Penjelasan Tentang Vektor

1. VVeekkttoorr
Src : Abdul Basyir
Eo : Ahmad Zaman Huri

2. TTooppiikk
Aritmatika Vektor
Konsep Geometrik
Titik, Garis dan Bidang
Perkalian Titik
Perpotongan garis dengan:
◦ Garis
◦ Bidang
◦ Poligon

3. PPeennggeennaallaann
Apa perlunya belajar vektor?
◦ Kita butuh untuk mengetahui dimana objek
diletakkan dalam dunia nyata.
◦ Ukuran dan orientasi objek
◦ Seberapa jauh objek yang satu dengan yang
lainnya
◦ Bagaimana pantulan bekerja
◦ Bagaimana fisika bekerja
◦ Bagaimana sinar cahaya mengenai objek

4. PPeennggeennaallaann
Koordinat
◦ 2D
y
◦ Aturan tangan kiri 3D
x
y
z y
 Aturan tangan kanan 3D
x
x
z
Kita akan
gunakan
yang ini

5. VVeekkttoorr
Sebuah vektor mempunyai panjang dan
arah
Vektor dinyatakan dengan cara yang sama
dengan koordinat titik:
◦ Point (5,10)
◦ Vector (5,10)
Tetapi bagaimana perbedaannya?

6. VVeekkttoorr
P = (5,10)
v = (5,10)
Sebuah titik mempunyai lokasi
Sebuah vektor tidak mempunyai
lokasi
Sebuah vektor adalah sebuah
lintasan antara satu titik dengan
titik yang lain

7. VVeekkttoorr
Q = (8,1)
Vektor dapat ditentukan dengan
pengurangan koordinat titik
v = Q – P
v = (8-1,1-10)
v = (7, -9)
Dengan kata lain , v mengatakan
pada kita bagaimana untuk
mendapatkan dari P ke Q
P = (1,10)
v

8. VVeekkttoorr
Q = (8,1)
P = (1,10)
v
• Definisi
– Perbedaan antara
dua titik adalah
sebuah vektor
• v = Q-P
– Jumlah titik dan
vektor adalah titik :
• Q = P + v

9. VVeekkttoorr
Latihan.
◦ Tentukan vektor yang pergi dari P = (9,10) ke
Q = (15,7) ?
 v = (6, -3)
◦ Tentukan titik yang dihasilkan dari penambahan
vektor v = (9,-20) dengan titik P = (1,2) ?
 Q = (10, -18)

10. OOppeerraassii VVeekkttoorr
Ada dua operasi dasar vektor:
◦ skala
 8v
 jika v = (1,2) maka 8v = (8,16)
◦ tambah
 v + a
 v = (3,4), a = (8,1) maka v+a = (11,5)

11. OOppeerraassii VVeekkttoorr
Penskalaan vektor
v
2v
0.5v
-0.5v

12. OOppeerraassii VVeekkttoorr
Penambahan vektor
v
a
v a
v+a
v
-a
v-a

13. OOppeerraassii VVeekkttoorr
Latihan.
◦ Diberikan vektor v = (10,20,5), tentukan:
 2v, 0.5v dan -0.2v?
 2v = (20,40,10)
 0.5v = (5,10,2.5)
 -0.2v = (-2, -4, -1)
◦ Diberikan vektor v = (1,1,1) dan a = (8,4,2),
tentukan:
 v + a, v – a and a – v
 v + a = (9,5,3)
 v – a = (-7, -3, -1)
 a – v = (7, 3, 2)

14. OOppeerraassii VVeekkttoorr
Kombinasi Linier
◦ Penambahan vektor skala bersama-sama
 8v + 2a
Definisi
◦ Kombinasi linier dari m vektor v1, v2,…,vm
adalah vektor:
◦ w = a1v1 + a2v2 + … + amvm

15. OOppeerraassii VVeekkttoorr
Kombinasi Linier
◦ Contoh
 v = (1,2,3) dan a = (1,1,1)
 2v + 3a = (2,4,6) + (3,3,3) = (5,7,9)

16. OOppeerraassii VVeekkttoorr
Kombinasi Linier
◦Kombinasi Affine
 Jumlah semua komponen adalah satu
a1 + a2 + … + am = 1
 Contoh:. 3a + 2b – 4c (3+2-4=1)
 Penentuan kombinasi affine
(1-t)a + (t)b

17. OOppeerraassii VVeekkttoorr
Pertanyaan
◦ Tentukan koefisien untuk transformasi
affine:
 ia + jb + ?c
 Berapakah koefisien c?
 i + j + ? = 1
 ? = 1 – i – j maka
 ia + jb + (1-i-j)c

18. OOppeerraassii VVeekkttoorr
Kombinasi Linier
◦ Kombinasi Konvek
 Jumlah semua komponen satu … tetapi
 Semua koefisien harus diantara 0 dan 1
◦ Contoh.
 a1 + a2 + … + am = 1 dan
 1 >= ai >= 0 untuk semua 1,…,m
◦ Contoh.
 .9v + .1w
 .25v + .75w

19. OOppeerraassii VVeekkttoorr
Kombinasi Linier
◦Kombinasi Konvek
 Set semua kombinasi konvek dari dua vektor
v1 dan v2 adalah:
 v = (1-a)v1 + av2

20. OOppeerraassii VVeekkttoorr
Kombinasi Linier
◦ Kombinasi Konvek
◦ v = (1-a)v1 + av2 can dapat
ditulis lagi:
 v = v1 + a(v2-v1)
 Ini menunjukkan bahwa vektor
v akan menjadi v1 ditambah
beberapa versi skala dari
penggabungan v1 dengan v2
v2 v2 – v1
a(v2 – v1v )
v1

21. OOppeerraassii VVeekkttoorr
Kombinasi Linier
◦ Kombinasi Konvek
◦ Diberikan 3 vektor v1, v2 dan
v3 maka kombinasi akan
menjadi:
◦ v = a1v1 + a2v2 + (1-a1-a2)v3
◦ v = 0.2v1 + 0.3v2 + 0.5v3
◦ v = 0.5v1 + 0.5v2 + 0v3
v1
v3
vv22
Semua nilai v
akan terletak di
kawasan ini
00..22vv11
00..55vv33
00..33vv22

22. OOppeerraassii VVeekkttoorr
Kombinasi Linier
◦ Kombinasi Konvek
Diberikan 3 vektor v1, v2
dan v3 maka kombinasi akan
menjadi:
◦ v = a1v1 + a2v2 + (1-a1-a2)v3
◦ v = 0.2v1 + 0.3v2 + 0.5v3
◦ v = 0.5v1 + 0.5v2 + 0v3
v1
v3
vv22
Semua nilai v
akan terletak di
kawasan ini
00..55vv22
00..55vv11

23. OOppeerraassii VVeekkttoorr
Besar
◦ Adalah panjang vektor
◦ Ditentukan menggunakan teorema Pitagoras
◦ Masih ingatkan akan teorema ini?

24. OOppeerraassii VVeekkttoorr
Besar
◦ Teorema Pitagoras:
h a b2 2 a = +
b
h

25. OOppeerraassii VVeekkttoorr
Besar
◦ Teorema Pitagoras:
v
v x y2 2 | | = +
Koordinat y
Koordinat x

26. OOppeerraassii VVeekkttoorr
Besar
◦ Teorema Pitagoras:
 Contoh: Berapakah besar v = (5,10)?
 |v| = sqrt(52+102) = sqrt(25+100) = sqrt(125)
 11.18

27. OOppeerraassii VVeekkttoorr
Latihan
◦ Tentukan |v| untuk:
◦ v=(1,-2,5), w=(10,3,1) dan t=(1,1,1)
 |v| = 5.5677
 |w| = 10.488
 |t| = 1.732

28. OOppeerraassii VVeekkttoorr
Besar
Q = (8,1)
P = (1,10)
v

29. OOppeerraassii VVeekkttoorr
Besar
◦ Kadang kala sangat berguna untuk menskala
vektor menjadi vektor satuan sehingga
panjangnya adalah satu.
◦ Vektor normal disimbulkan dengan a topi: â.
◦ Yaitu pembagian koordinat vektor dengan
panjang vektor.
◦ â = a/|a|

30. OOppeerraassii VVeekkttoorr
Besar
◦ Contoh:
 Berapakah vektor normal a = (1,5,3) ?
 |a| = sqrt(12 + 52 + 32) = 5.916
 â = (1/5.916, 5/5.916, 3/5.916)
= (0.169, 0.845, 0.5)

31. OOppeerraassii VVeekkttoorr
Latihan
◦ Normalisasikan:
 a = (2,4,6)
 g = (1,1,1)
 h = (0,5,1)
◦ Jawab (dengan pembulatan) 
 â = (0.26,0.53,0.8)
 ĝ = (0.6,0.6,0.6)
 ĥ = (0,1,0.2)

32. OOppeerraassii VVeekkttoorr
Perkalian titik
◦ Digunakan untuk menyelesaikan masalah
geometri dalam grafika komputer.
◦ Berguna untuk menentukan perpotongan garis
dengan vektor.

33. OOppeerraassii VVeekkttoorr
Perkalian titik
◦ Dihitung dengan perkalian dan penambahan nilai baris
dengan nilai kolom..
◦ Definisi
 Perkalian titik dua vektor v٠w adalah:
n
å=
i
i i v w 1

34. OOppeerraassii VVeekkttoorr
Perkalian titik
◦ Jika diketahui v = (v1,v2) dan w = (w1,w2)
◦ Perkalian titik, v ٠ w akan menghasilkan:
 (v1w1+v2w2)
◦ Contoh, v = (2,1) dan w = (3,5) maka v ٠ w
akan menghasilkan :
 2*3 + 1*5 = 11
◦ Contoh, v = (2,2,2,2) dan w = (4,1,2,1.1), v ٠ w
akan menghasilkan :
 2*4 + 2*1 + 2*2 + 2 * 1.1 = 16.2

35. OOppeerraassii VVeekkttoorr
Perkalian titik
◦ Operasi Properti
 Simetri: v ٠ w = w ٠ v
 Linier: (v + t) ٠ w = v ٠ w + t ٠ w
 Homogen: (sv) ٠ w = s(v ٠ w)
 |v|2 = v ٠ v

36. OOppeerraassii VVeekkttoorr
Perkalian titik
Sudut antara dua vektor.
 Perkalian titik dapat digunakan untuk mencari sudur
antara dua vektor atau perpotongan garis.
 Diberikan 2 vektor e dan c, sudut antara vektor ini
dihitung sbb:.
 e = (|e|cos Өe,|e|sin Өe)
 c = (|c|cos Өc,|c|sin Өc)
 Perkalian titik e ٠ c adalah
 |e||c|cos(Өc - Өe)
 atau e ٠ c =|e||c|cos(Ө)
 Dengan Ө adalah sudut diantara 2 vektor
e
c
Өe
Өc
Ө

37. OOppeerraassii VVeekkttoorr
Perkalian titik
◦ e ٠ c =|e||c|cos(Ө)
◦ Kedua sisi dibagi dengan |e||c| :
 (e ٠ c)/|e||c| =|e||c|cos(Ө)/|e||c|
 ĉ ٠ ê = cos(Ө )
◦ Jadi::
 Sudut antara dua vektor adalah perkalian
titik antara dua vektor yang ternomalisasi
e
c
Өe
Өc
Ө

38. OOppeerraassii VVeekkttoorr
Perkalian titik
Contoh: Cari sudut antara (5,6) dan (8,2)
 cos(Ө ) = ĉ ٠ ê
 ĉ = c/|c| = (5,6) / sqrt(52+62)
= (5,6) / 7.8
= (0.64,0.77)
 ê = e/|e| = (8,2) / sqrt(82+22)
= (8,2) / 8.25
= (0.8,0.24)
 ĉ ٠ ê = 0.8248
 Ө = cos-1(0.8248) = 34.43
c
e
Ө

39. OOppeerraassii VVeekkttoorr
Perkalian titik
◦ Tegaklurus atau orthogonal atau normal.?
 Dua vektor tegaklurus jika sudut yang dibentuk anatar vektor
ini adalah 90 derajad.
 jika e ٠ c > 0 sudut antara dua vektor kurang dari 90o
 jika e ٠ c = 0 ; dua vektor tegaklurus
 jika e ٠ c < 0 sudut antara dua vektor lebih dari 90o
e c
e
c
e
c

40. OOppeerraassii VVeekkttoorr
Perkalian titik
◦ Vektor-vektor yang berada pada sumbu koordinat
adalah tegak lurus:
(0,1,0)
(1,0,0)
(0,0,1)
Cara penulisan:
vektor satuan

41. OOppeerraassii VVeekkttoorr
Perkalian titik
◦ Sembarang vektor 3D dapat ditulis sebagai kombinasi
skalar dari 3 vektor satuan:
◦ (a,b,c) = ai + bj + ck
◦ (3,2,-1) = 3(1,0,0) + 2(0,1,0) – 1(0,0,1)
j=(0,1,0)
i=(1,0,0)
k=(0,0,1)

42. OOppeerraassii VVeekkttoorr
 Perkalian titik
1. Proyeksi sebuah vektor ke
vektor lain
 Proyeksi vektor c ke v
 Gambar garis dari C ke v
sehingga tegaklurus dengan v
 Kv adalah proyeksi orthogonal c
ke v A
C
v
c
Kv

43. OOppeerraassii VVeekkttoorr
Perkalian Silang
◦ Hasil perkalian silang dua vektor adalah
sebuah vektor yang tegak lurus dengan dua
vektor tersebut.

44. OOppeerraassii VVeekkttoorr
Perkalian Silang
◦ Diberikan a = (ax,ay,az) dan e = (ex,ey,ez), tentukan
perkalian silang antara vektor ini dalam vektor satuan
◦ a x e = i(ayez-azey) + j(axez-azex) + k(axey-ayex)
 Atau dengan matrik yaitu penentuan determinan:
i j k
a a a
x y z ´ =
e e e
a e
x y z

45. OOppeerraassii VVeekkttoorr
Perkalian Silang
◦ How do you use this to calculate the dot product?
◦ Take each item in the top row and multiply by the
difference of the products of the items in the other
columns.
i j k
a a a
x y z ´ =
e e e
a e
x y z

46. OOppeerraassii VVeekkttoorr
Perkalian Silang
◦ i(ayez-azey)
◦ j(axez-azex)
◦ k(axey-ayex)
Now add them together:
aa xx ee == ii((aayyeezz--aazzeeyy)) ++ jj((aaxxeezz--aazzeexx)) ++ kk((aaxxeeyy--aayyeexx))
…….. aanndd yyoouu hhaavvee tthhee CCRROOSSSS PPRROODDUUCCTT!!!!!!
i j k
a a a
x y z ´ =
e e e
a e
x y z

47. OOppeerraassii VVeekkttoorr
Perkalian Silang
◦ a x e adalah tegaklurus baik dengan a maupun
e
◦ panjang a x e sama dengan luas parallelogram
yang dibatasi oleh a dan e
◦ Gunakan aturan tangan kanan untuk
menentukan arah a x e a
e
a x e

48. OOppeerraassii VVeekkttoorr
Perkalian Silang
◦ Penentuan Normal ke bidang
 Dengan tiga titik dapat ditentukan normal ke
bidang.
 P1, P2, P3 -> v = P2-P1, w = P3-P1
 Tentukan v x w untuk menghitung normal n.
 Perkalian vektor n dengan sembarang nilai skalar
akan menghasilkan normal ke bidang juga.

49. KKoooorrddiinnaatt HHoommooggeenn
Beberapa sistem grafika dan OpenGL
menyatakan titik dan vektor dalam
koordinat homogen.
Ini berarti dalam koordinat 2D
mempunyai 3 nilai (x, y, v)
Dan dalam 3D, 4 nilai (x, y, z, v)

50. KKoooorrddiinnaatt HHoommooggeenn
Untuk titik v = 1
Untuk vektor v = 0
Cth. Titik (2,4) menjadi (2,4,1).
Cth. Vektor (3,5) menjadi (3,5,0).
Cth. Titik (3,4,1) menjadi (3,4,1,1).
Cth. Vektor (3,6,7) menjadi (3,6,7,0).

51. CCoonnttoohh
Tweening antara bentuk-bentuk

52. PPeennccaarriiaann PPeerrppoottoonnggaann GGaarriiss
Masalah: diberikan dua segmen garis,
apakah akan berpotongan??
A
B
C
D

53. PPeennccaarriiaann PPeerrppoottoonnggaann GGaarriiss
Masing-masing garis mempunyai garis
induk yang merupakan perpanjang ke tak
berhingga segmen garis tersebut.
A
B
C
D

54. PPeerrppoottoonnggaann GGaarriiss ddeennggaann BBiiddaanngg
Dimana garis akan berpotongan dengan
bidang?
◦ Asumsikan garis berpotongan dengan bidang di titik P.
◦ Berikan titik yang lain misalnya B pada
bidang, kita ketahui bahwa
vektor (P-B) berada pada
bidang.
◦ Kita juga ketahui bahwa
n . (P-B) = 0
A
B
n
c P

55. PPeerrppoottoonnggaann GGaarriiss ddeennggaann BBiiddaanngg
Dimana garis akan berpotongan dengan bidang?
Karena titik potong akan berada pada tenpat
tertentu sepanjang vektor dimulai dari A dan
pergi ke arah c, sehingga P dinyatakan sebagai :
◦ P = A + cthit
◦ jadi,
n
B
◦ n . (A + ct-B) = 0
hit ◦ Solve for tc hit
P
◦ t= n . (B – A)/ (n . Ac)
hit

56. PPeerrppoottoonnggaann GGaarriiss ddeennggaann BBiiddaanngg
Dimana garis akan berpotongan dengan
bidang?
Apakah garis ini akan berarah masuk atau
keluar bidang?
◦ jika n . c > 0 arahnya sama dengan normal
A
B
P
n

57. PPeerrppoottoonnggaann GGaarriiss ddeennggaann BBiiddaanngg
Dimana garis akan berpotongan dengan
bidang?
Apakah garis ini akan berarah masuk atau
keluar bidang?
◦ jika n . c > 0 arahnya sama dengan normal
◦ jika n . c < 0 arahnya berlawanan dengan normal
A
B
P
n

58. PPeerrppoottoonnggaann GGaarriiss ddeennggaann PPoolliiggoonn
Perlu algoritma khusus
A
C

59. PPeerrppoottoonnggaann GGaarriiss ddeennggaann PPoolliiggoonn
A
C
n

60. PPeerrppoottoonnggaann GGaarriiss ddeennggaann PPoolliiggoonn
Jika n . (C – A) > 0 sinar keluar
Jika n . (C – A) < 0 sinar masuk
A
C
n
n
> 90o
< 90o

61. PPeerrppoottoonnggaann GGaarriiss ddeennggaann PPoolliiggoonn
Lihat algoritma Cyrus-Beck Clipping
A
C
n
n
> 90o
< 90o