Deret aritmatika merupakan jumlah dari barisan aritmatika

1. DERET ARITMETIKA
Deret Aritmatika adalah penjumlahan dari suku-suku pada barisan
aritmatika
Jumlah deret aritmatika ditulis Sn
Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + ... + Un – 3b + Un – 2b + Un – b + Un
Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + ... + Un – 3b + Un – 2b + Un – b + Un
Diperoleh
Sn = a + a + a + .... + Un + Un + Un ( sebanyak n faktor )
( a sebanyak ½n dan Un sebanyak ½n)
Jadi :
Sn = ½n ( a + Un ) karena Un = a + (n – 1)b maka diperoleh
Sn = ½n ( 2a + (n – 1)b) Rumus umum jumlah deret aritmatika
Contoh 1 :
Diketahui deret aritmatika 4 + 7 + 10 + 13 + ... Tentukan jumlahnya
hingga suku ke 72
Jawab :
a = 4 , b = 3 dan n = 72
Sn = ½n ( 2a + (n – 1)b)
S72 = ½ . 72 ( 2.4 + 71.3 )
= 36 ( 8 + 213 )
= 36.221
= 7.956
Contoh 2 :
Tentukan Jumlah dari deret aritmatika berikut :
1 + 3 + 5 + 7 + ... + 103
Jawab :
a = 1, b = 2 dan n belum tahu maka perlu dicari terlebih dulu. Dari deret
di atas diperoleh bahwa Un = 103 maka
a + (n – 1)b = 103
½ n ½ n

2. 1 + (n – 1)2 = 103
1 + 2n – 2 = 103
2n = 103 – 1 + 2
2n = 104
n =
104
2
= 52
selanjutnya dicari jumlah 52 suku yang pertama deret tersebut :
Sn =
1
2
𝑛(𝑎 + 𝑈 𝑛)
= ½.52 ( 1 + 103 )
= ½.52.104
= 52.52
= 2.704
Catatan :
Khusus bilangan ganjil juga bisa dicari jumlahnya sebagai berikut :
1 = 1 satu suku
1 + 3 = 4 dua suku
1 + 3 + 5 = 9 tiga suku
1 + 3 + 5 + 7 = 16 empat suku
Tampak jumlah bilangan ganjil merupakan bilangan kuadrat
Jumlah 2 suku = 4
Jumlah 3 suku = 9
Jumlah 4 suku = 16, dan seterusnya,
jadi jumlah bilangan ganjil dapat dirumuskan Sn = n2
Contoh 3 :
Seorang pegawai kecil menerima gaji tahun pertama sebesar Rp3.000.000,00.
Setiap tahun gaji tersebut naik Rp500.000,00. Jumlah uang yang diterima
pegawai tersebut selama sepuluh tahun adalah ....
Jawab :
a = 3.000.000 , b = 500.000 dan n = 10

3. Sn =
1
2
𝑛(2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏)
S10 =
1
2
. 10[2(3.000.000) + 9(500.000)]
= 5.(6.000.000 + 4.500.000)
= 5(10.500.000)
= 52.500.000, jadi yang diterima pegawai tersebut selama 10 tahun
adalah Rp 52.500.000,00
Contoh 4 :
Sebuah besi dipotong menjadi 5 bagian, sehingga membentuk barisan aritmatika.
Jika panjang besi terpendek 1,2 m dan terpanjang 2,4 m, maka panjang besi
sebelum dipotong adalah ....
Jawab
a = 1,2 , Un = 2,4 dan n = 5
Sn =
1
2
𝑛(𝑎 + 𝑈 𝑛)
S5 =
1
2
. 5(1,2 + 2,4)
=
1
2
. 5(3,6)
= 5 x 1,8 = 9,0, jadi panjang besi sebelum dipotong 9 m
Contoh 5 :
Dalam ruang sidang terdapat 15 baris kursi, baris paling depan terdapat 23 kursi,
baris berikutnya 2 kursi lebih banyak dari baris di depannya. Jumlah kursi dalam
ruangan sidang tersebut adalah ....
Jawab :
a = 23, b = 2 dan n = 15
Sn =
1
2
𝑛(2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏)
S15 =
1
2
. 15(2.23 + 14.2)
=
1
2
. 15(46 + 28)
=
1
2
. 15(74)
= 15.37
= 555, jumlah seluruh kursi = 555 buah