Pecahan

6,262 views

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
6,262
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
88
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Pecahan

  1. 1. PELATIHAN SUPERVISI PENGAJARAN UNTUK SEKOLAH DASARTANGGAL 19 JUNI S.D. 2 JULI 2003DI PPPG MATEMATIKA YOGYAKARTAPPEECCAAHHAANNDisusun Oleh:Dra. Sukayati, M.Pd.DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONALDIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAHPUSAT PENGEMBANGAN PENATARAN GURU (PPPG) MATEMATIKAYOGYAKARTA2003
  2. 2. iDAFTAR ISIHalamanBILANGAN PECAH (PECAHAN ).................................................................... 1A. Pengertian Pecahan .......................................................................................... 11. Pecahan sebagai bagian yang berukuran sama dari yang utuh atau kese-luruhan ...................................................................................................... 12. Pecahan sebagai bagian dari kelompok-kelompok yang beranggotakansama banyak, atau juga menyatakan pembagian ...................................... 23. Pecahan sebagai perbandingan (rasio)...................................................... 2B. Mengenal Konsep Pecahan .............................................................................. 3C. Pecahan Senilai ................................................................................................ 41. Peragaan dengan benda kongkret ............................................................... 42. Peragaan dengan garis bilangan.................................................................. 53. Dengan memperluas pecahan ..................................................................... 6D. Membandingkan dan Mengurutkan Pecahan................................................... 71. Penanaman konsep...................................................................................... 72. Keterampilan/teknik cepat .......................................................................... 8E. Mengubah Bentuk Pecahan yang Satu ke Bentuk yang lain............................ 91. Mengubah pecahan biasa menjadi pecahan desimal................................... 92. Mengubah pecahan biasa menjadi persen atau sebaliknya......................... 103. Mengubah pecahan biasa menjadi pecahan campuran dan sebaliknya ...... 10F. Operasi pada Pecahan....................................................................................... 111. Penjumlahan................................................................................................ 112. Pengurangan................................................................................................ 143. Penjumlahan dan pengurangan pada pecahan campuran............................ 154. Pembelajaran perkalian pecahan yang berorientasi pada PAKEM ............ 175. Pembelajaran pembagian pecahan biasa yang berorientasipada PAKEM.............................................................................................. 30G. Terapan Perhitungan dengan Menggunakan Pecahan ..................................... 39H. Pecahan Sebagai Perbandingan (Rasio)........................................................... 40DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 44
  3. 3. ii
  4. 4. 1BILANGAN PECAH (PECAHAN)A. Pengertian PecahanPecahan yang dipelajari anak ketika di SD, sebetulnya merupakan bagian daribilangan rasional yang dapat ditulis dalam bentukbadengan a dan b merupakanbilangan bulat dan b tidak sama dengan nol. Secara simbolik pecahan dapat dinyata-kan sebagai salah satu dari: (1) pecahan biasa, (2) pecahan desimal, (3) pecahanpersen, dan (4) pecahan campuran. Begitu pula pecahan dapat dinyatakan menurutkelas ekuivalensi yang tak terhingga banyaknya:21 =846342 == = …. Pecahan biasaadalah lambang bilangan yang dipergunakan untuk melam-bangkan bilangan pecahdan rasio (perbandingan). Menurut Kennedy (1994: 425 - 427) makna dari pecahandapat muncul dari situasi-situasi sebagai berikut.1. Pecahan sebagai bagian yang berukuran sama dari yang utuh ataukeseluruhan.Pecahan biasa dapat digunakan untuk menyatakan makna dari setiap bagian dariyang utuh. Apabila ibu mempunyai sebuah roti yang akan diberikan kepada 4orang anggota keluarganya, dan masing-masing harus mendapat bagian yangsama, maka masing-masing anggota keluarga akan memperoleh41 bagian darikeseluruhan cake itu. Pecahan biasa41 mewakili ukuran dari masing-masingpotongan. Bagian-bagian dari sebuah pecahan biasa menunjukkan hakikat situasidimana lambang bilangan tersebut muncul. Dalam lambang bilangan41 , ”4”menunjukkan banyaknya bagian-bagian yang sama dari suatu keseluruhan (utuh)dan disebut ”penyebut”. Sedangkan ”1” menunjukkan banyaknya bagian yangmenjadi perhatian pada saat tertentu dan disebut pembilang.
  5. 5. 22. Pecahan sebagai bagian dari kelompok-kelompok yang beranggotakan samabanyak, atau juga menyatakan pembagian.Apabila sekumpulan obyek dikelompokkan menjadi bagian yang beranggotakansama banyak, maka situasinya jelas dihubungkan dengan pembagian. Situasidimana sekumpulan obyek yang beranggotakan 12, dibagi menjadi 2 kelompokyang beranggotakan sama banyak, maka kalimat matematikanya dapat 12 : 2 = 6atau21 × 12 = 6. Sehingga untuk mendapatkan21 dari 12, maka anak harusmemikirkan 12 obyek yang dikelompokkan menjadi 2 bagian yang beranggotakansama. Banyaknya anggota masing-masing kelompok terkait dengan banyaknyaobyek semula, dalam hal ini21 dari banyaknya obyek semula.Demikian juga bila sehelai kain yang panjangnya 3 m akan dipotong menjadi 4bagian yang berukuran sama, mengilustrasikan situasi yang akan menuntun kekalimat pecahan yaitu 3 : 4 atau43.3. Pecahan sebagai perbandingan (rasio)Hubungan antara sepasang bilangan sering dinyatakan sebagai sebuahperbandingan. Berikut diberikan contoh-contoh situasi yang biasa memunculkanrasio.• Dalam kelompok 10 buku terdapat 3 buku yang bersampul biru. Rasio bukuyang bersampul biru terhadap keseluruhan buku adalah 3 : 10 atau buku yangbersampul biru103 dari keseluruhan buku.• Sebuah tali A panjangnya 10 m dibandingkan dengan tali B yang panjangnya30 m. Rasio panjang tali A terhadap panjang tali B tersebut adalah 10 : 30 atau3010 atau panjang tali A ada31 dari panjang tali B.Dari ketiga situasi tersebut semuanya dikenalkan kepada siswa kita, denganurutan kelas yang berbeda. Untuk tahap pertama konsep pecahan dikenalkandengan memunculkan situasi yang pertama yaitu pecahan sebagai bagian dariyang utuh yaitu di kelas II.
  6. 6. 3B. Mengenal Konsep Pecahan.Kegiatan mengenal konsep pecahan akan lebih berarti bila didahului dengansoal cerita yang menggunakan obyek-obyek nyata misalnya buah : apel, sawo, tomat,atau kue: cake, apem, dan lain-lain. Peraga selanjutnya dapat berupa daerah-daerahbangun datar beraturan misalnya persegi, persegipanjang, atau lingkaran yang akansangat membantu dalam memperagakan konsep pecahan.Pecahan21 dapat diperagakan dengan cara melipat kertas berbentuk lingkaran ataupersegi, sehingga lipatannya tepat menutupi satu sama lain. Selanjutnya bagian yangdilipat dibuka dan diarsir sesuai bagian yang dikehendaki, sehingga akan didapatkangambar daerah yang diarsir seperti di bawah ini.yang diarsir adalah21yang diarsir adalah21yang diarsir adalah21Pecahan21dibaca setengah atau satu per dua atau seperdua. ″1″ disebut pembilangyaitu merupakan bagian pengambilan atau 1 bagian yang diperhatikan dari keselu-ruhan bagian yang sama. ″2″ disebut penyebut yaitu merupakan 2 bagian yang samadari keseluruhan.Peragaan tersebut di atas dapat dilanjutkan untuk pecahan an81,an41dansebagainya, seperti gambar di bawah ini.yang diarsir adalah41yang diarsir adalah42yang diarsir adalah83(dibaca seperempat atau (dibaca dua perempat) (dibaca tiga perdelapan)satu per empat)yang diarsir adalah41yang diarsir adalah42yang diarsir adalah83
  7. 7. 4Pecahan83dibaca tiga per delapan. ″3″ disebut pembilang yaitu merupakan 3 bagianyang diambil atau 3 bagian yang diperhatikan dari keseluruhan bagian yang sama. ″8″disebut penyebut yaitu merupakan 8 bagian yang sama dari keseluruhan.Selain melipat dan mengarsir pada kertas, peragaan dapat pula menggunakanpita atau tongkat yang dipotong dengan pendekatan pengukuran panjang, yang dapatpula untuk mengenalkan letak pecahan pada garis bilangan.Pita dipotong menjadi 2 bagian sama panjang untuk memperagakan pecahan .210211 =22Pengenalan letak pecahan pada garis bilangan tersebut sangat bermanfaat untukmencari pecahan yang senilai.C. Pecahan SenilaiPecahan senilai biasanya disebut juga pecahan ekivalen. Untuk menentukanpecahan yang senilai dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut.1. Peragaan dengan benda kongkret.Kita akan menunjukkan contoh bahwa844221== dengan menggunakan 3lembar kertas yang berbentuk persegipanjang. Anggap selembar kertas itusebagai 1 bagian utuh. Satu lembar kertas dilipat menjadi 2 bagian yang samasehingga diperoleh .21Kemudian 1 lembar yang lain dilipat menjadi 2 bagianyang sama, kemudian dilipat lagi menjadi 2, sehingga diperoleh .42Biladigambarkan lipatan-lipatan tersebut sebagai berikut.1 lembar kertas yang ke 1Dilipat menjadi 2 bagian yang samayang diarsir21
  8. 8. 51 lembar kertas yang ke 2Dari lipatan pertama dilipat lagi menjadi 2bagian sama.yang diarsir421 lembar kertas yang ke 3yang diarsir84yang diarsir84Dari gambar di atas jelas bahwa21senilai dengan .844221atau84dan42==Peragaan dilanjutkan untuk pecahan-pecahan yang lain sehingga akan tampakpola hubungan kelipatan atau pembagian yang sama antara pembilang danpenyebut.2. Peragaan dengan garis bilanganPecahan senilai dapat pula ditunjukkan dengan menggunakan alat peraga garisbilangan. Berikut ini ditunjukkan beberapa pecahan senilai dengan menggunakangaris bilangan, yang digambarkan pada kertas berpetak.00000Dari lipatan yang kedua dilipatlagi menjadi 2 bagian yang sama.atau626381828384858687188=616465166=414243144=3132133=21122=
  9. 9. 6Dengan menggunakan penggaris dapatlah diurutkan dari atas ke bawah danditemukan bahwa:84634221===8643,8241==6432,6231== 1 =8866443322==== dan seterusnya.3. Dengan memperluas pecahan.Pecahan yang senilai dengan41dapat diperoleh dengan jalan memperluas daripecahan41menjadi123,82dan seterusnya, dengan menggunakan alat peragatabel pecahan senilai yang diperoleh dari tabel perkalian.Tabel pecahan senilai× 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 1 2 3 4 5 6 7 8 9 102 2 4 6 8 10 12 14 16 18 203 3 6 9 12 15 18 21 24 27 304 4 8 12 16 20 24 28 32 36 405 5 10 15 20 25 30 35 40 45 506 6 12 18 24 30 36 42 48 54 607 7 14 21 28 35 42 49 56 63 708 8 16 24 32 40 48 56 64 72 809 9 18 27 36 45 54 63 72 81 9010 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100Dengan memperhatikan tabel di atas kita akan mencari12...41= =...... =...... .Ternyata terlihat bahwa28720512341 === dan sebagainya.Dari peragaan di atas dapat disimpulkan bahwa untuk mencari pecahan yangsenilai dapat dilakukan dengan cara mengalikan/membagi pembilang danpenyebutnya dengan bilangan yang sama, tapi tidak nol.123343141=××= atau sebaliknya .413:123:3123==Secara umum dapat ditulisd:bd:acbcaba=××=
  10. 10. 7Perlu pula ditunjukkan kepada siswa bahwa pecahan senilai dapat pula diman-faatkan untuk mempelajari antara lain:a. mengurutkan pecahanb. penjumlahan dan pengurangan pecahanD. Membandingkan dan Mengurutkan PecahanPada saat anak belajar membandingkan dan kemudian mengurutkan pecahan,mereka perlu pengalaman-pengalaman sehingga menghasilkan temuan-temuankhusus. Berikut disajikan alternatif pembelajaran dari kegiatan membandingkan danmengurutkan pecahan.1. Penanaman konsepa. Peragaan dengan menggunakan bangun-bangun geometriBangun-bangun geometri dapat dimanfaatkan sebagai alat untuk memban-dingkan dan mengurutkan pecahan biasa dan pecahan campuran. Bahan yangdigunakan harus mudah dilipat, diwarnai atau dipotong-potong untuk mengu-rutkan luasan dari bangun-bangun tersebut sehingga dapat dilihat urutan dariluasan bangun yang mewakili urutan dari bilangannya.Dari peragaan dapat diketahui bahwa bila bangun dipotong dan dibanding-bandingkan luasannya akan tampak bahwa21 <43 ;21 <8543 < 1 ;43 >85 dan sebagainya.Tentukan tanda (<, =, >) yang tepat untuk mengisi titik-titik dari411 …851yang diarsir 141 yang diarsir 185yang utuh sudah sama, sehingga yang dibandingkan tinggal yang tidak utuh41 …85 , dari gambar terlihat bahwa41 <85 . Jadi851411 <yang diarsir21 yang diarsir43yang diarsir851
  11. 11. 8b. Dengan peragaan pita atau kepingan-kepingan pecahan.Kepingan pecahan berguna untuk membandingkan pecahan biasaDari peragaan dan gambar siswa akan dapat membandingkan dan sekaligusmengurutkan bilangan-bilangan pecahan yang diinginkan.c. Dengan menyamakan penyebutnya.Kita bandingkan ,43dan32 dengan cara menyamakan penyebutnya ataumenentukan pecahan senilainya lebih dulu. Kegiatan ini akan lancar dilakukanoleh siswa bila penanaman konsep pecahan senilai pada bagian C dipahamidan telah dilatihkan keterampilannya oleh guru, yaitu menentukan ;12832=12943= . Setelah penyebutnya sama kita bandingkan pembilangnya. Karena9 > 8 maka .128129 > Jadi3243 > . Apabila siswa sudah mengenal KPK, makadapat ditunjukkan bahwa 12 adalah KPK dari penyebut 3 dan 4.2. Keterampilan/teknik cepatSetelah penanaman konsep dipahami oleh siswa, maka kegiatan keteram-pilan/teknik cepat perlu pula dilatihkan. Ada beberapa teknik cepat yang biasadilakukan.a. Bila pembilangnya sama.Dari pengalaman-pengalaman peragaan luasan maupun kepingan pecahandapat dilihat bahwa43 >63 >83 ,82624232 >>> . Sehingga dapatlah ditentukanbahwa pada pecahan positip, bila pembilangnya sama, maka pecahan yanglebih dari adalah pecahan yang penyebutnya angkanya bernilai lebih kecil.Sedangkan pada pecahan negatif akan sebaliknya.13131314141414161616161616181818181818181812121
  12. 12. 9b. Bila penyebutnya sama.Pecahan yang penyebutnya sama mudah dibandingkan melalui peragaan-pera-gaan luasan maupun kepingan-kepingan pecahan.Contoh..75dengan73Pada pecahan positip, bila penyebutnya sama, maka pecahan yang lebih dariadalah pecahan yang pembilangnya angkanya lebih dari yang lain.c. Bila pembilang dan penyebutnya tidak sama.Bila pembilang dan penyebutnya tidak sama, maka guru sering kali mengguna-kan cara silang. Hal ini dapat dibenarkan bila guru telah memberikan konsepatau nalarnya, sehingga siswa mengetahui alasan dari perkalian silang tersebut.Meskipun demikian perkalian silang ini semata-mata hanya teknik supayasiswa cepat dapat menentukan hasil.524352...43 → berarti208...2015sehingga 15 … 8, tanda yang tepat adalah”>”, maka5243 > .E. Mengubah Bentuk Pecahan yang Satu ke Bentuk yang lain1. Mengubah pecahan biasa menjadi pecahan desimal.Untuk mengubah pecahan biasa menjadi pecahan desimal, dicari dahulupecahan senilainya yang penyebutnya berbasis sepuluh (persepuluhan,perseratusan, perseribuan dan sebagainya).Contoh.a. 5,0525110521 =××== (dibaca nol koma lima)b. 25,02542511002541 =××== (dibaca nol koma dua lima)××15 8melihat peragaan gambarmelihat gambar
  13. 13. 10c. 375,010003751258125383==××= (dibaca nol koma tiga tujuh lima).2. Mengubah pecahan biasa menjadi persen atau sebaliknya.Persen artinya perseratus, sehingga nama pecahan biasa yang penyebutnyaseratus dapat diartikan dengan nama persen dengan lambangnya untuk persenadalah %. Dengan demikian untuk mengubah pecahan biasa menjadi persen,dicari lebih dahulu pecahan senilainya yang penyebutnya 100.Contoh.a. %751007525425343==××=b. %401004020520252==××=Sebaliknya untuk mengubah persen menjadi pecahan biasa, dapat dilakukandengan mengubah persen menjadi perseratus, yang selanjutnya disederhanakan.Contoh.a. 25% =4125:10025:2510025==Catatan.Apabila siswa sudah mengenal FPB, dapat diterapkan kegunannya untuk me-nyederhanakan pecahan.b. 12,5% = .815,12:1005,12:5,121005,12==3. Mengubah pecahan biasa menjadi pecahan campuran dan sebaliknya.Mengubah pecahan biasa (yang pembilangnya lebih dari penyebutnya) men-jadi pecahan campuran dilakukan dengan cara peragaan dan pembagian bersusunsehingga didapat hasil bagi dan sisa.Contoh.Ubahlah pecahan campuran.pecahanmenjadi514Jawab.Dengan peragaan542514 =
  14. 14. 11Hasil bagi (14:5) = 2, sisanya 4.Sehingga .542514=Untuk mengubah pecahan biasa menjadi pecahan campuran dapat juga dengancara pembagian bersusun sebagai berikut.2410145Sehingga diperoleh .542514= Secara umum dapat ditulis=bahasil bagi (a:b) + .ba;bsisa>Bila kita mau mengubah pecahan campuran menjadi pecahan biasa makalangkahnya merupakan kebalikan dari mengubah pecahan biasa menjadi pecahancampuran yaitu dengan cara mengalikan.Contoh:Ubahlah 232 menjadi pecahan biasa.Dengan peragaan232 =38Secara teknik: 232 = (1 + 1) +32 =3832363233238323333 =+=+ ×==+ +atau=36 +32 =38atau 232 =32)32( +×=38F. OPERASI PADA PECAHAN1. PenjumlahanPenjumlahan pecahan dapat diperagakan dengan model kongkret (mengguna-kan kertas yang dilipat atau gambar).–×+1 2 33 4 5 6 7 88
  15. 15. 12a. Penjumlahan pecahan yang penyebutnya sama.Misal: ...6362=+1) Dengan luas daerah62+63=65diperoleh dari melihat gambar84+83=87Peragaan dilanjutkan dengan penjumlahan pecahan-pecahan yang lain.Dapatlah dilihat bahwa: ada pola hubungan yaitu pembilangnya dijumlah se-dangkan penyebutnya tetap.834878384632656362+==++==+dan seterusnya.Kesimpulan.Penjumlahan pecahan yang berpenyebut sama dapat dilakukan dengan men-jumlah pembilangnya, sedangkan penyebutnya tetap.2) Dengan memanfaatkan garis bilangan....6362=+0626566Mulai dari nol (0) kekanan menuju62dan dilanjutkan63lagi, sehinggamenjadi65atau .656362=+ Garis tebal menggambarkan hasil akhir.bagian yangdiarsir digabungmenjadibagian yangdiarsir digabungmenjadidiperoleh dari melihat gambar...
  16. 16. 13Peragaan dapat dilanjutkan untuk pecahan-pecahan yang lain.b. Menjumlahkan pecahan yang penyebutnya tidak sama.Saat anak harus mempelajari materi ini, maka mereka harus diberikan pe-ngalaman-pengalaman dalam ilustrasi kehidupan sehari-hari. Sebagai contohdapat dikemukakan cerita berikut ini.Adik mempunyai41 bagian dari cakenya di atas meja. Kemudian ibu memberinyasepotong lagi yang besarnya21bagian. Berapa kue adik sekarang?41 +21 =43Dari peragaan ini tampak bahwa hasil akhir adalah ,43 berarti .432141 =+Tampak pula bahwa .4221= Sehingga4342142412141 =+=+=+ . Bila peragaanini diulang untuk pecahan-pecahan yang lain dimana penyebut dari pecahan yangdijumlah merupakan kelipatan dari penyebut-penyebut lain, maka anak akanmempunyai pengalaman bahwa bila menjumlah pecahan dengan penyebut tidaksama, supaya dapat memperoleh hasil maka penyebutnya harus disamakanterlebih dahulu, yaitu dengan cara mencari pecahan senilainya.Peragaan dan soal di atas masih mudah, karena penyebut yang satu merupa-kan kelipatan dari yang lain. Bila permasalahan berkembang menjadi6183 +maka anak harus mencari penyebut persekutuan. Kendala timbul bila anak belumbelajar tentang KPK. Satu cara untuk membantu menentukan penyebutpersekutuan adalah dengan mendaftar pecahan-pecahan yang senilai untuk setiappecahan. Sehingga anak mempunyai pengalaman untuk memperoleh penyebutyang nilainya paling kecil yang tepat untuk diambil.562148184015321224916683======48842736630524418312261=======
  17. 17. 14Ketika siswa memeriksa kedua daftar tersebut, mereka menemukan bahwa beberapapecahan mempunyai penyebut yang sama (dilingkari). Hal ini akan membantu anakmenyadari bahwa terdapat lebih dari satu pasang penyebut persekutuan untuk keduapecahan. Salah satu pasangan yang penyebutnya nilainya kecil (ternyata penyebutnyamerupakan KPK dari kedua penyebut) dapat digunakan untuk menjumlah ataumengurangi pasangan pecahan yang tidak sama penyebutnya.Bila KPK sudah dipelajari maka selanjutnya model abstrak dapat dilakukan.434124142141122214121=+=+=××+××=+1513153101531510353153525132=+=+=××=××=+2. PenguranganPengurangan pecahan dapat juga diragakan dengan model kongkret.a. Dengan menggunakan luas daerahLuas daerah yang diarsir semula adalah53dihapus arsirannya51menjadi52Jadi .513525153 −==−Contoh peragaan diperluas sehingga anak mempunyai pengalaman-penga-laman yang banyak.Dari peragaan-peragaan dapatlah disimpulkan bahwa pengurangan pecahanyang berpenyebut sama dapat dilakukan dengan mengurangkan pembilangnya,sedangkan penyebutnya tetap.KPK dari 2 dan 4 adalah 4. Makapenyebutnya adalah 4.KPK dari 3 dan 5 adalah 15. Makapenyebutnya adalah 15.
  18. 18. 15b. Dengan menggunakan garis bilangan.0525355.513525153 −==−Catatan.Garis tebal menggambarkan hasil akhir.Untuk pecahan yang penyebutnya tidak sama, dengan cara disamakan penye-butnya lebih dahulu, seperti pada operasi penjumlahan.3. Penjumlahan dan pengurangan pada pecahan campuran.Materi ini dapat diperagakan dengan menggunakan bangun geometri seperticontoh-contoh berikut ini.a. ...323432 =+2433322 34332Jadi12175)128129(5)3243()32(323432 +=++=+++=+.125612561251512512125125125 =+=++=++=++=Bagian yang diarsir digunting dan digabung, kemudiandibandingkan dengan yang satu utuh, maka akan dapatdiketahui hasilnya lebih dari 1. Selanjutnya proses pen-jumlahan dari3243+ seperti pada penjumlahan 2 pecahanyang berbeda penyebut.
  19. 19. 16b. ...432415 =−5413412Jadi43413)4341()25(432415 −+=−+−=−.212422422434524341442 ==+=−+=−++=c. ...432315 =−129124343313)4331()25(432315 −+=−+=−+−=−12912412122 −++=.1272127212912162 =+=−+=diambil43kurang → mengambil yang utuhkurang → mengambil yang utuhtahap1diambil 2tahap2bila diambil43 kurangsehingga mengambilyang utuhtahap345
  20. 20. 174. Pembelajaran Perkalian Pecahan yang Berorientasi pada PAKEMa. Perkalian bilangan asli dengan pecahanPermasalahan perkalian bilangan asli dengan pecahan ada dalam kehi-dupan nyata sehari-hari dengan contoh-contoh sebagai berikut.(1) Masing-masing anak memerlukan51 meter pita untuk membuat kerajinanbunga. Berapa meter yang diperlukan bila ada 4 anak?(2) Masing-masing anak makan41 roti (41 bagian dari roti). Berapa bagian rotiyang dimakan untuk 3 anak?(3) Masing-masing kelompok memerlukan52 meter kain perca untuk mem-buat alas meja. Berapa meter yang diperlukan untuk 2 kelompok?(4) Masing-masing anak memerlukan32 bagian dari kertas folio berwarnauntuk membuat hiasan. Berapa bagian yang diperlukan bila ada 5 anak?Dalam pelaksanaan pembelajaran diharapkan guru mengangkat perma-salahan-permasalahan keseharian seperti contoh di atas untuk menghilangkankesan abstrak dari konsep. Guru dapat menyediakan benda-benda kongkretsederhana seperti pita, kain perca, kertas, kue cake kecil, kertas folio berwarna,untuk dijadikan media pembelajaran sebelum masuk pada tahap semi kongkretberupa gambar. Secara singkat alternatif pembelajaran yang dapat dilaksanakansecara bertahap sebagai berikut. Pada tahap awal guru mengulang materiprasyarat yang digunakan dalam pembahasan materi inti yaitu meliputi:penjumlahan pecahan yang berpenyebut sama, dan konsep perkalian yangmerupakan penjumlahan berulang. Guru membagikan lembar soal untuk semuasiswa yang berisi permasalahan-permasalahan seperti tersebut di atas untukdibahas secara klasikal. Beberapa siswa yang ditunjuk dibagi dalam kelompok-kelompok (beranggotakan 2 siswa) diberi kesempatan maju menyelesaikanpermasalahan-permasalahan dengan menggunakan benda-benda kongkret yangtelah disiapkan oleh guru. Guru harus merencanakan permasalahan-perma-salahan yang dibahas dengan baik agar masing-masing kelompok dapatmemperagakan obyek dimana peragaan tersebut dapat membentuk kalimat
  21. 21. 18matematika yang berbeda-beda tentang perkalian bilangan asli denganpecahan.Contoh.(1) Kelompok 1 dengan alat pita dan menyelesaikan masalah sebagai berikut.Siswa A, B, dan C akan membuat bunga dengan masing-masing siswamemerlukan51 meter pita. Berapa meter pita yang diperlukan?Kalimat matematika yang diperoleh adalah51 +51 +51 =53 atau3 ×51 =53 =513× .(2) Kelompok 2 dengan alat pita. Siswa A, B, dan C akan membuat bungamasing-masing memerlukan52 m pita. Berapa meter pita yang diperlukan?Kalimat matematika yang bersesuaian adalah52 +52 +52 =5222 ++ =56atau 3 ×52 =56 =523× dan seterusnya.Masing-masing kelompok diberi kesempatan untuk memperagakan obyekdan mengemukakan hasil dari penyelesaian soal. Guru dapat membantukelompok pada saat mengemukakan hasil dan merangkumnya atau memperjelasmateri yang dibahas dengan menggunakan chart yang telah disiapkan seperticontoh di bawah ini.Rangkuman untuk memperjelas materi yang telah dibahas adalah sebagai berikut.Contoh 1.Bila masing-masing anak memerlukan51 m pita, maka 3 anak akan memerlukan… m pita.51 m atau 20 cm51 m51 m1 anak 1 anak 1 anak3 anak
  22. 22. 19Dengan menggunakan konsep penjumlahan berulang akan didapat konsepperkalian sebagai berikut.51 +51 +51 =5111 ++ =5351 +51 +51 =53 = 3 ×51 =513×Dalam hal ini guru dapat pula memberi pengalaman kepada siswa untukmengukur pita yang panjangnya51 m sama dengan 20 cm dan53 m sama dengan60 cm.Contoh 2.Bila masing-masing anak memerlukan52 m pita, maka 3 anak memerlukan … mpita.52 m atau 40 cm52 m52 m1 anak 1 anak 1 anak3 anakDengan menggunakan konsep penjumlahan berulang akan didapat konsepperkalian sebagai berikut.52 +52 +52 =5222 ++ =5652 +52 +52 =56 = 3 ×52 =523×Bila guru menginginkan hasil akhir dari56 merupakan pecahan campuran, makahasil tersebut dapat diubah menjadi pecahan campuran 151 yaitu setelah siswadiminta untuk membandingkan dengan pita yang panjangnya 1 meter ternyatalebih panjang. Tepatnya adalah 151 meter dan setelah diukur hasilnya adalah 1meter lebih 20 cm. Hal ini dimaksudkan agar siswa mempunyai keterampilanpula dalam hal pengukuran.
  23. 23. 20Contoh 3.Bila masing-masing anak makan41 bagian dari roti cake, maka untuk 3 anakmakan … bagian dari roti cake.Dengan menggunakan konsep penjumlahan berulang akan didapat konsepperkalian sebagai berikut.41 +41 +41 =4111 ++ =4341 +41 +41 =43 = 3 ×41 =413×Contoh 4.Bila masing-masing kelompok memerlukan52 m kain perca, maka 2 kelompokmemerlukan … m kain.52 m kain52 m kain1 kelompok 1 kelompok2 kelompok52 +52 =522 + =5452 +52 =54 = 2 ×52 =522×Contoh 5.Bila masing-masing anak memerlukan32 bagian dari kertas folio berwarna, maka5 anak akan memerlukan … bagian kertas folio.3 anak makan43 roti1 anak makan41 roti 1 anak makan41 roti 1 anak makan41 roti
  24. 24. 21bagian32 +32 +32 +32 +32 =322222 ++++ =310 (ada 10 arsiran31 -an)32 +32 +32 +32 +32 =310 = 5 ×32 =325×Dari contoh 1 sampai dengan 5 guru bersama siswa membuat kesimpulan hasildari pola yang terjadi sebagai berikut.(1)51 +51 +51 = 3 ×51 =53 =513× atau 3 ×51 =513×(2)52 +52 +52 = 3 ×52 =56 =523× atau 3 ×52 =523×(3)41 +41 +41 = 3 ×41 =43 =413× atau 3 ×41 =413×(4)52 +52 = 2 ×52 =54 =522 × atau 2 ×52 =522 ×(5)32 +32 +32 +32 +32 = 5 ×32 =310 =325× atau 5 ×32 =325×Dalam kalimat sederhana dapat dinyatakan bahwa: ”Bilangan asli dikalikanpecahan hasilnya adalah bilangan asli dikalikan pembilangnya, sedangkanpenyebutnya tetap” atau dalam bentuk umumcbacba ×=× . Selanjutnyaguru dapat memberikan LK (lembar kerja) siswa untuk dikerjakan secara mandiridan lembar tugas (LT) atau soal-soal pada buku paket sebagai pekerjaan rumah(PR).Pada pertemuan berikutnya guru dapat memberikan alternatif pembelajarandengan media gambar seperti contoh berikut ini.2 ×52 = … artinya ada 2 satuan52 -an. Berapa nilainya setelah digabung?32 3131313131313131313132323232
  25. 25. 22yang diarsir yang diarsir yang diarsir525254Dari memperhatikan gambar terlihat bahwa 2 ×52 =54 atau dapat dinyatakansebagai 2 ×52 =522× .Gambar dapat pula dalam bentuk luas daerah seperti contoh berikut.Cara menggambar.Keatas kita ambil 2 bagian sesuai dengan bilangan asliyang digunakan (suku ke-1), sedangkan kekanan adalah52 sesuai dengan pecahannya (suku ke-2). Setiappetak mewakili51 yaitu sesuai dengan51 bagiandari 1. Jadi dari gambar terlihat bahwa gabungan 2satuan52 -an adalah 4 petak51 an atau 2 ×52 =54 .Contoh-contoh tersebut dapat dilanjutkan untuk perkalian-perkalian yang lainsehingga siswa memahami perkalian bilangan asli dengan pecahan dan terampildalam menyelesaikan tugas-tugas yang diberikan.b. Perkalian pecahan dengan bilangan asli.Permasalahan perkalian pecahan dengan bilangan asli ada dalam kehidupansehari-hari dengan contoh-contoh sebagai berikut.(1) Dita mempunyai pita yang panjangnya 3 meter, dan32 bagian dari pitatersebut akan dibuat bunga. Berapa meter pita yang dibuat bunga?(2) Dinda mempunyai tali yang panjangnya 5 meter, dan53 bagian dari talidipakai untuk mengikat kardus. Berapa panjang tali yang digunakan untukmengikat?arsirandigabungmenjadi2115152
  26. 26. 23(3) Luas tanah Dika adalah 200 m2, dan41 bagian dari tanah tersebut akandibangun rumah. Berapa luas tanah bangunan rumah Dika?(4) Luas kebun Diar adalah 500 m2, dan52 bagiannya akan ditanami lombok.Berapa luas kebun yang ditanami lombok?Dalam pelaksanaan pembelajaran guru dapat menyiapkan LK berupagambar-gambar atau bangun-bangun sebagai pengganti dari benda konkret untukdidiskusikan siswa secara kelompok. Gambar atau bangun yang tercantum padaLK hendaknya sederhana sehingga siswa mudah menentukan bagian-bagian daribangun tersebut. Sebelum masuk pada kegiatan inti guru mengulang materiprasyarat yaitu meliputi perkalian bilangan asli dengan pecahan, karena padahakikatnya perkalian pecahan dengan bilangan asli merupakan bentuk komutatifdari perkalian bilangan asli dengan pecahan; pecahan senilai; dan pecahancampuran. Guru dapat membantu kelompok saat berdiskusi dan presentasi hasil.Pada akhir kegiatan guru bersama siswa merangkum atau memperjelas materiyang dibahas dengan menggunakan chart yang telah disiapkan seperti contoh dibawah ini.Contoh 1.Dita mempunyai pita yang panjangnya 3 meter, dan32 bagian dari pita tersebutakan dibuat bunga. Berapa meter pita yang dibuat bunga?Dari gambar terlihat bahwa32 dari 3 m adalah 2 m atau32 × 3 = 2 atau32 × 3 = 2 =332 × =36Contoh 2.Dinda mempunyai tali yang panjangnya 5 meter, dan53 bagian dari tali dipakaiuntuk mengikat kardus. Berapa panjang tali yang digunakan untuk mengikat?3 meter1 meter 1 meter 1 meter
  27. 27. 24Guru menyuruh siswa mengukur tali yang panjangnya 5 meter dengan memberitanda setiap 1 meter.Tali dibagi menjadi 5 bagian yaitu berdasar penyebut dari pecahan yangdigunakan dan menentukan53 bagiannya serta menetapkan hasilnya yaitu 3 m.Untuk kalimat matematikanya dapat dituliskan53 × 5 = 3 =553× =515 .Contoh 3.Luas tanah Dika 200 m2, dan41 bagian dari tanah tersebut akan dibangun rumah.Berapa luas tanah bangunan rumah Dika?Guru dapat mempersiapkan bangun persegipanjang sederhana sebagaiperwujudan dari tanah yang dimiliki Dika, misalnya sebagai berikut.atauKarena pecahan yang digunakan menggunakan penyebut 4 maka sebaiknyapersegipanjang yang disiapkan juga mudah bila dibagi menjadi 4 bagian. Darigambar terlihat bahwa41 bagian dari tanah Dika adalah 50 m2. Sehingga dapatlah20 m10 m5 m 5 m 5 m 5 m5 m5 m5 m4 m3 m2 m1 m0bagian51bagian52bagian5320 m10 m5 m 5 m 5 m 5 m
  28. 28. 25dibentuk menjadi kalimat matematika:41 dari 200 adalah 50 atau41 × 200 = 50 =42001× .Contoh 4.Luas kebun Diar adalah 500 m2, dan52 bagiannya akan ditanami lombok. Berapaluas kebun yang ditanami lombok?Dari gambar terlihat bahwa luas kebun yang akan ditanami lombok adalah 200 m2atau52 × 500 = 200 =55002 × =51000Rangkuman dari contoh 1 sampai dengan 4 adalah sebagai berikut.(1)32 × 3 = 2 =332 × =36 atau32 × 3 =332 ×(2)53 × 5 = 3 =553× =515 atau53 × 5 =553×(3)41 × 200 = 50 =42001× =4200 atau41 × 200 =42001×(4)52 × 500 = 200 =55002 × =5000.1 atau52 × 500 =55002 ×Dalam kalimat sederhana dapat dinyatakan bahwa: ”pecahan biasa dikalikanbilangan asli hasilnya adalah pembilang dikalikan bilangan asli, sedangkanpenyebutnya tetap” atau dalam bentuk umumbcacba ×=× . Guru membahasbentuk komutatif dari perkalian pecahan biasa dengan bilangan asli dan perkalianbilangan asli dengan pecahan biasa. Selanjutnya guru dapat meningkatkanpemahaman siswa dengan memberikan LK yang harus dikerjakan secara individudan soal-soal untuk PR.Pada pertemuan berikutnya guru dapat pula memberikan alternatifpembelajaran dengan media gambar seperti contoh berikut.50 m10 m10 m 10 m 10 m 10 m 10 m100 m2100 m2100 m2100 m2100 m2
  29. 29. 2652 × 2 = … artinya52 dari 2. Dengan menggunakan luas daerah diperolehgambar sebagai berikut.Setiap petak mewakili51 bagian dari 1. Jadi dari gambar terlihatbahwa ada 4 petak51 an atau dalam kalimatmatematika adalah52 × 2 =54 =522× .Contoh dapat diulang untuk mendapatkan bentuk perkalian yang lain sehinggamenambah pemahaman siswa tentang materi yang disajikan. Pada tahapberikutnya pembahasan sudah dalam bentuk abstrak yaitu berupa soal yang harusdikerjakan siswa baik dalam bentuk soal cerita maupun soal bukan cerita.c. Perkalian pecahan dengan pecahan.Permasalahan perkalian pecahan dengan pecahan ada dalam kehidupan nyatasehari-hari dengan contoh-contoh sebagai berikut.(1) Ibu mempunyai43 bagian dari kue cake. Jika ibu menghidangkan32 nya untuktamu, maka berapa bagian yang ibu hidangkan tersebut?(2) Satu resep kue roti membutuhkan53 bagian coklat batangan. Jika kakakmembuat21 resep maka coklat yang dibutuhkan … bagian.Dalam pelaksanaan pembelajaran guru dapat menyiapkan LK berupagambar sebagai pengganti dari benda konkret untuk dikerjakan siswa secarakelompok. Sebelum masuk pada kegiatan inti guru mengulang materi prasyaratyaitu meliputi perkalian bilangan asli dengan pecahan; perkalian pecahan denganbilangan asli; pecahan senilai; dan pecahan campuran. Guru dapat membantukelompok saat berdiskusi maupun presentasi hasil. Pada akhir kegiatan gurubersama siswa merangkum atau memperjelas materi yang dibahas denganmenggunakan chart yang telah disiapkan seperti contoh di bawah ini.Contoh 1.Ibu mempunyai43 bagian dari kue cake. Jika ibu menghidangkan32 nya, makayang dihidangkan = … bagian.2115251
  30. 30. 27Permasalahan tersebut dapat dinyatakan dalam kalimatmatematika32 dari43 artinya32 ×43 = …Dari gambar terlihat bahwa hasil dari32 ×43 =21 (yang diarsir dobel) atau32 ×43 =4332×× =126 =21Atau dengan model luas daerah didapat gambar sebagai berikut.Setiap petak mewakili121 . Dari gambar dapatdilihat bahwa ada 6 petak121 an atau dalam kalimatmatematika adalah1264332 =× atau43321264332××==×Contoh 2.Satu resep roti membutuhkan53 bagian coklat batangan. Jika kakak membuat21 resep maka coklat yang dibutuhkan … bagian.Untuk mengkongkretkan masalah di atas dapat digunakan media kertas yangmudah dilipat sebagai media individual.Tahap 1.Kertas dilipat menjadi 5 bagian yang sama sesuai dengan penyebut dari pecahanyang digunakan pada coklat batangan. Arsir 3 bagian dari lipatan untukmembentuk pecahan53 .yang diarsir adalah43yang diarsir dobel menunjukkan32 dari43 atau213231414243 11yang diarsir53
  31. 31. 28Tahap 2.Lipat53 menjadi 2 bagian sama atau21 dari53 , maka akan terbentuk lipatankecil.21 dari53Tahap 3.Ikuti lipatan kecil tersebut sampai seluruh kertas membentuk lipatan kecil yangsama. Maka akan terbentuk 10 lipatan kecil, dan21 dari53 tersebut ternyata samadengan 3 lipatan kecil dari 10 lipatan atau103 (yang diarsir dobel).21 dari53Jadi21 dari53 adalah103 atau21 ×53 =103 =5231××Atau dengan model luas daerah didapat gambar sebagai berikut.Setiap petak mewakili101 . Dari gambar dapatdilihat bahwa ada 3 petak101 atau dalam kalimatmatematika adalah21 ×53 =103 atau21 ×53 =103=5231×× .Dalam kalimat dapat disimpulkan bahwa: ”pecahan dikalikan pecahan hasilnyaadalah pembilang dikalikan pembilang dan penyebut dikalikan penyebut”atau dalam bentuk umumdbcadcba××=× . Contoh dapat diperbanyak untukmendapatkan bentuk perkalian yang lain sehingga menambah pemahaman siswatentang materi yang disajikan.21515253 11
  32. 32. 29d. Perkalian pecahan campuran.1) ...5143 =×Dengan prinsip perkalian sebagai penjumlahan berulang.53125312)515151()444(5145145145143 =+=+++++=++=×3 × 4 + 3 ×51atau)514(35143 +×=×53125312)513()43( =+=×+×=Jadi53125143 =× .Dengan peragaan luasan.4Jadi53125312513)43()514(35143 =+= ×+×=+×=×2) ...3212 =×3321×2 2 × 321.2172116236)321()32(3)212(3212 =+=+=×+×=×+=×513 ×3 3 × 451
  33. 33. 303) ...213312 =×35. Pembelajaran Pembagian Pecahan Biasa yang Berorientasi pada PAKEMa. Pembagian bilangan asli dengan pecahan biasaPermasalahan pembagian bilangan asli dengan pecahan ada dalamkehidupan nyata sehari-hari dengan contoh sebagai berikut.(1) Kakak mempunyai 2 meter pita dan akan dibuat bunga. Masing-masingbunga memerlukan pita31 m. Berapa bunga yang dapat dibuat? Bagaimanabila masing-masing bunga memerlukan pita32 m. Berapa bunga yangdapat dibuat?(2) Adik mau mengecat kayu panjangnya 4 meter. Setiap jam adik hanyadapat mengecat43 m. Berapa jam adik menyelesaikan pekerjaannya?Bagaimana bila 1 jam hanya mampu mengecat52 m. Berapa jam adikmenyelesaikan pekerjaannya?Dalam pelaksanaan pembelajaran diharapkan guru mengangkat permasalahan-permasalahan nyata seperti tersebut di atas dalam bentuk LK kelompok yangdisertai dengan media sederhana misal pita, tali dan sebagainya untukmemperagakan permasalahan yang ada. Siswa dibagi dalam kelompok-kelompok untuk mendiskusikan permasalahan yang ada dan guru bertugasmembimbing bila kelompok memerlukan. Apabila tugas kelompok telah2212 ×2 × 32131×21331×31)213()312(213312 +×+=× )2131()212()331()32( ×+×+×+×=611166122336 +++=+++=618=
  34. 34. 31selesai maka guru memberi kesempatan siswa untuk mempresentasikan hasilkerjanya. Pada akhir kegiatan guru bersama siswa merangkum sebagian darimateri yang dibahas dengan menggunakan media gambar atau garis bilangandan telah menyusunnya dalam suatu chart seperti contoh berikut ini.Pada hakekatnya pembagian merupakan pengurangan yang berulangsampai habis. Misal 6 : 2 artinya 6 – 2 – 2 – 2 = 0. Ada 3 kali pengambilandengan 2 atau 6 : 2 = 3.Contoh 1.Kakak mempunyai 2 m pita dan akan dibuat bunga. Masing-masing bungamemerlukan pita31 m. Berapa bunga yang dapat dibuat?Untuk menjawab permasalahan di atas, kita gunakan media gambar dari pita.Ada 2 m pita yang dibuat bunga. Setiap kali membuat bunga berarti kitamengurang31 m dari 2 m yang ada sampai pita habis dibuat bunga.Atau 2 –31 –31 –31 –31 –31 –31 . Dalam kalimat pembagian menjadi 2 :31Ternyata terlihat bahwa ada 6 bunga yang dapat dibuat dari 2 m pita tersebut.Atau dalam kalimat matematika adalah 2 :31 = 6.Bagaimana bila setiap bunga memerlukan32 m?Jadi ada 3 bunga yang dapat dibuat. Atau dalam kalimat matematika adalah2 :32 = 3Contoh 2.Adik mau mengecat kayu yang panjangnya 4 meter. Setiap jam adik hanyadapat mengecat43 m. Kayu tercat semua dalam … jam.1 bunga 1 bunga 1 bunga 1 bunga 1 bunga 1 bunga2 m pita1 bunga 1 bunga 1 bunga2 m pita
  35. 35. 323 kotak atau43 m kayu memerlukan waktu 1 jam, maka 1 kotak memerlukanwaktu31 jam. Ternyata terlihat bahwa ada 5 jam lebih31 jam atau 531 jam. Jadi4 :31631543 == .Contoh-contoh kongkret dapat diperbanyak untuk memberikan pema-haman kepada siswa tentang materi yang disajikan. Pada tahap berikutnya gurudapat mengulang menjelaskan materi tersebut dengan peragaan menggunakangaris bilangan.Contoh 1.2 : ...31= dapat diartikan sebagai ada berapa an31dalam 2.0 1 2Tampak bahwa dalam 2 ada an31sebanyak 6, maka 2 : .631=Contoh 2.2 :32 = …1 satuan 1 satuan 1 satuan32 an 32 an 32 anDari garis bilangan tampak bahwa dalam 2 ada32 an sebanyak 3 atau2 :32 = 3.an31an31an31an31an31an311 jam 1 jam 1 jam 1 jam 1 jam31 jam1 m 1 m 1 m 1 m0 1 2
  36. 36. 33Contoh 3.2 :53 = …31 satuan 53 an 1 satuan 53 anDari garis bilangan tampak bahwa dalam 2 ada 3 satuan53 an dan31 satuan53 an atau 331 satuan53 an. Sehingga 2 :53 = 331 =310 .Atau dengan luasan sebagai berikut.sisa31 dari53 an atau 2 :53 = 331 =310 .Dari peragaan-peragaan tersebut ternyata ada pola hubungan sebagai berikut2 :31 = 6 =132× = 2 ×132 :32 = 3 =232× = 2 ×232 :53 =310 =352× = 2 ×35 dan seterusnya.Pola hubungan yang terbentuk itu perlu diberikan sebagai kata kuncinyakepada siswa yaitu: ”apabila bilangan asli dibagi dengan pecahan biasamaka pembagian berubah menjadi perkalian tetapi pecahannya dibalik(penyebut menjadi pembilang dan pembilang menjadi penyebut)” ataudalam bentuk umumbcacb:a ×= .b. Pembagian pecahan biasa dengan bilangan asliPermasalahan pembagian pecahan dengan bilangan asli dapat dimuncul-kan dari contoh sehari-hari sebagai berikut.0 1 21 2 3
  37. 37. 34(1) Ibu mempunyai43 roti yang akan diberikan kepada 2 anaknya sehinggamasing-masing mendapat bagian sama, maka masing-masing anak akanmendapat roti … bagian.(2) Adik mempunyai21 batang coklat yang akan diberikan kepada 3 teman-nya sehingga masing-masing mendapat bagian sama. Maka masing-masing temannya akan mendapat coklat … bagian.Dalam melaksanakan pembelajaran guru seyogyanya mengangkat perma-salahan-permasa-lahan nyata seperti tersebut di atas yang dapat dituangkandalam bentuk LK. Contoh rangkuman yang dapat dibuat sebagai berikut.Contoh 1.Ibu mempunyai43 kue yang akan diberikan kepada 2 anaknya. Masing-masingmendapat … bagian.Permasalahan di atas dalam kalimat matematika =43 : 2 = …Dari gambar tampak bahwa bagian dari masing-masing anak adalah83 atau43 : 2 =83 .Contoh 2.Adik mempunyai21 batang coklat yang akan diberikan kepada 3 temannya.Masing-masing mendapat coklat … bagian.Guru dapat menggunakan kertas yang dapat dilipat-lipat untuk mempera-gakan batangan coklat yang dimaksud dalam soal dan beri arsir.yang diarsir menunjukkan43bagian dari masing-masing anak
  38. 38. 35yang diarsir21 batang coklat.Lipat21 bagian tadi menjadi 3 bagian lagi dan teruskan lipat untuk 1 bagianutuh, sehingga terlihat bahwa31 bagian dari21 adalah61 , atau yang diarsir dobel.bagian masing-masing anakPermasalahan di atas dalam kalimat matematika adalah21 : 3 = ….Pada gambar tampak bahwa bagian dari masing-masing anak adalah61 atau21 : 3 =61 .Contoh 3.32 : 5 = … Dapat diperagakan sebagai berikut.yang diarsir32 dilipat menjadi 5 bagianPada gambar terlihat bahwa32 : 5 =152 (yang diarsir dobel)Dari contoh 1, 2, dan 3 ternyata terdapat pola hubungan sebagai berikut.43 : 2 =83 =243×21 : 3 =61 =321×32 : 5 =152 =532×
  39. 39. 36Kunci dari pola hubungan tersebut adalah: ”apabila pecahan biasa dibagidengan bilangan asli maka pembilang dari pecahan tersebut tetapsedangkan penyebutnya dikalikan dengan bilangan aslinya”. Atau dalambentuk umumcbac:ba×= .Pada tahap berikutnya guru memberikan soal-soal yang dapat dikerjakansiswa secara individu dan dimantapkan dengan PR. Soal-soal yang diberikandapat dalam bentuk soal cerita maupun soal bukan cerita.c. Pembagian pecahan biasa dengan pecahan biasaPermasalahan pembagian pecahan dengan pecahan dapat dicontohkandalam kenyataan sehari-hari sebagai berikut.(1) Kakak mempunyai43 m pita yang akan dibuat hiasan. Masing-masinghiasan memer-lukan pita41 m. Berapa hiasan yang dapat dibuat?(2) Ibu mempunyai gula43 kg yang akan dibuat kue. Satu resep kue memer-lukan21 kg gula. Berapa resep yang dapat dibuat ibu?Pada hakekatnya konsep pembagian merupakan pengurangan berulang.Dalam melaksanakan pembelajaran ini materi prasyarat yang harus diingatsiswa adalah konsep pembagian merupakan pengurangan berulang, pecahancampuran, garis bilangan, dan KPK (kelipatan persekutuan terkecil). Gurudapat mengangkat permasalahan-permasalahan nyata tersebut yang dapatdituangkan dalam bentuk LK. Sedangkan rangkuman pembelajarannya dapatdisampaikan dalam contoh berikut ini.Contoh 1.Kakak mempunyai43 m pita yang akan dibuat hiasan, dan masing-masinghiasan memerlukan41 m pita. Hiasan yang dapat dibuat ….
  40. 40. 37Dalam kalimat matematikaadalah41:43 = …1 hiasan 1 hiasan 1 hiasanDari gambar tampak bahwa ada 3 hiasan yang dapat dibuat dari43 .Jadi43 :41 = 3.Contoh 2.Ibu mempunyai gula43 kg yang akan dibuat kue. Satu resep memerlukan21kg gula. Banyaknya resep yang dapat dibuat ….Gula yang ada digambarkan ditempatkan pada kantong sebagai berikut.Kalimat matematika dari soal di atas ada-lah43 :21 = …41 kg dapat dibuat21 resep21 kg dapat dibuat 1 resepJadi dari gambar terlihat bahwa43 kg gula dapat dibuat 121 resep, dan kalimatmatematika yang bersesuaian adalah43 :21 = 121 =23 .Soal di atas dapat pula digambarkan dengan menggunakan luas daerah sebagaiberikut....21:43= dapat diartikan sebagai ada berapa an21pada bilangan .431 satuan dari pengambilan .an21Jadi hasil dari .2321121:43==m41 m41 m41kg43.an21npengambiladarisatuan21
  41. 41. 38Cara yang lain untuk mendapatkan hasil pembagian pecahan dengan pecahanadalah dengan menyamakan penyebutnya. Karena pada hakekatnya pembagianmerupakan pengurangan berulang dengan penyebut yang sama. Agar hasil bagilangsung menunjuk ke bentuk paling sederhana penyamaan penyebut dapatmelalui perhitungan KPK....21:43= → KPK dari penyebutnya adalah KPK (4, 2) = 4.Sehingga .42:4321:43= Dengan peragaan garis bilangan akan dapat ditemukanhasilnya.1 satuan an42Jadi .2321142:43==Contoh 2....31:65= dapat diartikan sebagai ada berapa an31pada bilangan .65Jadi2521231:65== ....31:65= → KPK dari penyebutnya = KPK (6, 3) = 6.Sehingga .62:6531:65=ansatuan42214132430 121satuan dari pengambilan31an1 satuan dari pengambilan31an1 satuan dari pengambilan31an01 satuan651 satuansatuan213162satuan1 ==6361
  42. 42. 39Dari kedua contoh di atas diperoleh:hasil pembagian2321:43=1. sehingga124321:43×=dilain pihak23461243==×hasil pembagian2531:65=2. sehingga136531:65×=dilain pihak256151365==×Dari uraian di atas dapat disimpulkan secara umum bahwa:cdbadc:ba ×= .G. Terapan Perhitungan dengan Menggunakan PecahanPerhitungan dengan menggunakan pecahan banyak dijumpai dalam kehidupansehari-hari.Contoh.(1) Pak Toha bekerja sebagai pembuat tongkat. Untuk membuat sebatang tongkatdiperlukan kayu yang panjangnya43m. Jika Pak Toha mempunyai kayu yangpanjangnya 3 m, berapa batang tongkat yang dapat dibuat?Jawab.3 : .431234343==×=Jadi tongkat yang dapat dibuat ada 4 batang.(2) Ani akan membuat hiasan bingkisan lebaran dari pita. Setiap bingkisan memer-lukan pita yang panjangnya .m212 Berapa m pita yang diperlukan untuk membuathiasan 5 bingkisan?Jawab..m2112m21210m215)25(m2125m2125 =+=×+×=+×=×Jadi pita yang diperlukan .m2112
  43. 43. 40(3) Pak Tohar dapat menyelesaikan pembuatan sebuah lemari dalam waktu 6 hari.Jika pekerjaan itu dikerjakan secara bersama-sama dengan Pak Karyo, ternyatadapat diselesaikan dalam waktu 2 hari. Seandainya pekerjaan itu diselesaikan olehPak Karyo sendiri, berapa hari akan selesai?Jawab.Pak Tohar menyelesaikan pekerjaan dalam waktu 6 hari.Jadi dalam 1 hari selesai bagian.61Pak Tohar dan Pak Karyo menyelesaikan pekerjaan dalam waktu 2 hari.Jadi dalam 1 hari selesai bagian.21Pak Karyo sendiri, dalam 1 hari selesai = .316261636121==−=−Pak Karyo dalam 1 hari selesai bagian.31Jadi pekerjaan itu dapat diselesaikan Pak Karyo dalam waktu = 31:1 hari =×131 hari = 3 hari.H. Pecahan sebagai Perbandingan (Rasio)Sebuah pecahan yang menunjukkan rasio tidak sama dengan pecahan yangmewakili bagian dari keseluruhan (utuh). Bila pecahan biasa digunakan untukmenunjukkan rasio akan mempunyai interpretasi yang berbeda dibandingkan pecahansebagai bagian yang utuh. Sebagai contoh: pembilang dari sebuah pecahan sebagairasio mungkin menyatakan jumlah obyek dalam kumpulan obyek. Oleh karena itukonsep pecahan sebagai rasio harus jelas bagi anak. Untuk memahami mengapapecahan merupakan perbandingan (rasio) dapat dipikirkan dalam situasi seperti ini.
  44. 44. 41Contoh 1.″Dinda dan Dita membagi tanggungjawab mengelola toko kelontong. Dinda dalam 1minggu menjaga toko selama 4 hari, sedangkan Dita 3 hari. Apabila Dinda telahmenjaga toko selama 20 hari, berapa harikah Dita telah menjaga tokonya″.Rasio untuk masalah di atas adalah 4 : 3 (dibaca 4 dibanding 3). Sebuah pernyataandapat digunakan untuk memecahkan masalah itu.n2034= dengan perkalian akan didapat:3n20334×=×3n204 ×=n3n20n4 ××=×60n4 =4:604:n4 =n = 15Apabila anak telah berlatih beberapa kali dengan permasalahan yang sejenis dantelah memahaminya maka perkalian silang dan teknik menghitung cepat dapatdilatihkan.15460n604n320n4n2034===×=×=Jadi Dita telah menjaga tokonya selama 15 hari.Contoh 2.Tinggi badan Dhiar dan Dhika masing-masing 150 cm dan 180 cm. Maka perban-dingan tinggi Dhiar dan Dhika adalah 150 : 180 atau 5 : 6 dengan masing-masingdibagi 30 yang dikatakan sebagai pembanding. Sehingga dapat dikatakan bahwatinggi Dhiar : tinggi Dhika = 5 : 6 (baca 5 dibanding 6) atau tinggi Dhiar adalah65(baca 5 per enam) tinggi Dhika.Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa perbandingan 5 : 6 dapat dinyatakansebagai pecahan ,65dan perbandingan 6 : 5 dapat dinyatakan sebagai pecahan .56
  45. 45. 42Contoh 3.Panjang dan lebar suatu persegipanjang mempunyai perbandingan 5 : 3. Jika luaspersegipanjang itu 240 cm2, maka tentukan ukuran panjang dan lebar dari persegi-panjang itu.Penyelesaian.Diketahui: p : l = 5 : 3Luas pp = 240 cm2.Jawab.Luas pp = 240 cm2Misal pembandingnya n maka panjang dan lebar dari persegipanjang itu adalah5n : 3n.240 cm23n5nJadi panjang = 5n = (5 × 4)cm = 20 cmlebar = 3n = (3 × 4)cm = 12 cm.SOAL-SOAL PECAHAN SEBAGAI PERBANDINGAN1. Pak Kantun dapat menyelesaikan pengecetan tembok dari sebuah bangunan dalamwaktu 6 hari. Sedangkan pak Marsono dapat menyelesaikan pekerjaan yang samadalam waktu 3 hari. Jika mereka bekerja bersama-sama, maka dalam waktu berapahari pekerjaan tersebut dapat diselesaikan?2. Sekarang umur ayah dibanding umur ibu adalah 6 : 5. Jika 6 tahun lagi perbandinganumur mereka adalah 7 : 6. Berapa umur ayah dan ibu sekarang?3. Lima tahun yang lalu umur Ana 2 kali umur Rani. Sedangkan 15 tahun yang akandatang umur Ana311 kali umur Rani. Berapa umur Ana dan Rani sekarang?4. Lima tahun yang lalu umur adik71umur ayah. Sedangkan umur ibu : umur ayah6 : 7. Lima tahun yang akan datang umur ayah 3 kali umur adik. Berapa umurmereka masing-masing sekarang?5. Perbandingan uang Arif dengan uang Feri adalah 4 : 7. Jumlah uang merekaRp 55.000,00. Berapa selisih uang mereka?Luas persegipanjang = p × l = 240 cm2Jadi 5n × 3n = 24015n2= 24015n2: 15 = 240 : 15n2= 16n = 416 =
  46. 46. 436. Berat badan Ali, Budi dan Chandra adalah 6 : 7 : 8. Jika berat badan merekadijumlahkan ada 105 kg. Berapa berat badan masing-masing?7. Tiga liter bensin dapat untuk menempuh jarak 60 km. Bila 8 liter bensin, berapajarak yang dapat ditempuh?8. Perbandingan panjang dan lebar pada suatu persegipanjang adalah 5 : 3.a. Jika luas persegipanjang adalah 240 cm2, maka tentukan ukuran dari panjang,lebar dan kelilingnya.b. Jika kelilingnya 160 cm, tentukan ukuran dari panjang, lebar dan luasnya.Kunci jawaban1. Pekerjaan dapat diselesaikan bersama dalam 2 hari2. Sekarang umur ayah = 36 tahun dan umur ibu = 30 tahun3. Sekarang umur Ana = 25 tahun dan umur Rani = 15 tahun4. Sekarang umur adik = 10 tahun, umur ibu = 35 tahun, dan umur ayah = 40 tahun5. Selisih uang mereka = Rp 15.000,006. Berat badan ali = 30 kg, Budi = 35 kg, dan Chandra = 40 kg7. Jarak yang ditempuh = 160 km8. a. Panjang = 20 cm dan lebar = 12 cmb. Panjang = 50 cm dan lebar = 30 cm
  47. 47. 44DAFTAR PUSTAKAD’Augustine, Charks. 1992. Teaching Elementary School Mathematics.New York: Harper Collins Publishers.Kennedy, Leonard. 1994. Guiding Children’s Learning of Mathematics.California: Wadsworth Publishing Company.Troutman, Andria. 1991. Mathematics: A Good Beginning, Strategies for TeachingChildren. California: Brooks/Cole Publishing Company.Raharjo, Marsudi. 2001. Pecahan: Bahan Penataran Guru SD.Yogyakarta: PPPG Matematika.

×