Exponent and logarithm

1. 金融研修 第2章
金融SEのための基礎数学
第1回 お金の計算式・指数・対数

2. 第2章 金融SEのための基礎数学
第1回 お金の計算式・指数・対数
第2回 数列・数列和・無限級数
第3回 確率・期待値・正規分布
第2章 基礎数学

3. 第1回 お金の計算式・指数・対数
第2章 基礎数学
・金融の世界でお金という概念を扱うにあたり最も基本となる、
金利の計算について概要を理解する。
・金利の計算をするにあたり理解しておかなければならない
指数という概念を学ぶ。
・指数と対になる、対数という概念を学ぶ。
Target! 今回の授業のねらい

4. ① お金の計算式
② 指数
③ 対数
④ まとめ
第2章 基礎数学
第1回 お金の計算式・指数・対数

5. 金利の簡単な計算にまずは触れてみよう！
第2章 基礎数学 第1回 金利・指数・対数 ①お金の計算式 ＞ ② ＞ ③ ＞ ④
Lecture!
金利とは何か？
お金の価値とは何か？
これについての深堀は第3章で行いますが、
今回は金利の簡単な計算方法について触れたいと思います。
皆さんの身近なもので、
金利と言われて最初にイメージがわくのはなんでしょうか？

6. 皆さんの身近なもので金利というと…
基本的には皆が持っていると考えられる預金口座、
この口座への預金には金利がありますよね？
今日の日本の金利水準は超低水準のため、
一応金利により微々たる額ですが預金額は増えるのです。
また普通預金に比べ、引き出しの自由度の落ちる定期預金の方が
金利が高くなりますね。
実際に定期預金は金利がどれくらいの水準なのか、
今からお手元のスマートフォンで調べてみてください。
預金には金利があるLecture!
第2章 基礎数学 第1回 金利・指数・対数 ①お金の計算式 ＞ ② ＞ ③ ＞ ④

7. ローンにも金利があるLecture!
他に金利と聞いてイメージが沸くものは「ローン」でしょうか？
消費者金融会社などのノンバンクや銀行が行っている
個人向けの「カードローン」は、
先ほどの預金金利なんかとはくらべものにならないほど高いですよね。
金利は誰が誰に、いくら、どれくらいの期間お金を貸すかにより変わるのです。
なぜ変わるのかは第3章にて解説します。
またローンには法人向けのビジネスローンなんてものもあります。
銀行が行っているビジネスローンもありますね。
銀行は預金者から低金利で預かったお金を、高金利で貸出して
利鞘を稼ぐなんて話は、第1章でご紹介した通りです。
第2章 基礎数学 第1回 金利・指数・対数 ①お金の計算式 ＞ ② ＞ ③ ＞ ④

8. 金融の世界は金利（利回り）でつながっているLecture!
金融は、資金を運用したい人から調達したい人へのお金のやり取りから成り立ちます。
そして、このやり取りは貸借取引であれ、有価証券への投資であれ、
原則的には無償では行われず、必ず金利または利回りというものがついてきます。
低利回りで調達し、高利回りの運用やビジネスを行う。お金が返ってこないリスクもありますが、
各々がこのリスクを利鞘に換えて利益を得ようとすることで、金融の世界が成り立つのです。
第2章 基礎数学 第1回 金利・指数・対数 ①お金の計算式 ＞ ② ＞ ③ ＞ ④

9. 金利には単利と複利があるLecture!
さて、金利の利率というと「年2.0％」といった形で表記されています。
この金利に応じて、貸し借りされたお金はどのように増えるのでしょうか？
年2.0％ってことは、
貸したお金、あるいは借りたお金が
1年あたり2.0％増えるってことでしょ？
それはそうだけど、
元々貸し借りしたお金（元本）の2.0％が毎年加算されていくのか、
それとも、元本が2.0％増、つまり1.02倍になっていくのか、
どっちのことを指しているか、わからないよね？
同じ金利とはいっても、
毎回同じ額の利息が加算されていく単利と、
毎回同倍率で額が増加していく複利とがあり、この２つでは全然金額が異なります。
第2章 基礎数学 第1回 金利・指数・対数 ①お金の計算式 ＞ ② ＞ ③ ＞ ④

10. 単利は最初の元本に金利を掛けた金額が毎年加算される、
足し算のイメージです。
単利は足し算のイメージLecture!
1,000万円
20万円
1,000万円
20万円
1,000万円
20万円
20万円
1,000万円
20万円
20万円
第2章 基礎数学 第1回 金利・指数・対数 ①お金の計算式 ＞ ② ＞ ③ ＞ ④

11. 複利は掛け算のイメージLecture!
複利は最初の元本に（1+金利）を毎年掛けていく、
掛け算のイメージです。
※複利には半年複利というものがありますが、今回は年複利のみ考えます。
1000万円 1020万円 1040.4万円
10,612,080円
1.02倍
1.02倍
1.02倍
第2章 基礎数学 第1回 金利・指数・対数 ①お金の計算式 ＞ ② ＞ ③ ＞ ④

12. 単利のグラフを描いてみよう！Work!
最初の元本が1,000万円、金利が単利で年5.0％のとき、
元本の推移を表すグラフを描いてみましょう。
横軸には時間（年）、縦軸には元本（円）をとって描いてみてください！
Question!
第2章 基礎数学 第1回 金利・指数・対数 ①お金の計算式 ＞ ② ＞ ③ ＞ ④

13. 単利のグラフを描いてみよう！Work!
最初の元本が1,000万円、金利が単利で年5.0％のとき、
元本の推移を表すグラフは以下のように、直線になります。
Answer!
第2章 基礎数学 第1回 金利・指数・対数 ①お金の計算式 ＞ ② ＞ ③ ＞ ④

14. 複利のグラフを描いてみよう！Work!
最初の元本が1,000万円、金利が複利で年5.0％のとき、
元本の推移を表すグラフを描いてみましょう。
横軸には時間（年）、縦軸には元本（円）をとって描いてみてください！
Question!
第2章 基礎数学 第1回 金利・指数・対数 ①お金の計算式 ＞ ② ＞ ③ ＞ ④

15. 複利のグラフを描いてみよう！Work!
最初の元本が1,000万円、金利が複利で年5.0％のとき、
元本の推移を表すグラフは以下のような、曲線に近い折線になります。
Answer!
第2章 基礎数学 第1回 金利・指数・対数 ①お金の計算式 ＞ ② ＞ ③ ＞ ④

16. 単利と複利のグラフを比較してみよう！Work!
単利は年毎に元本がいくら増えるかの金額が一定なため、
傾きが一定な直線のグラフになりますね。
対して複利は、元本の増える金額が年毎に上昇していくため
下に凸な曲線のグラフになりますね。
第2章 基礎数学 第1回 金利・指数・対数 ①お金の計算式 ＞ ② ＞ ③ ＞ ④

17. お金の計算式Lecture!
Point!! ・お金の価格ともいえる金利、
その金利から発生する利息の計算方法には単利と複利があります。
・単利は足し算のイメージ。
同じ金額の利息が元本に加算されていきます。
元本の推移をグラフで表すと直線を描きます。
・複利は掛け算のイメージ。
同じ倍率が元本に掛けられていきます。
元本の推移をグラフで表すと曲線を描きます。
第2章 基礎数学 第1回 金利・指数・対数 ①お金の計算式 ＞ ② ＞ ③ ＞ ④

18. ① お金の計算式
② 指数
③ 対数
④ まとめ
第2章 基礎数学
第1回 お金の計算式・指数・対数

19. 指数とは
① ＞ ②指数 ＞ ③ ＞ ④
Lecture!
上記のような掛け算のうち、
同じ値 𝑏 の項の掛け算を1つの項にまとめて 𝑏3 と表記できる。
この 𝑏3 は、𝑏 を3回掛けたときに得られる値であり、𝑏 の3乗と読みます。
この 𝑏3 のうち、3 という数字の部分を指数といいます。
また、 𝑏 のことを底と言います。
𝑎 × 𝑏 × 𝑏 × 𝑏 = 𝑎 × 𝑏3 指数
底
第2章 基礎数学 第1回 金利・指数・対数

20. 同じ大きさの項の掛け算をまとめられる
① ＞ ②指数 ＞ ③ ＞ ④
Lecture!
2 × 3 × 3 × 2 × 3 = 22
× 33
具体的な数字で表現された数式の例としては、
上記のような感じになります。
このように指数で表すことにより、
数式を簡潔に書くことができるのです。
第2章 基礎数学 第1回 金利・指数・対数

21. 指数の性質 ― 指数の足し算
① ＞ ②指数 ＞ ③ ＞ ④
Lecture!
22
× 23
= 22+3
= 25
（22
× 23
= 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 25
）
同じ底の指数で表された数同士の掛け算は
上記のように底をまとめて指数の足し算にすることができます。
掛け算 ⇒ 足し算 と変換ができる！
第2章 基礎数学 第1回 金利・指数・対数

22. 指数の性質 ― 指数の引き算
① ＞ ②指数 ＞ ③ ＞ ④
Lecture!
23
÷ 22
= 23−2
= 21
= 2
（23
÷ 22
= 2 × 2 × 2 ÷ 2 ÷ 2 = 2）
同じ底の指数で表された数同士の割り算は
上記のように底をまとめて指数の引き算にすることができます。
割り算 ⇒ 引き算 と変換ができる！
第2章 基礎数学 第1回 金利・指数・対数

23. 指数の性質 ― 指数が負の数になると？
① ＞ ②指数 ＞ ③ ＞ ④
Lecture!
22 ÷ 24 = 22−4 = 2−2 =
1
22
=
1
4
（22
÷ 24
= 2 × 2 ÷ 2 ÷ 2 ÷ 2 ÷ 2 = 1 ÷ 2 ÷ 2 = 1/4）
指数が負の数である場合、上式のように逆数になります。
負の数でも焦らず、逆数にすればOK！
第2章 基礎数学 第1回 金利・指数・対数

24. 指数の性質 ― 指数が0のときどうなる？
① ＞ ②指数 ＞ ③ ＞ ④
Lecture!
22
÷ 22
= 22−2
= 20
= 1
（22
÷ 22
= 2 × 2 ÷ 2 ÷ 2 = 1）
また、指数が0になると、その項の値は必ず1となります。
底が2でも3でも、どんな値でも常に1となります。
指数が0なら、項の値は1！
第2章 基礎数学 第1回 金利・指数・対数

25. 指数の性質 ― 指数が分数になると？
① ＞ ②指数 ＞ ③ ＞ ④
Lecture!
41/2
× 41/2
= 4
1
2
+
1
2 = 41
= 4
∴ 41/2
= 4 = 2
一般化すると、 𝑎 𝑐/𝑏 =
𝑏
𝑎 𝑐
第2章 基礎数学 第1回 金利・指数・対数

26. 指数のまとめ
① ＞ ②指数 ＞ ③ ＞ ④
Lecture!
𝑎 × 𝑏 × 𝑏 × 𝑏 = 𝑎 × 𝑏3
指数
底
指数の定義：
指数の足し算： 𝑎2
× 𝑎3
= 𝑎2+3
= 𝑎5
𝑎5
÷ 𝑎2
= 𝑎5−2
= 𝑎3指数の引き算：
𝑎−𝑏
=
1
𝑎 𝑏負数の指数：
分数の指数：
𝑎0 = 1指数が0のとき：
𝑎 𝑐/𝑏
=
𝑏
𝑎 𝑐
第2章 基礎数学 第1回 金利・指数・対数
Point!!

27. 指数について問題を解こう
① ＞ ②指数 ＞ ③ ＞ ④
Work!
（1）𝑎 × 𝑎 × 𝑏 × 𝑐 × 𝑐 × 𝑐 を指数で簡潔に表せ。
（2）𝑎3 × 𝑎5 ÷ 𝑎4 の式を簡潔にせよ。
（3）1億円は1円の何倍か。10を底とした指数で表せ。
（4）8−1/3 はいくつか？
Question!
第2章 基礎数学 第1回 金利・指数・対数

28. 指数について問題を解こう
① ＞ ②指数 ＞ ③ ＞ ④
Work!
（1）𝑎 × 𝑎 × 𝑏 × 𝑐 × 𝑐 × 𝑐 を指数で簡潔に表せ。
⇒ 𝑎2
× 𝑏 × 𝑐3
（2）𝑎3 × 𝑎5 ÷ 𝑎4 の式を簡潔にせよ。
⇒ 𝑎3+5−4 = 𝑎4
（3）1億円は1円の何倍か。10を底とした指数で表せ。
⇒ 108倍
（4）8−1/3 はいくつか？
⇒
1
81/3 =
1
3
8
=
1
2
Answer!
第2章 基礎数学 第1回 金利・指数・対数

29. 複利の式を指数で表そう！
① ＞ ②指数 ＞ ③ ＞ ④
Work!
元本が100万円、金利が複利で年2%の場合、
（1）3年後の元本を求める式を指数を用いて書け。
（2）n年後の元本を求める式を指数を用いて書け。
Question!
第2章 基礎数学 第1回 金利・指数・対数

30. ① ＞ ②指数 ＞ ③ ＞ ④
Work!
Answer!
元本が100万円、金利が複利で年2%の場合、
（1）3年後の元本を求める式を指数を用いて書け。
⇒ 100万円 × 1 + 0.03 × 1 + 0.03 × 1 + 0.03
= 100万円 × (1 + 0.03)3
（2）n年後の元本を求める式を指数を用いて書け。
⇒ 100万円 × 1 + 0.03 𝑛
複利の式を指数で表そう！
第2章 基礎数学 第1回 金利・指数・対数

31. 100万円にするには、いくら預金すればいい？
① ＞ ②指数 ＞ ③ ＞ ④
Work!
複利で年2%の金利の預金をしたn年間した結果、
預金残高が100万円になりました。
（1）3年前の預金残高を求める式を指数を用いて書け。
（2）n年前にいくら預金して、100万円になったのか。指数を用いて書け。
Question!
第2章 基礎数学 第1回 金利・指数・対数

32. 100万円にするには、いくら預金すればいい？
① ＞ ②指数 ＞ ③ ＞ ④
Work!
複利で年2%の金利の預金をしたn年間した結果、
預金残高が100万円になりました。
（1）3年前の預金残高を求める式を指数を用いて書け。
⇒ 100万円 ÷ (1 + 0.02) ÷ (1 + 0.02) ÷ (1 + 0.02)
= 100万円 × (1 + 0.02)−3
（2）n年前にいくら預金して、100万円になったのか。指数を用いて書け。
⇒ 100万円 × (1 + 0.02)−𝑛
Answer!
第2章 基礎数学 第1回 金利・指数・対数

33. 指数のグラフを描いてみよう！
① ＞ ②指数 ＞ ③ ＞ ④
Work!
複利で年5%の金利の預金をしていたところ、
ある年に預金残高が100万円になっていたそうです。
このとき、
・n年前には預金残高はいくらだったのか？
・n年後には預金残高はいくらになるのか？
といったように、過去から未来にかけての預金残高を計算した上で、
5年前から5年後の範囲で各年の預金残高の推移を表す折線グラフを描け。
Question!
第2章 基礎数学 第1回 金利・指数・対数

34. 指数のグラフを描いてみよう！
① ＞ ②指数 ＞ ③ ＞ ④
Work!
Answer!
第2章 基礎数学 第1回 金利・指数・対数

35. ① お金の計算式
② 指数
③ 対数
④ まとめ
第2章 基礎数学
第1回 お金の計算式・指数・対数

36. 対数とは
① ＞ ② ＞ ③対数 ＞ ④
Lecture!
𝑙𝑜𝑔28 = 3
真数
底
対数
２を3回かけたら、3乗したらいくつになるかを表す23が指数というのに対して、
２を何回かけたら8になるのか、何乗したら8になるかを対数という。
上式の場合、「底を2とする8の対数は3である。」と言える。
対数の式の𝑙𝑜𝑔の右下の小さく書かれた数を底、右の普通のサイズの数を真数、
その解を対数と呼ぶ。
第2章 基礎数学 第1回 金利・指数・対数

37. 底は0より大きく、１でない値！
① ＞ ② ＞ ③対数 ＞ ④
Lecture!
𝑙𝑜𝑔1/28 = −3
𝑙𝑜𝑔−28
𝑙𝑜𝑔18
底は0より大きく、１でない値でなければなりません。
マイナスの値を入れた例をみると、
-2を３乗すると-8となってしまい、解けません。
また、0は基本、何乗しても0ですし、
（ただし※0の0乗のみは1とする意見が大勢を占める。）
1は何乗しても1ですよね。これらも解けません。
ただし、１より小さい値でも０より大きければ、
有利数であっても無理数であっても解くことができます。
また真数より大きい値が底となっても解けます。
𝑙𝑜𝑔18
𝑙𝑜𝑔648 = 1/2
第2章 基礎数学 第1回 金利・指数・対数

38. 真数も０より大きい値！
① ＞ ② ＞ ③対数 ＞ ④
Lecture!
𝑙𝑜𝑔21/2 = −1
𝑙𝑜𝑔20
𝑙𝑜𝑔21 = 0
また、真数も0より大きい値でなければなりません。
マイナスの値を入れた例をみると、
2を何乗してもマイナスにはならないので、解けません。
また、底に入る値に0は含まれず、
底を何乗しても0にはならないので、
真数が0の場合も解けません。
もし底が１より大きい値の場合、
真数が1より小さいと対数はマイナスになりますね。
𝑙𝑜𝑔2 − 8
第2章 基礎数学 第1回 金利・指数・対数

39. 元本がn倍になるいつ？
① ＞ ② ＞ ③対数 ＞ ④
Work!
金利が複利で年2%の場合、
（1）元本が2倍になるのは何年後か？対数で表せ。
（2）元本が1/2倍だったのは何年前になるか？対数で表せ。
Question!
第2章 基礎数学 第1回 金利・指数・対数

40. 元本がn倍になるいつ？
① ＞ ② ＞ ③対数 ＞ ④
Work!
Answer!
金利が複利で年2%の場合、
（1）元本が2倍になるのは何年後か？対数で表せ。
⇒ １年毎に元本が1.02倍になるため、
元本が２倍になるのは、 𝑙𝑜𝑔1.022年後
（2）元本が1/2倍だったのは何年前になるか？対数で表せ。
⇒ １年毎に元本が1.02倍になるため、
元本が1/2倍になるのは、𝑙𝑜𝑔1.021/2年後となるが、
そもそも（1）解答を利用すれば、 𝑙𝑜𝑔1.022年前
第2章 基礎数学 第1回 金利・指数・対数

41. ① お金の計算式
② 指数
③ 対数
④ まとめ
第2章 基礎数学
第1回 お金の計算式・指数・対数

42. 第1回 お金の計算式・指数・対数
・金融の世界でお金という概念を扱うにあたり最も基本となる、
金利の計算について概要を理解する。
・金利の計算をするにあたり理解しておかなければならない
指数という概念を学ぶ。
・指数と対になる、対数という概念を学ぶ。
Target! 今回の授業のねらい
① ＞ ② ＞ ③ ＞ ④まとめ第2章 基礎数学 第1回 金利・指数・対数

43. お金の計算式Lecture!
Point!! ・お金の価格ともいえる金利、
その金利から発生する利息の計算方法には単利と複利があります。
・単利は足し算のイメージ。
同じ金額の利息が元本に加算されていきます。
元本の推移をグラフで表すと直線を描きます。
・複利は掛け算のイメージ。
同じ倍率が元本に掛けられていきます。
元本の推移をグラフで表すと曲線を描きます。
第2章 基礎数学 第1回 金利・指数・対数 ① ＞ ② ＞ ③ ＞ ④まとめ

44. 指数のまとめLecture!
𝑎 × 𝑏 × 𝑏 × 𝑏 = 𝑎 × 𝑏3
指数
底
指数の定義：
指数の足し算： 𝑎2
× 𝑎3
= 𝑎2+3
= 𝑎5
𝑎5
÷ 𝑎2
= 𝑎5−2
= 𝑎3指数の引き算：
𝑎−𝑏
=
1
𝑎 𝑏負数の指数：
分数の指数：
𝑎0 = 1指数が0のとき：
𝑎 𝑐/𝑏
=
𝑏
𝑎 𝑐
第2章 基礎数学 第1回 金利・指数・対数
Point!!
① ＞ ② ＞ ③ ＞ ④まとめ

45. 対数とはLecture!
𝑙𝑜𝑔28 = 3
真数
底
対数
２を3回かけたら、3乗したらいくつになるかを表す23が指数というのに対して、
２を何回かけたら8になるのか、何乗したら8になるかを対数という。
上式の場合、「底を2とする8の対数は3である。」と言える。
対数の式の𝑙𝑜𝑔の右下の小さく書かれた数を底、右の普通のサイズの数を真数、
その解を対数と呼ぶ。
① ＞ ② ＞ ③ ＞ ④まとめ第2章 基礎数学 第1回 金利・指数・対数