Probability and normal distribution

1. 金融研修 第2章
金融SEのための基礎数学
第3回 確率・期待値・正規分布

2. 第2章 金融SEのための基礎数学
第1回 お金の計算式・指数・対数
第2回 数列・数列和・無限級数
第3回 確率・期待値・正規分布
第2章 基礎数学

3. 第3回 確率・期待値・正規分布
第2章 基礎数学
・金融商品の価格はランダムな変動を起こし、予測が困難なものが大半である。
そんな金融商品の価格を扱う金融の世界で働く人にとっては、
「1年後にはこの価格以上になる確率が高いから、買っておこう」
「1年後までの価格変動のリスクが高いから、売っておこう」といった、
確率、期待値、分散といった概念や、統計に関する素養が必要と言える。
そういった人々を支える我々金融SEも、同様に抑えておきたい概念と言える。
・よって、今回の講義では、
確率、期待値、分散（標準偏差）、
および統計学の最も基礎となる正規分布について学んでいきたい。
Target! 今回の授業のねらい

4. ① 確率と期待値
② 分散と標準偏差
③ 正規分布
④ まとめ
第2章 基礎数学
第3回 確率・期待値・正規分布

5. 確率とは？
第2章 基礎数学 第3回 確率・期待値・正規分布 ①確率と期待値 ＞ ② ＞ ③ ＞ ④
Lecture!
確率とは、偶然起こる現象のうち、
現象全てに対する割合のことです。
例えば、1～6の目が書かれ、各目が出る確率が全て等しい6面サイコロを
１つ投げたとき、どんな目が出るか考えましょう。
当然0とか7といった目が出ることはなく、
1～6のいずれかの整数の目しか出ません。
「1～6のいずれかの目が出る」というのがサイコロを投げて起こりうる
全ての現象であり、その確率は１です。
それに対して、「2の目が出る」確率は1/6ですよね。
このように、確率とは、全ての起こりうる現象のうち、
特定の現象が起こる可能性の割合を表すのです。

6. ２つのサイコロを投げたら？（確率編）
①確率と期待値 ＞ ② ＞ ③ ＞ ④
今1～6の目が書かれ、各目が出る確率が全て等しい6面サイコロ２つを、
１つずつ順番に投げていく場合について、以下の問いに応えよ。
（1）２つのサイコロの目の合計は何以上、何以下の整数となるか？
（2）１つ目・２つ目に投げたサイコロの目の組み合わせは何通りあるか？
（3）１つ目・２つ目に投げたサイコロの目が、順に1・3となる確率はいくつか？
（4）２つのサイコロの目の合計が4となる確率はいくつか？
（5）２つのサイコロの目の合計がいくつとなる確率が一番高いか？また、その確率はいくつか？
Work!
Question!
第2章 基礎数学 第3回 確率・期待値・正規分布

7. ２つのサイコロを投げたら？
①確率と期待値 ＞ ② ＞ ③ ＞ ④
今1～6の目が書かれ、各目が出る確率が全て等しい6面サイコロ２つを、
１つずつ順番に投げていく場合について、以下の問いに応えよ。
（1）２つのサイコロの目の合計は何以上、何以下の整数となるか？
⇒ 合計が一番小さくなるのは、サイコロの目が「1・1」となる場合で、そのときの合計は2
合計が一番大きくなるのは、サイコロの目が「6・6」となる場合で、そのときの合計は12
そして、2～12の間の整数は全て取りうる（サイコロの目は連続した整数である）
よって、2以上、12以下の整数となる。
（2）１つ目・２つ目に投げたサイコロの目の組み合わせは何通りあるか？
⇒ １つ目のサイコロの目は１～６の6通り、
２つ目のサイコロの目は１～６の6通り、
よって、6×6＝36通り
Work!
Answer!
第2章 基礎数学 第3回 確率・期待値・正規分布

8. ２つのサイコロを投げたら？
①確率と期待値 ＞ ② ＞ ③ ＞ ④
今1～6の目が書かれ、各目が出る確率が全て等しい6面サイコロ２つを、
１つずつ順番に投げていく場合について、以下の問いに応えよ。
（3）１つ目・２つ目に投げたサイコロの目が、順に1・3となる確率はいくつか？
⇒ 特定の目が出る確率は各サイコロの1/6、よって1/6×1/6 = 1/36
また、別のアプローチで考えれば、
36通りの目の組み合わせのうち、特定の1通りの目の出る確率と考えて、1/36
（4）２つのサイコロの目の合計が4となる確率はいくつか？
⇒ ２つのサイコロの目の合計が4となる目の組み合わせは、「1・3」「2・2」「3・1」の3通り。
（3）で求めた通り、特定の目の組み合わせが発生するのは1/36であるため、
1/36 × 3 = 1/12
Work!
Answer!
第2章 基礎数学 第3回 確率・期待値・正規分布

9. ２つのサイコロを投げたら？
①確率と期待値 ＞ ② ＞ ③ ＞ ④
今1～6の目が書かれ、各目が出る確率が全て等しい6面サイコロ２つを、
１つずつ順番に投げていく場合について、以下の問いに応えよ。
（5）２つのサイコロの目の合計がいくつとなる確率が一番高いか？またその確率はいくつか？
⇒ （4）で解いたように、目の合計が特定の値となる確率は、
合計がその特定の値になるような目の組み合わせの多さによって決まります。
合計が2になる目の組み合わせの数、3になる目の組み合わせの数、
…12になる目の組み合わせの数と順に調べていけば、
合計が7になる目の組み合わせの数が、6通りとなり最多となります。
よって、合計が7となる確率が一番高くなる。
その確率は、1/36 × 6 ＝ 1/6
Work!
Answer!
第2章 基礎数学 第3回 確率・期待値・正規分布

10. 期待値とは？
①確率と期待値 ＞ ② ＞ ③ ＞ ④
Lecture!
期待値とは、ある試行を行ったとき、
その結果として得られる数値の平均値のことです。
取りうる数値に確率を掛けて合計すれば求められます。
例えば、先ほどと同様のサイコロを１つ投げたとき、
出る目の期待値はいくつか？と聞かれたら、
1が出る確率が1/6、2が出る確率が1/6、…6が出る確率が1/6なので、
1 ×
1
6
+ 2 ×
1
6
+ 3 ×
1
6
+ 4 ×
1
6
+ 5 ×
1
6
+ 6 ×
1
6
=
7
2
となります。
ちなみに、サイコロを２つ投げたときの目の合計の期待値はいくつか？
これはまた合計が2になる確率、3になる確率…から計算することもできますが、
単純に(7/2)×2＝7と計算できます。
各サイコロの目はもう一方のサイコロの目に干渉しないからです。
干渉し合わない事象同士の期待値は足し算ができるのです。
第2章 基礎数学 第3回 確率・期待値・正規分布

11. サイコロを使った賭けをしてみよう！
①確率と期待値 ＞ ② ＞ ③ ＞ ④
今1～6の目が書かれ、各目が出る確率が全て等しい6面サイコロ1つを、
投げて出た目の1,000倍の円が得られるゲームがあったとします。
このゲームの参加料が4,000円のとき、以下の問いに答えよ。
（1）参加料を考慮しないとき、このゲームから得られる金額の期待値を求めよ。
（2）1～6の各目が出たときの参加料を考慮した利益、あるいは損失を求めよ。
（3）参加料を考慮した利益、損失の期待値を求めよ。
Work!
Question!
第2章 基礎数学 第3回 確率・期待値・正規分布

12. サイコロを使った賭けをしてみよう！
①確率と期待値 ＞ ② ＞ ③ ＞ ④
今1～6の目が書かれ、各目が出る確率が全て等しい6面サイコロ1つを、
投げて出た目の1,000倍の円が得られるゲームがあったとします。
このゲームの参加料が4,000円のとき、以下の問いに答えよ。
（1）参加料を考慮しないとき、このゲームから得られる金額の期待値を求めよ。
⇒ 1,000円×1/6＋2,000円×1/6＋3,000円×1/6＋
4,000円×1/6＋5,000円×1/6＋6,000円×1/6 = 3,500円
（2）1～6の各目が出たときの参加料を考慮した利益、あるいは損失を求めよ。
⇒ １の目が出たとき … 1,000円 - 4,000円 = -3,000円のため、3,000円の損失
２の目が出たとき … 2,000円 - 4,000円 = -2,000円のため、2,000円の損失
３の目が出たとき … 3,000円 - 4,000円 = -1,000円のため、1,000円の損失
４の目が出たとき … 4,000円 - 4,000円 = 0円のため、利益も損失もなし
５の目が出たとき … 5,000円 - 4,000円 = 1,000円のため、1,000円の利益
６の目が出たとき … 6,000円 - 4,000円 = 2,000円のため、2,000円の利益
Work!
Answer!
第2章 基礎数学 第3回 確率・期待値・正規分布

13. サイコロを使った賭けをしてみよう！
①確率と期待値 ＞ ② ＞ ③ ＞ ④
今1～6の目が書かれ、各目が出る確率が全て等しい6面サイコロ1つを、
投げて出た目の1,000倍の円が得られるゲームがあったとします。
このゲームの参加料が4,000円のとき、以下の問いに答えよ。
（3）参加料を考慮した利益、損失の期待値を求めよ。
⇒ （-3,000円） × 1/6 ＋ （-2,000円） × 1/6 ＋ （-1,000円） × 1/6 ＋
0円 × 1/6 ＋ 1,000円 × 1/6 ＋ 2,000円 × 1/6 = -500円
つまり、このゲームに参加したときの損益の期待値は-500円となるため、
参加しないほうがお得である。世の中のギャンブルの多くはそうなのだろうが…
なお、損益の期待値は、（1）で求めた参加料考慮外での収益の期待値3,500円から
参加料の4,000円を差し引いた金額と一致する。
これは、参加料の4,000円が引かれるという事象が、
サイコロの目により得られる金額に影響を与えない、独立した事象でだからである。
Work!
Answer!
第2章 基礎数学 第3回 確率・期待値・正規分布

14. どっちの株式を買う？
①確率と期待値 ＞ ② ＞ ③ ＞ ④
現在の株価が3,000円である、株式Aと株式Bがあるとします。
株式Aの株価は１年後に確実に3,200円になり、
株式Bの株価は１年後に20%ずつの確率で2,200円・2,700円・3,200円・3,700円・4,200円に
なるとわかっているとします。
いずれの株式も手数料なしで現在の株価で取得ができるとき、以下の問いに答えよ。
（1）株式Aを１株取得したときの１年後の損益の期待値を求めよ。
（2）株式Bを１株取得したときの１年後の損益の期待値を求めよ。
（3）どちらの株式のほうが、「リスクが高い」と言えそうか？
また株式A・Bあわせて10株買えると言われたとき、あなたならそれぞれいくつ買うか？
※株式を取得したときの１年後の損益は、（１年後の株価）-（取得したときの株価）で計算できます。
そのため、１年後の株価が値上がりしていれば、その分利益が発生し、
１年後の株価が値下がりしていれば、その分損失が発生します。
Work!
Question!
第2章 基礎数学 第3回 確率・期待値・正規分布

15. どっちの株式を買う？
①確率と期待値 ＞ ② ＞ ③ ＞ ④
現在の株価が3,000円である、株式Aと株式Bがあるとします。
株式Aの株価は１年後に確実に3,200円になり、
株式Bの株価は１年後に20%ずつの確率で2,200円・2,700円・3,200円・3,700円・4,200円に
なるとわかっているとします。
いずれの株式も手数料なしで現在の株価で取得ができるとき、以下の問いに答えよ。
（1）株式Aを１株取得したときの１年後の損益の期待値を求めよ。
⇒ 3,200円-3,000円=200円のため、200円の利益
（2）株式Bを１株取得したときの１年後の損益の期待値を求めよ。
⇒ 株式Bの１年後の株価の期待値から、現在の株価を引けばよい。
株式Bの１年後の株価の期待値は、
2,200円×1/5＋2,700円×1/5 ＋3,200円×1/5
＋3,700円×1/5 ＋4,200円×1/5 = 3,200円
よって、損益の期待値は、3,200円-3,000円=200円のため、200の利益
Work!
Answer!
第2章 基礎数学 第3回 確率・期待値・正規分布

16. どっちの株式を買う？
①確率と期待値 ＞ ② ＞ ③ ＞ ④
現在の株価が3,000円である、株式Aと株式Bがあるとします。
株式Aの株価は１年後に確実に3,200円になり、
株式Bの株価は１年後に20%ずつの確率で2,200円・2,700円・3,200円・3,700円・4,200円に
なるとわかっているとします。
（3）どちらの株式のほうが、「リスクが高い」と言えそうか？
また株式A・Bあわせて10株買えると言われたとき、あなたならそれぞれいくつ買うか？
⇒ いずれの株式も、損益の期待値は+200円で変わらないが、
株式Aは確実に+200円になるのに対して、
株式Bの１年後の損益は、＋になることもあれば－になることもあり、その値にばらつきがある。
株式Bのほうがリスクが高いと言える。
この値の「ばらつき」こそ、この後扱う分散・標準偏差であり、リスクの指標になる。
株式をそれぞれいくつ買うかだが、どんな組み合わせでも損益の期待値は200円のため、
各人のリスク選好度によるところになるため、これが正解だと言えるものはないだろう。
例えば、株式Aを８株、株式Bを２株取得すると、確実に損失にはならないし、
１株当たりの利益が200円を超える可能性を残すことになる。
Work!
Answer!
第2章 基礎数学 第3回 確率・期待値・正規分布

17. ① 確率と期待値
② 分散と標準偏差
③ 正規分布
④ まとめ
第2章 基礎数学
第3回 確率・期待値・正規分布

18. 分散とは
① ＞ ②分散と標準偏差 ＞ ③ ＞ ④
Lecture!
分散とは、数値データのばらつき具合を表す指標です。
ある数値が集まった数値データについて、
その平均値と個々の数値との差の２乗の平均を計算することで得られます。
なんで２乗を取るんだ？
平均値と個々の数値との差の平均を取ればよさそうだが？
平均値と個々の数値との差には＋も－も含まれ、
それらを全て足し合わせて平均取っても、打ち消し合って0になるよ？
２乗をすれば必ず＋になるから、
平均値との乖離度の指標になれるのさ。
第2章 基礎数学 第3回 確率・期待値・正規分布

19. 分散とはLecture!
◆分散が小さいとは？
⇒ 100点満点のテストを受けた生徒全員が、
80点を取った場合、平均値は80点で、かつ分散は0となる。
全ての数字データが平均値と近い値になればなるほど
散らばり度合いを表す分散は小さくなる。
◆分散が大きいとは？
⇒ 100点満点のテストを受けた生徒について、
ちょうど半数の生徒が70点、もう半数の生徒が90点を取った場合、
平均値は80点で、分散は100点2となる。
（※全生徒の人数は偶数としておきましょうか。）
さきほどの例と比べれば、平均値は変わらないが、分散は増えましたね。
各数字データが平均値から遠い値になればなるほど
散らばり具合を表す分散は大きくなります。
第2章 基礎数学 第3回 確率・期待値・正規分布 ① ＞ ②分散と標準偏差 ＞ ③ ＞ ④

20. 標準偏差とは？Lecture!
２乗の値で散らばり具合を表すメリットはわかったけど、
さっきの例をみれば、分散が100点2とか単位が変になっていたぞ？
実際の点数の散らばり具合からも乖離していないか？
その通り！分散は２乗したものの平均だから単位は変だし、
大きさも実際のイメージから乖離する。
だから、分散を1/2乗して（平方根をして）得られる
標準偏差を使うことも多いんだ。
標準偏差とは、分散の平方根を取った値です。
これは金融の世界でもよく使われるリスク値で、
ボラティリティと呼ばれるものはこの値のことを指していることが一般的です。
標準偏差 ＝ 分散
第2章 基礎数学 第3回 確率・期待値・正規分布 ① ＞ ②分散と標準偏差 ＞ ③ ＞ ④

21. サイコロの目の散らばり具合を求めよう
今1～6の目が書かれ、各目が出る確率が全て等しい6面サイコロ1つを、
投げて出た目について、以下の問いに答えよ。
（1）サイコロの目の平均値はいくつになるか？
（2）サイコロの目の分散はいくつになるか？
（3）サイコロの目の標準偏差はいくつになるか？
Work!
Question!
第2章 基礎数学 第3回 確率・期待値・正規分布 ① ＞ ②分散と標準偏差 ＞ ③ ＞ ④

22. サイコロを使った賭けをしてみよう！Work!
Answer!
今1～6の目が書かれ、各目が出る確率が全て等しい6面サイコロ1つを、
投げて出た目について、以下の問いに答えよ。
（1）サイコロの目の平均値はいくつになるか？
（1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6） × 1/6 = 7/2
（2）サイコロの目の分散はいくつになるか？
1 − 7/2 2 + 2 − 7/2 2 + 3 − 7/2 2 + 4 − 7/2 2 + 5 − 7/2 2 + 6 − 7/2 2 ×
1
6
=
35
12
（3）サイコロの目の標準偏差はいくつになるか？
35
12
第2章 基礎数学 第3回 確率・期待値・正規分布 ① ＞ ②分散と標準偏差 ＞ ③ ＞ ④

23. 株価のリスク値を求めよう
現在の株価が3,000円である、株式Aと株式Bがあるとします。
株式Aの株価は１年後に確実に3,200円になり、
株式Bの株価は１年後に20%ずつの確率で2,200円・2,700円・3,200円・3,700円・4,200円に
なるとわかっているとします。
いずれの株式も手数料なしで現在の株価で取得ができるとき、以下の問いに答えよ。
（1）株式Aを１株取得したときの１年後の損益の期待値・分散・標準偏差を求めよ。
（2）株式Bを１株取得したときの１年後の損益の期待値・分散・標準偏差を求めよ。
Work!
Question!
第2章 基礎数学 第3回 確率・期待値・正規分布 ① ＞ ②分散と標準偏差 ＞ ③ ＞ ④

24. どっちの株式を買う？
現在の株価が3,000円である、株式Aと株式Bがあるとします。
株式Aの株価は１年後に確実に3,200円になり、
株式Bの株価は１年後に20%ずつの確率で2,200円・2,700円・3,200円・3,700円・4,200円に
なるとわかっているとします。
いずれの株式も手数料なしで現在の株価で取得ができるとき、以下の問いに答えよ。
（1）株式Aを１株取得したときの１年後の損益の期待値・分散・標準偏差を求めよ。
⇒ 期待値は、3,200円-3,000円=200円のため、200円。
分散は0円2、標準偏差は0円。
Work!
Answer!
第2章 基礎数学 第3回 確率・期待値・正規分布 ① ＞ ②分散と標準偏差 ＞ ③ ＞ ④

25. どっちの株式を買う？
現在の株価が3,000円である、株式Aと株式Bがあるとします。
株式Aの株価は１年後に確実に3,200円になり、
株式Bの株価は１年後に20%ずつの確率で2,200円・2,700円・3,200円・3,700円・4,200円に
なるとわかっているとします。
いずれの株式も手数料なしで現在の株価で取得ができるとき、以下の問いに答えよ。
（2）株式Bを１株取得したときの１年後の損益の期待値・分散・標準偏差を求めよ。
⇒ 損益の期待値は、株式Bの１年後の株価の期待値から、現在の株価を引けばよい。
株式Bの１年後の株価の期待値は、
2,200円×1/5＋2,700円×1/5 ＋3,200円×1/5
＋3,700円×1/5 ＋4,200円×1/5 = 3,200円
よって、損益の期待値は、3,200円-3,000円=200円のため、200の利益
Work!
Answer!
第2章 基礎数学 第3回 確率・期待値・正規分布 ① ＞ ②分散と標準偏差 ＞ ③ ＞ ④

26. どっちの株式を買う？
現在の株価が3,000円である、株式Aと株式Bがあるとします。
株式Aの株価は１年後に確実に3,200円になり、
株式Bの株価は１年後に20%ずつの確率で2,200円・2,700円・3,200円・3,700円・4,200円に
なるとわかっているとします。
いずれの株式も手数料なしで現在の株価で取得ができるとき、以下の問いに答えよ。
（2）株式Bを１株取得したときの１年後の損益の期待値・分散・標準偏差を求めよ。
⇒ 損益の分散は、
{ −800円 − 200円
2
+ −300円 − 200円
2
+ 200円 − 200円
2
+
700円 − 200円
2
+ 1,200円 − 200円
2
} ×
1
5
= 500,000円2
損益の標準偏差は、
500,000円2 = 500 2円
Work!
Answer!
第2章 基礎数学 第3回 確率・期待値・正規分布 ① ＞ ②分散と標準偏差 ＞ ③ ＞ ④

27. 株価の変動を考えよう！
現在の株価が3,000円である、株式Cがあるとします。
この株式Cの株価は１ヵ月毎にそれぞれ50%の確率で100円値あがるか、100円値下がるかします。
この株式の株価について以下の問いに答えよ。
（1）1ヵ月後に株式Cが取りうる株価とその確率の組み合わせを全て答えよ。
（2）2ヵ月後に株式Cが取りうる株価とその確率の組み合わせを全て答えよ。
（3）4ヵ月後に株式Cが取りうる株価とその確率の組み合わせを全て答えよ。
（4）10カ月後に株式Cが取りうる株価は何通りあるか？
Work!
Question!
第2章 基礎数学 第3回 確率・期待値・正規分布 ① ＞ ②分散と標準偏差 ＞ ③ ＞ ④

28. 株価の変動を考えよう！
現在の株価が3,000円である、株式Cがあるとします。
この株式Cの株価は１ヵ月毎にそれぞれ50%の確率で100円値あがるか、100円値下がるかします。
この株式の株価について以下の問いに答えよ。
（1）1ヵ月後に株式Cが取りうる株価とその確率の組み合わせを全て答えよ。
⇒ 株式Cの株価は1ヵ月後、50％の確率で100円値上がり、50％の確率で100円値下がる。
そのため、50％の確率で3,100円、50％の確率で2,900円になる。
（2）2ヵ月後に株式Cが取りうる株価とその確率の組み合わせを全て答えよ。
⇒ 株式Cの株価の2ヵ月間の推移は以下のような図で表せる。
Work!
Answer!
第2章 基礎数学 第3回 確率・期待値・正規分布 ① ＞ ②分散と標準偏差 ＞ ③ ＞ ④

29. 株価の変動を考えよう！
（2）2ヵ月後に株式Cが取りうる株価とその確率の組み合わせを全て答えよ。
⇒ 株式Cの株価の2ヵ月間の推移は以下のような図で表せる。
Work!
Answer!
よって、取りうる株価とその確率の組み合わせは、
・25％で3,200円
・50%で3,000円
・25％で2,800円
となる。
第2章 基礎数学 第3回 確率・期待値・正規分布 ① ＞ ②分散と標準偏差 ＞ ③ ＞ ④

30. 株価の変動を考えよう！
（3）4ヵ月後に株式Cが取りうる株価と
その確率の組み合わせを全て答えよ。
⇒ 株式Cの株価の4ヵ月間の推移は左図で表せる。
Work!
Answer!
よって、取りうる株価とその確率の組み合わせは、
以下のようなグラフで表した通りである。
第2章 基礎数学 第3回 確率・期待値・正規分布 ① ＞ ②分散と標準偏差 ＞ ③ ＞ ④

31. 株価の変動を考えよう！
（4）10カ月後に株式Cが取りうる株価は何通りあるか？
⇒ 10回分のツリーを全て書き出さずに簡単な帰納法でも解けるのだが、詳細な解説は省略する。
Work!
Answer!
取りうる株価の組み合わせは、
2,000円から4,000円までの200円刻みの株価で11通り。
ちなみに、
一番取る確率が高い株価は3,000円。
第2章 基礎数学 第3回 確率・期待値・正規分布 ① ＞ ②分散と標準偏差 ＞ ③ ＞ ④

32. 株価の変動を考えよう！
10ヵ月後の株価の確率分布は以下のようなグラフとなる。
Work!
Answer!
第2章 基礎数学 第3回 確率・期待値・正規分布 ① ＞ ②分散と標準偏差 ＞ ③ ＞ ④

33. ① 確率と期待値
② 分散と標準偏差
③ 正規分布
④ まとめ
第2章 基礎数学
第3回 確率・期待値・正規分布

34. 株価の確率グラフの特徴を考えよう！
① ＞ ② ＞ ③正規分布 ＞ ④
Think!
さて、株価の確率分布をこのように並べてみたときに、
これらのグラフにはどんな特徴があるでしょうか？
まずは皆さんで考えてみてください。
第2章 基礎数学 第3回 確率・期待値・正規分布

35. 株価の確率グラフの特徴を考えよう！
① ＞ ② ＞ ③正規分布 ＞ ④
Think!
① 2ヵ月後でも4カ月後でも、
将来の株価は現在の株価と同じ価格になる確率が一番高い。
② 将来の取りうる株価のうち、
現在の株価から乖離した価格であればあるほど確率が低くなる。
この２つの性質は、「オプション」という金融商品を理解する上でとても重要です。
第2章 基礎数学 第3回 確率・期待値・正規分布

36. 株価の確率グラフの特徴を考えよう！
① ＞ ② ＞ ③正規分布 ＞ ④
Think!
③ 時間が経過すればするほど、
グラフが段々となだらかな山のような形になっていく。
株価が上昇・下落をランダムに繰り返し、方向性を持たないと仮定すると、
時間の経過につれて、上図のようななだらか山のようなグラフになっていきます。
十分将来について考えたときにできる山のグラフには特別な名前があります。
第2章 基礎数学 第3回 確率・期待値・正規分布

37. 正規分布とは？Lecture!
① ＞ ② ＞ ③正規分布 ＞ ④
正規分布はデータを扱う上で、
とても重要な確率分布となります。
世の中のありふれた様々な現象に対して、
あてはまる分布と言われています。
ランダムな変動を繰り返す金融商品の価格も、
この確率分布を基にリスクを考察することが
多々あります。
金融に関する様々なデータを扱う、
金融SEの皆様は押さえておきたい概念です。
先ほどの確率分布も、
似たような形状をしていますよね？
第2章 基礎数学 第3回 確率・期待値・正規分布

38. 正規分布の特徴Lecture!
① ＞ ② ＞ ③正規分布 ＞ ④
正規分布について、押さえておくべき重要な
特徴を以下に記載します。
①左右対称なグラフで、
グラフの中心の縦軸は
データの平均値に位置する。
②左右の裾の部分は横軸に漸近する（沿う）。
③データの分散（標準偏差）が大きいほど
なだらかな山となり、
逆に小さいほど尖がった山となる。
データの平均値と分散により、
正規分布のグラフは一意に決まる。分散が大きい
データの場合
分散が小さい
データの場合
第2章 基礎数学 第3回 確率・期待値・正規分布

39. 正規分布の用途Lecture!
① ＞ ② ＞ ③正規分布 ＞ ④
正規分布は確率分布の一つであり、
「ある値からある値を取る確率はいくつだろう？」といったことを
上図のように面積（積分）を求めて割り出すことができます。
ランダムな変動をする金融商品の価格について、特定の範囲の値を取る確率の推定ができるのです。
例：この商品の価格が●円以上になる確率は、推定で◆％である。
参考までに、標準偏差の値をσとおくと、
平均値±σの範囲の値を取る確率は約68％、平均値±2σの範囲の値を取る確率は約95％です。
第2章 基礎数学 第3回 確率・期待値・正規分布

40. 株価のリスク値を求めよう
ある株式Dの1年後に取りうる株価の確率分布が、
平均値が3000円、標準偏差が300円の
正規分布に従う場合、以下の問いに答えよ。
（1）1年後に株価が3,000円以下になる
確率はいくつか？
（2）1年後に株価が3,300円以上になる
確率はいくつか？
数値データが正規分布に従うとき
平均値±標準偏差の範囲の数値を取る
確率（密度）はちょうど68％である
として答えよ。
Work!
Question!
① ＞ ② ＞ ③正規分布 ＞ ④第2章 基礎数学 第3回 確率・期待値・正規分布

41. 株価のリスク値を求めよう
（1）1年後に株価が3,000円以下になる
確率はいくつか？
⇒ -∞～∞までの全ての実数の取る確率は、
100％となります。
正規分布は平均値の点で左右対称なので、
平均値以下（-∞～平均値）の値を取る確率は、
100％のちょうど半分の50％となります。
（2）1年後に株価が3,300円以上になる
確率はいくつか？
⇒ 株価が2,700円～3,300円になる確率が、
ちょうど68％であるとした場合、
株価が3,000円～3,300円になる確率は68％のちょうど半分の34％となります。
よって、株価が3,300円以下になる確率が50％＋34％=84%となるので、
反対に、株価が3,300円以上になる確率は100%-84%=16%となります。
Work!
① ＞ ② ＞ ③正規分布 ＞ ④
Answer!
第2章 基礎数学 第3回 確率・期待値・正規分布

42. ① 確率と期待値
② 分散と標準偏差
③ 正規分布
④ まとめ
第2章 基礎数学
第3回 確率・期待値・正規分布

43. 第3回 確率・期待値・正規分布
・金融商品の価格はランダムな変動を起こし、予測が困難なものが大半である。
そんな金融商品の価格を扱う金融の世界で働く人にとっては、
「1年後にはこの価格以上になる確率が高いから、買っておこう」
「1年後までの価格変動のリスクが高いから、売っておこう」といった、
確率、期待値、分散といった概念や、統計に関する素養が必要と言える。
そういった人々を支える我々金融SEも、同様に抑えておきたい概念と言える。
・よって、今回の講義では、
確率、期待値、分散（標準偏差）、
および統計学の最も基礎となる正規分布について学んでいきたい。
Target! 今回の授業のねらい
① ＞ ② ＞ ③ ＞ ④まとめ第2章 基礎数学 第3回 確率・期待値・正規分布

44. 確率とは？
① ＞ ② ＞ ③ ＞ ④まとめ
Lecture!
確率とは、偶然起こる現象のうち、
現象全てに対する割合のことです。
例えば、1～6の目が書かれ、各目が出る確率が全て等しい6面サイコロを
１つ投げたとき、どんな目が出るか考えましょう。
当然0とか7といった目が出ることはなく、
1～6のいずれかの整数の目しか出ません。
「1～6のいずれかの目が出る」というのがサイコロを投げて起こりうる
全ての現象であり、その確率は１です。
それに対して、「2の目が出る」確率は1/6ですよね。
このように、確率とは、
全ての起こりうる現象のうち、特定の現象が起こる可能性の割合を表すのです。
第2章 基礎数学 第3回 確率・期待値・正規分布

45. 期待値とは？Lecture!
期待値とは、ある試行を行ったとき、
その結果として得られる数値の平均値のことです。
取りうる数値に確率を掛けて合計すれば求められます。
例えば、先ほどと同様のサイコロを１つ投げたとき、
出る目の期待値はいくつか？と聞かれたら、
1が出る確率が1/6、2が出る確率が1/6、…6が出る確率が1/6なので、
1 ×
1
6
+ 2 ×
1
6
+ 3 ×
1
6
+ 4 ×
1
6
+ 5 ×
1
6
+ 6 ×
1
6
=
7
2
となります。
ちなみに、サイコロを２つ投げたときの目の合計の期待値はいくつか？
これはまた合計が2になる確率、3になる確率…から計算することもできますが、
単純に(7/2)×2＝7と計算できます。
各サイコロの目はもう一方のサイコロの目に干渉しないからです。
干渉し合わない事象同士の期待値は足し算ができるのです。
① ＞ ② ＞ ③ ＞ ④まとめ第2章 基礎数学 第3回 確率・期待値・正規分布

46. 分散とはLecture!
分散とは、数値データのばらつき具合を表す指標です。
ある数値が集まった数値データについて、
その平均値と個々の数値との差の２乗の平均を計算することで得られます。
なんで２乗を取るんだ？
平均値と個々の数値との差の平均を取ればよさそうだが？
平均値と個々の数値との差には＋も－も含まれ、
それらを全て足し合わせて平均取っても、打ち消し合って0になるよ？
２乗をすれば必ず＋になるから、
平均値との乖離度の指標になれるのさ。
① ＞ ② ＞ ③ ＞ ④まとめ第2章 基礎数学 第3回 確率・期待値・正規分布

47. 分散とはLecture!
◆分散が小さいとは？
⇒ 100点満点のテストを受けた生徒全員が、
80点を取った場合、平均値は80点で、かつ分散は0となる。
全ての数字データが平均値と近い値になればなるほど
散らばり度合いを表す分散は小さくなる。
◆分散が大きいとは？
⇒ 100点満点のテストを受けた生徒について、
ちょうど半数の生徒が70点、もう半数の生徒が90点を取った場合、
平均値は80点で、分散は100点2となる。
（※全生徒の人数は偶数としておきましょうか。）
さきほどの例と比べれば、平均値は変わらないが、分散は増えましたね。
各数字データが平均値から遠い値になればなるほど
散らばり具合を表す分散は大きくなります。
① ＞ ② ＞ ③ ＞ ④まとめ第2章 基礎数学 第3回 確率・期待値・正規分布

48. 標準偏差とは？Lecture!
２乗の値で散らばり具合を表すメリットはわかったけど、
さっきの例をみれば、分散が100点2とか単位が変になっていたぞ？
実際の点数の散らばり具合からも乖離していないか？
その通り！分散は２乗したものの平均だから単位は変だし、
大きさも実際のイメージから乖離する。
だから、分散を1/2乗して（平方根をして）得られる
標準偏差を使うことも多いんだ。
標準偏差とは、分散の平方根を取った値です。
これは金融の世界でもよく使われるリスク値で、
ボラティリティと呼ばれるものはこの値のことを指していることが一般的です。
標準偏差 ＝ 分散
① ＞ ② ＞ ③ ＞ ④まとめ第2章 基礎数学 第3回 確率・期待値・正規分布

49. 正規分布とは？Lecture!
正規分布はデータを扱う上で、
とても重要な確率分布となります。
世の中のありふれた様々な現象に対して、
あてはまる分布と言われています。
ランダムな変動を繰り返す金融商品の価格も、
この確率分布を基にリスクを考察することが
多々あります。
金融に関する様々なデータを扱う、
金融SEの皆様は押さえておきたい概念です。
① ＞ ② ＞ ③ ＞ ④まとめ第2章 基礎数学 第3回 確率・期待値・正規分布

50. 正規分布の特徴Lecture!
正規分布について、押さえておくべき重要な
特徴を以下に記載します。
①左右対称なグラフで、
グラフの中心の縦軸は
データの平均値に位置する。
②左右の裾の部分は横軸に漸近する（沿う）。
③データの分散（標準偏差）が大きいほど
なだらかな山となり、
逆に小さいほど尖がった山となる。
データの平均値と分散により、
正規分布のグラフは一意に決まる。分散が大きい
データの場合
分散が小さい
データの場合
① ＞ ② ＞ ③ ＞ ④まとめ第2章 基礎数学 第3回 確率・期待値・正規分布

51. 正規分布の用途Lecture!
正規分布は確率分布の一つであり、
「ある値からある値を取る確率はいくつだろう？」といったことを
上図のように面積（積分）を求めて割り出すことができます。
ランダムな変動をする金融商品の価格について、特定の範囲の値を取る確率の推定ができるのです。
例：この商品の価格が●円以上になる確率は、推定で◆％である。
参考までに、標準偏差の値をσとおくと、
平均値±σの範囲の値を取る確率は約68％、平均値±2σの範囲の値を取る確率は約95％です。
① ＞ ② ＞ ③ ＞ ④まとめ第2章 基礎数学 第3回 確率・期待値・正規分布