1. “Perpustakaan dari Keterampilan Berpikir yang tinggi”
PENERAPAN UNTUK MATEMATIKA
DASAR
INFORMASI SUKSES
UNTUK RUANG KELAS,
PEKERJAAN DI RUMAH
DAN UJIAN
Oleh: Dr. Ir. Soetyono Charles Iskandar, M.T.,M.Pd
Email: soet_54mks@yahoo.com
Telepon: 08124226167
Desember 2020
2. Bagian 1 Jumlah dan Aljabar
=============================================
1
______________________________________________________________
Fraksi-fraksi, desimal-desimal dan persentasi-persentasi
______________________________________________________________
1.1 Fraksi-Fraksi
Ketika 2 dibagi dengan 3, itu dapat ditulis sebagai
3
2
atau ⅔ disebut suatu fraksi. Angka
di atas garis, yaitu 2, disebut pembilang dan angka di bawah garis, yaitu 3, disebut
penyebut (denominator).
Ketika nilai pembilang kurang daripada nilai penyebut, fraksi disebut suatu fraksi
yang tepat; dengan demikian
3
2
adalah suatu fraksi yang tepat. Ketika nilai pembilang
lebih besar daripada penyebut, fraksi disebut suatu fraksi tidak tepat. Dengan demikian
3
7
adalah suatu fraksi tidak tepat dan dapat juga diekspresikan sebagai suatu angka
campuran, yaitu suatu fraksi bulat dan tepat. Dengan demikian
3
7
fraksi tidak tepat sama
dengan angka campuran
3
1
2 .
Ketika suatu fraksi disederhanakan dengan membagi pembilang dan penyebut oleh
jumlah yang sama oleh angka yang sama, proses itu disebut pembatalan. Pembatalan oleh
0 tidak dapat diizinkan.
Soal 1. Sederhanakan
7
2
3
1
Perkalian umum paling rendah (yaitu LCM) dari dua penyebut adalah 3 x 7, yaitu 21.
Nyatakan setiap fraksi agar penyebut-penyebut mereka adalah 21, memberi:
21
13
21
67
21
6
21
7
3
3
7
2
7
7
3
1
7
2
3
1
xx
Secara alternatif :
Langkah (2) langkah (3)
3. 21
)23()17(
7
2
3
1 xx
Langkah (1)
Langkah (1) : LCM dari dua penyebut
Langkah (2) : untuk fraksi ⅓, 3 jadi 21 kali 7, 7x pembilang adalah 7 x 1
Langkah (3) : untuk fraksi
7
2
, 7 jadi 21 kali 3, 3 x pembilang adalah 3 x 2.
Dengan demikian
21
13
21
67
7
2
3
1
seperti diperoleh sebelumnya.
Soal 2. Cari nilai
6
1
2
3
2
3
Satu metode adalah membelah angka-angka campuran ke dalam angka-angka bulat dan
bagian-bagian fraksi mereka. Kemudian
6
1
2
3
2
3
6
1
2
3
2
3
6
1
2
3
2
3
=
2
1
1
6
3
1
6
1
6
4
1
Suatu metode lain adalah menyatakan angka-angka campuran sebagai fraksi-fraksi yang
tidak tepat.
Sejak 3=
3
9
, kemudian 3
3
11
3
2
3
9
3
2
Dengan serupa,
6
13
6
1
6
12
6
1
2
Dengan demikian,
2
1
1
6
9
6
13
6
22
6
13
3
11
6
1
2
3
2
3 seperti diperoleh sebelumnya
Soal 3. Tentukan nilai
5
2
1
4
1
3
8
5
4
5
2
4
1
8
5
)134(
5
2
1
4
1
3
8
5
4
40
2811055
2
xxx
4. 40
161025
2
=2+
40
31
2
40
31
Soal 4. Cari nilai
15
14
7
3
x
Bagi pembilang dan penyebut dengan 3 memberi:
57
141
15
14
7
1
15
14
7
3
x
x
xx
Bagi pembilang dan penyebut dengan 7 memberi:
5
2
51
21
57
141
x
x
x
x
Proses ini membagi pembilang dan penyebut dari suatu fraksi oleh faktor yang sama
disebut pembatalan.
Soal 5. Evaluasi
7
3
3
3
1
2
5
3
1 xx
Angka-angka campuran harus dinyatakan sebagai fraksi-fraksi tidak tepat sebelum
perkalian dapat dilakukan.
Dengan,
7
3
3
3
1
2
5
3
1 xx
=
7
3
7
21
3
1
3
6
5
3
5
5
xx
=
115
818
7
24
3
7
5
8
xx
xx
xx
=
5
4
12
5
64
Soal 6. Sederhanakan
21
12
.
.
7
3
21
12
7
3
21
12
.
.
7
3
Kalikan baik pembilang maupun penyebut oleh resiprokal dari penyebut memberi:
5. 4
3
1
4
3
12
21
21
12
12
21
7
3
21
12
7
3
x
x
Metode ini dapat diingat oleh peraturan: membalikkan fraksi kedua dan ubah operasi dari
pembagian hingga perkalian. Dengan demikian:
4
3
12
21
7
3
21
12
.
.
7
3
x seperti diperoleh sebelumnya
Soal 7. Cari nilai dari
55
42
22
3
5
28
3
22
.
.
5
28
3
1
7
.
.
5
3
5 x
Soal 8. Sederhanakan
3
1
8
3
.
.
4
1
5
2
3
1
x
Bentuk pendahuluan operasi-operasi untuk masalah-masalah mengandung fraksi-fraksi
sama seperti untuk bilangan-bilangan bulat, ialah ingat BODMAS (kurung-kurung, dari,
pembagian, perkalian, tambah dan kurang/brackets, of, division, multification, addition
and substraction)
Dengan demikian
3
1
8
3
.
.
4
1
5
2
3
1
x
24
3
.
.
20
1524
3
1 xx
(B)
=
1
8
20
13
3
1
x (D)
=
5
26
3
1
(M)
=
15
)263()15( xx
(S)
=
15
13
4
15
73
Soal 9. Tentukan nilai dari
2
1
16
3
.
.
8
1
5
4
1
2
2
1
3
6
7
dari
2
1
16
3
.
.
8
1
5
4
1
2
2
1
3
6
7
dari
7. 5. (a)
7
2
1
9
7
5
3
xx (b)
39
4
3
11
7
4
17
13
xx
[(a)
5
3
(b)11]
6. (a)
64
45
.
.
8
3
(b) 1
9
5
2
.
.
3
1
[(a)
15
8
(b)
23
12
7.
3
1
15
8
.
.
5
3
2
1
]
24
7
1[
8.
15
7
dari
16
15
.
.
4
3
7
5
15x
5
4
5
9.
7
2
5
3
.
.
3
1
3
2
4
1
x
126
13
10.
5
3
1
4
1
3
2
.
.
4
1
1
3
2
x
55
28
2
1.2 Rasio dan Proporsi
Rasio satu kuantitas untuk suatu kuantitas lain adalah suatu fraksi, dan jumlah waktu-
waktu satu kuantitas terkandung dalam suatu kuantitas lain dari jenis yang sama. Jika satu
kuantitas secara langsung proporsional pada satu kuantitas lain, kemudian sementara satu
kuantitas berlipat ganda, kuantitas lain juga berlipat ganda. Ketika satu kuantitas secara
terbalik adalah proporsional pada satu kuantitas lain, kemudian sementara satu kuantitas
berlipatganda, kuantitas lain terbagi dua.
Soal 10.Sepotong kayu gelondongan panjang 273 cm dipotong menjadi 3 potong dalam
rasio dari 3 jadi 7 jadi 11.Tentukan panjang-panjang 3 potong.
Jumlah total bagian-bagian dari 3+7+11, yaitu 21. Karena itu 21 bagian berhubungan
dengan 273 cm.
1 bagian berhubungan dengan
11
273
13 cm
3 bagian berhubungan dengan 3 x 13= 39 cm
7 bagian berhubungan dengan 7 x 13 = 91 cm
11 bagian berhubungan dengan 11 x 13 = 143 cm
8. Jadi panjang-panjang dari 3 potong adalah 39 cm, 91 cm, 143 cm.
(Periksa : 39 + 91 + 143 =273)
Soal 11. Sebuah roda peralatan memiliki 80 gigi dalam mata jala dengan suatu peralatan
25 gigi. Apakah rasio peralatan?
Rasio peralatan adalah 80: 25 = 2.3
5
16
25
80
Yaitu rasio peralatan = 16:5 atau 3.2 :1
Soal 12. Suatu kadar terbuat dari logam A dan B dalam rasio 2.5 : 1 oleh massa. Berapa
banyak dari A harus ditambah untuk 6 kg dari B untuk membuat kadar?
Rasio A: B: : 2.5 : 1 (yaitu A banding B sebagai 2.5 banding 1) atau
1
5.2
B
A
2.5
Ketika B= 6 kg,
6
A
2.5 dari mana,
A=6 x 2.5 =15 kg
Soal 13. Jika 3 orang dapat menyelesaikan suatu tugas dalam 4 jam, berapa lamakah 5
orang menyelesaikan tugas yang sama, berasumsi bahwa standar kerja tetap konstan.
Semakin banyak jumlah orang, semakin cepat tugas itu diselesaikan, karena itu proporsi
sebaliknya ada.
3 orang menyelesaikan tugas itu dalam 4 jam
1 orang mengambil waktu 3 jam, yaitu 4 x 3 =12 jam,
5 orang dapat melakukan itu dalam
5
1
dari waktu yang satu orang ambil,
5
12
jam atau 2
jam 24 menit.
__________________________________________
Sekarang coba latihan berikut
Latihan 5 Soal-soal lebih jauh tentang rasio dan proporsi
1. Bagi 621 cm dalam rasio 3 jadi 7 jadi 13 [81 cm jadi 189 cm jadi 351 cm]
2. Ketika mencampur sejumlah cat, cat dari empat warna yang berbeda digunakan dalam
rasio 7:3:19:5. Jika massa dari cat pertama digunakan adalah 3
2
1
g, tentukan massa total
cat digunakan. [17 g]
9. 3. Tentukan berapa banyak tembaga dan berapa banyak seng dibutuhkan untuk membuat
suatu batang kuningan jika mereka harus berada dalam proporsi tembaga:seng ::8: 3 oleh
massa. [72 kg :27 kg]
4. Itu membutuhkan 21 jam untuk 12 orang untuk mengganti suatu bentangan jalan.
Carilah berapa banyak orang dibutuhkan untuk mengganti suatu bentangan jalan serupa
dalam 50 jam 24 menit, sambil menganggap bahwa standar kerja tetap konstan. [5]
5. Itu membutuhkan 3 jam 15 menit untuk terbang dari kota A ke kota B pada suatu
kecepatan konstan. Cari berapa lama perjalanan memakan waktu jika
(a) Kecepatan 1
2
1
kali dari kecepatan asli dan
(b) Jika kecepatan adalah ¾ dari kecepatan asli.
[(a) 2 jam 10 menit (b) 4 jam 20 menit]
___________________________________________________________________
1.3 Desimal
Sistem desimal bilangan-bilangan didasarkan atas digit-digit 0 hingga 9. Suatu jumlah
seperti 53.17 disebut suatu fraksi desimal, suatu poin desimal memisahkan bagian bulat,
yaitu 53, dari bagian fraksi, yaitu 0.17.
Suatu bilangan yang mana dapat diekspresikan secara tepat sebagai suatu fraksi
desimal disebut suatu desimal terbagi habis (terminating decimal) dan yang tidak dapat
dinyatakan secara tepat sebagai suatu fraksi desimal disebut desimal-desimal tidak
terbagi habis (non-terminating decimal). Dengan demikian
2
3
1.5 adalah suatu desimal
terbagi habis tetapi
3
4
1.33333… adalah suatu desimal tidak terbagi habis.
1.33333…dapat ditulis sebagai 1.3 disebut ‘pengulangan 1 poin-3’.
Jawaban untuk suatu desimal tidak terbagi habis dapat dinyatakan dalam dua cara,
tergantung pada ketepatan dibutuhkan:
(i) benar untuk suatu bilangan dari gambaran-gambaran signifikan, yaitu gambaran-
gambaran yang mana berarti sesuatu, dan
(ii) benar untuk suatu bilangan dari tempat-tempat desimal, yaitu bilangan gambaran-
gambaran setelah poin desimal.
10. Digit terakhir dalam jawaban itu tidak berubah jika digit berikut di sebelah kanan berada
dalam kelompok bilangan-bilangan 0, 1, 2, 3, 4, tetapi ditambah 1 jika digit berikut di
sebelah kanan berada dalam kelompok bilangan-bilangan 5, 6, 7, 8, atau 9. Dengan
demikian desimal tidak terbagi habis 7.6183…menjadi 7.62, benar untuk gambaran-
gambaran signifikan 3, sejak digit berikut di sebelah kanan adalah 8, yang mana dalam
kelompok, yang mana berada dalam kelompok bilangan-bilangan 5, 6, 7, 8 atau 9. Juga
7.6183…menjadi 7.618 benar untuk tempat-tempat desimal 3, sejak digit berikut di
sebelah kanan adalah 3, yang mana berada dalam kelompok bilangan 0, 1, 2, 3, atau 4.
Soal 14. Evaluasi 42.7 + 3.04 + 8.7 + 0.006
Bilangan-bilangan ditulis agar poin-poin desimal berada di bawah satu sama lain. Setiap
kolom ditambah, mulai dari sebelah kanan.
42.7
3.04
8.7
0.06
_______
54.50
_______
Dengan demikian 42.7 + 3.04 + 8.7 + 0.006=54.50
Soal 15. Ambil 81.70 dari 87.23
Angka-angka ditulis dengan poin-poin desimal di bawah satu sama lain.
87.23
- 81.70
________
5.53
_________
Dengan demikian 87.23 – 81.70 = 5.53
Soal 16. Cari nilai 23.4 – 17.83 – 57.6 + 32.68
Jumlah fraksi-fraksi desimal positif adalah 23.4 + 32.68 = 56.08
Jumlah fraksi-fraksi desimal negatif adalah 17.83 + 57.6 =75.43
11. Ambil jumlah fraksi-fraksi desimal negatif dari jumlah fraksi-fraksi desimal positif
memberi:
56.08 – 75.43
Yaitu : - (75.43 – 56.08)= - 19.35
Soal 17. Tentukan nilai 74.3 x 3.8
Ketika mengalikan fraksi-fraksi desimal : (i) bilangan-bilangan dikalikan jika mereka
adalah bilangan-bilangan bulat, dan (ii) posisi poin desimal dalam jawaban adalah bahwa
ada sebanyak digit ke sebelah kanan dari itu seperti jumlah digit-digit ke sebelah kanan
dari poin-poin desimal dari dua bilangan dikalikan bersama-sama. Dengan demikian
(i) 743
38
_____
5944
22290
_______
28234
(ii) Seperti ada (1+1) = 2 digit ke sebelah kanan dari poin-poin desimal dari dua bilangan
sedang dikalikan bersama-sama (74.3 x 3.8), kemudian
74.3x3.8= 282.34
Soal 18. Evaluasi 37.81
.
.
1.7, benar untuk (i) 4 gambaran signifikan dan (ii) 4 tempat
desimal.
37.81
.
.
1.7=
7.1
81.37
Penyebut diubah menjadi suatu bilangan bulat dengan mengalikan dengan 10 untuk
menyamakan fraksi. Dengan demikian
17
1.378
107.1
1081.37
7.1
.
.
81.37
x
x
Pembagian yang panjang itu adalah pembagian panjang dari bilangan-bilangan bulat dan
empat langkah pertama ditunjukkan :
24117.22
100000.37817
12. 34
______________
38
34
_____
41
34
____
70
68
____
20
(i) 37.81
.
.
1.7 =22.24, benar untuk 4 gambaran signifikan, dan
(ii) 37.81
.
.
1.7 = 22.2412, benar untuk 4 tempat desimal
Soal 19. Ubah (a) 0.4375 pada suatu fraksi yang tepat dan (b) 4.285 pada suatu bilangan
campuran.
(a) 0.4375 dapat ditulis sebagai
10000
100004375.0 x
tanpa mengubah nilainya,
Yaitu : 0.4375=
10000
4375.0
Dengan membatalkan
16
7
80
35
400
175
2000
875
10000
4375
Yaitu 0.4375=
16
7
(b) dengan serupa, 4, 285 =
200
57
4
1000
285
4
Soal 20. Nyatakan sebagai fraksi-fraksi desimal :
(a)
16
9
dan (b) 5
8
7
13. (a) Untuk mengubah suatu fraksi yang tepat, pembilang dibagi dengan penyebut.
Pembagian dengan 16 dapat dilakukan oleh metode pembagian yang panjang, atau lebih
sederhana, dengan membagi dengan 2 dan kemudian dengan 8:
50.4
00.92
5625.0
5000.48
Dengan demikian
16
9
0.5652
(b) Untuk bilangan-bilangan campuran, hanya penting untuk mengubah bagian fraksi
yang tepat dari bilangan campuran untuk suatu bilangan desimal. Dengan demikian
berhubungan ⅞ memberi
875.0
78 yaitu : 875.0
8
7
Dengan demikian 5
8
7
=5.875
__________________________________________________________________
Sekarang coba latihan berikut
Latihan 3 Soal-soal lebih jauh tentang desimal
Dalam soal-soal 1 hingga 6, tentukan nilai-nilai pernyataan-pernyataan diberikan:
1. 23.6 + 14.71 – 18. 9 – 7.421 [11.989]
2. 73.84 – 113.247 + 8.21 – 0.0068 [-31.265]
3. 3.8 x 4.1 x 0.7 [10.906]
4. 374.1 x 0.006 [2.2446]
5. 421.8
.
.
17, (a) benar untuk 4 gambaran signifikan dan (b) benar untuk 3 tempat
desimal. [(a) 24.81 (b) 24.812]
6.
3.2
0147.0
, (a) benar untuk 5 tempat desimal dan (b) benar untuk 2 gambar signifikan.
[(a) 0.00639 (b)0.0064]
7.Ubah jadi fraksi-fraksi yang tepat :
(a) 0.65 (b) 0.84 (c) 0.0125 (d) 0.282 dan (e) 0.024
[(a)
20
13
(b)
25
21
(c)
80
1
(d)
500
141
(e)
125
3
]
14. 8. Ubah menjadi bilangan campuran:
(a) 1.82 (b) 4. 275 (c) 14.125 (d) 15.35 dan (e) 16.2125
[(a)
50
41
1 (b)
40
11
4 (c)
8
1
14 (d) 15
20
7
(e) 16
80
17
]
Dalam soal-soal 9 hingga 12, nyatakan sebagai fraksi-fraksi desimal untuk ketepatan
yang dinyatakan:
9.
9
4
, benar untuk 5 gambaran signifikan
[0.44444]
10.
27
17
, benar untuk 5 tempat desimal
[0.62963]
11.
16
9
1 , benar untuk 4 gambaran signifikan
[1.563]
12.
37
31
13 , benar untuk 2 tempat desimal
[13.84]
_____________________________________________________________
1.4 Persentase-Persentase
Persentase-persentase digunakan digunakan untuk memberi suatu standar umum dan
merupakan fraksi-fraksi memiliki angka 100 sebagai penyebut-penyebut mereka. Contoh:
25 persen berarti
100
25
yaitu
4
1
dan ditulis 25%.
Soal 21. Nyatakan sebagai persentase-persentase:
(a) 1.875 (b) 0.0125
Suatu fraksi desimal diubah menjadi suatu persentase dengan mengalikan dengan 100.
Dengan demikian
(a) 1.875 berhubungan dengan 1.875 x 100% adalah187.5%
(b) 0.0125 berhubungan dengan 0.0125 x 100% adalah 1.25%
Soal 22. Nyatakan sebagai persentase-persentase:
15. (a)
16
5
dan (b) 1
5
2
Untuk mengubah fraksi-fraksi menjadi persentase-persentase, mereka (i) diubah menjad
fraksi-fraksi desimal dan (ii) dikalikan dengan 100.
(a) Dengan pembagian,
16
5
= 0.3125, karena itu
16
5
berhubungan dengan 0.3125 x 100%
adalah 31.25%.
(b) Serupa, 1
5
2
=1.4 ketika dinyatakan sebagai suatu fraksi desimal
Karena itu 1
5
2
=1.4 x 100%= 140%.
Soal 23. Itu mengambil waktu menjalankan suatu bagian mesin tertentu. Gunakan suatu
tipe peralatan baru, waktu dapat dikurangi 15%. Hitung waktu baru yang dibutuhkan
15% dari 15 menit =
100
750
50
100
15
x = 7.5 menit
Karena itu waktu baru yang dibutuhkan adalah
50 – 7.5 = 42.5 menit
Secara alternatif, waktu dikurangi 15%, kemudian itu sekarang mengambil 85% dari
waktu yang asli, adalah 85% dari 50 = 5.42
100
4250
50
100
85
x menit, seperti di atas.
Soal 24. Cari 12.5% dari £378
12.5% dari £378 berarti 378
100
5.12
x , sejak persen berarti ‘per seratus’.
Karena itu, 12.5 dari £378=
100
5.12
x378= 378
8
1
x =
8
378
=£47.25
Soal 25. Nyatakan 25 menit sebagai suatu persentase 2 jam, benar untuk hampir 1%.
Bekerja dalam unit-unit menit, 2 jam = 120 menit. Karena itu 25 menit adalah ke
120
25
dari 2 jam. Dengan membatalkan,
120
25
24
5
Nyatakan
24
5
sebagai suatu fraksi desimal memberi 0.2083. Kalikan dengan 100 untuk
mengubah fraksi desimal untuk suatu persentase memberi:
16. 0.2083 x 100= 20.83%
Dengan demikian 25 menit adalah 21% dari 2 jam, benar untuk hampir 1%.
Soal 26. Suatu kadar perak Jerman terdiri dari 60% tembaga, 25% seng dan 15% nikel.
Tentukan massa-massa tembaga, seng dan nikel dalam suatu blok kadar 3.74 kg.
Oleh proporsi langsung:
100% berhubungan dengan 3.74 kg
1% berhubungan dengan 0374.0
100
74.3
kg
60% berhubungan dengan 60 x 0.0374 = 2.244 kg
25% berhubungan dengan 25 x 0.0374 = 0.935 kg
15% berhubungan dengan 15 x 0.0374 = 0.561 kg
Dengan demikian, massa-massa tembaga, seng dan nikel adalah 2.244 kg, 0.935 kg, dan
0.561 kg.
(Periksa 2.244 + 0.935 + 0.561 =3, 74)
Sekarang coba latihan berikut
Latihan 4. Soal-soal Persentase-persentase lebih jauh
1. Ubah menjadi persentase-persentase:
(a) 0.057 (b) 0.374 (c) 1.285
[(a) 5.7% (b) 3.74 (c)128.5%]
2. Nyatakan sebagai persentase-persentase, benar untuk 3 gambaran signifikan:
(a)
33
7
(b)
24
19
(c) 1
16
11
[(a) 21.2% (b) 79.2% (c) 169%]
3. Kalkulasi benar untuk 4 gambaran signifikan :
(a) 18% dari 2758 ton (b) 47% dari 18.42 gram (c) 147% dari 14.1 detik
[(a) 496.4 t (b) 8.657 gram (c) 20.73 s]
4. Ketika 1600 kancing palang (bolt) dibuat, 36 tidak memuaskan. Tentukan persentase
tidak memuaskan. [2.25%]
5. Nyatakan : (a) 140 kg sebagai suatu persentase dari 1 t (b) 47 s sebagai suatu
persentase dari 5 menit (c) 13.4 cm sebagai suatu persentase dari 2.5 menit.
[(a) 14% (b) 15.67% (c) 5.36%]
17. 6.Suatu blok kadar monel terdiri dari 70%nikel dan 30% tembaga. Jika itu mengandung
88.2 gram nikel, tentukan massa tembaga dalam blok. [37.8%]
7. Sebuah mesin penggerek seharusnya dipasang untuk 250 rev/menit. Kecepatan
terdekat yang tersedia atas mesin itu adalah 268 rev/menit. Hitung persentase atas
kecepatan. [7.2%]
8. 2 kg suatu campuran mengandung 30% elemen A, 45% elemen B dan 25% elemen C.
Tentukan massa-massa dari 3 elemen itu sekarang.
[A.0.6 kg B. 0.9 kg C. 0.5 kg]
9. Suatu campuran konkrit mengandung 7 bagian dengan volume barang pemberat, 4
bagian dengan volume pasir dan dua bagian dengan volume semen. Tentukan persentase
dari masing-masing 3 pemilih (constituent) ini benar untuk hampir 1% dan massa semen
dalam suatu campuran kering dua ton, benar untuk 1 gambaran signifikan.
[54%, 31%, 15%, 0.3 t]
2
___________________________________________________________________
Bentuk Pangkat-pangkat dan Standar
_____________________
2.1 Pangkat-Pangkat
Faktor-faktor terendah dari 2000 adalah 2x2x2x2x5x5x5. Faktor-faktor ini ditulis sebagai
24 x 53, di mana 2 dan 5 disebut dasar-dasar dan bilangan-bilangan 4 dan 3 disebut
pangkat-pangkat.
Ketika suatu pangkat adalah suatu bilangan bulat, itu disebut sebuah daya. Dengan
demikian, 24 disebut ‘dua pada daya empat’ dan memiliki suatu dasar 2 dan suatu
pangkat 4.
Nama-nama khusus dapat digunakan ketika pangkat-pangkat adalah 2 dan 3, ini
disebut ‘persegi’ dan ‘kubik’. Dengan demikian 72 disebut ‘7 persegi’ dan 93 disebut 9
kubik. Ketika tidak ada pangkat ditunjukkan, daya adalah 1, adalah 2 berarti 21.
Resiprokal
18. Resiprokal dari suatu bilangan adalah ketika pangkat adalah -1 dan nilainya diberikan 1,
dibagi dengan bilangan dasar. Dengan demikian resiprokal 2 adalah 2-1 dan nilainya
adalah
2
1
0.5. Secara serupa, resiprokal 5 adalah 5-1 yang mana berarti
5
1
0.2
Akar persegi
Akar persegi dari suatu bilangan adalah ketika pangkat adalah
2
1
, akar persegi dari 2
ditulis sebagai 2 ½ atau 2 . Nilai suatu akar persegi adalah nilai dari dasar mana ketika
dikalikan dengan itu sendiri memberi bilangan itu. Sejak 3x3=9, kemudian 9 =3. Akan
tetapi, (-3) x (-3) =9, jadi 9 =-3. Selalu ada dua jawaban ketika mencari akar persegi
dari suatu bilangan dan ini ditunjukkan dengan menaruh baik tanda a+ dan a– di depan
jawaban untuk suatu masalah akar persegi. Demikian 9 =±3 dan 4 ½ = 4 =±2, dan
seterusnya.
Hukum pangkat-pangkat
Ketika menyederhanakan perhitungan-perhitungan melibatkan pangkat-pangkat,
peraturan-peraturan atau hukum-hukum dasar tertentu dapat diterapkan, disebut hukum-
hukum pangkat-pangkat. Hal-hal ini diberikan berikut:
(i) Ketika mengalikan dua atau lebih bilangan memiliki dasar yang sama, pangkat-
pangkat ditambah. Dengan demikian
32 x 34 = 32+4 = 36
(ii) Ketika suatu bilangan dibagi dengan suatu bilangan memiliki dasar yang sama,
pangkat-pangkat dikurangi. Dengan demikian
2
5
3
3
35-2=33
(iii) Ketika suatu bilangan yang dinaikkan pada suatu daya dinaikkan pada suatu daya
yang lebih jauh, pangkat-pangkat dikalikan. Dengan demikian
(35)2 = 35x2= 310
(iv) Ketika suatu bilangan memiliki suatu pangkat=0, nilainya adalah 1. Dengan
demikian 30= 1
19. (v) Suatu bilangan dinaikkan pada suatu daya adalah resiprokal dari bilangan dinaikkan
pada suatu daya positif. Dengan demikian 3-4 = 4
3
1
, secara serupa, 3
2
1
23.
(vi) Ketika suatu bilangan dinaikkan pada suatu daya fraksi penyebut fraksi itu adalah
akar bilangan dan pembilang adalah daya.
Dengan demikian 8⅔= 23 2
28 =4
dan 25 ½ = 12 1
2525 ±5
Catatan ≡ 2
2.2.Soal-soal tentang Pangkat-Pangkat dikerjakan
Soal 1. Evaluasi (a) 52 x 53., (b) 32 x 34 x 3 dan (c) 2 x 22 x 25
Dari hukum (i)
(a) 52 x 53 = 5(2+3) = 5x5x5x5x5=3125
(b) 32 x 34 x 3 = 3 (2+4+1)= 37
= 3 x 3 x …sampai 7
= 2187
(c) 2 x 22 x 25 = 2(1+2+5) = 28 = 256
Soal 2. Cari nilai
(a) )35(
3
5
7
7
7
=72=49
(b) )47(
4
7
5
5
5
53= 125
Soal 3. Evaluasi (a) 52 x 53
.
.
54 dan (b) (3 x 35)
.
.
(32 x 33)
Dari hukum (i) dan (ii) :
(a) 52 x 53 4
5
.
.
= 4
5
4
)32(
4
32
5
5
5
5
5
55
x
= 5(5-4) =51=5
(b) (3 x 35)
.
.
(32 x 33)=
5
6
)32(
)51(
32
5
3
3
3
3
33
33
x
x
36-5=31=3
Soal 4. Sederhanakan : (a) (23)4 (b) (32)5 menyatakan jawaban-jawaban dalam bentuk
pangkat.
(a) (23)4=23x4= 212 (b) (32)5= 32x5 =310
20. Soal 5. Evaluasi :
24
32
1010
10
x
Dari hukum-hukum pangkat-pangkat:
6
6
)24(
)32(
24
32
10
10
10
10
1010
10
x
= 106-6 =100 =1
Soal 6. Cari nilai dari
(a) 57
43
22
22
x
x
dan (b)
9
32
33
3
x
(a)
12
7
57
43
57
43
2
2
2
2
22
22
x
x
=27-12= 2-5
=
32
1
2
1
5
(b)
81
1
3
1
33
3
3
3
3
33
3
4
4106
10
6
91
32
9
32
x
x
Sekarang coba latihan berikut
Latihan 5. Soal-soal Lebih Jauh Tentang Pangkat-Pangkat
Pada soal-soal 1 hingga 10, sederhanakan pernyataan-pernyataan yang diberikan,
nyatakan jawaban-jawaban dalam bentuk pangkat dan dengan pangkat-pangkat positif:
1. (a)33 x 34 = (b)42 x 43 x 44
[(a) 37 (b) 49]
2. (a)23 x 2 x 22= (b)72 x 74 x 7 x 73
[(a) 22 (b) 710]
3. (a) 3
4
2
2
(b) 2
7
3
3
[(a) 2 (b) 35]
4. (a) 56
.
.
53 (b) 713/710
[(a) 53 (b) 73]
5. (a) (72)3 (b) (32)3 [(a) 76 (b) 36]
6. (a) 4
32
2
22 x
(b) 5
47
3
33 x
[(a)2 (b) 36]
21. 7. (a) 32
7
55
5
x
(b) 2
5
1313
13
x
[(a) 52 (b) 132]
8.(a)
2
32
273
39
x
x
(b)
3
2
82
416
x
x
[(a)34 (b)1]
9.(a) 4
2
5
5
(b) 3
42
3
33
x
[(a) 52 (b) 5
3
1
]
10. (a) 4
32
77
77
x
x
(b) 62
543
222
222
xx
xx
[(a) 72 (b)
2
1
]
__________________________________________________________
2.3 Soal-Soal dikerjakan yang lebih jauh tentang Pangkat-Pangkat
Soal 7. Evaluasi 43
73
55
53
x
x
Hukum-hukum pangkat-pangkat juga menerapkan pada istilah-istilah memiliki dasar
yang sama. Kelompokkan istilah-istilah memiliki dasar yang sama, dan kemudian
menerapkan hukum-hukum pangkat-pangkat pada setiap kelompok-kelompok secara
bebas memberikan:
)37()43(
3
7
4
3
43
73
53
5
5
3
3
35
53
xx
x
x
=3-1 x 54 =
3
1
208
3
625
3
5
1
4
Soal 8. Cari nilai dari
344
2253
327
732
xx
xx
4223543
344
2253
732
327
732
x
xx
xx
xx
= 2-1 x 32 x 70
=
2
1
4
2
9
13
2
1 2
xx
22. Soal 9. Evaluasi (a)4½ (b) 16¾ (c)27⅔ (d) 9-½
(a) 4½ = 4 =±2
(b) 16 ¾ = 4 3
16 =(±2)3 = ±8
(Catat bahwa tidak apa-apa apakah akar ke-4 dari 16 ditemukan pertama atau apakah 16
kubik ditemukan pertama-jawaban yang sama akan berhasil)
(c) 27⅔ = 3 2
27 = (3)2 =9
(d) 9-½=
3
1
3
1
9
1
9
1
2/1
Soal 10. Evaluasi 5/22
3/15.1
322
84
x
x
41.5=4 3/2 = 3
4 =23 =8,
81/3 = 3
8 =2, 22=4
dan 32-2/5 =
4
1
2
1
32
1
32
1
25 25/2
Karena itu 16
1
16
4
1
4
28
322
84
5/22
3/15.1
x
x
x
x
Alternatif
)2(213
22
13
5/252
3/132/32
5/22
3/15.1
2
22
22
22
22
322
84
x
x
x
x
x
x
=24 = 16
Soal 11. Evaluasi 44
3352
53
5353
x
xxx
Bagilah setiap istilah dengan HCF (yaitu faktor umum tertinggi) dari 3 istilah, ialah 32 x
53, memberi:
32
44
32
33
32
52
44
3352
53
53
53
53
53
53
53
5353
x
x
x
x
x
x
x
xx
=
34)24(
0)23(35)22(
53
5353
x
xx
= 12
0120
53
5353
x
xx
23. =
45
28
59
13251
x
xx
Soal 12. Cari nilai 3344
52
5353
53
xx
x
Untuk menyederhanakan aritmatika, setiap istilah dibagi dengan HCF dari semua istilah
yaitu 32 x 55. Dengan demikian
3344
52
5353
53
xx
x
=
32
33
32
44
32
52
53
53
53
53
53
53
x
x
x
x
x
x
=
33233424
3522
5353
53
xx
x
= 0112
20
5353
53
xx
x
=
345
25
=
48
25
Soal 13. Sederhanakan 3
23
5
2
5
3
3
4
x
Berikan jawaban dengan pangkat-pangkat positif
Suatu fraksi dinaikkan pada suatu daya berarti bahwa baik penyebut dan pembilang fraksi
dinaikkan pada daya, yaitu 3
33
3
4
3
4
Suatu fraksi dinaikkan pada suatu daya negatif yang memiliki nilai yang sama
sebagai kebalikan dari fraksi dinaikkan pada suatu daya positif.
Dengan demikian 2
2
2
22
2
3
5
1
5
3
1
5
3
1
5
3
x
= 2
2
3
5
Dengan serupa, 3
333
2
5
2
5
5
2
24. Dengan demikian 3
3
2
2
3
3
3
3
2
2
3
3
3
23
5
2
3
5
3
4
2
5
3
5
3
4
5
2
5
3
3
4
xx
xx
=
53
2
53
22
5
9
2323
332
xx
x
Sekarang coba latihan berikut
Latihan 6. Soal-soal lebih jauh tentang pangkat-pangkat
Pada soal-soal 1 dan 2, sederhanakan pernyataan-pernyataan diberikan, nyatakan
jawaban-jawaban dalam bentuk pangkat dan dengan pangkat-pangkat positif:
1. (a) 44
23
35
53
x
x
(b) 345
22
773
37
xx
x
[(a) 2
53
1
x
(b) 73
37
1
x
]
2. (a) 43
32
38
94
x
x
(b) 242
422
9225
358
xx
xx
[(a) 5
2
2
3
(b) 210
52
1
x
]
3. Evaluasi (a)
1
2
3
1
(b) 25.0
81 (c) 16 (-¼) (d)
2/1
9
4
[(a) 9 (b)±3 (c)±
2
1
(d) ±
3
2
]
Pada soal-soal 4 hingga 8, evaluasi pernyataan-pernyataan yang diberikan.
4. 2344
42
7373
79
xx
x
148
147
5.
23
4224
162
432
x
x
9
1
6. 2
5
3
3
2
2
1
23
72
65
5
25. 7. 2
4
9
2
3
4
[64]
8.
2/12/132
23/12/32
943
83
xx
x
2
1
4
2.4 Bentuk Standar
Suatu bilangan ditulis dengan satu digit ke kiri dari poin desimal dan dikalikan dengan 10
dinaikkan ke suatu daya yang dikatakan tertulis dalam bentuk standar. Dengan demikian
5837 disebut 5.837 x 103 dalam bentuk standar, dan 0.0415 ditulis sebagai 4.15 x 10-2
dalam bentuk standar.
Ketika suatu bilangan ditulis dalam bentuk standar, faktor pertama disebut mantissa,
dan faktor kedua disebut eksponen. Dengan demikian bilangan 5.8 x 103 memiliki suatu
mantissa 5.8 dan suatu eksponen 103.
(i) Bilangan-bilangan memiliki eksponen yang sama dapat ditambah atau dikurangi
dalam bentuk standar dengan menambah atau mengurangi mantissa dan menjaga
eksponen tetap sama. Dengan demikian
2.3 x 104 + 3.7 x 104
= (2.3 + 3.7) x 104 =6.0 x 104
dan 5.9 x 10-2 – 4.6 x 10-2
= (5.9 – 4.6) x 10-2 = 1.3 x 10-2
Ketika bilangan-bilangan memiliki eksponen-eksponen berbeda, satu cara dari
menambah atau mengurangi bilangan-bilangan adalah menyatakan satu dari bilangan-
bilangan dalam bentuk nonstandard, agar kedua bilangan memiliki eksponen yang sama.
Dengan demikian:
2.3 x 104 + 3.7 x 103
= 2.3 x 104 + 0.37 x 104
= (2.3 + 0.37) x 104 = 2.67 x 104
Alternatif,
2.3 x 104 + 3.7 x 103
= 23000 + 3700 =26700
26. = 2.67 x 104
(ii) Hukum-hukum pangkat-pangkat digunakan ketika mengalikan atau membagi
bilangan-bilangan diberikan dalam bentuk standar. Contoh
(2.5 x 103) x (5 x 102)
=(2.5 x 5) x (103+2)
=12.5 x 105 atau 1.25 x 106
Serupa
24
2
4
10
5.1
6
105.1
106
x
x
x
4 x 102
2.5 Soal-soal dikerjakan tentang bentuk standar
Soal 14. Nyatakan dalam bentuk standar: (a) 38.71 (b)3746 (c)0.0124
Untuk suatu bilangan untuk menjadi bentuk standar, itu dinyatakan dengan hanya satu
digit ke kiri dari poin desimal.
Dengan demikian:
(a)38.71 harus dibagi dengan 10 untuk mencapai satu digit ke kiri dari poin desimal dan
itu harus juga dikalikan dengan 10 untuk mengutamakan persamaan, yaitu:
38.71 = 10
10
71.38
x 3.871 x 10 dalam bentuk standar
(b) 3746= 1000
1000
3746
x = 3.746 x 103 dalam bentuk standar
(c) 0.0124 =0.0124 x
100
24.1
100
100
=1.24 x 10-2 dalam bentuk standar
Soal 15. Nyatakan bilangan-bilangan berikut, yang mana dalam bentuk standar, sebagai
bilangan-bilangan desimal : (a)1.725 x 10-2 (b) 5.491 x 104 (c) 9.84 x 100
(a) 1.725 x 10-2 =
100
725.1
0.01725
(b) 5.491 x 104 =5.491 x 10000 =54910
(c) 9.84 x 100 = 9.84 x 1 =9.84 (sejak 100=1)
Soal 16. Nyatakan dalam bentuk standar, benar untuk 3 gambaran signifikan:
(a)
8
3
(b) 19⅔ (c) 741
16
9
27. (a)
8
3
=0.375, dan menyatakan itu dalam bentuk standar memberi:0.375= 3.75 x 10-1
(b) 19⅔= 19.6 = 1.97 x 10 dalam bentuk standar, benar untuk 3 gambaran signifikan
(c) 741
16
9
741.5625= 7.42 x 102 dalam bentuk standar, benar untuk 3 gambaran
signifikan
Soal 17. Nyatakan bilangan-bilangan berikut, diberikan dalam bentuk standar, sebagai
bilangan-bilangan fraksi-fraksi atau bilangan-bilangan campuran : (a) 2.5 x 10-1 (b) 6.25
x 10-2 (c) 1.354 x 102
(a) 2.5 x 10-1 =
4
1
100
25
10
5.2
(b) 6.25 x 10-2 =
16
1
10000
625
100
25.6
(c) 1.354 x 102 =135.4 =135
5
2
135
10
4
Sekarang coba latihan berikut
Latihan 7. Soal-soal lebih jauh tentang bentuk standar
Pada soal-soal 1-4, nyatakan dalam bentuk standar:
1. (a) 73.9 (b) 28.4 (c)197.72
[(a) 7.39 x 10 (b) 2.84 x 10 (c) 1.9762x102]
2. (a)2748 (b) 33170 (c) 274218
[(a) 2.748 x 103 (b) 3.317 x 104 (c) 2.74218 x 105]
3. (a)0.2401 (b)0.0174 (c) 0.00923
[(a)2.401 x 10-1 (b) 1.74 x 10-2 (c) 9.23 x 10-3]
4 (a)
2
1
(b)11
8
7
(c) 130
5
3
(d)
32
1
[(a)5 x 10-1 (b)1.1875 x 10 (c)1.306 x 102 (d) 3.125 x 10-2]
Pada soal-soal 5 dan 6, nyatakan bilangan-bilangan diberikan sebagai faktor-faktor
bilangan-bilangan bulat atau desimal
5. (a) 1.01 x 103 (b) 9.327 x 102 (c)5.41 x 104 (d) 7 x 100
[(a) 1010 (b) 932.7 (c) 54100 (d) 7]
6. (a)3.89 x10-2 (b) 6.741 x 10-1 (c) 8 x 10-3
28. [(a) 0.0389 (b) 0.6741 (c)0.008]
2.6 Soal-soal dikerjakan tentang bentuk standar yang lebih jauh
Soal 18. Cari nilai dari
(a) 7.9 x 10-2 – 5.4 x 10-2
(b) 8.3 x 103 +5.415 x 103 dan
(c) 9.293 x 102 + 1.3 x 103 menyatakan jawaban-jawaban dalam bentuk standar
Bilangan-bilangan memiliki eksponen yang sama dapat ditambah atau dikurangi dengan
menambah atau mengurangi mantissa dan menjaga eksponen tetap sama. Dengan
demikian
(a) 7.9 x 10-2 – 5.4 x 10-2
=(7.9 – 5.4) x 10-2 = 2.5 x 10-2
(b) 8.3 x 103 + 5.415 x 103
= (8.3 + 5.415) 103
= 1.3715 x 104 dalam bentuk standar
(c) Sejak hanya bilangan-bilangan yang memiliki eksponen-eksponen yang sama dapat
ditambah dengan tambahan lurus mantissa, bilangan-bilangan diubah pada bentuk ini
sebelum menambah. Dengan demikian:
9.293 x 102 + 1.3 x 103
= 9.293 x 102 + 13 x 102
= (9.293 + 13) x 102
= 22.293 x 102 = 2.2293 x 103 dalam bentuk standar
Alternatif, bilangan-bilangan dapat dinyatakan sebagai fraksi-fraksi desimal, memberi:
9.293 x 102 + 1.3 x 103
=929.3 + 1300= 2229.3
= 2. 2293 x 103
dalam bentuk standar seperti diperoleh sebelumnya. Metode ini sering merupakan
cara yang teraman dari melakukan jenis masalah ini.
Soal 19. Evaluasi (a) (3.75 x 103) (6 x 104) dan (b) 2
5
107
105.3
x
x
nyatakan jawaban-jawaban
dalam bentuk standar
(a) (3.75 x 103) (6 x 104) = (3.75 x 6) (103+4)
29. = 22.50 x 107
= 2.25 x 108
(b) 25
2
5
10
7
5.3
107
105.3
x
x
x
= 0.5 x 103 = 5 x 102
__________________________________________
Sekarang coba latihan berikut
Latihan 8. Soal-soal tentang Bentuk Standar Lebih Jauh
Pada soal-soal 1 hingga 4, cari nilai-nilai pernyataan-pernyataan diberikan, nyatakan
jawaban-jawaban dalam bentuk standar:
1. (a)3.7 x 102 + 9.81 x 102
(b) 1.431 x 10-1 +7.3 x 10-1
[(a) 1.351 x 103 (b) 8.731 x 10-1]
2. (a) 4.831 x 102 + 1.24 x 103
(b) 3.24 x 10-3 + 1.11 x 10-4
[(a) 1.7231 x 103 (b) 3.129 x 10-3]
3. (a) (4.5 x 10-2) (3 x 103)
(b) 2 x (5.5 x 104)
[(a) 1.35 x 102 (b) 1.1 x 105]
4. (a) 5
3
103
106
x
x
(b)
4
23
108.4
103102
x
xx
[(a)2 x 102 (b) 1.5 x 10-3]
5. Tulis pernyataan-pernyataan berikut dalam bentuk standar:
(a) Kepadatan aluminium adalah 2710 m-3 [2.71 x 103 kg m-3]
(b)Rasio Poisson untuk emas adalah 0.44 [4.4 x 10-1]
(c) Rintangan untuk ruang gratis adalah 376.73 Ω [3.7673 x 102 Ω]
(d) Energi sisa elektron adalah 0.511 MeV [5.11 x 10-1 MeV]
(e) Rasio charge-massa proton adalah 95789700 C kg-1 [ 9.57897 x 107 C kg-1]
(f) Volume normal dari suatu gas yang sempurna adalah 0.02241 m3 mol-1
[2.241 x 10-2 m3 mol-1]
3
30. _______________________________________________________
Sistem-Sistem Bilangan Komputer
_____________________________________________________
3.1 Bilangan-bilangan yang terdiri dari dua bagian (binary)
Sistem bilangan-bilangan 234.5 adalah ekuivalen dengan
2 x 102 + 3 x 101 + 4 x 100 + 5 x 10-1
Adalah jumlah dari istilah-istilah berisi : (satu digit) dikalikan dengan (dasar yang
dinaikkan pada suatu daya).
Dalam sistem bilangan-bilangan binary, dasar adalah 2, jadi 1101.1 adalah ekuivalen
dengan
1 x 23 + 3 x 101 + 4 x100 + 5 x 10 -1
Dengan demikian bilangan desimal ekuivalen dengan bilangan binary 1101.1 adalah 8 +
4 + 0 + 1 + ½, yaitu 13.5
Yaitu 1101.12 = 13.510, akhiran-akhiran 2 dan 10 menunjukkan sistem bilangan-bilangan
binary dan desimal.
Soal 1. Ubah 110112 ke suatu bilangan desimal
Dari atas: 1 x 24 + 1 x 23 + 0 x 22 + 1x 21 + 1 x 20
= 16 + 8 + 0 + 2 + 1
= 2710
Soal 2. Ubah 0.10112 menjadi suatu fraksi desimal
0.10112 = 1 x 2-1 + 0 x 2-2 + 1 x 2-3 + 1 x 2-4
=1 x
2
1
0 x 2
2
1
+ 1 x 3
2
1
+ 1 x 4
2
1
=
16
1
8
1
2
1
= 0.5 + 0.125 + 0.0625
= 0.687510
Soal 3. Ubah 101.01012 pada suatu bilangan desimal
101.0102 = 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 + 0 x 2-1 + 1 x 2-2 + 0 x 2-3 + 1 x 2-4
= 4 + 0 + 1 + 0 + 0.25 + 0 + 0.25
= 5.132510
31. ________________________________________________
Sekarang coba latihan berikut
Latihan 9. Soal-soal lebih jauh tentang konversi binary ke bilangan-bilangan desimal
Pada soal-soal 1 hingga 4, ubah bilangan-bilangan binary yang diberikan menjadi
bilangan-bilangan desimal
1. (a) 110 (b) 1011 (c) 1110 (d) 1001
[(a) 610 (b) 1110 (c) 1410 (d) 910]
2. (a) 10101 (b) 11001 (c) 101101 (d) 110011
[(a) 2110 (b) 2510 (c) 4510 (d)5110]
3. (a) 0.1101 (b) 0.11001 (c) 0.00111 (d) 0.01011
[(a)0.812510 (b)0.7812510 (c)0.2187510 (d)0.3437510]
4. (a) 11010.11 (b)10111.011 (c)110101.0111 (d)11010101.10111
[(a)26.7510 (b) 23.37510 (c)53.437510 (d)213.7187510]
3.3 Konversi desimal ke binary
Suatu bilangan desimal bulat dapat diubah menjadi suatu bilangan binary yang
berhubungan dengan membagi secara berulang dengan dua dan mencatat bilangan
tertinggal pada setiap tahap, sebagaimana ditunjukkan di bawah untuk 3910
2 39 Sisa
2 19 1_________
2 9 1
2 4 1
2 2 1
2 1 0
0 1
(paling 1 0 0 1 1 1 (paling kurang signifikan)
signifikan)
Hasil diperoleh dengan menulis digit puncak dari sisa sebagai yang paling kurang
signifikan (suatu potongan adalah suatu digit binary dan potongan paling kurang
signifikan adalah satu yang di sebelah kanan). Potongan dasar dari sisa adalah potongan
paling signifikan, yaitu potongan di sebelah kiri.
Dengan demikian, 3910 = 1001112
32. Bagian fraksional dari suatu bilangan desimal dapat diubah menjadi suatu bilangan
binary dengan mengalikan secara berulang dengan 2, seperti ditunjukkan di bawah untuk
fraksi 0.625.
0.625 x 2 = 1. 250
0.250 x 2 = 0. 500
0.500 x 2 = 1. 000
(Potongan paling signifikan). 1 0 1(Potongan paling kurang signifikan)
Untuk fraksi-fraksi, potongan paling signifikan dari hasil adalah potongan puncak
diperoleh dari bagian bulat dari hasil adalah potongan dasar diperoleh dari bagian bulat
perkalian dengan dua.
Dengan demikian 0.62510 = 0.1012
Soal 4. Ubah 4710 menjadi suatu bilangan binary
Dari atas, membagi berulang dengan dua dan mencatat sisa memberi:
2 47 Sisa
2 23 1
2 11 1
2 5 1
2 2 1
2 1 0
0 1
1 0 1 1 1 1
Dengan demikian 4710 = 1011112
Soal 5. Ubah 0.4062510 menjadi suatu bilangan desimal
Dari atas, mengalikan secara berulang dengan 2 memberi:
0.40625 x 2 = 0. 8125
0.8125 x 2 = 1. 625
0.625 x 2 = 1. 25
0.25 x 2 = 0. 5
0.5 x 2 = 1. 0
33. 0 1 1 0 1
Yaitu 0.4062510 = 0.011012
Soal 6. Ubah 58.312510 menjadi suatu bilangan binary
Bagian bulat dibagi secara berulang dengan 2, memberi
2 58 Sisa
2 29 0
2 14 1
2 7 0
2 3 1
2 1 1
0 1 1 1 0 1 0
Bgaian fraksi dikalikan secara berulang dengan dua memberi:
0.3125 x 2 0.625
0.625 x 2 1.25
0.25 x 2 0.5
0.5 x 2 1.0
Dengan demikian 58.312510 = 111010.01012
Sekarang coba latihan berikut
Latihan 10. Soal-soal lebih jauh tentang konversi desimal menjadi bilangan-bilangan
desimal
Pada soal-soal 1 hingga 4, ubah bilangan-bilangan desimal yang diberikan menjadi
bilangan-bilangan binary.
1. (a)5 (b)15 (c)19 (d) 29
[(a)1012 (b) 11112 (c) 100112 (d) 111012]
2. (a) 31 (b)42 (c)57 (d) 63
[(a)111112 (b)1010102 (c) 1110012 (d) 1111112]
3. (a) 0.25 (b) 0.21875 (c) 0.28125 (d)0.59275
[(a) 0.012 (b) 0.001112 (c) 0.010012 (d) 0.100112]
4. (a) 47.40625 (b) 30.8125 (c)53.90625 (d) 61.65625
[(a)1011111.011012 (b) 11110.11012 (c)110101.111012
(d) 111101.101012]
34. 3.4 Konversi bilangan desimal menjadi bilangan binary via oktal
Untuk bilangan-bilangan bulat desimal mengandung beberapa digit, membagi secara
berulang dengan 2, dapat menjadi suatu proses panjang. Pada kasus ini, itu biasanya
dengan mudah mengubah sebuah bilangan desimal ke sebuah bilangan binary via sistem
bilangan oktal. Sistem ini memiliki suatu akar 8, menggunakan digit-digit 0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, dan 7. Bilangan bersepuluh (denary) sama dengan bilangan oktal 43178 adalah
4 x 83 + 3 x 82 + 1 x 81 + 1 x 80
Yaitu 4 x 512 + 3 x 64 + 1 x 8 + 7 x 1 atau 225510
Suatu bilangan bulat dapat diubah pada suatu bilangan oktal berhubungan dengan
membagi secara berulang dengan 8 dan mencatat sisa pada setiap tahap, sebagaimana
ditunjukkan pada 49310.
8 493 Sisa
8 61 5
8 71 5
0 7
7 5 5
Dengan demikian 49310 =7558
Bagian fraksi dari suatu bilangan desimal dapat diubah menjadi suatu bilangan oktal
dengan mengalikan secara berulang dengan 8, seperti ditunjukkan untuk fraksi 0.437510.
0.4375 x 8= 3 5
0.5 x 8= 4 10
. 3 4
Untuk fraksi-fraksi, potongan paling signifikan adalah bilangan bulat puncak diperoleh
dengan perkalian fraksi desimal dengan 8, dengan demikian
0.437510 = 0.348
Kode binary alami untuk digit-digit 0 hingga 7 ditunjukkan pada tabel 3.1, dan suatu
bilangan oktal dapat diubah menjadi suatu bilangan binary dengan menulis 3 potongan
yang berhubungan dengan digit oktal.
35. Dengan demikian 4378 =100 011 1112
dan 26.358 = 010 110.011 1012
Tabel 3.1
_____________________________
Digit oktal Bilangan binary
Alami
____________________________
0 000
1 001
2 010
3 011
4 100
5 101
6 110
7 111
____________________________
‘0’ pada sebelah kiri ekstrim tidak berarti sesuatu, dengan demikian 26358 = 10 110.011
1012
Konversi desimal menjadi binary via oktal ditunjukkan pada soal-soal dikerjakan berikut.
Soal 7. Ubah 371410 menjadi suatu bilangan binary, via oktal
Bagilah secara berulang dengan 8 dan mencatat sisa memberi :
8 3714 Sisa
8 464 2
8 58 0
8 7 2
0 7
7 2 0 2
Dari tabel 3.1, 7208 =111 010 000 0102, yaitu 3714 = 111 010 000 0102
Soal 8. Ubah 0.5937510 menjadi suatu bilangan binary, via oktal
Mengalikan secara berulang dengan 8,dan mencatat bilangan bulat, memberi
0.59375 x 8 = 4.75
0.45 x 8 = 6.00
. 4 6
Dengan demikian 0.5937510 = 0.468
Dari tabel 3.1, 0.468 = 0.100 0102
36. Yaitu 0.5937510 = 0.100 112
Soal 9. Ubah 5613.9062510 menjadi suatu bilangan binary, via oktal
Bagian bilangan bulat dibagi secara berulang dengan 8, mencatat sisa, memberi:
8 5613 Sisa
8 701 5
8 87 5
8 10 7
8 1 2
0 1
1 2 7 5 5
Bilangan oktal ini diubah menjadi suatu bilangan binary (lihat tabel 3.1)
127558 = 001 010 111 101 1012
Yaitu 561310= 1 010 111 101 1012
Bagian fraksional dikalikan secara berulang dengan 8 dan mencatat bagian bilangan
bulat, memberi:
0.90625 x 8 = 7.25
0.25 x 8 = 2.00
. 7 2
Fraksi oktal ini diubah menjadi suatu bilangan binary (lihat tabel 3.1)
0.728 = 0. 111 0102 yaitu 0.9062510 = 0. 111 012
Dengan demikian 5613.9062510 =1010 111 101 101.111012
Soal 10. Ubah 11 110 011.100 012 menjadi suatu bilangan desimal via oktal
Kelompokkan bilangan binary dalam bentuk 3 dari poin binary memberi : 011 110
011.100 0102
Gunakan tabel 3.1 untuk mengubah bilangan binary menjadi suatu bilangan oktal
memberi : 363. 428 dan
363.428 = 3 x 82 +6 x 81 + 3 x 80 + 4 x 8-1 + 2 x 8-2
= 192 + 48 +3 + 0.5 + 0.03125
=243. 5312510
Sekarang coba latihan berikut
37. Latihan 11. Soal-soal lebih jauh tentang konversi antara bilangan-bilangan desimal dan
binary, via oktal
Pada soal-soal 1 hingga 3, ubah bilangan-bilangan desimal yang diberikan menjadi
bilangan-bilangan binary, via oktal:
1. (a)343 (b)572 (c) 1265
[(a) 1010101112 (b)10001111002 (c) 1001111000012]
2.(a) 0.46875 (b) 0.6875 (c) 0.71875
[(a)0.011112 (b) 0.10112 (c) 0.101112]
3. (a) 247.09375 (b) 514.4375 (c) 1716.78125]
[(a)11110111.000112 (b) 1000000010.01112 (c) 11010110100.110012]
4 Ubah bilangan-bilangan binary berikut menjadi bilangan-bilangan desimal via oktal
(a) 111.011 1 (b)101 001.01 (c) 1 110 011 011 010.001 1
[(a) 7.437510 (b) 41.2510 (c)7386.187510]
_____________________________________
3.5 Bilangan-bilangan Hexadesimal
Kerumitan komputer-komputer membutuhkan sistem penomoran bentuk yang lebih
tinggi seperti oktal (dasar 8) dan hexadecimal (dasar 16), yang mana merupakan
bentanga-bentangan semata-mata dari sistem binary. Suatu sistem penomoran
hexadecimal memiliki suatu akar 16 dan menggunakan digit-digit 16 bertentangan:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, dan F.
‘A’ berhubungan dengan 10 dalam sistem denary, B ke 11, C ke 12, dan seterusnya.
Untuk mengubah dari hexadesimal ke desimal
Contoh:
1A16= 1 x 161 + A x 160
=1 x 161 + 10 x 1 = 16 + 10 = 26
Dengan serupa,
2E16 = 2 x 161 + E x 160
= 2 x 161 + 14 x 160 = 32 + 14 =4610
Dan IBF16 = 1 x 162 + B x 161 + F x 160
= 1 x 162 + 11 x 161 + 15 x 160
= 256 + 176 + 15 =44710
38. Tabel 3.2 membandingkan bilangan-bilangan desimal, binary, oktal dan hexadesimal dan
menunjukkan, contoh, bahwa
2310 = 101112 =278 =1716
Soal 11. Ubah bilangan-bilangan hexadesimal menjadi ekuivalen-ekuivalen desimal
mereka: (a)7A16 (b) 3F16
(a) 7A16 =7 x161 + A x 160 = 7 x 16 + 10 x 1
= 112 + 10 = 122
Dengan demikian 7A16= 122
(b) 3F16 =3 x161 + F x 160 = 3 x 16 + 15 x 1
= 48 + 15 =63
Dengan demikian 3F16 =63
Soal 12. Ubah bilangan-bilangan hexadecimal menjadi ekuivalen-ekuivalen desimal
mereka: (a) C916 (b) BD16
(a) C916=C x 161+ 9 x 160 = 12 x 16 + 9 x 1
=192 + 9 = 201
Dengan demikian C916=201
(b) BD16= B x 161 + D x 160 = 11 x 16 + 13 x 1
= 176 + 13 =189
Dengan demikian BD16 = 189
Soal 13. Ubah 1A4E16 menjadi suatu bilangan denary
Tabel 3.2
______________________________________________________
Desimal Binary Oktal Hexadesimal
______________________________________________________
0 0000 0 0
1 0001 1 1
2 0010 2 2
3 0011 3 3
4 0100 4 4
5 0101 5 5
6 0110 6 6
7 0111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 A
11 1011 13 B
39. 12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F
16 10000 20 10
17 10001 21 11
18 10010 22 12
19 10011 23 13
20 10100 24 14
21 10101 25 15
22 10110 26 16
23 10111 27 17
24 11000 30 18
25 11001 31 19
26 11010 32 1A
27 11011 33 1B
28 11100 34 1C
29 11101 35 1D
30 11110 36 1E
31 11111 37 1F
32 100000 40 20
________________________________________________
1A4E16
=1 x 163 + A x 162 + 4 x 161 + E x 160
=1 x 163 + 10 x 162 + 4 x 161 + 14 x 160
=1 x 4096 + 10 x 256 + 4 x 16 + 14 x 1
=4096 + 2560 + 64 + 14 = 6734
Dengan demikian 1A4E16=6734
____________________________________________________
Untuk Mengubah Dari Desimal Ke Hexadesimal
Ini dicapai dengan membagi secara berulang dengan 16 dan mencatat sisa pada setiap
sisi, seperti ditunjukkan di bawah untuk 2610.
16 26 Sisa
16 1 10≡A16——
0 1 ≡ 1 16—↓ ↓
Potongan paling signifikan→1 A← Potongan paling kurang signifikan
Karena itu 2610 = 1A16
Dengan serupa, untuk 44710
16 447 Sisa
16 27 15≡ F16
40. 16 1 11≡ B16
0 1 ≡ 1 16 ↓ ↓ ↓
1 B F
Dengan demikian 44710 = 1BF16
Soal 14. Ubah bilangan-bilangan desimal berikut menjadi ekuivalen-ekuivalen
hexadesimal mereka: (a) 3710 (b) 10810
(a) 16 37 Sisa
16 2 5 = 5 16
0 2 = 2 16 ↓ ↓
Potongan paling signifikan →2 5 ←potongan paling kurang signifikan
Karena itu 3710 = 2516
(b) 16 108 Sisa
16 6 12 =C16
0 6 =6 16 ↓ ↓
6 C
Karena itu 10810 = 6C16
Soal 15. Ubah bilangan-bilangan desimal berikut menjadi ekuivalen-ekuivalen
hexadesimal mereka : (a) 162 10 (b) 23910
(a) 16 162 Sisa
16 10 2 =216
0 10=A16 ↓ ↓
A 2
Karena itu 16210 = A216
(b) 16 239 Sisa
16 14 15 = F16
0 14 = E16 ↓ ↓
E F
Karena itu 23910 = EF 16
________________________________________________________________
Untuk mengubah dari binary ke hexadesimal
41. Potongan-potongan binary diatur dalam kelompok-kelompok 4, mulai dari kanan ke kiri,
dan suatu simbol hexadesimal ditunjuk untuk setiap kelompok. Contoh : jumlah binary
1110011110101001 dikelompokkan pada awalnya dalam
4 sebagai: 1110 0111 1010 1001
dan suatu simbol hexadesimal
ditunjuk untuk setiap kelompok sebagai E 7 A 9
dari tabel 3.2
karena itu 11100111101010012 = E7A916
Untuk mengubah dari hexadesimal ke binary
Dengan demikian, prosedur di atas dibalik, contoh:
6CF316=0110 1100 1111 0011
Dari tabel 3.2
Yaitu 6CF316 = 110 1100 1111 00112
Soal 16. Ubah bilangan-bilangan binary ke dalam ekuivalen-ekuivalen hexadesimal
mereka: (a) 110101102 (b) 11001112
(a) Kelompokkan potongan-potongan dalam kelompok 4 dari sebelah kanan memberi :
1101 0110
dan menunjukkan simbol-simbol hexadesimal
pada setiap kelompok memberi : D 6
Dari tabel 3.2
Dengan demikian, 1101 01102 = D616
(b) Kelompokkan potongan-potongan dalam kelompok 4 dari sebelah kanan memberi:
0110 0111
dan menunjukkan simbol-simbol hexadesimal
pada setiap kelompok memberi : 6 7
dari tabel 3. 2
Dengan demikian, 11001112 = 6716
Soal 17. Ubah bilangan-bilangan binary ke dalam ekuivalen-ekuivalen hexadesimal :
(a) 11011112 (b)1100111102
(a) Kelompokkan potongan-potongan dalam kelompok 4 dari
sebelah kanan memberi 1100 1111
42. dan menunjuk simbol-simbol hexadesimal
pada setiap kelompok memberi: C F
Dari tabel 3.2
Dengan demikian, 1100 11112 = CF16
(b) Kelompokkan potongan-potongan dalam kelompok 4 dari
sebelah kanan memberi 0001 1001 1110
dan menunjuk simbol-simbol hexadesimal
pada setiap kelompok memberi : 1 9 E
dari tabel 3.2
Dengan demikian, 1100111102 = 19E16
Soal 18. Ubah bilangan-bilangan hexadesimal berikut menjadi ekuivalen-ekuivalen
binary: (a) 3F16 (b) A616
(a) Membuat jarak digit-digit hexadesimal memberi : 3 F
dan mengubah setiap digit menjadi
binary memberi: 0011 1111
dari tabel 3.2
Dengan demikian, 3F16 =1111112
(b) Membuat jarak digit-digit hexadesimal
memberi : A 6
dan mengubah setiap digit menjadi binary
memberi : 1010 0110
dari tabel 3.2
Dengan demikian, A616 = 101001102
Soal 19. Ubah bilangan-bilangan hexadesimal berikut menjadi ekuivalen-ekuivalen
binary mereka : (a)7B16 (b)17D16
(a) Membuat jarak digit-digit hexadesimal
memberi: 7 B
dan mengubah setiap digit menjadi binary
memberi: 0111 1011
dari tabel 3.2
Dengan demikian, 7B16 = 11110112
43. (b) Membuat jarak digit-digit hexadesimal
memberi: 1 7 D
dan mengubah setiap digit menjadi
binary memberi : 0001 0111 1101
dari tabel 3.2
Dengan demikian, 17D16 = 1011111012
Sekarang coba latihan berikut
Latihan 12. Soal-soal lebih jauh tentang bilangan-bilangan hexadesimal
Pada soal-soal 1 hingga 4, ubah bilangan-bilangan hexadesimal menjadi ekuivalen-
ekuivalen desimal
1. E716 [23110] 2. 2C16 [4410]
3. 9816 [15210] 4. 2F16 [75310]
Pada soal-soal 5 hingga 8, mengubah bilangan-bilangan desimal diberikan menjadi
ekuivalen-ekuivalen desimal mereka.
5. 5410 [3616] 6.20010 [C816]
7. 9110 [5B16] 8.23810 [EE16]
Pada soal 9 hingga 12, mengubah bilangan-bilangan binary yang diberikan ke dalam
ekuivalen-ekuivalen hexadesimal mereka.
9. 110101112 [D716]
10. 111010102 [EA16]
11.100010112 [8B16]
12.101001012 [A516]
Pada soal-soal 13 hingga 16, ubah bilangan-bilangan hexadesimal menjadi ekuivalen-
ekuivalen binary mereka:
13. 3716 [1101112]
14.ED16 [111011012]
15.9F16 [100111112]
16.A2116 [1010001000012]
4
____________________________________________________________
44. Kalkulasi-Kalkulasi dan Evaluasi Formula
____________________________________________________________
4.1 Kekeliruan-Kekeliruan dan Pendekatan-Pendekatan
(i) Dalam semua soal di dalam mana ukuran jarak, waktu, massa atau kuantitas-kuantitas
terjadi, suatu jawaban yang tepat dapat diberikan; hanya suatu jawaban yang mana yang
tepat pada suatu derajat ditetapkan atau ketepatan dapat diberikan. Untuk menghitung
suatu kekeliruan karena ukuran dikatakan ada.
(ii) Untuk menghitung kekeliruan-kekeliruan ukuran itu biasa membatasi jawaban-
jawaban agar hasil diberikan tidak lebih dari gambaran signifikan lebih besar dari pada
bilangan paling kurang akurat diberikan dalam data.
(iii) Kekeliruan-kekeliruan sekitar dapat muncul dengan fraksi-fraksi desimal. Contoh
untuk menetapkan π=3.142 tidak benar secara kaku, tetapi ‘π=3.142 benar pada 4
gambaran signifikan’ adalah suatu pernyataan yang benar. (Sebenarnya, π=
3.14159265…)
(iv) adalah mungkin, melalui suatu prosedur tidak tepat, untuk memperoleh jawaban yang
salah pada suatu perhitungan. Jenis kekeliruan ini dikenal sebagai suatu perbuatan yang
keliru.
(v) Suatu bentuk dari kekeliruan besar dikatakan muncul jika posisi ketidaktepatan poin
desimal terjadi setelah suatu perhitungan telah diselesaikan.
(vi)Perbuatan-perbuatan keliru dan bentuk dari kekeliruan-kekeliruan dapat dikurangi
dengan menentukan nilai-nilai perhitungan-perhitungan. Jawaban-jawaban mana tidak
tampak dapat dikerjakan harus diperiksa dan perhitungan harus diulang seperlunya.
Seorang insinyur akan sering butuh membuat suatu perkiraan mental cepat untuk suatu
perhitungan. Contoh :
1.382.61
1.1224.181.49
x
xx
dapat diperkirakan
4060
1202050
x
xx
dan kemudian,
dengan membatalkan,
4060
1202050
x
xx
=50. Suatu jawaban akurat di mana pun antara 45 dan
karena itu 55 dapat diharapkan. Tentu suatu jawaban sekitar 500 atau 5 tidak dapat
diharapkan. Sebenarnya, dengan kalkulator
1.382.61
1.1224.181.49
x
xx
=47.31, benar untuk 4 gambaran signifikan.
45. Soal 1. Daerah A dari suatu segitiga diberikan oleh A =
2
1
bh. Dasar b ketika diukur
ditemukan menjadi 3.26 cm, dan tinggi garis tegak h adalah 7.5 cm. Tentukan daerah
segitiga.
Daerah segitiga =
2
1
bh = 5.726.3
2
1
xx = 12.225 cm2
Nilai perkiraan
2
1
x 3 x 8=12 cm2, jadi tidak ada perbuatan keliru yang jelas atau
kekeliruan-kekeliruan besar. Akan tetapi, tidak biasa dalam suatu soal jenis ukuran untuk
menyatakan jawaban untuk suatu ketepatan lebih besar daripada satu gambaran signifikan
lebih daripada bilangan yang paling kurang akurat pada data : ini adalah 7.5 cm, jadi hasil
seharusnya tidak memiliki lebih daripada 3 gambaran signifikan.
Dengan demikian, daerah segitiga = 12.2 cm2.
Soal 2.Nyatakan jenis kekeliruan mana telah dibuat dalam pernyataan-pernyataan berikut:
(a) 72 x 31.429 =2262.9
(b) 16 x 0.08 x 7 = 89.6
(c) 11.714 x 0.088 = 0.3247 benar untuk 4 tempat desimal
(d)
89.11
0512.074.29 x
=0.12 benar untuk 2 gambaran signifikan
(a) 72 x 31.429 =2262.888 (dengan kalkulator), karena itu suatu kekeliruan sekitar telah
terjadi. Jawaban seharusnya menyatakan:
72 x 31.429 =2262.9, benar untuk 5 gambaran signifikan atau 2262.9 benar untuk 1
tempat desimal.
(b) 16 x 0.08 x 7 =16 x
100
8
x 7=
25
732x
=
25
24
8
25
224
=8.96
Karena itu suatu bentuk kekeliruan besar telah terjadi.
(c) 11.714 x 0.0088 sama dengan mendekati pada 12 x 9 x 10-3, kira-kira 108 x 10-3 atau
0.108. Dengan demikian, suatu perbuatan keliru telah dibuat.
(d)
89.11
0512.074.29 x
≈
8
1
120
15
1012
150
12
10530
2
2
x
xx
atau 0.125
46. Karena itu tidak bentuk dari kekeliruan besar telah terjadi. Akan tetapi,
89.11
0512.074.29 x
=0.128, benar untuk 3 gambaran signifikan, yang sama 0.13 benar untuk 2 gambaran
signifikan.
Karena itu suatu kekeliruan sekitar telah terjadi.
Soal 3. Tanpa menggunakan suatu kalkulator, tentukan suatu nilai perkiraan dari :
(a)
7.53.9
1.197.11
x
x
(b)
76.81.12
91.176.20319.2
x
xx
(a)
7.53.9
1.197.11
x
x
kira-kira sama dengan
510
2010
x
x
, yaitu kira-kira 4
(dengan kalkulator,
7.53.9
1.197.11
x
x
=4.22, benar untuk 3 gambaran signifikan)
(b)
76.81.12
91.176.20319.2
x
xx
≈
1010
202002
x
xx
=2 x 20 x 2, setelah pembatalan, yaitu:
76.81.12
91.176.20319.2
x
xx
≈80
(Dengan kalkulator,
76.81.12
91.176.20319.2
x
xx
=75.3, benar untuk 3 gambaran signifikan)
Sekarang coba latihan berikut
Latihan 13. Soal-soal lebih jauh tentang kekeliruan-kekeliruan
Pada soal-soal 1 hingga 5 menyatakan tipe kekeliruan atau kekeliruan-kekeliruan mana,
telah dibuat:
1. 25 x 0.006 x 1.4 =0.21
[bentuk kekeliruan besar]
2. 137 x 6.842 =937.4
[Kekeliruan sekitar-seharusnya menambah ‘benar untuk 4 gambaran signifikan’ atau
‘benar untuk satu tempat desimal]
3.
6.12
008.024x
=10.42 [perbuatan keliru]
4. Untuk suatu gas pV= c. Ketika tekanan p = 1 03400 Pa dan V=0.54 m3 kemudian c
=55836 Pa m3.
[nilai-nilai diukur, karena itu c =55800 Pa m3]
47. 5.
274.03.52
07.06.4
x
x
=0.225
[Bentuk kekeliruan besar dan kekeliruan sekitar –seharus
nya 0.0225, benar untuk 3 gambaran signifikan atau 0.0225
benar untuk 4 tempat desimal]
Pada soal-soal 6 hingga 8, evaluasi pernyataan-pernyataan dengan mendekati, tanpa
menggunakan sebuah kalkulator.
6. 4.7 x 6.3 [≈30 (29.61, dengan kalkulator)
7.
96.012.6
07.487.2
x
x
[≈2 (1.988, benar untuk 4 gambaran signifikan, dengan kalkulator)]
8.
2.53.139
6.4896.11.72
x
xx
[≈10 (9.481, benar untuk 4 gambaran signifikan, dengan kalkulator)]
4.2 Penggunaan Kalkulator
Bantuan paling modern untuk kalkulasi-kalkulasi adalah kalkulator elektronik ukuran
kantong. Dengan satu dari kalkulator-kalkulator ini, kalkulasi-kalkulasi dapat dilakukan
secara cepat dan akurat, benar untuk kira-kira 9 gambaran signifikan. Jenis kalkulator
ilmiah telah membuat penggunaan tabel-tabel dan logaritma secara besar limpah.
Untuk membantu anda menjadi kompeten menggunakan kalkulator memeriksa
bahwa anda setuju dengan jawaban-jawaban untuk soal-soal berikut.
Soal 4. Evaluasi yang berikut, benar untuk 4 gambaran signifikan
(a) 4.7826 + 0.02713 (b) 17.6941 – 11.8762 (c) 21.93 x 0.012981
(a) 4.7826 + 0.02713=4.80973=4.810, benar untuk 4 gambaran signifikan
(b) 17.6941 – 11.8762 =5.8179 =5.818, benar untuk 4 gambaran signifikan
(c) 21.93 x 0.012981=0.2846733…=0,2847, benar untuk 4 gambaran signifikan
Soal 5. Evaluasi yang berikut, benar untuk 4 tempat desimal:
(a) 46.32 x 97.17 x 0.01258 (b)
76.23
621.4
(c) 0172.049.62
2
1
x
(a) 46.32 x 97.17 x 0.01258=56.6215031…=56.6215, benar untuk 4 tempat desimal
(b)
76.23
621.4
=0.19448653…=0.1945, benar untuk 4 tempat desimal
48. (c) 0172.049.62
2
1
x =0.537414=0.5374, benar untuk 4 tempat desimal
Soal 6. Evaluasi yang berikut, benar untuk 3 tempat desimal
(a)
73.52
1
(b)
0275.0
1
(c)
97.1
1
92.4
1
(a)
73.52
1
=0.01896453…=0.019, benar untuk 3 tempat desimal
(b)
0275.0
1
=36.3636363…=36.364, benar untuk 3 tempat desimal
(c)
97.1
1
92.4
1
=0.71086624… =0.711, benar untuk 3 tempat desimal
Soal 7. Evaluasi yang berikut, nyatakan jawaban-jawaban dalam bentuk standar, benar
untuk 4 gambaran signifikan.
(a) (0.00451)2 (b) 631.7 – (6.21 +2.95)2 (c) 46.272 – 31.792
(a) (0.00451)2 =2.03401 x 10-5 = 2.034 x 10-5, benar untuk 4 gambaran signifikan
(b) 631.7 – (6.21 +2.95)2=547.7944=5.477944 x 102 = 5.478 x 102, benar untuk 4
gambaran signifikan
(c) 46.272 – 31.792=1130.3088 =1.130 x 103, benar untuk 4 gambaran signifikan
Soal 8. Evaluasi yang berikut, benar untuk 3 tempat desimal
(a)
0526.0
37.2
2
(b)
22
45.2
40.5
92.1
60.3
(c) 22
8.46.7
15
(a)
0526.0
37.2
2
=106.785171 …=106.785, benar untuk 3 tempat desimal
(b)
22
45.2
40.5
92.1
60.3
=8.37360084…=8.374, benar untuk 3 tempat desimal
(c) 22
8.46.7
15
=0.43202764…=0.432, benar untuk 3 tempat desimal
Soal 9. Evaluasi yang berikut, benar untuk 4 gambaran signifikan:
(a) 462.5 (b) 62.54 (c) 2.546
(a) 462.5 =2.3370922…=2.337, benar untuk 4 gambaran signifikan
49. (b) 62.54 =7.39053448…=7.391, benar untuk 4 gambaran signifikan
(c) 2.546 =23.370922…= 23.37, benar untuk 4 gambaran signifikan
Soal 10. Evaluasi yang berikut, benar untuk 3 tempat desimal :
(a) 007328.0 (b) 91.52 - 76.31 (c) 4
106291.1 x
(a) 007328.0 =0.08560373=0.086, benar untuk 3 tempat desimal
(b) 91.52 - 76.31 =1.63832491…=1.638, benar untuk 3 tempat desimal
(c) 4
106291.1 x = 6291.1 =127.636201…=127.636, benar untuk 3 tempat desimal
Soal 11. Evaluasi yang berikut, benar untuk 4 gambaran signifikan:
(a). 4.723 (b) (0.8316)4 (c) 22
10.9121.76
(a). 4.723=105.15404…=105.2, benar untuk 4 gambaran signifikan
(b) (0.8316)4=0.47825324…=0.4783, benar untuk 4 gambaran signifikan
(c) 22
10.9121.76 =70.4354605 =70.44, benar untuk 4 gambaran signifikan
Soal 12. Evaluasi yang berikut, benar untuk 3 gambaran signifikan:
(a)
72.25
09.6 2
x
(b)3
291.47 (c) 432
291.3418.6213.7
(a)
72.25
09.6 2
x
=0.74583457…=0.746, benar untuk 3 gambaran signifikan
(b)3
291.47 =3.61625876…=3.62, benar untuk 3 gambaran signifikan
(c) 432
291.3418.6213.7 =20.8252991…=20.8, benar untuk 3 gambaran signifikan
Soal 13.Evaluasi yang berikut, nyatakan jawaban-jawaban dalam bentuk standar, benar
untuk 4 tempat desimal:
(a) (5.176 x10-3)2
(b)
421
462.3
1061.810974.1
xxx
(c) 4
10792.1
x
(a) (5.176 x10-3)2=2.679097 …x 10-5= 2.6791 x 10-5, benar untuk 4 tempat desimal
50. (b)
421
462.3
1061.810974.1
xxx
=0.05808887…=0.058089x 10-2, benar untuk 4 tempat
desimal
(c) 4
10792.1
x =0.0133865…=1.3387 x 10-2, benar untuk 4 tempat desimal
____________________________________________________________
Sekarang coba latihan berikut
Latihan 14. Soal-soal tentang penggunaan kalkulator lebih jauh
Dalam soal 1 hingga 9, gunakan kalkulator untuk mengevaluasi kuantitas-kuantitas yang
ditunjukkan benar untuk 4 gambaran signifikan!
1. (a) 3.2492 (b)73.782 (c)311.42 (d) 0.06392
[(a) 10.56 (b) 5443 (c) 96970 (d)0.004083]
2. (a) 375.4 (b) 46.35 (c) 73280 (d) 0256.0
[(a) 2.176 (b) 5.955 (c) 270.7 (d)0.1600
3. (a)
768.7
1
(b)
46.48
1
(c)
0816.0
1
(d)
118.1
1
[(a) 0.1287 (b) 0.02064 (c) 12.25 (d) 0.8945]
4. (a)127.8 x 0.0431 x 19.8
(b)15.76
.
.
4.329
[(a) 109.1 (b) 3.641]
5. (a)
9.552
6.137
(b)
041.0
736.182.11 x
[(a)0.2489 (b) 500.5]
6.(a)13.63 (b)3.4764 (c) 0.1245
[(a) 2515 (b) 146.0 (c) 0.00002932]
7.(a)
3
412.7
0532.068.24
x
(b)
4
89.116.32
2.412681.0
x
x
[(a) 0.005559 (b)1.900]
51. 8.(a) 2
3
68.21
32.14
(b)
6.1186.1533.17
821.4
2
3
x
[(a)6.248 (b)0.9630]
9.(a)
52.1021.29
62.15
2
x
(b) 432
161.2816.4921.6
[(a) 1.605 (b) 11.74]
10.Evaluasi yang berikut, nyatakan jawaban-jawaban dalam bentuk standar, benar untuk
3 tempat desimal : (a) (8.291 x 10-2)2 (b) 3
10623.7
x
[(a)6.874 x 10-3 (b) 8.731 x 10-2]
4.3. Tabel-Tabel dan Grafik-Grafik Konversi
Sering penting membuat perhitungan-perhitungan dari berbagai tabel-tabel dan grafik-
grafik konversi. Contoh-contoh mencakup standar-standar pertukaran mata uang,
imperial untuk konversi-konversi satuan metrik, jadwal-jadwal kereta api atau bis,
jadwal-jadwal produksi dan seterusnya.
Soal 14.Standar pertukaran mata uang untuk 5 negara ditunjukkan pada tabel 4.1
Tabel 4.1
_______________________
Perancis £1=1.46 euro
Jepang £1=190 yen
Norwegia £1=10.90 kronor
Switzerland £1=2.15 francs
U.S.A £1=1.52 dollar($)
Hitung:
(a) Berapa banyak Euro Perancis £27.80 akan beli?
(b) Jumlah yen Jepang yang dapat dibeli untuk £23?
(c) Poundsterling yang dapat ditukar untuk 6409.20 Kronor Norwegia?
(d)Jumlah dollar Amerika yang mana dapat dibeli untuk £90?
(e) Poundsterling yang dapat ditukar untuk 2795 Francs Swiss?
(a) £1=1.46 eur, karena itu
£27.80= 27.80 x 1.46=40.59 euro
(b) £1= 190 yen, karena itu
£23 =23 x 190 yen = 4370 yen
52. (c) £1=10.90 Kronor, karena itu
6409.20 Kronor = £
90.10
20.6409
=£588
(d) £1= 1.52 dollar, karena itu
£90= 90 x 1.52 dollar = $136.80
(e) £1= 2.15 Francs Swiss, karena itu
2795 Francs = £
15.2
2795
=£1300
Soal 15. Suatu imperial pendekatan untuk konversi-konversi metrik ditunjukkan di tabel
4.2
Tabel 4.2
_________________________________________
Panjang 1 inci = 2.54 cm
1 mil = 1.61 km
Berat 2.2 lb = 1 kg
(1 lb= 16 oz)
Kapasitas 1.76 pint = 1 liter
(8 pint = 1 gallon)
________________________________________
Gunakan tabel itu untuk menentukan:
(a) jumlah millimeter dalam 9.5 inci
(b) suatu kecepatan 50 mil per jam dalam kilometer per jam,
(c) jumlah mil-mil dalam 300 km,
(d) jumlah pon-pon dan ons-ons dalam 42 kilogram(benar untuk ons terdekat)
(e) Jumlah liter-liter dalam 15 gallon, dan
(f) Jumlah gallon dalam 40 liter
(a) 9.5 inci = 9.5 x 2.54 = 24.13 cm
24.13 cm = 24.13 x 10 mm= 241.3 mm
(b) 50 m.p.h = 50 x 1.61 km/jam = 80.5 km/jam
(c) 300 km=
61.1
300
mil= 186.3 mil
(d) 30 lb=
2.2
30
kg=13.64 kg
(e) 42 kg = 42 x 2.2 lb=92.4 lb
53. 0.4 lb= 0.4 x 16 oz =6.4 oz= 6 oz, benar untuk ons terdekat
Dengan demikian 42 kg =92 lb 6 oz, benar untuk ons terdekat
(f)15 galon= 15 x 8 pint = 120 pint
120 pint =
76.1
120
liter =68.18 liter
(g)40 liter = 40 x 1.76 pint =70.4 pint
70.4 pint =
8
4.70
gallon =8.8 galon
Sekarang coba latihan berikut
Latihan 15. Soal-soal tabel-tabel dan grafik-grafik konversi lebih jauh
1. Standar-standar pertukaran mata uang terdaftar di sebuah Koran tercakup sebagai
berikut:
Italia £1=1.48 euro
Jepang £1= 185 yen
Australia £1= 2.70 dollar
Kanada £1=$2.40
Swedia £1=13.25 Kronor
Hitung (a) Berapa banyak euro italia akan dibeli untuk £32.50, (b) jumlah dollar Kanada
yang dapat dibeli untuk £74.80 (c) Poundsterling yang dapat ditukar untuk 14040 yen (d)
Poundsterling yang dapat ditukar untuk 1754.30 Kronor Swedia, dan (e) dollar Australia
yang dapat dibeli untuk £55
[(a) 48.10 euro (b)$179.52 (c)£75.89 (d) £132.40 (e) 148.50 dollar]
2. Berikut adalah suatu daftar dari beberapa metrik untuk konversi-konversi imperial
Panjang 2.54 cm= 1 inci
1.61 km = 1 mil
Berat 1 kg = 2.2 lb (1 lb = 16 ons)
Kapasitas 1 liter = 1.76 pint
(8 pint = 1 gallon)
Gunakan daftar itu untuk menentukan (a) jumlah millimeter dalam 15 inci (b) suatu
kecepatan 35 m.p.h dalam km/jam (c) jumlah kilometer dalam 235 mil, (d) jumlah pon
54. dan ons dalam 24 kg (benar untuk ons terdekat), (e) jumlah kilogram dalam 15 lb, (f)
jumlah liter dalam 12 galon, (g) jumlah gallon dalam 25 liter
[(a) 381 mm (b) 56.35 km/jam (c) 378.35 km (d) 52 lb 3 oz (e) 6.82 kg (f)54.55 l (g)
5.5 gallon]
3. Ambil kesimpulan informasi berikut dari jadwal kereta api BR ditunjukkan dalam tabel
4.3
(a) Pada waktu apa seharusnya seorang pria mengambil sebuah kereta api pada Mossley
Hill untuk menyanggupkan dia berada di Manchester Piccadily jam 8.16 a.m?
(b) Seorang gadis meninggalkan Hunt Cross pada 8.17 a.m dan pergi ke jln. Manchester
Oxford. Berapa lama perjalanan itu memakan waktu?Berapa kecepatan rata-rata
perjalanan itu?
(c) Seorang pria tinggal di Edge Hill harus berada pada pekerjaan di Trafford Park jam
8.45 a.m. Dia membutuhkan waktu 10 menit untuk jalan ke pekerjaannya dari stasiun
Trafford Park. Jam berapa kereta api ia seharusnya ambil dari Edge Hill?
[(a) 7.09 a.m (b) 51 menit, 32 m.p.h (c) 7.04 a.m]
Tabel 4.3 liverpool, Hunt’s Cross and Warrington→Manchester
55. 1. Numbers
Note: a/one (as in eg ‘a/one hundred’); is a less formal usage than “one hundred”.
Cardinal = bilangan pokok Ordinal = bilangan urutan
1. One 1 st first
2. Two 2 nd second
3. Three 3 rd third
4. Four 4 th fourth
5. Five 5 th fifth
6. Six 6 th sixth
7. Seven 7 th seventh
8. Eight 8 th eigth
9. Nine 9 th nineth
10. Ten 10 th tenth
11. Eleven 11 th eleventh
12. Twelve 12 th twelfth
13. Thirteen 13 th thirteenth
14. Fourteen 14 th fourteenth
15. Fifteen 15 th fifteenth
16. Sixteen 16 th sixteenth
17. Seventeen 17 th seventeenth
18. Eighteen 18 th eighteenth
19. Nineteen 19 th nineteenth
20. Twenty 20 th twentieth
21. Twenty-one 21 st twenty-first
22. Twenty-two 22 nd twenty-second
23. Twenty-three 23 rd twenty-third
30. Thirty 30 th thirtieth
38. Thirty-eight 38 th thirty-eighth
40. Forty 40 th fortieth
50. Fifty 50 th fiftieth
60. Sixty 60 th sixtieth
70. Seventy 70 th seventieth
80. Eighty 80 th eightieth
90. Ninety 90 th ninetieth
100 a/one Hundred 100 th a/one hundredth
1000 a/one Thousand 1000 th a/one thousandth
10.000 Ten-thousand 10.000 th a/one ten-thousand
100.000 a/one Hundred-thousand 100.000 th a/one hundred-thousand
1.000.000 a/one million 1.000.000 th a/one millionth
Some more complex number
101 a/one hundred and one
152 a/one thousand and fifty-two
1.001 a/one thousand and one
2.325 two thousand, three hundred and twenty-five
15.972 fifteen thousand, nine hundred and seventy-two
234.753 two hundred and thirty-four thousand, seven hundred and fifty-three
56. US, France GB and other European
countrie
1.000.000.000 109 a/one billion a/one thousand million(s)
1.000.000.000.000 1012 a/one trillion a/one billin
1.000.000.000.000.000 1015 a/one quadrillion a/one thousand billion(s)
1.000.000.000.000.000.000 1018 a/one quintillion a/one trillion
Vulgar fraction Decimal fraction
⅛ an/one-eigthth 0.125 point one two five
¼ a/one quarter 0.25 point two five
⅓ a/one third 0.33 point three three
½ a/one half 0.5 point five
¾ three-quarter 0.75 point seven five
Jika ditulis on December 21st 1970, dibaca :
ON DECEMBER TWENTY FIRST NINETEEN SEVENTY
2. Time of day
3.00 Three o”clock
8.15 a quarter past eight
9.45 a quarter to ten
4.30 half past four
5. 10 ten minutes past five
Am and pm.
WAKTU
Jam 02.00 diungkapkan dengan :
Jika ditulis at 02.00, dibaca :
AT TWO O’CLOCK, atau AT TWO (tanpa o’clock)
Jika ditulis at 02.00AM, dibaca :
AT TWO AM (tanpa o’clock)
Jika ditulis at 02.00PM, dibaca :
AT TWO PM (tanpa o’clock)
Catatan :
AM digunakan dari jam 00.01 dinihari sampai 11.59 menjelang tengah hari
PM digunakan dari jam 12.01 siang sampai 23.59 menjelang tengaj malam
Jam 12.00 siang biasanya dikatakan 12.00 noon (TWELVE NOON)
Jam 24.00 malam biasanya dikatakan 12.00 midnight (TWELVE MIDNIGHT)
Lebih/kurang :
57. Jam 02.15, diungkapkan dengan : AT TWO FIFTEEN, atau AT A QUARTER
PAST TWO
Jam 02.45, diungkapkan dengan : AT TWO FOURTY FIVE, atau AT A
QARTER TO TWO
Jam 02.30, diungkapkan dengan : AT TWO THIRTY, atau AT A HALF PAST
TWO
Perhatikan :
Jam 13.00 TIDAK DIBACA : AT THIRTEEN O’CLOCK, tapi dibaca : AT ONE
O’CLOCK atau AT ONE PM
Jam 19.00 TIDAK DIBACA : AT NINETEEN O’CLOCK, tapi dibaca : AT
SEVEN O’CLOCK atau AT SEVEN PM
Untuk menyatakan lama waktu, pengungkapannya sebagai berikut :
3 jam 5 menit 30 detik, diungkapkan : THREE HOURS FIVE MINUTES
THIRTY SECONDS.
24 jam, diungkapkan : TWENTY FOUR HOURS
setengah jam : HALF AN HOUR
NOMOR TELEPHONE dan NOMOR KAMAR (hotel misalnya)
Nomor telephone dibaca sesuai angkanya, tidak berdasarkan ribuan, ratusan, puluhan,
dsb.nya :
021-5279-2898 dibaca : ZERO TWO ONE FIVE TWO SEVEN NINE TWO
EIGHT NINE EIGHT
2244 dibaca TWO TWO FOUR FOUR atau DOUBLE TWO DOUBLE FOUR
975966 dibaca NINE SEVEN FIVE NINE SIX SIX, atau NINE SEVEN FIVE
NINE DOUBLE SIX
Room 2428 dibaca ROOM TWO FOUR TWO EIGHT
Room 423 dibaca ROOM FOUR TWO THREE
OPERASI MATEMATIKA
1 + 1 = 2
Ini adalah operasi penjumlahan. Cara membacanya adalah :
58. ONE PLUS ONE IS TWO
ONE PLUS ONE EQUALS TO TWO
ONE ADDED BY ONE EQUALS TO TWO
3 – 1 = 2
Ini adalah operasi pengurangan. Cara membacanya adalah :
THREE MINUS ONE IS TWO
THREE MINUS ONE EQUALS TO TWO
THREE LESS ONE IS TWO
THREE SUBSTRACTED BY ONE IS TWO
3 x 2 = 6
Ini adalah operasi perkalian. Cara membacanya adalah :
THREE TIMES TWO IS SIX
THREE TIMES TWO EQUALS TO SIX
THREE MULTIPLIED BY TWO IS SIX
8 : 2 = 4
Ini adalah operasi pembagian. Cara membacanya adalah :
EIGHT DIVIDED BY TWO IS FOUR
EIGHT DIVIDED BY TWO EQUALS TO FOUR
32 = 9
Ini adalah operasi pangkat. Cara membacanya adalah :
THREE SQUARED IS NINE
V9 = 3
Ini adalah operasi akar. Cara membacanya adalah :
SQUARE ROOT OF NINE IS THREE.
V27 = 3
Ini adalah operasi akar pangkat tiga. Cara membacanya adalah :
CUBIC ROOT OF TWENTY SEVEN IS THREE
BILANGAN PECAHAN DAN PERSEN
59. ½ dibaca HALF
1/3 dibaca A THIRD atau ONE THIRD
¼ dibaca A FOURTH atau ONE FOURTH atau A QUARTER
2¾ dibaca TWO AND THREE FOURTH atau TWO AND THREE QUARTER
2½ dibaca TWO AND A HALF
2% dibaca TWO PER CENTS
25% dibaca TWENTY FIVE PER CENTS
Satuan Ukuran
2 M2 dibaca TWO SQUARE METERS
100 M2 dibaca A HUNDRED SQUARE METERS
20 KM dibaca TWENTY KILOMETERS
27 M3 dibaca TWENTY SEVEN CUBIC METERS
90o dibaca NINETY DEGREES
3. Mathematical Expressions
Δ = Triangle
◌ = a circle
□ = a square
= a rectangle
< = is less than
> = is more than
= is equal to/equals
: = (is) divided by
+ = Plus/and
- = minus
x = times/take away
ǁ = is parallel to
= cubic-root
√ = (square) root
4. Measurements (Ina nimate)
In = inch(es) sq in = square inch(es) cu in = cubic inch(es)
Ft = foot/feet sq ft = square foot/feet cu ft = cubic foot/feet
Yd = yard(s)
60. RIWAYAT HIDUP
SOETYONO ISKANDAR, dilahirkan di Makassar Sulawesi Selatan pada
tanggal 15 Maret 1954. Isteri Rita Iskandar, anak Margaret Iskandar,
S.Pd., M.Pd., Panji Sutrisno, S.E., Maya Caroline, S.T dan cucu Nick
Owen Thio dan Kei Bastian. Sejak 01 Maret 1981 diangkat menjadi PNS
sebagai dosen FPTK, jurusan Teknik mesin
Univesitas Negeri Makassar. Hingga sekarang dengan golongan/pangkat: IV/b NIP.
19540315 198103 1 004. (NIDN. 0015035403).
Riwayat pendidikan yang pernah ditempuh berturut-turut: (1) SR. Advent
Makassar, lulus berijazah pada tahun 1965; (2) SMP. Advent Makassar, lulus berijazah
pada tahun 1968; (3) SMA. Neg. I. Makassar, lulus berijazah pada tahun 1971; (4)
Program S1, jutusan teknik mesin Universitas Hasanuddin Makassar, lulus berijazah pada
tahun 1980; (5) Program S2, jurusan teknik mesin, konsentrasi konversi energi
Universitas Hasanuddin Makassar, lulus berijazah pada tahun 2003; (6) Program S2,
jurusan PKLH Universitas Negeri Makassar, lulsu berijazah pada tahun 2007; (7)
Program Sandwich University of Illinois pada tahun 2010-2011; (8) Program S3
(DOKTOR) program studi manajemen pendidikan Program Pascasarjana (PPs)
Universitas Negeri Malang (UM) di Malang pada tahun 2009 – 2011.(9) Pensiun tahun
2019. (10) Ketua STIK Immanuel Indonesia.
Selama menjadi tenaga edukatif peneliti aktif melakukan penelitian dan
pengabdian masyarakat sesuai dengan bidang keahlian, disamping mengajar di FPTK dan
STIK Immanuel Indonesia. Begitu juga peneliti aktif mengikuti berbagai kegiatan di luar
kampus seperti seminar, lokakarya, diskusi, dan sebagai nara sumber, pemakalah,
moderator, maupun peserta aktif untuk tingkat lokal, regional, nasional dan internasional.
