Integral Permukaan

6,165 views

Published on

0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
6,165
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
61
Actions
Shares
0
Downloads
222
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Integral Permukaan

  1. 1. KALKULUS LANJUTINTEGRAL PERMUKAAN
  2. 2. KALKULUS LANJUT PENDAHULUAN1.Latar BelakangUntuk memenuhi kebutuhan dengan memperkaya teori integralmelalui pengenalan bagian permukaan sebagai domain, dimanapermukaan-permukaan tersebut dianggap melekat dalam ruangtiga dimensi.2.TujuanUntuk mengkaji materi mengenai integral permukaan,mengetahui bagaimana aplikasi dari integral permukaan, sertauntuk memenuhi tugas matakuliah kalkulus lanjut
  3. 3. KALKULUS LANJUT PENDAHULUAN3.Ruang LingkupMengenai integral permukaan, contoh penyelesaian masalah-masalah yang berkaitan dengan integral permukaan, danaplikasi integral permukaan dalam kehidupan sehari-hari.4.Manfaat1. Dapat memahami materi mengenai integral permukaan2. Dapat mengetahui bahwa integral permukaan memiliki peran penting dalam kehidupan sehari-hari.
  4. 4. KALKULUS LANJUT TINJAUAN PUSTAKA Definisi Pembahasan Contoh soal dan penyelesaianAplikasi yang berkaitan dengan integral permukaan
  5. 5. KALKULUS LANJUT DefinisiPerhatikan Gambar
  6. 6. KALKULUS LANJUT DefinisiF(x,y) atau g (x,y,z) = 0
  7. 7. KALKULUS LANJUT PembahasanSatuan n di sebarang titik dari S disebutsatuan normal positif jika arahnya ke atas
  8. 8. KALKULUS LANJUT PembahasanBerkaitan dengan permukaan kecil dS daripermukaan S dapat dibayangkan adanya vectordS yang besarnya sama dengan dS dan arahnyasama dengan n.Maka : dS = n dS
  9. 9. KALKULUS LANJUT PembahasanIntegral Permukaan yang disebut flux dari Aterhadap S. : A.ds A.n ds sIntegral permukaan lainnya adalah : dS , n dS A x dS ,φ = Skalar fungsi
  10. 10. KALKULUS LANJUT Pembahasanjika F adalah tegak lurus ( normal ) terhadapbidang singgung ( dan karenanya terhadap S )persamaan vektor satuan berlaku F r r r r Sehingga F x y v1 v2 F Fx i Fy j Fz k
  11. 11. KALKULUS LANJUT PembahasanMenghitung integral permukaan akan lebihsederhana dengan memproyeksi-proyeksikannya.Misal :S mempunyai proyeksi R pada bidang xy,  dx dyMaka ˆ A . n dS A.n s s n.k
  12. 12. KALKULUS LANJUT PembahasanDiproyeksikan pada bidang xz dx dz A . n dS A.n s s n. jDiproyeksikan pada bidang yz dy dz A . n dS A.n s s n .i
  13. 13. KALKULUS LANJUT Contoh SoalHitunglah A . n dS dengan A xy ˆ x 2 ˆj (x z) k i ˆ sdan S adalah bagian dari bidang 2x + 2y + z = 6yang terletak dikuadran pertama dan n unit vektortegak lurus S
  14. 14. KALKULUS LANJUT PenyelesaianJawabNormal pada S mempunyai persamaan : ( 2x 2y z 6) 2i 2j k 2i 2j k 2 2 1n= = i j k 22 22 12 3 3 3A.n= { xy i x j (x 2 z) k } = 2 i 2 j 1 k 3 1 [ 2xy 2x 2 ( x z)] 3 1 [ 2xy 2x 2 x 2y 6 ] 3
  15. 15. KALKULUS LANJUT Penyelesaian  dx dy ˆ A . n dS A.ns s n.k  1 dx dy ˆ A . n dS ( 2xy - 2x 2 - x - 2y 6 )s s 3 n.k  1 dx dy ˆ A . n dS ( 2xy - 2x 2 - x - 2y 6 )s 3 R 1 3 3 x 3 ( 2xy 2x 2 x 2y 6 ) dydx 0 y 0 3 3- x (xy2 2x 2 y xy y 2 6y ) 0 dx 0 27 6,75 4
  16. 16. KALKULUS LANJUT SoalBagaimana dengan yang ini ??Hitunglah A . n dS dengan A 18z ˆ 12 ˆ 3y k i j ˆ sdan S adalah bagian dari bidang 2x + 3y + 6z =12yang terletak di kuadran pertama.
  17. 17. KALKULUS LANJUT Aplikasi Integral Permukaan1. Massa shell (massa suatu permukaan) massa total shell diungkapkan melalui integral permukaan fungsi skalar dengan rumus : m ( x, y, z )dS
  18. 18. KALKULUS LANJUT Aplikasi Integral Permukaan2.pusat massa dan momen inersia dari shellfungsi kepadatan kontinu µ(x,y,z) Koordinat pusatmassa dari shell yang didefinisikan oleh rumus M yz M xz M xy Xc , yc , zc , m m m Momen inersia dari cangkang tentang xy-, yz, dan xz-pesawat didefinisikan oleh rumus 2 2 2Ix z ( x, y, z)dS , I y ( x ( x, y, z)dS , I z y ( x, y, z)dS s
  19. 19. KALKULUS LANJUT Aplikasi Integral Permukaan 3.Gaya gravitasi dan Gaya tekanan Misal m menjadi massa di titik (x 0, y 0, z 0) luar permukaan S Kemudian gaya tarik-menarik antara permukaan S dan massa m diberikan oleh r F Gm ( x, y , z ) 3 dS s rdimana r ( x x0 , y y0 , z z0 )G =konstanta gravitasi , ( x, y, z ) =fungsi kepadatan
  20. 20. KALKULUS LANJUT Aplikasi Integral Permukaan4. Aliran fluida dan aliran massa seluruh permukaanMenurut definisi, tekanan diarahkan ke arah yangnormal S di setiap titik. Oleh karena itu, dapatditulis F p(r )d S p ndS s s
  21. 21. KALKULUS LANJUT Aplikasi Integral Permukaan5. Muatan listrik didistribusikan melalui permukaan •Cairan Flux dan Flux Massa   v (r )dS s •Permukaan Mengisi Q ( x, y )dS s
  22. 22. KALKULUS LANJUTAplikasi Integral Permukaan6.Hukum Gauss   D.dS Qi s i   Dimana D 0 E, E adalah besarnya kekuatanmedan listrik F adalah permitivitas ruang bebas. 12 0 8,85 10 m
  23. 23. KALKULUS LANJUT Contoh Soal AplikasiMengevaluasi kekuatan tekanan yang bekerjapada bendungan sketsa pada Gambar, yangmempertahankan reservoir air lebar W dankedalaman H.
  24. 24. KALKULUS LANJUT Penyelesaian Soal AplikasiJawab :Di bawah kondisi kesetimbangan hidrostatik,tekanan pengukur pada permukaan bendungantergantung pada z diberikan oleh rumusp( z ) g ( H z)  W H  z2 H gWH 2 F pndS g (H z ).( i )dydz g ( i).W . Hz i s 0 0 2 0 2  Vektor menunjukkan arah i gaya F ,nilai absolut gaya :  2 gW H F 2
  25. 25. KALKULUS LANJUT Daftar PustakaDanang-Mursita. 2007. Matematika Dasar.Bandung : Rekayasa BandungSpiegel Phd,MR, Wrede Phd,R.2006.Kalkulus Lanjut.Jakarta : ErlanggaWikipedia. 2012. http://www.integral-garis-dan-permukaan.ac.idTanggal Akses : 5 Desember pukul 16.51Wikipedia. 2013. http://www.math24.net/physical-application-of-surfuce-integrals.html Tanggal Akses : 1Januari pukul 14.16Wikipedia. 2012. http://www.Sub_sub_17-5_Integral_Permukaan.ac.idTanggal Akses : 5 Desember pukul 16.38

×