4. Prinsip ekuipartisi energi menganggap bahwa gas yang
berada diruang tertutup merupakaan kumpulan dari
partikel gas yang mempunyai tekanan, energi dan
kecepatan yang sama.
5. Teorema Ekuipartisi
eorema ekuipartisi adalah sebuah rumusan umum yang
merelasikan temperatur suatu sistem dengan energi rata-ratanya. Teorema ini juga
dikenal sebagai hukum ekuipartisi, ekuipartisi energi, ataupun hanyaekuipartisi.
Gagasan dasar teorema ekuipartisi adalah bahwa dalam keadaan kesetimbangan
termal, energi akan terdistribusikan secara merata ke semua bentuk-bentuk energi
yang berbeda; contohnya energi kinetik rata-rata per derajat kebebasan pada gerak
translasi sebuah molekul haruslah sama dengan gerak rotasinya.
6. Konsep Dasar
Kata “Ekuipartisi" berarti "terbagi secara merata". Kata ini
diturunkan dari bahasa Latin æquus (setara atau sama rata),
dan partitionem (pembagian, porsi).
Distribusi Maxwell-Boltzmann
Fungsi rapatan probabilitas kecepatan
molekul dari empat gas mulia
pada temperatur 298,15 K (25 °C).
Keempat gas mulia tersebut
adalah Helium (4He), Neon (20Ne), Argon
(40Ar) dan Xenon (132Xe). Dimensi dari
fungsi rapatan probabilitas adalah
probabilitas dikali dengan kecepatan
invers. Oleh karena probabilitas tidak
berdimensi, maka fungsi ini dapat
diekspresikan dalam satuan detik per
meter (s/m).
7. Energi Translasi dan Gas Ideal
Energi kinetik suatu partikel bermassa m dan berkecepatan v adalah
Dengan vx, vy dan vz adalah komponen Kartesius dari kecepatan v. Di
sini, H adalah Hamiltonian dan digunakan sebagai simbol energi karena formalisme
Hamiltonian memainkan peran pusat dalam perumusan umum teorema ekuipartisi.
Oleh karena energi kinetika bersifat kuadratis terhadap komponen-komponen
kecepatan
)(
2
1
||
2
1 2222
zyxkin VVVmVmH
8. Perumusan Teorema Ekuipartisi
Bentuk paling umum teorema ekuipartisi menyatakan bahwa di bawah
asumsi tertentu, pada suatu sistem fisik yang berfungsi energi Hamiltonian H dan
berderajat kebebasan x, persamaan ekuipartisi berikut akan berlaku pada
kesetimbangan termal untuk semua indeks m dan n:
δmn di sini merupakan delta Kronecker, yang nilainya sama dengan satu
apabila m = n atau nol apabila sebaliknya. Tanda kurung pererataan diasumsikan
sebagai rerata ensembel atas ruang fase ataupun, di bawah asumsi ergodisitas,
sebagai rata-rata waktu suatu sistem tunggal.
Tk
X
H
X Bmn
n
m
)(
9. Perumusan Teorema Ekuipartisi
Apabila derajat kebebasan xn hanya
memiliki suku kuadratis anxn
2 pada
Hamiltonian H, maka rumus pertama di
atas mengimplikasikan
)(2)( 2
nn
n
nB XA
X
H
XTk
10. Gas Ideal
Teorema ekuipartisi dapat diterapkan untuk menurunkan rumus gas ideal.
Berawal dari persamaan
Tk
p
H
p
p
H
p
p
H
pH
ppp
m
H
B
y
kin
x
y
kin
y
y
kin
z
kin
xyz
kin
2
3
))()()(()(
)(
2
1
)( 222
11. Gas Non-Ideal
Teorema ekuipartisi dapat pula digunakan untuk menurunkan energi dan
tekanan "gas non-ideal" yang partikel-partikelnya dapat berinteraksi melalui gaya-gaya
konservatif yang potensial U(r)-nya bergantung hanya pada jarak r antar partikel. Ini
dapat dideskripsikan secara sederhana dengan pertama-tama menyempitkan fokus
kita pada satu partikel tunggal gas dan melakukan pendekatan pada gas-gas lainnya
menggunakan distribusi simetri bola. Kemudian, dengan menggunakan fungsi
distribusi radial g(r) sehingganya rapatan probabilitas menemukan partikel lainnya
dalam ruang lingkup r dari suatu partikel adalah sama dengan 4πr2ρg(r),
dengan ρ = N/V adalah rapatan rata-rata atau massa jenis rata-rata gas. Energi
potensial rata-rata kemudian berhubungan dengan interaksi partikel tunggal tersebut
dengan gas lainnya dan secara matematis diekspresikan sebagai
drrgrpUrH
x
y
pot )()(4)( 2
12. Gas Non-Ideal
Energi potensial rata-rata total gas oleh karenanya adalah , dengan N adalah
jumlah partikel dalam gas dan faktor 1⁄2 diperlukan karena penjumlahan keseluruhan
partikel akan membuat interaksi antar partikel yang diperhitungkan dihitung dua kali.
Dengan menambahkan energi kinetik dan potensial, dan menerapakn teorema
ekuipartisi, kita akan mendapatkan persamaan energi
drrgrUrXpTXkHHH
x
y
Bpotkin )()(2
2
3
)()( 2
13. Contoh Soal
1. Berapakah energi kinetik rata – rata dan energi dalam 1 mol g1000 K jika gas
tersebut adalah gas monoatomik?(k = 1,38 X 10 -23J/K)
Jawab :
Gas monoatomik memiliki 3 derajat kebebasan()3=ט
Ek = ½)ט kT)
= 3(1/2)(1,38 X 10-23J/K)(1000 K)
= 2,07 X 10-20J
U = N Ek = (n NA) Ek
= (1 mol)(6,02 X 1023)(2,07 X 10-20J)
= 12461,4 J = 12,4614
14. Contoh Soal
2. Pada suhu 800 K, berapakah energi kinetik rata – rata dan energi dalam 1 molgas
ideal jika gas tersebut adalah gas diatomik dan diketahui k = 1,38 X 10-23J/K?
Jawab :
Gas diatomik memiliki 5 derajat kebebasan (5 = )ט
EK = 5(½kT)
= 5(1/2)(1,38 X 10-23J/K)(800 K)
= 2,76 X 10-20J
U = (1 mol)(6,02 X 1023)(2,76 X 10-20J)
= 16,67 X 103J
= 16,67 kJ
15. Contoh Soal
3. Berapakah energi dalam 3 mol gas ideal dari suatu gas poliatomik tertentu pada
suhu 1100 K jikia tiap molekulnya memiliki tiga translasi, tiga rotasi,
danempat vibrasi derajat kebebsan yang memberi kontribusi pada energimekanik
nya?
Jawab :
Derajat Kebebasan 10 = 4 + 3 + 3 = ט
Ek = 5 (½ kT)
= 5 (½)(1,38 X 10-23J/K)(800 K)
= 2,76 X 10-20J
U = N Ek
= n NA(7,59 X 10-20J)
= (3 mol)(6,02 X 1023)(7,59 X 10-20J)
= 137075,4 J =137,0754 kJ
