Dokumen tersebut membahas tentang notasi sigma dan barisan bilangan. Notasi sigma digunakan untuk meringkas penjumlahan bilangan secara matematis. Ada beberapa jenis barisan bilangan yang dijelaskan seperti barisan bilangan aritmetika, geometri, dan sebagainya beserta rumus untuk menghitung jumlah bilangan pada barisan tersebut.

1. NOTASI SIGMA
BARISAN DAN DERET
0leh:
Drs. Markaban, M.Si
Widyaiswara PPPPTK Matematika
disampaikan
pada Diklat Guru Matematika SMK
se propinsi DIY
DI PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA
Tanggal 28 Oktober s.d 10 Nopember 2007

2. NOTASI SIGMA
Konsep Notasi Sigma
Perhatikan jumlah 6 bilangan ganjil pertama berikut:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 ……….. (1)
Pada bentuk (1)
Suku ke-1 = 1 = 2.1 – 1
Suku ke-2 = 3 = 2.2 – 1
Suku ke-3 = 5 = 2.3 – 1
Suku ke-4 = 7 = 2.4 – 1
Suku ke-5 = 9 = 2.5 – 1
Suku ke-6 = 11 = 2.6 – 1
Secara umum suku ke-k pada (1) dapat dinyatakan
dalam bentuk 2k – 1, k ∈ { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Dengan notasi sigma bentuk jumlahan (1) dapat ditulis :
∑=
=+++++
6
1k
1)-(2k1197531

3. Bentuk ∑
=
−
6
1
)12(
k
k
dibaca “sigma 2k – 1 dari k =1 sampai dengan 6”
atau “jumlah 2k – 1 untuk k = 1 sd k = 6”
1 disebut batas bawah dan
6 disebut batas atas,
lambang k dinamakan indeks
(ada yang menyebut variabel)
Secara umum:
∑
=
−−
9
4
)1)3(2(
k
k ∑
=
−
9
4
)72(
k
k

4. Nyatakan dalam bentuk sigma
1. a + a2
b + a3
b2
+ a4
b3
+ … + a10
b9
2. (a + b)n
=
nn
n
1n
bCabC...baCbaCbaCa n
1n
33nn
3
22nn
2
1nn
1
n
++++++ −
−
−−−
∑ −
=
10
1k
)1kbk(a
∑
=
−
n
0r
rrnn
r
baC
)142()132()122()112()12(
4
1
+⋅++⋅++⋅++⋅=+∑=k
k
Contoh:
249753 =+++=
Hitung nilai dari:

5. Sifat-sifat Notasi Sigma :
Untuk setiap bilangan bulat a, b dan n berlaku:
1.
2.
3.
4.
5.
n=∑
=
n
1k
1
=
=
∑
b
ak
cf(k) ∑
b
ak
f(k)c
=
=+
=
g(k)]
b
ak
[f(k)∑ ∑
b
ak
g(k)
=
∑∑∑
n
1k
f(k)
n
mk
f(k)
1m
1k
f(k)
=
=
=
+
−
=
∑
+
+=
−=∑
=
pn
pmk
p)f(k
n
mk
f(k)
+
=
∑
b
ak
f(k)

6. Buktikan:
 Bukti:
6
10
5k
6
1k
6
1k
k42k427)(2k +∑
=
∑
=
∑
=
+=−
∑
−
−=
−+∑
=
=−
410
45k
27]4)[2(k
10
5k
27)(2k
∑
=
−+=
6
1k
27)8(2k
∑
=
+=
6
1k
21)(2k
∑
=
++=
6
1k
1)4k2(4k
∑
=
+∑
=
+∑
=
=
6
1k
1
6
1k
4k
6
1k
24k
6
6
k4
6 2k +∑+∑=4
Sifat no. 5
Sifat no. 3
Sifat no. 1 dan 2

7. Barisan Bilangan
Contoh
BARISAN BILANGAN ASLI
1, 2, 3, 4, 5, 6, … ; un = n
BARISAN BILANGAN (ASLI) GANJIL
1, 3, 5, 7, 9, … ; un = 2n – 1
BARISAN BILANGAN (ASLI) GENAP
2, 4, 6, 8, 10, … ; un = 2n
UNTUK SELANJUTNYA DOMAIN BARISAN DAN DERET
ADALAH HIMPUNAN BILANGAN ASLI

8. BARISAN BILANGAN SEGITIGA
Barisan Bilangan Asli:
Deret Bilangan Asli:
1, 2, 3, 4, 5, 6, …
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + …
Barisan Bilangan Segitiga: 1, 3, 6, 10, 15, … atauJadi:
Jumlah n suku pertamaDeret Bilangan Asli:
1+2+3+4+5 + … adalah
1 1+2 1+2+3 1+2+3+4 1+2+3+4+5 1+2+3+4+5+6
1 3 6 10 15 21
1+2 1+2+3 1+2+3+4 1+2+3+4+51
(1×2)2
1
(2×3)2
1
(3×4)2
1
(4×5)2
1
(5×6)2
1 (6×7)2
1
2
1
(1×2) 2
1
(2×3) 2
1
(3×4) 2
1
(4×5) 2
1
(5×6)
2
1n(n+1)

9. BILANGAN PERSEGI
Barisan Bilangan Ganjil:
Deret Bilangan Ganjil:
1, 3, 5, 7, 9, 11, …
1 + 3 + 5 + 7 + …
1 1+3 1+3+5 1+3+5+7 1+3+5+7+9 1+3+5+7+9+11
1 4 9 16 25 36
12 22
32
42
52
62
Barisan bilangan persegi: 1, 4, 9, 16, 25, 36, …
Jumlah n suku pertamaDeret Bilangan Asli Ganjil: 1 + 3 + 5
+ 7 + 9 + … adalah n2
1+3 1+3+5 1+3+5+7 1+3+5+7+91
Jadi:

10. BILANGAN PERSEGIPANJANG
Barisan Bilangan Genap:
Deret Bilangan Genap:
2, 4, 6, 8, 10, 12, …
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + …
2+4 2+4+6 2+4+6+8 2+4+6+8+10
2 6 12 20 30
1×2 2 × 3 3 × 4 4 × 5 5 × 6
Barisan Bilangan Persegipanjang adalah: 2, 6, 12, 20, 30, …
atau 1×2, 2×3, 3×4, 4×5, 5×6, …
2+4 2+4+62
Jadi:
2 2+4+6+8
Jumlah n suku pertamaDeret Bilangan Asli Genap:
2+4+6+8+10 + … adalah n(n + 1)

11. Kalender
Minggu
Senin
Selasa
Rabu
Kamis
Jumat
Sabtu
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
AGUSTUS 2007
Bagaimana sifat barisan
bilangan tersebut?
Bagaimana sifat barisan
bilangan tersebut?
Bagaimana sifat barisan
bilangan tersebut?
Bagaimana sifat barisan
bilangan tersebut?
Bagaimana sifat barisan
bilangan tersebut?

12. BARISAN DAN DERET
ARITMETIKA
Misalkan un menyatakan suku ke-n suatu barisan, maka
barisan tersebut disebut barisan aritmetika jika un+1 −
un selalu bernilai tetap untuk setiap n.
un+1 − un disebut beda barisan tersebut dilambangkan b
un+1 = un + b; u1 = ...
Susunlah sebuah barisan aritmetika 15 suku
Berapa jumlah suku ke-3 dan ke-13
Berapa jumlah suku ke-2 dan ke-14
Berapabesar suku ke-8?
Hubungan apa yang Anda
peroleh?
Berapa jumlah suku ke-5 dan ke-11
Berapa jumlah suku ke-3 dan ke-9
Berapa jumlah suku ke-2 dan ke-10
Berapabesar suku ke-6?
un = a + (n−1)b

13. Deret Aritmetika
Rumus untuk menentukan jumlah n suku pertama
deret aritmetika dibuat berdasarkan metode
yang dipakai oleh matematikawan Carl Friedrich
Gauss (1777−1855) ketika ia masih kecil.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 100 = ?
n
n
n(a +u )
S =
2
 
  
n 2a+(n-1)b
S =n 2
atau

14. Setiap 2 tahun karyawan di suatu perusahaan gaji pokoknya
dinaikkan Rp 120.000,00. Jika gajinya sekarang Rp
1.600.000,00 sedangkan gaji pertama yang diterimanya
pertama kali Rp 720.000,00, berapa tahun ia telah bekerja di
perusahaan itu?
a = 720.000
b = 120.000
= 1.600.000un
n = 8
Bekerja selama ......... tahun16

15. BARISAN DAN DERET
GEOMETRI
Misalkan un menyatakan suku ke-n suatu barisan,
maka barisan tersebut disebutarisan geometri jika
un+1 : un selalu tetap untuk setiap n.
un+1 : un disebut rasio atau pembanding barisan
tersebut dan dilambangkan r
un = arn−1
Susunlah sebuah barisan geometri 15 suku positif
Berapa hasilkali suku ke-3 dan ke-13
Berapa hasilkali suku ke-2 dan ke-14
Berapabesar suku ke-8?
Hubungan apa yang Anda
peroleh?
Berapa hasilkali suku ke-5 dan ke-11
Berapa hasilkali suku ke-3 dan ke-9
Berapa hasilkali suku ke-2 dan ke-10
Berapabesar suku ke-6?
r
u
u
n
1n =+
ruu n1n ×=+

16. Deret Geometri
Sn = a + ar + ar2
+ … + arn−2
+ arn−1
n
n
a(1- r )
S =
1- r
n
n
a(r - 1)
S =
r - 1
atau
Jika – 1 < r < 1, maka
(1) lim rn
n→∞
= 0
(2) Akibat: lim Sn
n→∞
=
sehingga arn
→ 0
a____
1 – r
Lambang: S~ =
a____
1 – r
rSn = ar + ar2
+ … + arn−2
+ arn−1
+ ar n−1
(1 - r)Sn = a - ar n−1

17. ContohContoh
Pada awal tahun 2001 Bagas menabung sebesar Rp 1.000.000,00 di sebuah
bank yang memberinya bunga majemuk 10% per tahun. Jika Bagas tak
mengambil simpanannya berapa tabungan Bagas pada akhir tahun 2005?
Jawab
Awal
2001
Akhir
2001
Akhir
2002
Akhir
2003
Akhir
2004
Akhir
2005
1000000
1000000+0,1×1000000=
1000000(1,1)
1000000(1,1)+0,1×1000000(1,1)=
1000000(1,1)2
1000000(1,1)2
+0,1×1000000(1,1)2
=1000000(1,1)3
1000000(1,1)3
+0,1×1000000(1,1)3
=
1000000(1,1)4
1000000(1,1)4
+0,1×1000000(1,1)4
=
1000000(1,1)5
=1000000×1,61051
=1610510
Jadi tabungan Bagas pada akhir 2005 adalah Rp 1.610.510,00

18. BBarisan Sebagai Fungsiarisan Sebagai Fungsi
SSuatu barisan disebut berderajat satu bila selisih tetapuatu barisan disebut berderajat satu bila selisih tetap
diperoleh dalam satu tingkat pengerjaan, disebutdiperoleh dalam satu tingkat pengerjaan, disebut
berderajat dua bila selisih tetap diperoleh dalam duaberderajat dua bila selisih tetap diperoleh dalam dua
tingkat pengerjaan dsttingkat pengerjaan dst
RUMUS SUKU KE-NRUMUS SUKU KE-N
BARISAN TK I : UBARISAN TK I : Unn = An + B= An + B
dengan A = Udengan A = U22 –U–U11 dan B = 2Udan B = 2U11 – U– U22
BARISAN TK II : UBARISAN TK II : Unn = An= An22
+ Bn + C+ Bn + C
dengan A = ½dengan A = ½ (U(U33 -2U-2U22 +U+U11))
B = ½B = ½ (-3U(-3U33 +8U+8U22 -5U-5U11))
C = UC = U33-3U-3U22 +3U+3U11

19. Soal:Soal:
 Hitunglah:Hitunglah:
1.1.
2. 1 + 3 + 6 + 10 + ..... Sampai 25 suku2. 1 + 3 + 6 + 10 + ..... Sampai 25 suku
.....
9.7
1
7.5
1
5.3
1
3.1
1
++++