Psikologi Pendidikan Matematika

1. 1
Tugas 1
KEBUTUHAN AKAN BILANGAN BARU
(Disusun dalam rangka memenuhi
tugas mata kuliah Psikologi Pendidikan Matematika)
Disusun Oleh: Kelompok VII
Kelas 02
1. MUH. AFIF WARDIMAN 161050701023
2. MUH. ALFIANSYAH 161050701024
PENDIDIKAN MATEMATIKA
PROGRAM PASCASARJANA
UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR
MAKASSAR
2016

2. 2
A. Pengertian Pecahan
Ditingkat sekolah dasar kelas satu dan dua siswa mempelajari konsep
bilangan yang dapat digunakan untuk merepresentasikan benda-benda yang
berbentuk utuh. Sehingga, yang dipelajari adalah konsep bilangan cacah atau
bilangan bulat positif. Konsep pecahan muncul ketika ternyata dalam kehidupan
sehari-hari ada benda-benda yang dapat disajikan tidak dalam bentuk utuh.
Misalnya, ketika ada sebuah kue tart yang akan dimakan oleh sebuah keluarga
yang terdiri dari empat orang dan setiap orang mendapat bagian kue tart yang
sama banyak. Maka, masing-masing anggota keluarga akan mendapat bagian kue
tart secara tidak utuh yaitu masing-masing orang medapat seperempat bagian dari
kue tart (Rachmiati, 2011).
Pecahan adalah salah satu konsep yang mendasar dalam matematika.
Menurut Rachmiati (2011) pecahan diartikan sebagai banyaknya bagian
berukuran sama dari beberapa bagian yang menyusun sesuatu yang utuh atau
perbandingan bagian yang sama terhadap keseluruhan. Menurut Karim (Mayang,
2014) pecahan adalah (1) perbandingan bagian yang sama dari suatu benda
terhadap keseluruhan benda tersebut. Maksudnya suatu benda dibagi menjadi
beberapa bagian yang sama maka perbandingan setiap bagian dengan keseluruhan
bendanya menciptakan lambang suatu pecahan. (2) perbandingan himpunan
bagian yang sama dari suatu keseluruhan himpunan terhadap keseluruhan
himpunan semula. Maksudnya suatu himpunan dibagi atas himpunan yang sama
maka perbandingan setiap bagian yang sama terhadap keseluruhan himpunan
semula akan menciptakan lambang dasar suatu pecahan.
Menurut Sugiarto (Mayang, 2014) pecahan saat ini diperkenalkan sebagai
hal baru yaitu bilangan yang digunakan untuk menyatakan bagian-bagian benda.
Jika benda dibagi-bagi menjadi beberapa bagian yang sama. Lebih lanjut, menurut
Suyati (Mayang, 2014) menyatakan bahwa pecahan terjadi karena suatu benda
dibagi menjadi bagian sama besar yang bagian-bagian itu mempunyai nilai pecah.
Jadi, dapat disimpulkan bahwa pecahan merupakan bagian dari sesuatu yang utuh.
Sementara menurut (Sukayati, 2003) pecahan merupakan himpunan bagian dari
bilangan rasional.

3. 3
Umumnya digunakan istilah pemotongan atau pemisahan sebagai cara
memecah suatu obyek ke dalam bagian-bagian.
Gambar di bawah ini menunjukkan suatu obyek standard
Gambar di bawah ini menunjukkan obyek yang dipotong ke dalam lima bagian
Cara pemotongan di atas tidak menggunakan pengukuran, karena kita tidak
mengetahui berapa besar potongan-potongannya, dan kita tidak dapat
menghitungnya apabila besar potongannya tidak sama.
Jika kita memotong obyek-obyek standard ke dalam potongan yang sama,
berapa besar potongan-potongan itu selanjutnya akan tergantung pada berapa
banyaknya potongan yang ada. Jenis pemotongan pada obyek standard ini disebut
pembagian; potongan-potongan yang sama akan disebut bagian-bagian, dan
ukuran dari bagian-bagian itu dinyatakan dengan berapa banyak bagian obyek
standard yang telah dibagi. Berikut ini akan ditunjukkan obyek standard yang
dibagi ke dalam bagian yang sama:
Obyek standar yang dibagi ke dalam lima bagian
Obyek standar yang dibagi ke dalam delapan bagian
Obyek standar yang dibagi ke dalam tiga bagian
Gambar di bawah ini menunjukkan hasil pembagian ke dalam delapan bagian, dan
kemudian menggabungkan tiga dari bagian itu.
Kita menyebut bagian pecahan di atas tiga dari delapan bagian atau secara singkat
disebut tiga per delapan.

4. 4
Satu bagian pecahan adalah bagian yang diperoleh dengan dua kegiatan
yaitu pembagian dan penggabungan. Pengabstraksian yang biasanya terjadi dari
kedua operasi tersebut diperoleh tiga dari delapan bagian sebagai hasil operasi
ganda matematika (pembagian dan penggabungan) yang disebut suatu pecahan.
Notasi matematika untuk hasil operasi ganda tersebut adalah
8
3
(dibaca
sebagai tiga dari delapan). Karena angka di bawah garis menyatakan nama dari
bagian-bagian yang diwakili, apakah itu lima bagian, delapan bagian, tiga bagian
dan lain-lain inilah yang disebut penyebut (denominator) dalam pecahan.
Sedangkan angka di atas garis menyatakan berapa banyak bagian yang
digabungkan disebut dengan pembilang (numerator).
Notasi
8
3
biasa kita baca dari atas ke bawah dan sering ditulis sebagai 3/8
untuk menyesuaikan dengan pencetakan atau pengetikan, hal ini memberi kesan
bahwa penggabungan yang dilakukan pertama, sedangkan pada materi
sebelumnya pertama-tama kita membaginya dalam 8 bagian dan kemudian
menggabungkan 3 dari 8 bagian. Oleh karena itu terlihat bahwa hal ini bersifat
komutatif, yaitu penggabungan lalu pembagian. Hasil yang diperoleh sama
apapun yang dikerjakan terlebih dahulu. Jadi notasi
8
3
boleh diambil sebagai
pengenalan secara keseluruhan dari dua kemungkinan urutan operasi ganda
matematika.
Obyek standar:
Membagi ke dalam delapan bagian:
Menggabung tiga dari bagian-bagian perdelapan itu: hasilnya tiga perdelapan
bagian dari obyek:

5. 5
Cara lain, mulai dengan obyek standar:
Gabungkan tiga obyek standar:
Bagi ke dalam delapan bagian: hasilnya seperdelapan bagian dari tiga obyek:
Kecuali untuk susunannya (yang tidak mempengaruhi kuantitas), bagian
yang diarsir adalah sama seperti sebelumnya. Jadi pecahan
8
3
mewakili ( : 8 x 3 )
seperti dalam diagram pertama terdahulu, dan ( x 3 : 8 ) seperti dalam diagram
kedua. Hal ini menjadi alasan untuk membaca
8
3
sebagai tiga dari delapan,
daripada tiga perdelapan yang mengakibatkan hanya yang pertama dari alternatif
urutan itu.
B. Pecahan Equivalen
Pecahan senilai disebut juga pecahan ekuivalen, pecahan seharga atau
pecahan yang sama. Pecahan ini termasuk pecahan sederhana yang mudah.
Dengan menggunakan bentuk operasi ganda yang disebut pecahan, dapat
diperoleh himpunan-himpunan pecahan yang ekuivalen, dan suatu relasi
ekuivalen antara pecahan-pecahan itu.
Pecahan Wujudnya
3
2

6. 6
6
4
9
6
12
8
dan seterusnya, polanya adalah jelas.
Meskipun pecahan-pecahan itu sendiri berbeda, pecahan-pecahan itu sama dalam
kualitas fisik apapun yang diamati. Jika diterapkan kegiatan yang berkaitan
dengan pembagian dan penggabungan terhadap suatu obyek standar menghasilkan
bagian-bagian obyek yang sesuai, pecahan-pecahan ,...
12
8
,
9
6
,
6
4
,
3
2
menampilkan
nilai yang sama. Dalam hal ini pecahan-pecahan tersebut adalah ekuivalen, dan
dapat dikumpulkan bersama kedalam kelas ekuivalen






,...
12
8
,
9
6
,
6
4
,
3
2
Dengan cara yang sama dapat diperoleh himpunan lain tentang pecahan yang
ekuivalen. Sebagai contoh:
Pecahan Wujudnya
2
1
4
2
6
3
8
4
dst dst

7. 7
Himpunan pecahan yang ekuivalen:






,...
8
4
,
6
3
,
4
2
,
2
1
Contoh lain tanpa diagram:






,...
32
20
,
24
15
,
16
10
,
8
5
Tidak hanya pola dari setiap kelas yang ekuivalen ini yang jelas tetapi metode
umum untuk membentuk pecahan ekuivalen mulai muncul.
Mulai dengan pecahan
12
9
Menggandakan bilangan atas dan bawah
24
18
Melipattigakan bilangan atas dan bawah
36
27
dan seterusnya
Kelas ekuivalennya:






,...
36
27
,
24
18
,
12
9
Secara umum, jika a, b, dan k adalah bilangan asli maka pecahan 
b
a
kb
ka
.
Karena
b
a
kb
ka
 , dapat ditentukan pecahan lain yang ekuivalen dengan pecahan
yang diberikan, dengan cara mengalikan atau membagi pembilang dan penyebut
dengan bilangan asli yang sama. Yang pertama selalu dapat dilakukan; yang
terakhir dikenal sebagai aturan pencoretan. Sebagai contoh:
4
3
34
33
12
9




diperoleh pula:
8
6
24
23
4
3




jadi pecahan-pecahan ini masuk dalam kelas ekuivalen yang dapat ditulis:






,...
24
18
,
12
9
,
8
6
,
4
3
C. Bilangan Pecahan
Sifat tertentu dari suatu himpunan pecahan yang ekuivalen disebut
”bilangan pecahan”. Menurut Soewito (Maulida, 2010) bilangan pecahan adalah
bilangan yang lambanganya terdiri dari pasangan berurutan bilangan bulat dan

8. 8
dengan yang merupakan penyelesaian persamaan , ditulis
Sedangkan menurut Nugroho (Maulida, 2010), bilangan pecahan terdiri atas dua
bagian yaitu pembilangan dan penyebut, pembilang adalah bilangan yang berada
di bagian atas suatu pecahan, yang menunjukkan berapa besar bagian yang
digunakan. Penyebut adalah bilangan yang berada di bagian bawah suatu pecahan.
Dengan suatu satuan yang terkait, setiap pecahan dalam suatu kelas
ekuivalen mewakili ukuran yang sama; dan tanpa satuan, pecahan-pecahan
tersebut mewakili bilangan yang sama. Ini berarti bahwa kita dapat menggunakan
salah satu pecahan dari himpunan tersebut sebagai nama untuk banyaknya
anggota himpunan tersebut; dan meskipun hal ini dapat mengacaukan jika kita
tidak mengetahui apa yang sedang berlangsung, jika kita mengerti, ini akan
memberikan keuntungan yang lebih besar dalam perhitungan.
Jadi kita mengatakan tentang pecahan, dengan operasi ganda;
6
4
3
2

Jika kita mengatakan dalam bilangan pecahan;
6
4
3
2

Masing-masing menyatakan kelas ekuivalen yang sama. Oleh sebab itu tanda
ditengah menunjukkan bahwa keduanya mempunyai arti/maksud yang sama.
PENJUMLAHAN BILANGAN PECAHAN
Kita ingin menghubungkan operasi matematika dengan penggabungan.
Hal ini mudah dipahami jika bilangan-bilangan itu ditampilkan dengan pecahan
yang penyebutnya sama, kemudian kita gabungkan bagian obyek dari jenis yang
sama. tetapi kita harus ingat bahwa penjumlahan tidak berarti sama persis untuk
bilangan pecahan seperti pada bilangan asli. Untuk mengingatkan kita akan hal ini
kita menggunakan  untuk penjumlahan jenis baru dan + untuk penjumlahan
jenis lama.
Contoh: 
8
2
8
3
=
8
32 
=
8
5

9. 9
Jika penyebutnya tidak sama, hal ini dibantu dengan kemampuan merubah ke
dalam himpunan-himpunan ekuivalen. Karena semua pecahan dalam suatu
himpunan ekuivalen itu merupakan bilangan yang sama, kita dapat memilih salah
satu pecahan yang dianggap paling baik untuk suatu tujuan lain, dalam kasus ini
untuk perhitungan. Misalnya kita akan menjumlahkan:
9
3
4
2

Ubah menjadi pecahan ekuivalennya:
49
43
94
92





Yang beraku untuk bilangan-bilangan yang ekuivalen:
36
12
36
18

Sebagaimana sebelumnya. Untuk penyebut, kita pilih: 4 x 9 = 36
Sekarang kita dapat menjumlahkan
36
1218 
=
36
30
Tentunya ini tidak ada perbedaan dengan pecahan yang kita gunakan sebagai
pengganti, dengan syarat bahwa hal ini berlaku bagi bilangan asli dan mempunyai
penyebut-penyebut yang sama. Selanjutnya dicoba perhitungan dengan suatu cara
yang berbeda. Pertama kita akan mengubah:
9
3
4
2

Pecahan asal dengan pecahan ekuivalen =
33
31
22
21





Dengan menggunakan hukum pencoretan =
3
1
2
1


10. 10
Sekarang ditemukan =
23
21
32
31





Penyebut bersama yang lebih kecil =
6
2
6
3

Yaitu 2 x 3 sama =
6
23 
=
6
5
Jawaban ini kelihatan berbeda, tetapi
6
5
menyatakan bilangan pecahan yang sama
dengan
36
30
karena
36
30
=
66
65


=
6
5
.
Pembuktian secara umum tidaklah sukar tetapi memerlukan penggunaan aljabar.
PERKALIAN BILANGAN PECAHAN
Sampai saat ini kita belum mempunyai pengertian mengenai “perkalian”
dalam konteks baru tentang bilangan pecahan. Tentunya kita dapat memutuskan
untuk mengerjakan tanpa suatu pengertian, ada banyak system matematika yang
hanya mempunyai satu operasi. Tetapi kita tidak akan mengeneralisasikan sistem
bilangan asli secara lengkap, jadi kita harus mencoba. Kita juga dapat mencari
pengertian ”perkalian” yang memuaskan dalam matematika murni dan kemudian
melihat apakah ini memberikan suatu model yang bermanfaat untuk alam real 1;
atau kita dapat menggunakan keperluan terhadap model kerja yang memuaskan
untuk menghasilkan suatu pengertian, dan kemudian meneliti apakah hal itu
secara matematis dapat diterima. Kedua pendekatan ini mempunyai kebaikan.
Yang terakhir kurang abstrak yaitu salah satu yang akan kita gunakan disini.
Seperti biasa dimulai dengan obyek standar:
Selanjutnya obyek ini menggambarkan pecahan
3
2
Dalam bilangan asli, 4 x 3 bila diwujudkan dalam obyek-obyek fisik/berarti:

11. 11
Mulai dengan suatu himpunan 3-an
Dan menggabungkan 4 himpunan itu.
Sedangkan dalam bilangan pecahan
5
4
3
2

Dapat diartikan dengan bagian dua pertiga bagian dari suatu obyek
Dan ambil empat seperlimanya
Dalam bilangan asli menghitung 4 x 3 berarti ’menentukan banyaknya anggota
himpunan hasil’. Dalam bilangan pecahan menghitung
5
4
3
2
 dapat diartikan
menentukan berapa bagian pecahan dari obyek yang merupakan bagian obyek
hasil. Bagian obyek hasil ditunjukkan dengan daerah arsiran bersilang. Obyek asal
sekarang dibagi kedalam lima belas bagian ( ), dan daerah arsiran bersilang
menggabungkan 8 ( ) dari itu.

12. 12
Ini menunjukkan bahwa
15
8
53
42
5
4
3
2



 cara ini masuk akal untuk mengalikan
pecahan-pecahan itu; dalam arti bahwa hal ini memberikan model pengerjaan
yang baik untuk bagian dari obyek bagian. Hal ini juga memenuhi keperluan
untuk (i) dan (ii) di halaman 186 (buku asli) sebelumnya dengan sangat baik.
Kedua metode ini telah disepakati oleh para matematikawan untuk
penjumlahan dan perkalian bilangan-bilangan pecahan, kita menggunakan bahkan
tidak tahu bagaimana bentuk sampai pada metode ini disampaikan. Secara umum
dinyatakan jika a, b, c, d adalah bilangan asli maka metode untuk penjumlahan
adalah
d
ba
d
b
d
a 

Dan metode untuk perkalian adalah
db
ca
d
c
b
a



dimana  dan  mengacu pada operasi dalam bilangan pecahan, sedangkan + dan
x pada operasi penjumlahan dan perkalian pada bilangan asli.
Banyak yang belum diungkapkan mengenai bilangan pecahan. Teknik-
teknik untuk memanipulasi belum disistemasikan dan notasi desimal yang sangat
mempermudah manipulasi tersebut belum perlu. Tak satupun dari teknik-teknik
itu akan digunakan disini, karena tujuan yang diharapkan adalah lebih ke
pemahaman daripada ketrampilan perhitungan. Juga, belum diperiksa bahwa
bilangan pecahan memiliki lima sifat dari suatu sistem bilangan (dalam bab 9)
yang sangat penting. Ini seharusnya dikaitkan dengan perlakuannya yang bersifat
aljabar, hal ini ditempatkan didalam suatu lampiran dalam bab ini.
Pembaca yang sulit berpikir dalam istilah-istlah aljabar dapat
menggunakannya untuk lebih meyakinkan, karena sudah mempunyai ide-ide dan
hanya perlu meyakinkan bahwa sifat-sifat itu berlaku juga dalam bilangan
pecahan. Persoalan ketiga adalah apakah perluasan bilangan asli dan pecahan
dapat saling melengkapi. Hal terakhir ini akan dibahas dalam bab 12, dengan
bantuan ide-ide isomorfisma dan generalisasi matematika.

13. 13
CATATAN TAMBAHAN
Bilangan pecahan mempunyai lima sifat dari suatu sistem bilangan
Misalkan , sebarang bilangan asli
Lalu
b
a
dll, akan menunjukkan bilangan pecahan.
Komutatif terhadap penjumlahan.
Kita hanya dapat menjumlahkan jika penyebutnya sama,
d
ba
d
b
d
a 

d
ba 
 =
d
b
d
a

Sifat ini mengikuti sifat yang sesuai untuk bilangan asli, dan adalah benar sama
untuk semua sifat yang lain.
Assosiatif terhadap penjumlahan
d
cba
d
cba
d
c
d
ba
d
c
d
b
b
a )()()( 











= 








d
c
d
b
d
a
d
cb
d
a )(
Komutatif terhadap perkalian
b
a
d
c
bd
ac
db
ca
d
c
b
a







Assosiatif terhadap perkalian
fdb
eca
f
e
db
ca
f
e
d
c
b
a












)(
)(
= 











f
e
d
c
b
a
fd
ec
b
a
fdb
eca
)(
)(
Distributif perkalian terhadap penjumlahan
d
ba
y
x
d
b
d
a
y
x )( 







=
dy
bax

 )(
=
dy
bxax


=
dy
bx
dy
ax





= 












d
b
y
x
d
a
y
x

14. 14
IMPLIKASI DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA
1. Mengenal Konsep Pecahan
Kegiatan mengenal konsep pecahan akan lebih berarti bila didahului dengan
soal cerita yang menggunakan obyek-obyek nyata misalnya buah, kue dll. Peraga
selanjutnya dapat berupa daerah-daerah bangun datar beraturan misalnya persegi
atau lingkaran yang akan sangan membantu dalam mempergakan konsep pecahan.
Pecahan dapat diperagakan dengan cara melipat kertas berbentuk
lingkaran atau persegi, sehingga lipatnnya tepat menutupu satu sama lain.
Selanjutnya bagian yang dilipat dibuka dan diarsir sesuai bagian yang
dikehendaki, sehingga akan didapatkan gambar daerah seperti di bawah ini.
Pecahan dibaca setengah atau satu perdua atau seperdua. “1” disebut
sebagai pembilang yaitu merupakan bagian pembilang atau 1 bagian yang
diperhatikan dari bagian yang sama dari/secara keseluruhan. Peragaan tersebut
dapat dilanjutkan sebagai berikut:
2. Pecahan Senilai
Misalnya akan ditunjukkan contoh bahwa dengan menggunakan
tiga lembar kertas yang berbentuk persegipanjang dengan ukuran yang sama.
Anggap selembar kertas sebagai 1 bagian utuh. kertas pertama dilipat menjadi dua
bagian yang sama sehingga diperoleh . Kertas kedua dilipat menjadi dua bagian
yang sama, kemudian dilipat lagi menjadi dua, sehingga diperoleh . begitupun
untuk kertas ketiga dilipat menjadi dua bagian yang sama sebanyak tiga kali.
Kertas pertama yang dilipat menjadi dua bagian yang sama
dan diperoleh .

15. 15
Dari lipatan pertama dilipat lagi menjadi dua bagian yang
sama dan diperoleh .
Dari lipatan yang kedua lipat lagi menjadi
dua bagian yang sama dan diperoleh
Dari gambar di atas jelas bahwa senilai dengan dan atau .
Peragaan dilanjutkan untuk pecahan-pecahan yang lain sehingga akan tampak
pola hubungan kelipatan atau pembagian yang sama antara pembilang dan
penyebut.
3. Penjumlahan Pecahan
a. Penjumlahan pecahan yang penyebutnya sama
Misal:
b. Penjumlahan pecahan yang penyebutnya berbeda
Saat anak harus mempelajari materi ini, maka mereka harus diberikan
pengalaman-pengalaman dalam ilustrasi kehidupan sehari-hari. Sebagai contoh
dapat dikemukakan cerita berikut ini:
Adik mempunyai bagian dari cakenya di atas meja. Kemudian ibu
memberinya sepotong lagi yang besarnya bagian. Berapa kue adik sekarang.
Dari peragaan ini tampak bahwa hasil akhir adalah . Berarti .
Tampak pula bahwa . Sehingga .

16. 16
4. Perkalian Pecahan
Satu resep roti membutuhkan bagian coklat batangan. Jika kakak membuat
resep maka coklat yang dibutuhkan ... bagian.
Untuk mengkongkretkan masalah di atas dapat digunakan media kertas yang
mudah dilipat sebagai media individual.
Tahap 1
Kertas dilipat menjadi 5 bagian yang sama sesuai dengan penyebut dari
pecahan yang digunakan pada coklat batangan. Arsir tiga bagian dari lipatan
untuk membentuk pecahan .
Tahap 2
Lipat menjadi 2 bagian sama atau dari , maka akan terbentuk lipatan:
Tahap 3
Ikuti lipatan kecil tersebut sampai seluruh kertas membentuk lipatan kecil
yang sama. maka akan terbentuk 10 lipatan kecil, dan dari tersebut ternyata
sama dengan 3 lipatan kecil dari 10 lipatan atau (yang diarsir dobel).
Jadi, dari adalah atau

17. 17
DAFTAR PUSTAKA
Maulida, Naila. 2010. Meningkatkan Keterampilan Menghitung Bilangan Pecahan
Melalui Pendekatan Kontekstual pada Siswa Kelas IV SD Negeri
Cangkirangan Kecamatan Banyudono Kabupaten Boyolali Tahun
2009/2010. Skripsi tidak diterbitkan. Fakultas Keguruan dan Ilmu
Pendidikan Universitas Sebelas Maret.
Mayang, Nurhayati H. 2014. Upaya Meningkatkan Kemampuan Mengubah
Pecahan Biasa ke Desimal di Kelas V SDN 8 Limboto Barat Kabupaten
Gorontalo. Skripsi tidak diterbitkan. Jurusan Pendidikan Guru sekolah
Dasar, Fakultas Ilmu Pendidikan Universitas Negeri Gorontalo.
Rachmiati, Wida. 2011. Membangun Pemahaman Siswa SD terhadap Konsep
Pecahan dengan Pembelajaran Konstruktif. Primary, Vol 3, No.2, Hal:123-
200.
Skemp, Richard R. 1971. The Psychology of Learning Mathematics. Harmonds-
worth: Penguin Books.
Sukayati. 2003. Pecahan. Yogyakarta: Dapartemen Pendidikan Nasional,
Direktoral Jenderal Pendidikan Dasar dan Menengah Pusat Pengembangan
Penataan Guru (PPPG) Matematika.