Dokumen ini membahas tentang probabilitas dan statistika, termasuk konsep kejadian independen, saling bertentangan, bersyarat, dan teorema Bayes. Beberapa contoh soal juga diberikan untuk mendemonstrasikan penerapan konsep-konsep tersebut dalam menghitung probabilitas kejadian tertentu. Teorema Bayes digunakan untuk menghitung kembali probabilitas awal berdasarkan informasi probabilitas kejadian selanjutnya.

1. Latihan Soal-Soal
Probabilitas
Dr. Nur Abdillah Siddiq
Subbab kejadian
Meeting #2 – Probability and Statistics
Department of Nuclear Engineering and Engineering Physics
Universitas Gadjah Mada

2. Department of Nuclear Engineering and Engineering Physics | Universitas Gadjah Mada
Kejadian suatu ASMARA
A mencintai B, ada berapa kemungkinan kejadian?
1. A cinta, B biasa saja
2. A cinta, B malah benci
3. A cinta, B juga cinta
4. B sudah cinta/benci, sebelum A cinta
Kejadian independen/bebas
Kejadian saling bertentangan/lepas
Kejadian bersyarat
Teorema Bayes

3. Department of Nuclear Engineering and Engineering Physics | Universitas Gadjah Mada
Kejadian Saling Bertentangan/Lepas
A terjadi, B malah tidak terjadi, dan
sebaliknya
P(A∪B)=P(A)+P(B)

4. Department of Nuclear Engineering and Engineering Physics | Universitas Gadjah Mada
Kejadian Independen/Bebas
A terjadi, tapi tidak dipengaruhi B,
dan sebaliknya.
P(A∩B)=P(A)∙P(B)

5. Department of Nuclear Engineering and Engineering Physics | Universitas Gadjah Mada
Contoh soal
Dalam sebuah judi Internasional, sebuah dadu dilempar 2 kali, andaikan
A = lemparan I jatuh angka genap
B = Lemparan I jatuh angka 5 dan lemparan II jatuh angka ganjil
C = Lemparan II jatuh angka ≥ 3
D = Jumlah angka yang nampak pada kedua lemparan sama dengan 5
• Taruhan slot X, kejadiannya A dan B
• Taruhan slot Y, kejadiannya A dan C
• Taruhan slot Z, kejadiannya B dan D
Jika pemenangnya mendapatkan 1 milyar rupiah dalam 1 kali taruhan, pada
slot berapakah hendaknya bertaruh?

6. Department of Nuclear Engineering and Engineering Physics | Universitas Gadjah Mada
Jawaban
Slot X, hubungan kejadian A dan B  Saling bertentangan/lepas (A∪B)
Slot Y, hubungan kejadian A dan C  Independen (A∩C)
Slot Z, Hubungan kejadian B dan D  Saling bertentangan/lepas (A∪B)
N(S) = 36 (Semesta 1 koin dilempar dua kali)
N(A) = 18  P(A) = 18/36 = ½
N(B) = 3  P(B) = 3/36 = 1/12
N(C) = 24  P(C) = 24/36 = 2/3
N(D) = 4  P(D) = 4/36 = 1/9
P(A∪B) = P(A) + P(B) = 21/36
P(A∩C) = P(A) ∙ P(C) = 2/6 = 12/36
P(B∪D) = P(B) + P(D) = 7/36
Hendaknya
bertaruh di slot X

7. Department of Nuclear Engineering and Engineering Physics | Universitas Gadjah Mada
Kejadian bersyarat
A akan terjadi jika B telah terjadi
P(A|B)=
𝐏(𝑨∩𝐁)
𝐏(𝐁)

8. Department of Nuclear Engineering and Engineering Physics | Universitas Gadjah Mada
Contoh soal
Uang sebanyak 50 lembar diberi nomor 1 hingga 50.
Dari tumpukan ini diambil secara random dua lembar
uang berturut-turut tanpa pengembalian. Jika nomor
uang pengambilan pertama habis dibagi 8 dan nomor
uang pengambilan kedua habis dibagi 4, berapakah
probabilitas hal tersebut akan terjadi?

9. Department of Nuclear Engineering and Engineering Physics | Universitas Gadjah Mada
Jawaban
Bisa dibagi 4 jika sebelumnya bisa dibagi 8
A = Nomor uang pengambilan kedua habis dibagi 4
B = Nomor uang pengambilan pertama habis dibagi 8
P(B) = 6/50
P(A∩B) = 6/50 . 11/49 = 33/1225
P(A|B)=
P(A∩B)
P(B)
=
33/1225
6/50
= 11/49

10. Department of Nuclear Engineering and Engineering Physics | Universitas Gadjah Mada
Teorema Bayes
H1 H2 H3
E
Misalkan ada kejadian H1,H2,… Hn yang saling bertentangan, dan misalkan ada E
kejadian dalam S dengan P(E) ≠ 0, maka jika diambil n=3
E = (E∩H1)∪(E∩H2)∪(E∩H3)
P(E)= P(E∩H1)+ P(E∩H2)+ P(E∩H3)
P(E∩Hn)=P(Hn).P(E|Hn)
Untuk n = 1,2,3 maka
P(E)= P(H1).P(E|H1)+ P(H2).P(E|H2)+ P(H3).P(E|H3)
P(E)= P(Hn).P(E|Hn) maka:
P(Hn|E)=P(Hn∩E)/P(E) =
P(Hn).P(E|Hn)
P(Hn).P(E|Hn)
Kondisi yang mempertanyakan bagaimana cara menghitung
probabilitas dari kejadian awal jika justru diketahui probabilitas
dari kejadian-kejadian berikutnya.

11. Department of Nuclear Engineering and Engineering Physics | Universitas Gadjah Mada
Contoh soal
Diketahui 3 wadah masing-masing berisi perhiasan
Wadah A: 1 perak, 2 emas, 3 platina
Wadah B: 2 perak, 1 emas, 1 platina
Wadah C: 4 perak, 5 emas, 3 platina
Satu wadah diambil secara acak dan kemudian diambil 2
perhiasan secara satu persatu, ternyata 2 perhiasan tersebut
adalah satu perak dan satunya platina. Berapa probabilitasnya
2 perhiasan tersebut berasal dari wadah A?

12. Department of Nuclear Engineering and Engineering Physics | Universitas Gadjah Mada
Jawaban
Misalnya kejadian:
E = kejadian terambilnya 2 perhiasan (1 perak, 1 platina)
Ha = wadah A terambil; Hb= wadah B terambil; Hc = wadah C terambil
Maka
P(Ha)=P(Hb)=P(Hc) = 1/3
P(E|Ha)=1/6 . 3/5 + 3/6 . 1/5 = 1/5
P(E|Hb)=2/4 . 1/3 + 1/4 . 2/3 = 1/3
P(E|Hc)=4/12. 3/11 + 3/12.4/11=2/11
Sehingga probabilitas 2 perhiasan berasal dari wadah A adalah:
P(Ha|E) =
1/3 . 1/5
1/3 . 1/5 + 1/3 . 1 / 3 + 1/3 . 2/11
=
33
118

13. Department of Nuclear Engineering and Engineering Physics | Universitas Gadjah Mada
Aplikasi Lebih Lanjut dari Teorema Bayes
Dan ribuan artikel ilmiah yang
membahas penerapan teorema Bayes…

14. Department of Nuclear Engineering and Engineering Physics | Universitas Gadjah Mada
Aplikasi Lebih Lanjut dari Teorema Bayes

15. Department of Nuclear Engineering and Engineering Physics | Universitas Gadjah Mada
Aplikasi Lebih Lanjut dari Teorema Bayes

16. Department of Nuclear Engineering and Engineering Physics | Universitas Gadjah Mada
Andakah orang pertama yang
menerapkan teorema Bayes
untuk alat diagnosis COVID-19?

17. Thank you
Meeting #2– Stochastic and Statistics
Department of Nuclear Engineering and Engineering Physics
Universitas Gadjah Mada