buku teori bilangan untuk kuliah semester 1

1. HIMPUNAN
OPERASI HIMPUNAN DAN SIFAT-SIFATNYA
DEWI NUR AISYAH
A1C016010
FKIP UNIVERSITAS BENGKULU
2017

2. 1
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberikan
kekuatan, kesempatan, dan atas kasih yang dicurahkannya kepada saya akhirnya
saya bisa menyelesaikan buku “Operasi Himpunan”.
Buku “Operasi Himpunan” ini merupakan buku sebagai referensi tambahan
untuk mahasiswa dalam mempelajari materi tentang himpunan. Buku ini
merupakan pengebangan dari buku Dasar-dasar Matematika dan Sains yang
diterbitkan pada tahun 2008.
Di dalam buku menkhususkan materi tentang operasi himpunan yang di
dalamnya terdapat materi yang berkaitan dengan macam-macam operasi
himpunan dan juga dilengkapi dengan contoh-contoh serta latihan yang dapat
digunakan untuk lebih menambah pemahaman mahasiswa tentang operasi dalam
himpunan.
Kepada berbagai pihak yang terlibat dalam pembuatan buku ini, khususnya
kepada dosen pembimbing mata kuliah Saya mengucapkan terima kasih.
Harapan Saya semoga buku ini dapat memberikan manfaat yang berarti bagi
para mahasiswa dan pengguna lainnyadalam memahami materi operasi himpunan.
Saya menyadari masih tedapat kekurangan dalam penulisan buku ini karena itu
Saya mohon maaf yang sebesar-besarnya.
Penulis

3. 2
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ..................................................................................ii
DAFTAR ISI................................................................................................iii
PENDAHULUAN .......................................................................................1
OPERASI HIMPUNAN DAN SIFAT-SIFATNYA ...................................3
A. PENGANTAR.........................................................................................3
B. OPERASI HIMPUNAN..........................................................................5
Operasi Irisan(Interseksi).............................................................................5
Operasi Gabungan .......................................................................................8
Operasi Penjumlahan .................................................................................11
Operasi Pengurangan .............................................................................12
Komplemen................................................................................................13
C. SIFAT-SIFAT OPERASI HIMPUNAN ...............................................14
D. APLKASI HIMPUNAN DAN OPERASI HIMPUNAN DALAM
MASALAH NYATA............................................................................15
LATIHAN..................................................................................................18
RANGKUMAN .........................................................................................20
TES FORMATIF .......................................................................................21
GLOSARIUM............................................................................................25
INDEKS.....................................................................................................26
DAFTAR PUSTAKA ................................................................................27
BIODATA PENULIS ................................................................................28

4. 3
PENDAHULUAN
Penguasaan konsep dan ruang lingkup materi tentang himpunan sangat
penting karena semua cabang-cabang matematika bertumpu pada konsep dasar
dan teori himpunan. Penguasaan konsep dan teori himpunan yang memadai akan
bermanfaat bagi seorang guru atau calon guru.
Pada buku ini, akan dibahas lebih rinci tentang operasi dalam himpunan.
Melalui buku ini, para mahasiswa diharapkan dapat menguasai dan memahami
tentang operasi himpunan yang disajikan sesuai dengan tujuan instruksional
umum, yaitu mahasiswa dapat menerapkan konsep himpunan dalam
menyelesaikan masalah pada matematika maupun masalah sehari-hari.
Sedangkan tujuan instruksional khusus yang diharapkan dicapai adalah agar
mahasiswa dapat:
1. Menjelaskan pengertian operasi pada himpunan.
2. Menentukan himpunan sebagai hasil operasi dua atau lebih himpunan.
3. Menggunakan sifat-sifat operasi himpunan dalam menyelesaikan soal-
soal.
4. Menjelaskan sifat-sifat operasi himpunan.
5. Menyelesaikan soal-soal dalam matematika atau bidang lain dengan
menggunakan konsep himpunan.
Tujuan tersebut dapat Anda peroleh setelah mempelajari bahasan berikut:
a. Irisan
b. Gabungan
c. Penjumlahan
d. Pengurangan
e. Komplemen
f. Sifat-sifat operasi
g. Aplikasi operasi himpunan pada masalah nyata

5. 4
Simaklah baik-baik setiap uraiannya. Dalam mempelajarinya sbaiknya
dilakukan dalam kelompok belajar, dengan di koordinir oleh ketua kelompok
yang bertugas menjaga keharmonisan kelompok dan membuat rencana belajar.
Selain latihan soal dan tes formatif hendaknya contoh soal dikerjakan secara
mandiri sebagai latihan juga. Buatlah catatan untuk hal-hal yang tidak dipahami.
Jawaban, contoh, latihan dan tes formatif didiskusikan terlebih dahulu dalam
kelompok sebelun dicocokkan dengan kunci jawaban.
Selamat belajar! Semoga Anda semua sukses.

6. 5
OPERASI HIMPUNAN DAN SIFAT-SIFATNYA
A. PENGANTAR
Oerasi badalah suatu relasi atau hubungan yang berkenaan dengan satu unsur
atau lebih sehingga menghasilkan unsur lain yang unik (tunggal). Dengan
demikian operasi dapat dipandang sebagai suatu pemetaan (fungsi), karena:
1. Memuat unsur yang dioperasikan sebagai anggota domain (daerah asal).
2. Menghasilkan unsur yang unik sebagai anggota range (daerah hasil).
Perhatikan contoh di bawah ini:
Contoh 1.15
a. Operasi tambah (+) sebagai pemetaan pada bilangan real
+ : (2,3) 5
+ : (-1,1) 0
Pemetaan tersebut ditulis sebagai berikut.
2 + 3 = 5
(-1) + 1 = 0
b. Operasi akar kuadrat (√) sebagai pemetaan pada bilangan real tidak negatif.
√ : 4 2
√ : 4 4
√ : 4 0
Pemetaan tersebut dapat ditulis sebagai berikut.
√4 = 2
√16 = 4
√0 = 0
Operasi yang dikenakan terhadap suatu unsur disebut operasi uner (monar),
seperti tampak pada contoh (b). Sedangkan operasi yang dikenakan terhadap dua
unsur disebut operasi biner, seperti tampak pada contoh (a).

7. 6
Fvhs A
Demikian pula halnya dengan operasi pada himpunan, dapat digolongkan
ke dalam dua kelompok operasi, yaitu pertama operasi uner (monar) dan kedua
operasi biner. Kedua operasi tersebut akan diperjelas satu per satu.
Pertama contoh operasi uner (monar) misalnya operasi negasi atau yang
disebut pula penyangkalan (ingkaran). Operasi negasi merupakan operasi yang
hanya berkenaan dengan satu unsur yang dalam hal ini pernyataanlah sebagai
unsurnya. Nilai kebenaran negasi sebuah pernyataan adalah kebalikan dari nilai
kebenaran yang dimiliki oleh bpernyataannya. Dengan demikian jika sebuah
pernyataan mempunyai nilai kebenaran B (benar) maka nilai kebenaran dari
negasinya adalah S (salah), dan begitu pula sebaliknya.
Contoh operasi uner yang didefinisikan pada himpunan adalah operasi
komplemen. Operasi komplemen dinotasikan dengan menumbuhkan tanda aksen
(‘) pada himpunan yang dioperasikan itu, yang didefinisikan sebagai berikut:
𝐴’ = {𝑥|𝑥 ∉ 𝐴, 𝑥 ∈ 𝑆}
Himpunan S di sini dimaksudkan sebagai semesta dari himounan
A. Untuk menentukan A’ haruslah diketahui anggota dari A dan anggota dari S
sebagai semestanya.
Contoh 1.16
S = {1,2,3,4,5}, A = {2,4,5} adalah himpunan bagian dari S. Semua
anggota dalam S yang bukan anggota himpunan A membentuk himpunan bagian
{1,3} adalah komplemen dari himpunan A terhadap semesta S, dan komplemen
ini ditulis dengan lambang A’.
Perhatikan diagram Venn di bawah ini.
S
.2
.4
.5
.1
.3

8. 7
Kedua adalah operasi biner, operasi biner adalah operasi yang berkenaan
dengan dua unsur. Operasi biner pada himpunan yang terdefinisi ada lima macam
yaitu: operasi irisan, gabungan, penjumlahan, pengurangan, dan operasi perkalian.
Operasi-operasi binerlah yang akan dibahas dalam kegiatan belajar 3 ini
yang lebih mendalam. Simaklah oleh anda secara seksama. Selamat mempelajari.
B. OPERASI HIMPUNAN
1. Operasi Irisan (Interseksi)
Irisan dikenal juga dengan sebutan interseksi. Jika kita mengatakan dua
himpunan A dan B beririsan, maksudnya adalh himpunan elemen-elemen yang
menjadi anggota himpunan A dan juga menjadi anggota himounan B.
Operasi irisan adapat dinotasikan dengan tanda ∩ Maka untuk menuliskan
himpunan A beririsan dengan himpunan B dapat ditulis dengan operasi yaitu:
A ∩ B (dapat dibaca: “A irisan B”, atau “A interseksi B”).
Untuk memperjelas maksud dari penjelasan tersebut perhatikanlah contoh
berikut ini:
Contoh 1.17
Bila A = {p,q,r,s} dan B = {r,s,t} maka A ∩ B = {r,s}.
Hasil tersebut dapat digambarkan melalui diagram Venn sebagai berikut:
.p
.q
.t
.r
.s
S A B

9. 8
Diperoleh A ∩ B = {r,s}, karena r dan s termasuk dalam anggota
himpunan A sekaligus termasuk dalam anggota himpunan A sekaligus termasuk
anggota himpunan B.
Contoh 1.18
Bila P = { 1,2,5,7} dan Q = {2,5,7} maka P ∩ Q = {2,5,7}.
Hasil tersebut dapat digambarkan melalui diagram Venn sebagai berikut.
Diperoleh 𝑃 ∩ 𝑄 = {2,5,7}, karena 2, 5, 7 termasuk dalam anggota
himpunan P sekaligus termasuk dalam anggota himpunan Q.
Selanjutnya, operasi irisan juga dapat didefinisikan sebagai berikut:
𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴, 𝑥 ∈ 𝐵}, himpunan A irisan B adalah himpunan x
sedemikian hingga x merupakan anggota A dan x merupakan anggota B.
Dari definisi di atas, disimpulkan bahwa irisan antara dua buah himpunan
adalah himpunan yang anggotanya termasuk pada kedua himpunan itu.
Ada dua jenis relasi berkenaan dengan operasi irisan, yaitu:
a. Relasi berpotongan
dua buah himpunan disebut memiliki relasi berpotongan jika dan hanya jika (j.h.j)
irisannya bukan himpunan kosong. Ditulis dalam notasi matematika : A ∩ B ≠ ∅
Himpunan-himpunan yang birisannya tidak kosong disebut himpunan
berpotongan atau himpunan beririsan (join sets)
P
.1
Q
. 2 . 5 .7
S

10. 9
b. Relasi Lepas
dua himpunan disebut memiliki relasi lepas jika dan hanya jika (j.h.j) irisannya
merupakan himpunan kosong. Ditulis dalam notasi matematika: 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅
Pada beberapa sumber ajar, sering pula notasi disajikan dengan // yang berarti
relasi lepas.
Himpunan-himpunan yang irisannya merupakan himpunan kosong
disebut himpunan-himpunan yang saling lepas (disjoint sets).
Contoh operasi irisan:
Contoh 1.19
A = (1,2,3), B = (0,2,4,5), diperoeh A ∩ B = {2}
Diagram Venn-nya digambarkan sebagai berikut.
Daerah yang diarsir pada diagram Venn tersebut menyatakan A ∩ B
Contoh 1.20
C = {1,3,5,7}, D = {0,2,4,6,8}
Diperoleh A ∩ B = ∅
Diagram Venn-nya
A
.1
.3
B
.2 .0
.4 .5
S
S
j
k
g
g
f
y

11. 10
Karena irisannya ∅ maka tidak ada daerah yang diarsir.
Contoh 1.21
E = {2,3,5,7}, F = {x|x ≤ 8, x bilangan asli}
E ∩ F = { 2,3,5,7}, E ∩ F = E. Relasinya E ∩ F
Diagram Venn-nya
2. Operasi Gabungan
Melakukan operasi gabungan dua buah himpunan adalah membentuk
himpunan baru yang anggota-anggotanya meliputi semua anggota dua himpunan
yang digabungkan.
Gabungan (union) dari dua buah himpunan A dan B adslsh himpunsn
elemen-elemen yang menjadi anggota himpunan A saja atau B saja, atau anggota
himpunan A dan B kedua-duanya.
Himpunan gabungan ditulis A ∪ B (“A gabungan B” atau “A union B”
atau “gabungan dari A dan B” atau “union dari A dan B”)
.1
.3
.5
.7
.0
.2 .4
.6 .8
E
.1
.6
.8
.2 .3
.5 .7
S
S
j
k
g
g
f
y
P Q
S F

12. 11
Contoh 1.22
S = {1,2,3, ....,10}. A = {1,2,3,4,5}, B = {4,5,6,7} maka A ∪ B =
{1,2,3,4,5,6,7}
Daerah yang diarsir dalam diagram Venn di atas menunjukan A ∪ B dan A ∪ B
= {4,5}
Adapun definisi operasi gabungan antara dua himpunan adalah A ∪ B = {x|x ∈
A atau x ∈ B}, dibaca himpunan A gabungan B adalah himpunan xsedemikian
hingga x merupakan anggota A atau x merupakan anggota B.
Pengertian “atau” dalam definisi di atas bersifat inklusif, yaitu untuk x anggota
A saja, x anggota B saja, dan x anggota irisannya (A ∪ B).
Contoh 1.23
𝐴 = {1,2,3}, 𝐵 = {0,2,4,5) diperoleh 𝐴 ∪ 𝐵 = {0,1,2,3,4,5}
Diagram Venn-nya
Daerah yang berwarna biru menyatakan 𝐴 ∪ 𝐵.
A
.1
.3
B
.4
.2 .0
.5
S
Hgh .8 .9 .10
S
.1
.2
.3
.4
.5
.6
.7
A B

13. 12
Contoh 1.24
𝐶 = {1,3,5,7}, 𝐷 = {0,2,4,6,8} diperoleh 𝐶 ∪ 𝐷 = {0,1,2,3, . . . ,8}
Diagram Venn-nya
Daerah yang berwarna biru meenyatakan C ∪ D
Contoh 1.25
E = {2,3,5,7}, F = {x|x ≤ 8, x bilangan asli}
E F = {x|x ≤ 8, x bilangan asli}
= {1,2,3, ..., 8}
= F
Diagram Venn-nya
Daerah yang berwarna biru menunjukan 𝐸 ∪ 𝐹
C
.1 .3
.5 .7
D
.0 .2
.4 .6
.8
F
.1 .4
.6 .8
E
. 2 .3
.5 .7
Hduh S
Sjgfd S

14. 13
3. Operasi penjumlahan
Operasi penjumlahan dua buah himpunan jika dinyatakan dengan notasi
pembentuk himpunan ditulis.
𝐴 + 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴, 𝑥 ∈ 𝐵, 𝑋 ∉ (𝐴 ∩ 𝐵)
Himpunan A tambah himpunan B, ditulis A + B, adalah himpunan yang
anggotanya merupakan anggota himounan A atau himpunan B, tetapi bukan
anggota A ∩ B.
Contoh 1.26
𝐴 = (1,2,3), 𝐵 = (0,2,4,5), diperoeh 𝐴 + 𝐵 = {0,1,3,4,5}
Diagram Venn-nya
Contoh 1.27
C = {1,3,5,7}, D ={0,2,4,6,8} diperoleh C + D = {0,1,2,3, ...,8}
Daerah yang berwarna biru menyatakan C + D
A
.1
.3
B
.4
.2 .0
.5
C
.1 .3
.5 .7
D
.0 .2
.4 .6
.8
Sjgfd S
Sjgfd S

15. 14
Ternyata bahwa operasi (+) dan gabungan untuk dua himpunan lepas C dan D
menghasilkan himpunan yang sama.
4. Operasi Pengurangan
Operasi pengurangan dua buah himpunan diberi notasi (-), yang
didefinisikan sebagai berikut:
𝐴 – 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴, 𝑥 ∉ 𝐵}
Contoh 1.28
A = (1,2,3), B = (0,2,4,5), diperoeh A - B = {1,3}
Diagram Venn-nya
Contoh 1.29
C = {1,3,5,7}, D ={0,2,4,6,8} diperoleh C - D = {1,3,5,7} = C
Ternyata bahwa selisih dua himpunan lepas sama dengan himpunan yang
dikurangi.
Diagram Venn-nya
A
.1
.3
B
.2 .0
.4 .5
C
.1 .3
.5 .7
D
.0 .2
.4 .6
.8
Sjgfd S
Sjgfd S

16. 15
5. Komplemen
Dalam kasus matematika, komplemen bilangan A adalah bilangan lain B
sedemikian sehingga jumlah A + B akan menghasilkan bilangan semesta yang
diinginkan.
Komplemen dari himpunan Adidefinisikan sebagai suatu himpunan yang
anggota-anggotanya adalah anggota himpunan semesta yang tidak (bukan)
merupakan anggota himpunan A.
Contoh 1.30
a. Komplemen himpunan A (A’) jika disajikan dengan diagram venn
Daerah yang diarsir merupakan komplemen himpunan A.
b. Komplemen himpunan A (A’) jika disajikan dengan mendaftar anggotanya
jika S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} dan A = {1,2,3,4,5}
Maka A’= {6,7,8,9,10}
c. Komplemen himpunan A (A’) jika disajikan dengan kata-kata
Contoh: Jika S adalah himpuna bilangan cacah dan A adalah himpunan bilangan
genap dalam S maka A’ adalah himpunan bilangan ganjil.
d.Komplemen himpunan A (A’) jika disajikan dengan notasi pembentuk
himpunan.
A
Sjgfd S
Ygf A’

17. 16
Telah kita ketahui bahwa komplemen dari himpunan A didefinisikan
sebagai suatu himpunan yang anggota-anggotanya adalah anggota-anggota
himpunan semesta yang tidak (bukan) merupakan anggota himpunan A.
Dengan notasi pembentuk himpunan, pernyataan itu dapat kita tulis:
𝐴’ = {𝑥|𝑥 ∈ 𝑆 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ∉ 𝐴}
C. SIFAT-SIFAT OPERASI HIMPUNAN
Operasi-operasi komplemen, gabungan, dan irisan memenuhu beberapa sifat
dasar sebagai berikut untuk setiap himpunan A, B, C dalam semesta S:
1. (𝐴’)’ = 𝐴 (INFOLUSI)
2. 𝐴 ∪ 𝐴 = 𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝐴 ∩ 𝐴 = 𝐴 (INDEMPOTEN)
3. 𝐴 ∩ 𝑆 = 𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝐴 ∪ ∅ = 𝐴 (IDENTITAS)
4. A ∪ 𝑋 = 𝑋 𝑑𝑎𝑛 𝐴 ∩ ∅ = ∅ (IDENTITAS)
5. 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴 (KOMUTATIF)
6. 𝐴 ∪ ( 𝐵 ∪ 𝐶) = ( 𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶 𝑑𝑎𝑛
𝐴 ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶 (ASOSIATIF)
7. 𝐴 ∪ ( 𝐵 ∩ 𝐶) = ( 𝐴 ∪ 𝐵) ∩ ( 𝐴 ∪ 𝐶) 𝑑𝑎𝑛
𝐴 ∩ ( 𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶) (DISTRIBUTIF)
8. 𝐴 ∪ 𝐴′
= 𝑋 ∪ 𝑑𝑎𝑛 𝐴 ∩ 𝐴′
= ∅ (KOMPLEMENTER)
9. ( 𝐴 ∪ 𝐵)′
= 𝐴′
∩ 𝐵′
𝑑𝑎𝑛 ( 𝐴 ∩ 𝐵)′
= 𝐴′ ∪ 𝐵′ (DE MORGAN)
10. 𝐴 ∪ ( 𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝐴 ∩ ( 𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐴 (ABSORBSI)

18. 17
D. APLIKASI HIMPUNAN DAN OPERASI HIMPUNAN DALAM
MASALAH NYATA
Konsep tentang himpunan tidak hanya menjadi dasar dan pengembangan
cabang matematika, tetapi banyak diterapkan dalam permasalahan kehidupan
sehari-hari.
Berikut ini adalah contoh mengenai penerapan konsep himpunan dalam
membantu menyelesaikan permaalahan dalam kehidupan sehari-hari.
Contoh 1.31
Suatu sekolah TK mempunyai tiga Tim kesenian, yaitu tim A merupakan
tim paduan suara, tim B adalah tim tari, dan tim C adalah tim seni mkusik
angklung.
Anggota tim A adalah Yuanda, Nada, Rafi, Yuki, Nanda, Rido dan Mona.
Anggota tim B adalah Sinta, Reni, Andi, Banu, Yuki, Rafi, Nada.
Sedangkan anggota tim C adalah Rafi, Nada, Reni, Andi, Serly, Novi, Desi,
Yunda, dan Mona.
Berapa siswa yang hanya menjadi anggota dari satu tim dan berapa siswa
yang terlibat dalam tiga tim?
Jawab: Notasi himpunan dari soal diatas adalah:
A = {Yuanda, Nada, Rafi, Yuki, Nanda, Rido dan Mona}
B = {Sinta, Reni, Andi, Banu, Yuki, Rafi, Nada}
C = {Rafi, Nada, Reni, Andi, Serly, Novi, Desi, Yunda, Mona}

19. 18
Diagram Venn-nya
Banyaknya siswa yang menjadi anggota satu tim sebanyak 7 siswa, yaitu:
Nanda, Rido, Sinta, Banu, Serly, Novi dan Desi.
Banyak siswa yang menjadi anggota tiga tim sebanyak 2 siswa, yaitu: Rafi dan
Nada.
Contoh 1.32
Dalam suatu pertemuan antar 45 penyalur mobil merk A, B, C dapat
dipenuhi informasi sebagai berikut: 14 penyalur menjual mobil merk A,15
penyalur menjual mobil merk B, 12 penyalur menjual mobil merk C, 10
penyalur menual merk mobil A dan B, 5 penyalur menjual mobil merk B dan C,
6 penyalur menjual mobil merk A dan C, dan 3 penyalur menjual ketiga merk
mobil itu.
a. Berapa penyalur mrnjual merk mobil A saja?
b. Berapa penyalur menjual merk mobil A atau B atau C?
c. Berapa penyalur tidak menjual satu pun dari merk mobil itu?
s
.Nanda
.Rido
.Yuki
.Desy
.Serly
.Novi
..Yunda
.Sinta
.Banu
.Rafi
..Mona
.Nada
.Reni
.Andi
B
C
A

20. 19
Penyelesaian:
Diketahui: 𝑛(𝐴) = 14, 𝑛(𝐵) = 15, 𝑛(𝐶) = 12, 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 = 10, 𝑛( 𝐵 ∩ 𝐶) = 5,
𝑛( 𝐴 ∩) = 6, 𝑛( 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 3.
Ditanya: 𝑛(𝐴 − ( 𝐵 ∪ 𝐶), 𝑛( 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶),𝑛(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶)′
Jawab:
a. 𝑛(𝐴 − ( 𝐵 ∪ 𝐶) = 14 − (7 + 3 + 3) = 1, jadi ada 1 penyalur yang
menjual mobil merek A saja.
b. 𝑛( 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 1 + 7 + 3 + 3 + 3 + 2 + 4 = 23, jadi ada 23 penyalur
yang menjual mobil merk A atau B atau C.
c. 𝑛( 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶)′
= 45 − 23 = 22, jadi ada 23 penyalur yang tidak menjual
satupun dari mobil merk mobil itu.
7
42
3
3
31
C
2
2
B
A
S

21. 20
LATIHAN
Untuk mmemperdalam pemahaman Anda mengenai materi diatas, kerjakanlah
latihan berikut!
1) Jika S = {1,2,3,4,5,6,7,8}
A = {1,2,3,4}
B = {4,5,6,7}
Tentukanlah:
𝑎) 𝐴 ∩ 𝐵
𝑏) 𝐴 ∪ 𝐵
𝑐) 𝐴 + 𝐵
𝑑) 𝐴 – 𝐵
𝑒) 𝐴’
2) Dari sekelompok anak TK diperoleh: 10 anak senang membuat origami, 8 anak
senang mewarnai gambar, 3 anak senang membuar origami dan mewarnai gambar
dan dua anak tidak suka membuat origami maupun mewarnai gambar.
Tentukanlah jumlah anak dalam kelompok tersebut.
Petunjuk Jawaban Latihan
Nomor 1
a) A ∩ B (dibaca A irisan B) adalah sebuah himpunan yang anggotanya
merupakan anggota himpunan A dan B.
Dari soal terlihat “4” ada di A dan “4” ada juga di B sehingga A ∩ B = {4}
b) A ∪ B dibaca A gabungan B), adalah sebuah himpunan yang anggotanya
meliputi seluruh anggota himpunan A dan anggota himpunan B (anggota
yang sama cukup ditulis satu kali saja). Dari soal dapat ditentukan A ∪ B
= {1,2,3,4,5,6,7}
c) A + B (dibaca A ditambah B) adalah himpuanan yang anggotanya
merupakan anggota himpunan A atau himpunan B, tetapi bukan anggota A
∩ B. Karena 4 adalah irisan dari A dan B berarti 4 tidak termasuk ke
dalam himpunan A + B. Selain 4 semua anggota A dan semua anggota B
merupakan anggota A + B. Jadi, hasil A + B = {1,2,3,5,6,7}

22. 21
d) A – B (dibaca A dikurang B) adalah himpunan yang anggotanya
merupakan anggota himpunan A tetapi tidak menjadi anggota himpunan
B. Dari soal terlihat A = {1,2,3,4}, padahal 4 ∈ B, sehingga dapat
ditentukan A – B = {1,2,3}
e) A’ (dibaca komplemen dari himpunan A) adalah himpunan yang anggota-
anggotanya adalah anggota himpunan semesta yang bukan merupakan
anggota himpunan A.
Dari soal terlihat :
S = {1,2,3,4,5,6,7,8}
A = {1,2,3,4}
Sehingga dapat ditentukan A’ = {5,6,7,8}
Nomor 2
Soal latihan nomor 2 akan lebih mudah penyelesaiannya jika dibuat
terlebih dahulu diagram Venn-nya. Sebagai berikut:
Karena ada anak yang senang keduanya maka diagramVenn-nya saling
berpotongan. Isilah dengan angka 3 diwilayah yang berpotongan, karena
ada tiga anak yang senang keduanya. Anak yang senang membuat origami
10 anak berarti ada 10 anak di kurva “O” jumlahnya menjadi 10.
Yang senang mewarnai gambar 8 anak, dan telah ada 3 berarti tinggal
tambahkan 5 agar jumlahnya menjadi 8.
Yang tidak suka keduanya ditulis diluar kurva “O” dan “W” yaitu 2.
Sehingga anak dalam kelompok tersebut adalah: 7 anak + 3 anak + 5 anak
+ 2 anak = 17 anak.
O
7
W
3 5
Sjgfd S
Sjgfd 2

23. 22
RANGKUMAN
Secara umum pembahasan terkait dengan kegiatan belajar 3 dapat
disimpulkan sebagai berikut:
1) Operasi dua himpunan berupa:
a) 𝐴 ∩ 𝐵 (𝑑𝑖𝑏𝑎𝑐𝑎 𝐴 𝑖𝑟𝑖𝑠𝑎𝑛 𝐵) = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ∈ 𝐵}
b) 𝐴 ∪ 𝐵 (𝑑𝑖𝑏𝑎𝑐𝑎 𝐴 𝑔𝑎𝑏𝑢𝑛𝑔𝑎𝑛 𝐵) = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 ∈ 𝐵}
c) 𝐴 + 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴, 𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥 ∉ (𝐴 ∩ 𝐵)}
d) 𝐴 – 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴, 𝑥 ∉ 𝐵}
2) Komplemen dinyatakan dalam:
𝐴’ = {𝑥 ∈ 𝑆, 𝑥 ∉ 𝐴}

24. 23
TES FORMATIF 1
Pilihlah satu jaawaban yang paling tepat!
1) Diketahui:
A = {bilangan prima kurang dari 12}
B = {1,3,5,7,9}
Maka A ∩ B adalah:
A. {2}
B. {3,5,7}
C. {3,5,7,9}
D. {1,3,5,7,9}
2) Perhatikan diagram Venn berikut:
Dari gambar A ∪ B adalah ...
A. {1,2,3,...,9}
B. {1,2,3,4,5,6}
C. {7,8,9}
D. {3,4}
3) Jika A = {alat transpportasi}, dan B = {kendaraan roda dua} maka A ∪ B
adalah ...
A. {}
B. 𝐴
C. 𝐵
D. 0
A
.1
.2
B
.3 .5
.4 .6
Sjgfd S
.7
.8
.9

25. 24
4) Jika P = {tiga bilangan prima yang pertama}, dan Q = {bilangan asli
kurang dari 10}, maka Q – P adalah ...
A. {1,4,6,8,9}
B. {1,2,6,7,8,9}
C. {1,2,4,6,7,8,9}
D. {1,4,6,7,8,9}
5) Jika S = {bilangan cacah kurang dari 10}, A = {0,2,4,6}, B = {1,3,5,7} ;
maka A ∩ B adalah ...
A. {}
B. {𝑥|𝑥 < 7, 𝑥 ∉ 𝑆}
C. {𝑥|𝑥 < 10, 𝑥 ∉}
D. {𝑥| 0 < 𝑥 < 7, 𝑥 ∉}
6) Jikan S = {warna pelangi}, A = {warna lampu lalu lintas} maka
komplemen dari A adalah ...
A. {𝑚𝑒𝑟𝑎ℎ, 𝑗𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎, 𝑘𝑢𝑛𝑖𝑛𝑔, ℎ𝑖𝑗𝑎𝑢, 𝑏𝑖𝑟𝑢, 𝑛𝑖𝑙𝑎, 𝑢𝑛𝑔𝑢}
B. {𝑚𝑒𝑟𝑎ℎ, 𝑘𝑢𝑛𝑖𝑛𝑔, ℎ𝑖𝑗𝑎𝑢}
C. {𝑗𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎, 𝑏𝑖𝑟𝑢, 𝑛𝑖𝑙𝑎, 𝑢𝑛𝑔𝑢}
D. {}
7) Dari sekelompok anak TK diperoleh data: 15 anak suka minum susu, 10
anak suka minum teh; dan lima anak suka kedua-duanya; serta 3 anak
tidak suka susu ataupun teh. Jumlah anak dalam kelompok tersebut adalah
...
A. 33
B. 23
C. 30
D. 28
8) Dari angket yang dilaksanakan pada suatu kelas yang terdiri dari 50 siswa
diperoleh data sebagai berikut: 20 orang siswa senang menari, 30 orang
siswa senang menyanyi, dan 10 orang siswa tidak senang kedua-duanya.
Banyaknya siswa yang senang menari dan menyanyi adalah ...
A. 20 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔

26. 25
B. 5 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔
C. 10 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔
D. 15 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔
9) Dari 40 orang anak, 16 orang memelihara burung; 21 orang memelihara
kucing dan 12 orang memelihara burung dan kucing. Banyaknya anak
yang tidak memelihara burung ataupun kucing sebanyak ...
A. 12 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔
B. 15 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔
C. 19 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔
D. 28 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔
10) Jiika A = {1,2,3,4,5}, dan B = {4,5,6,7,8,9} maka A + B adaalah ...
A. {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
B. {4,5}
C. {1,2,3,6,7,8,9}
D. {1,2,3}

27. 26
Cocokkanlah jawaban Anda dengan kunci jawaban tes formatif 3 yang
terdapat dibagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar.
Kemudian gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda
terhadap Materi Kegiatan Belajar 3.
𝑇𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑡 𝑝𝑒𝑛𝑔𝑢𝑎𝑠𝑎𝑎𝑛 =
𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝐽𝑎𝑤𝑎𝑏𝑎𝑛 𝑌𝑎𝑛𝑔 𝐵𝑒𝑛𝑎𝑟
𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑠𝑜𝑎𝑙
𝑥 100%
Arti tingakat penguasaan: 90 – 100% = baik sekali
80 – 89% = baik
70 – 79% = cukup
< 70% = kurang
Apabila mencapai tingkat 80% atau lebiih, Anda dapat meneruskan
dengan modul selanjutnya.Bagus! jika masih di bawah 80% Anda harus
mengulangi materi Kegiatan Belajar 3, terutama bagi yang belum dikuasai.
Kunci Jawaban Tes Formatif
1) B. {3,5,7}
2) B. {1,2,3,4,5,6}
3) B. A
4) D. {1,4,6,7,8,9}
5) A. {}
6) C. {jingga, Biru, Nila, Ungu}
7) B 23
8) C. 10 orang
9) B. 15 orang
10) C. {1,2,6,7,8,9}

28. 27
GLOSARIUM
Gabungan : Semua anggota dari himpunan-himpunan yang
dibicarakan.
Himpunan : Kumpulan obyek yang dapat didefinisikan dengan
jelas dan dapat dibeda-bedakan.
Himpunan Semesta : Himpunan yang memuat seluruh himpunan yang
dibicarakan.
Irisan : Persekutuan dari himpunan-himpunan yang
dibicarakan.
Komplemen : Himpunan anggota-anggota yang ada di dalam
semesta yang bukan anggota himpunan yang
dimaksud.
Operasi biner : Operasi yang dikenakan terhadap dua unsur.
Operasi uner (monar) : Operasi yang dikenakan terhadap satu unsur.

29. 28
INDEKS
Gabungan (8, 9, 10, 11, 12)
Himpunan (
Himpunan Semesta
Irisan
Komplemen
Operasi biner
Operasi uner (monar)

30. 29
DAFTAR PUSTAKA
Nugraha, Ali dan Dwiyana, Dina A. Sy. (2008). Dasar-dasar Matematika dan
Sains. Jakarta: Universitas Terbuka.
Susilo, Frans. (2012). Landasan Matematika. Yogyakarta: Graha Ilmu.
Lipschuts,S; Silaban, P. 1985. Teori Himpunan. Jakarta: Erlangga.
Sartono.2014. Belajar Himpunan.
http://collegerlearn.blogspot.com/2012/06/belajar-himpunan-matematika Diskrit
.html
Wikipedia.2017.http://id.wikipedia.org/wiki/Himpunan

31. 30
IDENTITAS PENULIS
Dewi Nur Aisyah, lahir di Bengkulu Utara pada tanggal 22 Agustus 1998.
Merupakan lulusan SD Negeri 13 Padang Jaya, SMP Negeri 5 Padang Jaya,
SMA Negeri 1 Paadang Jaya. Saat ini sedang menjalani perkuliahan di
Universitas Bengkulu pada Program Studi Pendidikan Matematika Fakultas KIP
UNIB.
Kegiatan sehari-hari sebagai mahasiswa aktif UNIB dan tergabung
dalam beberapa organisasi kampus. Diantaranya ada Himatika dan Fosi serta
aktif dalam kegiatan leadership kampus yaitu mengikuti perkuliahan Student
Leadership Education Jilid 5 (SLE #5). Buku operasi himpunan dan sifat-sifatnya
merupakan buku pertama yang ditulis.