu secara eksplisit. Diferensial total Langrange
𝑑
𝑑𝑡
=
𝑖
𝜕𝐿
𝜕𝑞𝑖
𝑞𝑖 +
𝑖
𝜕𝐿
𝜕𝑞𝑖
𝑞

8. KEKEKALAN ENERGI DARI TINJAUAN
LANGRANGE
• Seandainya L bergantung pada waktu secara eksplisit, maka pada ruas kanan akan muncul suku
∂L/∂t. Dengan menggantikan turunan ∂L/∂t dari persamaan Lagrange dengan dL/dt∂L/qi diperoleh
𝑑
𝑑𝑡
= 𝑞𝑖
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕𝑞𝑖
+
𝜕𝐿
𝑞𝑖
𝑞 =
𝑖
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝑞𝑖 𝑞𝑖
• Atau
𝑑
𝑑𝑡 𝑖 𝑞𝑖
𝜕𝐿
𝑞 𝑖
− 𝐿 = 0
• Dari persamaan ini diperoleh
𝐸 = 𝑖 𝑞𝑖
𝜕𝐿
𝑞 𝑖
− 𝐿 (Persamaan 1)
Besaran ini disebut sebagai energi sistem
• Hukum kekekalan energi tidak hanya berlaku untuk sistem tertutup, tetapi berlaku untuk sistem yang
di dalamnya terdapat medan gaya yang konstan (yaitu jika medan tidak bergantung pada waktu);
satu-satunya yang digunakan dalam menurunkan sifat fungsi Lagrange juga terdapat dalam kasus
ini adalah ketergantungan terhadap waktu secara eksplisit dan disebut sebagai konservatif.
Dinyatakan dalam bentuk : L = T ( q, 𝒒 ) - ∪ (q)

9. KEKEKALAN ENERGI DARI TINJAUAN
LANGRANGE
• Dalam hal ini T adalah fungsi kecepatan kuadrat. Jika digunakan teorema Euler untuk suatu fungsi
homogen dikerjakan pada fungsi ini akan diperoleh:
𝑖
𝑞𝑖
𝜕𝐿
𝑞𝑖
=
𝑖
𝑞𝑖
𝜕𝑇
𝑞𝑖
= 2𝑇
• Dengan mensubtitusikan persamaan ini ke pers [6.1] didapat bahwa:
E = T ( q, 𝑞 ) - ∪ (q) (Persamaan 2)
• Dan jika dinyatakan dalam koordinat Cartesioan
𝑎
𝑚 𝑎 𝑣 𝑎
2
+ 𝑈(𝑟1, 𝑟2, … ) (Persamaan 3)
• Dengan cara ini energi suatu sistem dapat ditulis mengandung dua suku yang berbeda yaitu energi
kinetik yang bergantung pada kecepatan dan energi potensial yang bergantung pada koordinat
partikel yang bersangkutan.
MENU

10. HAMILTON
PERSAMAAN
FUNGSI
HAMILTON
• Persamaan Hamilton untuk gerak pada sebuah fungsi dari
koordinat umum
H = 𝑘 𝑞 p – L (1)
• Untuk sebuah sistem dinamik sederhana, energi kinetik sistem
adalah fungsi kuadrat dari 𝑞 dan energi potensialnya
merupakan fungsi q saja :
L = T ( q, 𝑞) – V(q) (2)
• Berdasarkan teorema Euler untuk fungsi homogeni,
deperoleh
𝑘 𝑞 p – L = 𝑘 𝑞
𝜕𝐿
𝜕 𝑞
= 𝑘 𝑞
𝜕𝑇
𝜕 𝑞
= 2T (3)
• Oleh karena itu :
H = 𝑘 𝑞 p – L = 2T – (T-V) = T +V (4)
• Persamaan ini tak lain adalah energi total dari sistem yang
kita tinjau. Selanjutnya, pada n buah persamaan yang ditulis
sebagai :
PK =
𝜕𝐿
𝜕𝑞 𝑘
(k = 1,2,…n) (5)
• Dan nyatakan dalam 𝑞 dalam p dan q
𝑞k = 𝑞k (pk , qk) (6)
• Dengan persamaan di atas, kita dapat nyatakan fungsi H
yang bersesuaian dengan variasi 𝛿 pk, 𝛿 qk sebagai berikut :
𝛿𝐻 = 𝑘 𝑝𝑘 𝛿 𝑞 𝑘 + 𝑞𝑘 𝛿𝑝𝑘 −
𝜕𝐿
𝜕 𝑞𝑘
𝛿 𝑞 𝑘 −
𝜕𝐿
𝜕𝑞𝑘
𝛿𝑞𝑘 (7)

11. HAMILTON
PERSAMAAN
FUNGSI
HAMILTON
• Suku pertama dan suku kedua yang ada
dalam tanda kurung saling meniadakah, oleh
karena menurut definisi 𝑝 k = 𝜕𝐿 / 𝜕𝑞 k, oleh
karena itu:
𝛿𝐻 = 𝑘 𝑞𝛿𝑝𝑘 − 𝑝𝑘𝛿𝑞𝑘
(8)
• Variansi fungsi H selanjutnya dapat
dinyatakan dalam persamaan berikut:
𝛿𝐻 = 𝑘
𝜕𝐻
𝜕𝑝𝑘
𝛿𝑝𝑘 +
𝜕𝐻
𝜕𝑞𝑘
𝛿𝑞𝑘
(9)
• Sehingga diperoleh :
𝜕𝐻
𝜕𝑝𝑘
= 𝑞𝑘
𝜕𝐻
𝜕𝑞𝑘
= − 𝑝𝑘
Persamaan Kanonik
Hamilton untuk gerak
MENU

12. CONTOH KASUS HAMILTON
1) Tentukan persamaan gerak osilator harmonik satu dimensi menggunakan persamaan
Hamilton
Jawab : Energi kinetik dan energi potensial sistem dapat dinyatakan sebagai :
 𝑻 =
𝟏
𝟐
𝒎 𝒙 𝟐
𝒅𝒂𝒏 𝑽 =
𝟏
𝟐
𝑲𝒙 𝟐
(13)
Momentumnya dapat ditulis
 𝒑 =
𝝏𝑻
𝝏 𝒙
= 𝒎 𝒙 𝒂𝒕𝒂𝒖 𝒙 =
𝒑
𝒎
(14)
Hamiltoniannya dapat ditulis :
 𝑯 = 𝑻 + 𝑽 =
𝟏
𝟐𝒎
𝒑 𝟐
+
𝑲
𝟐
𝒙 𝟐
(15)

13. Persamaan geraknya adalah :

𝜕𝐻
𝜕𝑝
= 𝑥
𝜕𝐻
𝜕𝑥
= − 𝑝 (16)
dan diperoleh :

𝑝
𝑚
= 𝑥 𝐾𝑥 = − 𝑝
Persamaan pertama menyatakan hubungan momentum-kecepatan.
Dengan menggunakankedua persamaan di atas, dapat kita tulis :
 𝑚 𝑥 + 𝐾𝑥 = 0 (17)
yang tak lain adalah persamaan osilator harmonik.
CONTOH KASUS HAMILTON

14. 2. Gunakan persamaan Hamilton untuk mencari persamaan gerak benda yang
berada di bawah pengaruh medan sentral.
Jawab : Energi kinaetik dan energi potensial sistem dapat dinyatakan
dalam koordinat polar sebagai berikut:
 𝑇 =
𝑚
2
𝑟2
+ 𝑟2
𝜃2
𝑑𝑎𝑛 𝑉 = 𝑉(𝑟) (17)
Jadi :
 𝑝𝑟 =
𝜕𝑇
𝜕 𝑟
= 𝑚 𝑟 𝑟 =
𝑝 𝑟
𝑚
(18)
 𝑝 𝜃 =
𝜕𝑇
𝜕 𝜃
= 𝑚𝑟2
𝜃 𝜃 =
𝑝 𝜃
𝑚𝑟2 (19)
Akibatnya :
 H =
1
2𝑚
𝑝𝑟
2 +
𝑝 𝜃
2
𝑟2 + 𝑉( 𝑟) (20)
CONTOH KASUS HAMILTON

15. Persamaan Hamiltoniannya:

𝜕𝐻
𝜕𝑝 𝑟
= 𝑟,
𝜕𝐻
𝜕𝑟
= −𝑝 𝑟,
𝜕𝐻
𝜕𝑝 𝜃
= 𝜃,
𝜕𝐻
𝜕𝜃
= −𝑝 𝜃 (21)
Selanjutnya:

𝑝 𝑟
𝑚
= 𝑟 (22)

𝜕𝑉(𝑟)
𝜕𝑟
−
𝑝 𝜃
2
𝑚𝑟3 = − 𝑝𝑟 (23)

𝑝 𝜃
2
𝑚𝑟3 = 𝜃 (24)
 −𝑝 𝜃 = 0 (25)
CONTOH KASUS HAMILTON

16. Dua persamaan yang terakhir menunjukkan bahwa momentum sudut
tetap,
 𝑝 𝜃 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛 = 𝑚𝑟2 𝜃 = 𝑚ℎ (26)
Sedangkan dua persamaan sebelumnya memberikan,
 𝑚 𝑟 = 𝑝𝑟 =
𝑚ℎ
2
𝑟3 −
𝜕𝑉(𝑟)
𝜕𝑟
(27)
untuk persamaan gerak dalam arah radial.
CONTOH KASUS HAMILTON

17. 1 Coki bermain skateboard. Dengan menganggap Coki dan
skateboardnya sebagai sebuah partikel, pusatnya bergerak melewati
lintasan berbentuk seperempat lingkaran dengan jari–jari 3,00 m.
Massa total Coki dan skateboardnya 25,0 kg. Ia mulai bergerak dari
keadaan diam, dan diasumsikan tak ada gesekan. a) Tentukan laju
pada akhir lintasan. b) Cari gaya normal yang bekerja padanya saat
ia berada di bawah lintasan
CONTOH KASUS KEKEKALAN ENERI

18.  Penyelesaian :
a) Kita tidak dapat menggunakan persamaan gerak dengan
percepatan konstan; percepatan tidak konstan karena kemiringan
berkurang ketika Coki turun. Oleh karena itu, kita akan
menggunakan pendekatan energi. Karena tak ada gesekan maka
hanya terdapat gaya normal 𝑁 yang diberikan oleh lintasan selain
gaya berat yang dihasilkan Coki. Meskipun gaya-gaya ini terjadi
sepanjang lintasan, gaya ini melakukan nol kerja karena gaya
normal tegak lurus dengan kecepatan Coki di setiap titik. Oleh
karena itu 𝑊𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 0 dan energi mekanik total akan kekal.
CONTOH KASUS KEKEKALAN ENERI

19. Ambil titik 2 sebagai titik awal dan titik 1 pada dasar lintasan, anggap
y= 0 pada dasar lintasan. Kemudian y2 = R dan y1 = 0. Coki mulai bergerak
dari keadaan diam di atas lintasan sehingga v1= 0. Maka besaran dari
berbagai energi adalah
 K2 = 0 U2 = mgR
 K1 =
1
2
mv1
2 U1 = 0
 𝐾2 + 𝑈2 = 𝐾1 + 𝑈1
 0 + 𝑚𝑔𝑅 =
1
2
𝑚𝑣1
2
+ 0
 𝑣1 = 2𝑔𝑅
 𝑣1 = 2(9,80
𝑚
𝑠2)(3,00𝑚) = 7,67 𝑚/𝑠
CONTOH KASUS KEKEKALAN ENERI

20. b) Kita akan menghitung besar 𝑁 dari gaya normal di titik 1. Karena 𝑁 tidak muncul
pada persamaan energi, maka kita akan menggunakan hukum kedua Newton.
Coki bergerak dengan laju 𝑣1 = 2𝑔𝑅 di mana R merupakan jari-jari lingkaran;
percepatan yang dimiliki Coki terjadi secara radial dan besarnya;
 𝑎 𝑟𝑎𝑑 =
𝑣1
2
𝑅
=
2𝑔𝑅
𝑅
= 2𝑔
Jika kita ambil dari y positif ke atas, maka pada komponen y dari hukum kedua
Newton, adalah:
 𝐹𝑦 = −𝑁 + 𝑊 = 𝑚𝑎 𝑟𝑎𝑑 = 2𝑚𝑔
 2𝑚𝑔 = −𝑁 + 𝑊
 2𝑚𝑔 − 𝑊 = −𝑁
 2𝑚𝑔 − 𝑚𝑔 = −𝑁
 𝑚𝑔 = −𝑁
CONTOH KASUS KEKEKALAN ENERI

21. MOHON MAAF ATAS KEKURANGAN KAMI
SEMOGA ILMU INI DAPAT BERMANFAAT DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI KITA
SALAM RAMADHAN…