1. ENGLISH MEDIUM OF INSTRUCTION
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan - Universitas Jember
By: Inge Yosanda Arianti (110210101003)
Didin Trisnani (110210101026)
SMART SOLUTION
0.1 Number Theory
0.1.1 Exsercise
1. Misalkan f(x) = 9x
9x+3
. Tentukan jumlah f 1
1996
+f 2
1996
+f 3
1996
+· · ·+
f 1995
1996
2. Ada berapa banyak diantara bilangan-bilangan 20000002, 20011002, 20022002,
20033002 yang habis dibagi 9 ?
3. Bilangan real 2, 525252... adalah bilangan rasional, sehingga dapat ditulis
dalam bentuk nm , dimana m, n bilangan-bilangan bulat, n = 0. Jika dipih
m dan n yang relatif prima, berapakah m + n ?
4. Jika a679b adalah bilangan lima angka yang habis dibagi 72, tentukan nilai
a dan b ?
5. Buktikan bahwa 4971328 habis dibagi 24
!
0.1.2 Result
1. f(x) = 9x
9x+3
f(1 − x) = 91−x
91−x+3
·
9x
3
9x
3
= 3
3+9x
f(x) + f(1 − x) = 9x
9x+3
+ 3
3+9x = 1
1

2. 2. Penjumlahan digit 20000002 = 2+0+0+0+0+0+0+2 = 4 (tidak habis
dibagi 9)
Penjumlahan digit 20011002 = 2+0+0+1+1+0+0+2 = 6 (tidak habis
dibagi 9)
Penjumlahan digit 20022002 = 2+0+0+2+2+0+0+2 = 8 (tidak habis
dibagi 9)
Penjumlahan digit 20033002 = 2 + 0 + 0 + 3 + 3 + 0 + 0 + 2 = 10 (tidak
habis dibagi 9)
Karena semua penjumlahan digit tidak ada yang habis dibagi 9 maka
tidak ada bilangan-bilangan tersebut yang habis dibagi 9
3. Misal X = 2, 525252... maka 100X = 252, 525252...
100X − X = 252, 525252... − 2, 525252...
99X = 250
X = 250
99
Karena 250 dan 99 relatif prima, maka m = 250 dan n = 99
Jadi m + n = 349.
4. Kita tahu bahwa 72 = 9 · 8.
Karena 9 dan 8 relatif prima maka a679b harus habis dibagi 8 dan 9. Karena
a679b habis dibagi 8 maka 79b habis dibagi 8.
Agar 790 + b habis dibagi 8 maka b = 2.
Karena a6792 habis dibagi 9 maka a + 6 + 7 + 9 + 2 habis dibagi 9.
Nilai a yang memenuhi hanya 3. Jadi bilangan tersebut adalah 36792.
5. Suatu bilangan habis dibagi 2n
jika dan hanya jika n digit terakhir dari
bilangan tersebut habis dibagi 2n
.
Jadi 4971328 habis dibagi 16 = 24 sebab 1328 habis dibagi 16
2

3. 0.2 Algebra
0.2.1 Exsercise
1. Jika akaar-akar persamaan x2
+ 2x − 8 = 0 ialah x1 dan x2, sedangkan
akar-akar persamaan x2
+10x−16p = 0 ialah 3x1 dan 4x2, maka nilai p=...
2. αn dan βn adalah akar-akar persamaan x2
+(2n+1)x+n2
. Hitunglah nilai
dari 1
x1
+ 1
x2
+ 1
x3
1
(α3+1)(β3+1)
+ 1
(α4+1)(β4+1)
+ ... + 1
(α20+1)(β20+1)
3. akar- akar persamaan kuadrat x2
+ bx + c = 0 ialah x1 dan x2. Persamaan
kuadrat dengan akar-akarnya x1 + x2 dan x1.x2 adalah ...
4. Jika α, β, dan γ adalah akar-akar persamaan x3
− x − 1 = 0 tentukan
1+α
1−α
+ 1+β
1−β
+ 1+γ
1−γ
...
5. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 1
3
kali akar-akar persamaan kuadrat
x2
+ ax + b = 0 adalah...
0.2.2 Result
1. x1 · x2 = c
a
= −8
3x1 · 4x2 = −16p
12x1x2 = −16p
12 · −8 = −16p
p = 6
2. αn + βn = −(2n + 1)danαnβn = n2
sehingga (αn + 1)(βn + 1) = αnβn + (αn + βn) + 1
= n2
− (2n + 1) + 1
= n(n − 2)
1
n(n−2)
= −1
2n
+ 1
2(n−2)
= 1
2
( 1
(n−2)
− 1
n
)
3

4. jadi, 1
(α3+1)(β3+1)
+ 1
(α4+1)(β4+1)
+ ... + 1
(α20+1)(β20+1)
= 1
2
(1
1
− 1
3
+ 1
2
− 1
4
+ 1
3
− 1
5
+ ... + 1
18
− 1
20
)
= 1
2
(1
1
+ 1
2
− 1
19
− 1
20
) = 1
2
· 531
380
= 531
760
3. Cara untuk persamaan kuadrat yang akarnya x1 + x2 dan x1.x2
a2
x2
+ (ab − ac)x − bc = 0
Karena (a = 1)
maka persamaannya ialah x2
+ (b − c)x − bc = 0
4. α + β + γ = −B
A
= 0
αβ + αγ + βγ = C
A
= −1
1
= −1
αβγ = −D
A
= −−1
1
= 1
1+α
1−α
+ 1+β
1−β
+ 1+γ
1−γ
= (1+α)(1−β)(1−γ)+(1+β)(1−α)(1−γ)+(1+γ)(1−α)(1−β)
(1−α)(1−β)(1−γ)
=3 − (α + β + γ) − (αβ + αγ + βγ) + 3αβγ
=3−(0)−(−1)+3(1)
1−0+(−1)−1
=−7
5. solusinya sebagai berikut : 1
3
x, inversnya = 3x
persamaan kuadrat baru (3x)2
+ a(3x) + b = 0
(9x)2
+ 3ax + b = 0
4

5. 0.3 Geometry
0.3.1 Exsercise
1. Garis AB dan CD sejajar dan berjarak 4 satuan. Misalkan AD memotong
BC di titik P diantara kedua garis. Jika AB = 4 dan CD = 12, berapa jauh
P dari garis CD ...
2. Pada segitiga ABC diketahui panjang AC = 5, AB = 6 dan BC = 7. Dari
titik C dibuat garis tegak lurus sisi AB memotong sisi AB di titik D. Ten-
tukan panjang CD...
3. Diberikan segitiga siku-siku ABC, dengan AB sebagi sisi miringnya. Jika
keliling dan luasnya berturut-turut 624 dan 6864. Panjang sisi miring se-
gitiga tersebut adalah ...
4. Pada Limas beraturan T.ABCD, TA=TB=TC=TD=
√
3 cm dan ABCD
bujur sangkar dengan sisi 2 cm, besar sudut antara bidang TAB dan bidang
TCD adalah...
5. Perhatikan gambar. ABCD dan BEFG masing-masing adalah persegi (bu-
jur sangkar) dengan panjang sisi 8 dan 6. Tentukan luas daerah yang diar-
sir...
5

6. 0.3.2 Result
1. Dibuat garis EF tegak lurus AB maupun CD serta melalui titik P.
Karna ∠CPD = ∠APB dan AB sejajar dangan CD, maka APB kon-
gruen dengan CPD.
EP
PF
= CD
AB
= 12
4
= 3
PF = 1
3
· EP...(1)
EP + PF = 4
EP + 1
3
· EP = 4 Jadi, EP = 3 satuan
2. Misalkan AD = x → BD = 6 − x
CD2
= AC2
− AD2
= BC2
− BD2
52
− x2
= 72
− (62
− x2
)
24 = 36 − 12x + x2
− x2
→ x = 1
CD2
= 52
− 12
CD = 2
√
6
3. Dari keterangan soal diperoleh, a + b + c = 624 , a + b = 624 − c dan
2ab = 6864
Dengan rumus phytagoras diperoleh
c2
= a2
+ b2
= (a + b)2
− 2ab
= (624 − c)2
− 4 · 6864
= c2
− 2 · 624c + 6242 − 4 · 6864
maka diperoleh c = 290
4. TE = TF =
√
TA2 − AE2 =
√
3 − 1 =
√
2 cm
6

7. EF = 2 cm
Sudut antara bidang TAB dan TCD adalah α.
Dengan aturan cos2
diperoleh
cos α = TE2+TF2−EF2
2·TE·TE
cos α = 2+2−4
2·2
= 0
α = 90◦
5. Luas arsir = Luas ABCD + Luas BEFG - Luas ADE - Luas EGF
Luas arsir = 82
+ 62
− 1
2
· 8 · 14 − 1
2
· 6 · 6
Luas arsir = 64 + 36 − 56 − 18
Luas arsir = 26
0.4 Probability
0.4.1 Exsercise
1. Delegasi Indonesia ke suatu pertemuan pemuda internasional terdiri dari 5
orang. Ada 7 orang pria dan 5 orang wanita yang mencalonkan diri untuk
menjadi anggota delegasi. Jika dipersyaratkan bahwa paling sedikit seorang
anggota itu harus wanita, banyaknya cara memilih anggota delegasi adalah
...
2. Berapa banya kejadian muncul 3 angka dan 4 gambar pada pelemparan
enam koin secara bersama - sama...
3. Misalkan terdapat 5 kartu dimana setiap kartu diberi nomor yang berbeda
yaitu 2,3,4,5,6. Kartu-kartu tersebut kemudian dijajarkan dari kiri ke kanan
secara acak sehingga berbentuk barisan. Berapa probabilitas bahwa banyaknya
7

8. kartu yang dijajarkan dari kiri ke kanan dan ditempatkan pada tempat ke-
i akan lebih besar atau sama dengan i untuk setiap i dengan 1 ≤ i ≤ 5...
4. Dari angka-angka 1,2,3,5,7,8,9 dibuat bilangan yang terdiri dari 6 angka
yang berlainan. Banhyaknya bilangan yang dibuat lebih kecil dari 365.200
adalah...
5. Misal dadu pertama memunculkan angka a dan dadu kedua memunculkan
angka b. Maka kemungkinan - kemungkinan yang akan didapatkan jika a
dan b (a,b) adalah angka - angka pada dadu yang saling bertolak belakang
adalah ...
0.4.2 Result
1. Susunan delegasi yang mungkin adalah 4 pria dan 1 wanita atau 3 pria dan
2 wanita atau 2 pria dan 3 wanita atau 1 pria dan 4 wanita atau 5 wanita
. Banyaknya cara memilih anggota delegasi adalah 7C4 ·5 C1 +7 C3 ·5 C2 +7
C2 +5 C3 +7 C1 +5 C4 +7 C0 +5 C5
= 35 · 5 + 35 · 10 + 21 · 10 + 7 · 5 + 1 · 1
= 175 + 350 + 210 + 35 + 1 = 771
2. solusinya sebagai berikut: (A + G)6
= A6
+ 6A5
G + 15A4
G2
+ 20A3
G3
+
15A2
G4
+ 6AG5
+ G6
3angka = 20
4gambar = 15
Total = 35
3. susunan yang paling sederhana adalah 2,3,4,5,6 untuk memenuhi kondisi
sudah kondisi pada soal maka masing - masing angka 2, 3, 4, dan 5 hanya
bisa digeser ke kanan satu langkah saja. Cara ini ada sebanyak 24 = 16.
8

9. Sedangkan untuk kemungkinan angka digeser ke kiri tidak perlu kita per-
hatikan, sebab jika kita menggeser angka ke kiri maka pasti ada angka yang
harus digeser ke kanan sehingga masuk perhitungan yang pertama di atas.
Oleh karena itu, besar probabilitas adalah 16
5
!= 2
15
4. Jutaan = 2 bil, pluh ribuan = 4 bil, ribuan = 3 bil, ratusan = 1 bilangan,
puluhan = 6 bil, satuan = 5 bil
Jadi banyaknya 2 · 4 · 3 · 1 · 6 · 5= 720
5. solusinya sebagai berikut : (a, b) = (1, 6), (2, 5), (3, 4)(6, 1), (5, 2), (4, 3)
sehingga hanya terdiri dari 6 kejadian.
Ruang sampelnya = 62
= 36
sehingga peluang a dan b terletak pada sisi yang bertolak belakang adalah
6
36
= 1
6
.
9