1. Untuk merancang sistem kendali, sistem fisis harus dimodelkan secara matematis berdasarkan hukum-hukum fisis. Model matematis menggambarkan karakteristik dinamis sistem. 2. Ada dua pendekatan analisis sistem kendali: fungsi alih untuk sistem sederhana linear dan state space untuk sistem modern kompleks. 3. Pemodelan sistem elektrik didasarkan pada hukum Kirchhoff yang menghasilkan persamaan diferensial yang kemud

2. ▪ Untuk analisis dan design sistem kendali, sistem fisis harus dibuat model fisisnya
▪ Model fisis harus dapat menggambarkan karakteristik dinamis sistem tersebut
secara memadai
▪ Model matematis diturunkan dari hukum-hukum fisis sistem yang bersangkutan
▪ Dinamika sistem mekanis dimodelkan dengan hukum Newton
▪ Dinamika sistem elektrik dimodelkan dengan hukum Kirchoff, Ohm
▪ Model matematis suatu sistem : kumpulan persamaan yang menggambarkan
dinamika suatu sistem secara memadai

3. ▪ Model matematis dapat meningkat akurasinya dengan memodelkan secara lebih
lengkap, bila diperlukan dalam analisis yang teliti
▪ Perlu adanya kompromi antara kesederhanaan model dengan akurasi hasil analisis
▪ Kesederhanaan model dicapai dengan memperhatikan faktor-faktor penting saja
dalam pemodelan
▪ Pemodelan dengan persamaan differential (bukan parsial), akan menghilangkan
sifat-sifat nonlinear tertentu dan parameter-parameter terdistribusi yang mungkin
ada pada sistem
▪ Pemodelan suatu komponen pada frekuensi rendah tidak dapat digunakan pada
frekuensi tinggi.

4. ▪ Suatu sistem yang memiliki model matematis sama tidak selalu menggambarkan
model fisis yang sama (Misal: analogi sistem mekanis dengan sistem elektrik).
▪ Dua pendekatan analisis :
1. Fungsi Alih (Tradisional, untuk sistem SISO)
2. State Space (Modern, untuk sistem modern, misal MIMO)

5. ▪LINEAR VS NONLINEAR
▪TIME-INVARIANT VS TIME-VARYING
▪CONTINUOUS-TIME VS DISCRETE-TIME
▪DETERMINISTIC VS STOCHASTIC
▪LUMPED- VS DISTRIBUTED - PARAMETERS
▪TRANSFER FUNCTION VS STATE SPACE

6. ▪ Sistem fisis umumnya bersifat nonlinear dalam tingkat tertentu.
▪ Untuk daerah kerja yang kecil, sistem nonlinear dapat dianggap linear (piece-wise
linearisation)
▪ Sistem linear : berlaku hukum superposisi:
▪ respons suatu sistem terhadap beberapa input berbeda merupakan kombinasi respons
masing-masing input.
▪ Pengujian kelinearan suatu sistem melalui input sinusoidal.
▪ Dalam beberapa hal elemen-elemen nonlinear sengaja disertakan dalam sistem
kendali untuk optimasi unjuk kerja.
▪ Relay on-off dipakai pada sistem kontrol optimal waktu, sistem kendali pesawat dan
sistem peluru kendali.

7. ▪ Sistem time-invariant memiliki parameter-parameter yang konstan, tak tergantung
waktu.
▪ Respons nya tak tergantung pada saat kapan input diberikan.
▪ Sistem time-varying memiliki satu atau lebih parameter yang berubah terhadap
waktu.
▪ Respons nya tergantung pada waktu diberikan input.
▪ Contoh Sistem Kendali Time-varying: Sistem kendali pesawat ruang angkasa :
bobotnya berkurang akibat konsumsi bahan bakar.

8. ▪ Sistem kontinyu waktu : memiliki semua variabel / sinyal yang kontinyu terhadap
waktu.
▪ Sistem diskrit waktu : memiliki satu atau lebih variabel / sinyal yang diskrit
terhadap waktu.

9. ▪ Sistem deterministik memiliki respons terhadap suatu input yang dapat ditebak
dan berulang / konsisten.
▪ Sistem stokastik: respons terhadap input yang sama tidak selalu menghasilkan
output yang sama.

10. ▪ Pemodelan komponen yang sederhana bila dapat dianggap bahwa parameter-
parameter komponen tsb dapat dimodelkan secara terkumpul disatu titik.
▪ Dicirikan dengan persamaan differensial biasa.
▪ Pemodelan parameter terdistribusi lebih tepat digunakan, misalnya pada sistem
transmisi.
▪ Dicirikan dengan persamaan differensial parsial.

11. ▪ Analisis sistem sederhana, SISO yang bersifat linear, kontinyu, time-invariant,
lumped-parameters, deterministik, dapat dilakukan melalui pendekatan
tradisional (fungsi alih) yang merupakan domain frekuensi kompleks. Alat bantu
analisis dan perancangan dapat berupa Root Locus (domain waktu), Bode Plot atau
Nyquist (domain frekuensi).
▪ Untuk sistem modern yang kompleks dan berakurasi tinggi (ditandai dengan
MIMO, non-linear, time-varying, optimal, robust) harus digunakan pendekatan state
space yang bersifat domain waktu.

12. ▪ Mengubah fungsi dari sistem fisis (domain waktu) ke fungsi variabel kompleks
(domain s)
▪ Menyederhanakan persamaan matematis yang mengandung operasi
turunan/differensial atau integral menjadi persamaan yang berisi perkalian atau
pembagian biasa
▪ Dapat mengubah fungsi umum (fungsi sinusoida, sinusoida teredam, fungsi
eksponensial) menjadi fungsi-fungsi aljabar variabel kompleks
▪ Persamaan diferensial yang berada dalam kawasan waktu (t), ditransformasikan ke
Kawasan frekuensi (s) dengan transformasi Laplace.

13. ▪ Untuk mempermudah proses transformasi dapat digunakan tabel transformasi
laplace.
▪ Persamaan yang diperoleh dalam kawasan s tersebut adalah persamaan aljabar
dari variabel s yang merupakan operator Laplace.
▪ Penyelesaian yang diperoleh kemudian ditransformasi-balikkan ke dalam kawasan
waktu.
▪ Hasil transformasi balik ini menghasilkan penyelesaian persamaan dalam kawasan
waktu.

14. 1. Hukum Kirchhoff 1 ; Arus total yang masuk melalui suatu titik percabangan
dalam suatu rangkaian listrik sama dengan arus total yang keluar dari
percabangan tersebut
2. Hukum Kirchhoff 2 ; Total tegangan ( beda potensial ) pada suatu rangakaian
tertutup adalah nol

15. 3. Hukum Newton 1; Jika resultan gaya yang bekerja pada benda yang sama
dengan nol, maka benda yang mula-mula diam akan tetap diam. Benda yang
mula-mula bergerak lurus beraturan akan tetap lurus beraturan dengan
kecepatan tetap
4. Hukum Newton 2; Percepatan (perubahan dari kecepatan) dari suatu benda
akan sebanding dengan resultan gaya (jumlah gaya) yang bekerja pada benda
tersebut dan berbanding terbalik dengan massa benda
5. Hukum Newton 3; Setiap aksi akan menimbulkan reaksi, jika suatu benda
memberikan gaya pada benda yang lain maka benda yang terkena gaya akan
memberikan gaya yang besarnya sama dengan gaya yang diterima dari benda
pertama, tetapi arahnya berlawanan

16. ▪ Digunakan untuk memudahkan melihat karakteristik suatu sistem
▪ Karakteristik suatu sistem tak dipengaruhi oleh jenis input
▪ Hanya berlaku untuk sistem yang linear, invariant waktu
▪ Definisi : perbandingan fungsi Laplace output dengan fungsi Laplace
input dengan semua kondisi dianggap = 0

17. Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL303 Sistem Kendali
_____________________________________________________________________________
Model Matematis untuk Rangkaian Elektrik(1)
Dalam bentuk Laplace : (anggap kondisi mula = 0)
Hukum Fisis : Kirchoff
Persamaan dinamis sistem
/ Persamaan differensial
L
di
dt
Ri
c
idt ei+ + =∫
1
1
c
idt eo=∫
L R
c eo
ei
i
)(
)(
)()(
)(
)(
)()(
1
2
ssE
sI
sRsIsLIs
ssE
C
sI
sEsI
sC
i
oo
=++
=→=
)()(
1
)()( sEsI
Cs
sRIssLI i=++
EL303 Sistem Kendali
__________________________________________
Rangkaian Elektrik(1)
ap kondisi mula = 0)
Hukum Fisis : Kirchoff
Persamaan dinamis sistem
/ Persamaan differensial
L
di
dt
Ri
c
idt ei+ + =∫
1
1
c
idt eo=∫
eo
Dalam bentuk Laplace : (anggap kondisi mula = 0)
Fungsi alih :
1
c
idt eo=∫
)(
)(
)()(
)(
)(
)()(
1
2
ssE
c
sI
sRsIsLIs
ssE
C
sI
sEsI
sC
i
oo
=++
=→=
)()(
1
)()( sEsI
Cs
sRIssLI i=++
1
1
)(
1
)(
)(
)(
2
2 ++
=






++
=
RCsLCs
sI
C
RsLs
C
sI
sE
sE
i
o
Dalam bentuk Laplace : (anggap kondisi mula = 0)
Fungsi alih :
c
idt eo=∫
)(
)(
)()(
)(
)(
)()(
1
2
ssE
c
sI
sRsIsLIs
ssE
C
sI
sEsI
sC
i
oo
=++
=→=
)()(
1
)()( sEsI
Cs
sRIssLI i=++
1
1
)(
1
)(
)(
)(
2
2 ++
=






++
=
RCsLCs
sI
C
RsLs
C
sI
sE
sE
i
o
Transformasi Laplace :
Fungsi Alih :

18. / Mathematical Modeling of Electrical Systems 73
quations give a mathematical model of the system in state space.
r Functions of Cascaded Elements. Many feedback systems have com-
t load each other. Consider the system shown in Figure 3–8.Assume that ei
and eo is the output. The capacitances C1 and C2 are not charged initially.
y = [1 0]B
x1
x2
R
R1
C1 eo
R2
C2ei
i1 i2own that the second stage of the circuit (R2C2 portion) produces a loading
e first stage (R1C1 portion).The equations for this system are
(3–27)
(3–28)
(3–29)
1
C2 3
i2 dt = eo
1
C1 3
Ai2 - i1B dt + R2i2 +
1
C2 3
i2 dt = 0
1
C1 3
Ai1 - i2B dt + R1i1 = ei
(
(
Taking the Laplace transforms of Equations (3–27) through (3–29), respectively,
zero initial conditions, we obtain
(
(
(
Eliminating I1(s) from Equations (3–30) and (3–31) and writing Ei(s) in terms of
we find the transfer function between Eo(s) and Ei(s) to be
(=
1
R1C1R2C2s2
+ AR1C1 + R2C2 + R1C2Bs + 1
Eo(s)
Ei(s)
=
1
AR1C1s + 1BAR2C2s + 1B + R1C2s
1
C2s
I2(s) = Eo(s)
1
C1s
CI2(s) - I1(s)D + R2I2(s) +
1
C2s
I2(s) = 0
1
C1s
CI1(s) - I2(s)D + R1I1(s) = Ei(s)
1
C2 3
i2 dt = eo
C1 3
Ai2 - i1B dt + R2i2 +
C2 3
i2 dt = 0
Taking the Laplace transforms of Equations (3–27) through (3–29), respect
zero initial conditions, we obtain
Eliminating I1(s) from Equations (3–30) and (3–31) and writing Ei(s) in ter
we find the transfer function between Eo(s) and Ei(s) to be
The term R1C2s in the denominator of the transfer function represents the
=
1
R1C1R2C2s2
+ AR1C1 + R2C2 + R1C2Bs + 1
Eo(s)
Ei(s)
=
1
AR1C1s + 1BAR2C2s + 1B + R1C2s
1
C2s
I2(s) = Eo(s)
1
C1s
CI2(s) - I1(s)D + R2I2(s) +
1
C2s
I2(s) = 0
1
C1s
CI1(s) - I2(s)D + R1I1(s) = Ei(s)
C2 3
Fungsi Alih :

19. 3 / Mathematical Modeling of Mechanical Systems and Electrical Systems
mp circuit shown in Figure 3–16 is a first-order lag circuit.(Several other circuits involving
are shown in Table 3–1 together with their transfer functions. Table 3–1 is given on
Eo(s)
Ei(s)
= -
R2
R1
1
R2Cs + 1
ei eo
R2
R1
C
i1
i3
i2
+
–
e9
16 shows an electrical circuit involving an operational amplifier. Obtain the output eo.
define
at the current flowing into the amplifier is negligible, we have
i1 =
ei - e¿
R1
, i2 = C
dAe¿ - eoB
dt
, i3 =
e¿ - eo
R2
Noting that the current flowing into the amplifier is negligible, we have
Hence
Since we have
Taking the Laplace transform of this last equation, assuming the zero init
Ei(s)
= -
R2Cs + 1
Eo(s)
ei
R1
= -C
deo
dt
-
eo
R2
e¿ Ӏ 0,
ei - e¿
R1
= C
dAe¿ - eoB
dt
+
e¿ - eo
R2
i1 = i2 + i3Hence
Since we have
Taking the Laplace transform of this last equation, assuming the zero initial condit
which can be written as
Eo(s) R2 1
Ei(s)
R1
= -
R2Cs + 1
R2
Eo(s)
ei
R1
= -C
deo
dt
-
eo
R2
e¿ Ӏ 0,
ei - e¿
R1
= C
dAe¿ - eoB
dt
+
e¿ - eo
R2
i1 = i2 + i3Hence
Since we have
Taking the Laplace transform of this last equation, assuming the zero initial condit
which can be written as
The op-amp circuit shown in Figure 3–16 is a first-order lag circuit.(Several other circ
Eo(s)
Ei(s)
= -
R2
R1
1
R2Cs + 1
Ei(s)
R1
= -
R2Cs + 1
R2
Eo(s)
ei
R1
= -C
deo
dt
-
eo
R2
e¿ Ӏ 0,
ei - e¿
R1
= C
dAe¿ - eoB
dt
+
e¿ - eo
R2
Since we have
Taking the Laplace transform of this last equation, assuming the zero i
which can be written as
Eo(s)
Ei(s)
= -
R2
R1
1
R2Cs + 1
Ei(s)
R1
= -
R2Cs + 1
R2
Eo(s)
ei
R1
= -C
deo
dt
-
eo
R2
e¿ Ӏ 0,
Fungsi Alih :

20. § Pendekatan dengan diagram blok
be found as follows:
26).
=
1
LCs2
+ RCs + 1
Z2 =
1
Cs
eoei
Z1
Z2
(b)
involved are all zeros. Since the transfer function requires zero initial conditions,
impedance approach can be applied to obtain the transfer function of the electr
circuit. This approach greatly simplifies the derivation of transfer functions of e
trical circuits.
Consider the circuit shown in Figure 3–9(b).Assume that the voltages ei and eo
the input and output of the circuit, respectively. Then the transfer function of
circuit is
For the system shown in Figure 3–7,
Hence the transfer function Eo(s)/Ei(s) can be found as follows:
Z1 = Ls + R, Z2 =
1
Cs
Eo(s)
Ei(s)
=
Z2(s)
Z1(s) + Z2(s)
/ Mathematical Modeling of Mechanical Systems and Electrical Systems
ection first deals with simple electrical circuits and then treats mathematical
of operational amplifier systems.
Circuit. Consider the electrical circuit shown in Figure 3–7. The circuit con-
n inductance L (henry), a resistance R (ohm), and a capacitance C (farad).
Kirchhoff’s voltage law to the system, we obtain the following equations:
(3–24)
(3–25)
1
C 3
i dt = eo
L
di
dt
+ Ri +
1
C 3
i dt = ei
L
eo
R
Cei
i
trical circuits.
Consider the circuit shown in Figure 3–9(b).Assume that the voltages ei and eo a
the input and output of the circuit, respectively. Then the transfer function of th
circuit is
For the system shown in Figure 3–7,
Hence the transfer function Eo(s)/Ei(s) can be found as follows:
Eo(s)
Ei(s)
=
1
Cs
1
=
1
LCs2
+ RCs + 1
Z1 = Ls + R, Z2 =
1
Cs
Eo(s)
Ei(s)
=
Z2(s)
Z1(s) + Z2(s)
circuit is
For the system shown in Figure 3–7,
Hence the transfer function Eo(s)/Ei(s) can be found as follows:
Eo(s)
Ei(s)
=
1
Cs
Ls + R +
1
Cs
=
1
LCs2
+ RCs + 1
Z1 = Ls + R, Z2 =
1
Cs
Eo(s)
Ei(s)
=
Z2(s)
Z1(s) + Z2(s)
Fungsi Alih :

21. § Pendekatan dengan diagram blok
hapter 3 / Mathematical Modeling of Mechanical Systems and Electrical Systems
hich can be written as
he op-amp circuit shown in Figure 3–16 is a first-order lag circuit.(Several other circuits involving
p amps are shown in Table 3–1 together with their transfer functions. Table 3–1 is given on
age 85.)
Eo(s)
Ei(s)
= -
R2
R1
1
R2Cs + 1
Ei(s)
R1
= -
R2Cs + 1
R2
Eo(s)
ei eo
R2
R1
C
i1
i3
i2
+
–
e9
+
–
Eo(s)
I(s)
I(s)
Ei(s)
E9(s)
Z1(s)
Z2(s)
EXAMPLE 3–9 Referring to the op-amp circuit shown in Figure 3–16, obtain the transfer function E
use of the impedance approach.
The complex impedances Z1(s) and Z2(s) for this circuit are
and
The transfer function Eo(s)/Ei(s) is, therefore, obtained as
which is, of course, the same as that obtained in Example 3-8.
Eo(s)
Ei(s)
= -
Z2(s)
Z1(s)
= -
R2
R1
1
R2Cs + 1
Z2(s) =
1
Cs +
1
R2
=
R2
R2Cs + 1
Z1(s) = R1
(3–34
o
Ei(s)
= -
2
Z1(s)
EXAMPLE 3–9 Referring to the op-amp circuit shown in Figure 3–16, obtain the transfer function Eo(s)/Ei(s) b
use of the impedance approach.
The complex impedances Z1(s) and Z2(s) for this circuit are
and
The transfer function Eo(s)/Ei(s) is, therefore, obtained as
which is, of course, the same as that obtained in Example 3-8.
Eo(s)
Ei(s)
= -
Z2(s)
Z1(s)
= -
R2
R1
1
R2Cs + 1
Z2(s) =
1
Cs +
1
R2
=
R2
R2Cs + 1
Z1(s) = R1
(3–
Ei(s)
= -
Z1(s)
EXAMPLE 3–9 Referring to the op-amp circuit shown in Figure 3–16, obtain the transfer function Eo(s)/Ei(s)
use of the impedance approach.
The complex impedances Z1(s) and Z2(s) for this circuit are
and
The transfer function Eo(s)/Ei(s) is, therefore, obtained as
which is, of course, the same as that obtained in Example 3-8.
Eo(s)
Ei(s)
= -
Z2(s)
Z1(s)
= -
R2
R1
1
R2Cs + 1
Z2(s) =
1
Cs +
1
R2
=
R2
R2Cs + 1
Z1(s) = R1
Impedance Approach to Obtaining Transfer Functions. Consider the op-amp
circuit shown in Figure 3–17. Similar to the case of electrical circuits we discussed ear-
lier, the impedance approach can be applied to op-amp circuits to obtain their transfer
functions. For the circuit shown in Figure 3–17, we have
Since we have
(3–34)
Eo(s)
Ei(s)
= -
Z2(s)
Z1(s)
E¿(s) Ӏ 0,
Ei(s) - E¿(s)
Z1
=
E¿(s) - Eo(s)
Z2
+
–
Eo(s)
Ei(s)
E9(s)
Z1(s)
Figure 3–17
Operational-
amplifier circuit.

22. § Tentukan Transfer Function dari rangkaian elektrik berikut ini :
B–3–9. Derive the transfer function of the electrical circuit
shown in Figure 3–38. Draw a schematic diagram of an
analogous mechanical system.
R1 C1
R2
C2
eoei
Figure 3–38 Electrical circuit.
B–3–10. Obtain the transfer function of theEo(s)͞Ei(s)
+
–
C A
B
R1
R2
R3
ei eo
Figure 3–40 Operational-amplifier circuit.
B–3–12. Using the impedance approach, obtain the trans-
fer function of the op-amp circuit shown in
Figure 3–41.
Eo(s)͞Ei(s)
R1
Section 3–3 / Mathematical Modeling of Electrical Systems
and
These two equations give a mathematical model of the system in state space
Transfer Functions of Cascaded Elements. Many feedback systems
ponents that load each other. Consider the system shown in Figure 3–8.Assu
is the input and eo is the output. The capacitances C1 and C2 are not charge
y = [1 0]B
x1
x2
R
R1
C1 eo
R2
C2ei
i1 i2Figure 3–8
Electrical system.
Dengan pendekatan diagram blok