7. Sifat besaran fisis : Skalar
Vektor
Besaran Skalar
Besaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan
oleh bilangan dan satuan).
Contoh : waktu, suhu, volume, laju, energi
Catatan : skalar tidak tergantung sistem koordinat
Besaran Vektor
Besaran yang dicirikan oleh besar dan arah.
z
x
y
2.2
Contoh : kecepatan, percepatan, gaya
Catatan : vektor tergantung sistem koordinat
2.1 BESARAN SKALAR DAN VEKTOR
8. Gambar :
P Q
Titik P : Titik pangkal vektor
Titik Q : Ujung vektor
Tanda panah : Arah vektor
Panjang PQ = |PQ| : Besarnya (panjang) vektor
2.3
Catatan :
Untuk selanjutnya notasi vektor yang digunakan huruf tebal
Notasi Vektor
A Huruf tebal
Pakai tanda panah di atas
A
A Huruf miring
Besar vektor A = A = |A|
(pakai tanda mutlak)
2.2 PENGGAMBARAN DAN PENULISAN (NOTASI) VEKTOR
9. Catatan :
a. Dua vektor sama jika arah dan besarnya sama
A B A = B
b. Dua vektor dikatakan tidak sama jika :
1. Besar sama, arah berbeda
A
B
A B
2. Besar tidak sama, arah sama
A B
3. Besar dan arahnya berbeda
A B
2.4
A B
A B
10. 2.3 OPERASI MATEMATIK VEKTOR
1. Operasi jumlah dan selisih vektor
2. Operasi kali
2.3.1 JUMLAH DAN SELISIH VEKTOR
Metode :
1. Jajaran Genjang
2. Segitiga
3. Poligon
4. Uraian
1. Jajaran Genjang
R = A + B
+ =
A
A
Besarnya vektor R = | R | =
cos
2
2
2
AB
B
A
2.5
Besarnya vektor A+B = R = |R| = θ
cos
2
2 AB
B
A +
+
Besarnya vektor A-B = S = |S| = θ
cos
2 AB
B
A -
+
2
2
2
11. 2.6
2. Segitiga
3. Poligon (Segi Banyak)
Jika vektor A dan B searah θ = 0o : R = A + B
Jika vektor A dan B berlawanan arah θ = 180o : R = A - B
Jika vektor A dan B Saling tegak lurus θ = 90o : R = 0
Catatan : Untuk Selisih (-) arah Vektor di balik
+ =
A
A
B
+ + + =
A
D
A+B+C+D
A
B
C
D
12. α
F
Fx
Fy
Jika sebuah vektor dapat dijumlahkan
menghasilkan satu resultan, maka sebuah
vektor dapat diuraikan menjadi sejumlah vektor
lain.
Besar komponen vektor, gambar
disamping adalah:
Fx= F cosα
Fy= F sinα
Maka besar resultan vektor, sesuai dengan dalil Pythagoras adalah:
13. Nilai dan Arah Resultan Dua Buah Vektor Yang
Membentuk Sudut α
a. α ≠ 90º
A
B
cos
2
2
2
AB
B
A
R
b. α = 90º
A
B
90
cos
2
2
2
AB
B
A
R
2
2
B
A
R
0
90
cos
α
14. Ay
By
Ax
Bx
A
B
Y
X
Vektor diuraikan atas komponen-komponennya (sumbu x dan sumbu
y)
A = Ax.i + Ay.j ; B = Bx.i + By.j
Ax = A cos θ ; Bx = B cos θ
Ay = A sin θ ; By = B sin θ
Besar vektor A + B = |A+B| = |R|
2
2
y
x R
R
|R| = |A + B| =
Arah Vektor R (terhadap sb.x positif) = tg θ =
x
y
R
R
2.7
Analisis Vektor
x
y
R
R
θ =arc tg
Ry = Ay + By
Rx = Ax + Bx
SOAL
15. Vektor Satuan
Vektor satuan adalah suatu vektor yang besaranya 1
satuan.
Vektor satuan pada sumbu X adalah i, pada sumbu Y
adalah j, dan pada sumbu –Z adalah k.
Vektor satuan dituliskan:
A = Ax i + Ay j +Az k
z
x
y
j
i
k
Besar vektor
16. Penjumlahan Vektor Satuan
Penjumlahan antara vektor A dan vektor B akan
diperoleh persamaan:
A + B = (Ax+Bx) i + (Ay+By) j +(Az+Bz) k
A - B = (Ax- Bx) i + (Ay- By) j +(Az- Bz) k
18. Perkalian silang Vektor (Cross Product)
Merupakan perkalian dua vektor yang menghasilkan
vektor.
α
F
F
F2
F1 Dengan persamaan:
F1 x F2 hasilnya adalah
sebuah vektor.
F1 x F2 = F
F2 x F1 = -F
19. F1 X F2 = i(AyBz – AzBy) + j(AzBx – AxBz) + k(AxBy – AyBx)
Operasi cross product untuk vektor satuan.
i x j = k, i x k = - j dan seterusnya.
k
j
x
y
z
i
X i j k
i 0 K -j
j -k 0 I
k j -i 0
F1 = Ax i + Ay j +Az k
F2 = Bx i + By j +Bz k
Maka
Contoh
Soal
20. Perkalian Titik Vektor (Dot Product)
Merupakan perkalian dua vektor yang menghasilkan skalar.
F1
F2
α
k
j
x
y
z
i
21. F1 = Ax i + Ay j +Az k
F2 = Bx i + By j +Bz k
Maka:
F1 . F2 = AxBx + AyBy + AzBz
perkalian titik vektor dapat disajikan
dalam tabel disamping. Jika X i j k
i 1 0 0
j 0 1 0
k 0 0 1
Contoh
Soal
22. Contoh Soal
Hitunglah hasil perkalian silang antara dua vektor
berikut: P = i + 2j – 3k dan Q = 4i – 5j + 6k.
Jawab :
A X B = (PyQz – PzQy)i + (PxQz – PzQx)j + (PxQy – PyQx)k
= ((2)(6) – (-3)(-5))i + ((1)(6) – (-3)(4))j + ((1)(-5) – (2)(4)) k
= (12 – 15)i + (6+12) j + (-5 – 8) k
= -3i + 18j – 13k
23. Contoh Soal
Hitunglah hasil perkalian titik antara dua vektor
berikut: P = i + 2j – 3k dan Q = 4i – 5j + 6k.
Jawab : A.B = (1.4) + (2.(-5)) +(-3.6)
= 4 – 10 – 18
= - 24
24. 1. Lima buah vektor digambarkan sebagai berikut :
Jawab :
Besar dan arah vektor pada gambar di samping :
Contoh Soal
X
Y
E
A
C
D
B
Vektor Besar (m) Arah (o)
A 19 0
B 15 45
C 16 135
D 11 207
E 22 270
Vektor Besar (m) Arah(0) Komponen X(m) Komponen Y (m)
A
B
C
D
E
19
15
16
11
22
0
45
135
207
270
19
10.6
-11.3
-9.8
0
0
10.6
11.3
-5
-22
RX = 8.5 RY = -5.1
Hitung : Besar dan arah vektor resultan.
Besar vektor R :
Arah vektor R terhadap sumbu x positif :
= 329.030 (terhadap x berlawanan arah jarum jam )
=
R
=
= 2
2
X
R
R + 5
.
8 +
y
2 )
1
.
5
(- 2 01
.
94. = 9.67 m
tg = = - 0,6
5
.
8
1
.
5
-
2.14
25. SOAL
1. Gambarkan vektor dan resultan dibawah ini:
a. A + B d. C - B
b. -A +B+C e. D – A
c. A-B – C f. A-B+C
A B C D
26. SOAL
2. Tentukan besar resultan dan gambarkan arah
vektornya. (cos 45o= 0,7, cos 22,5o= 0,9)
A= 30 cm (kearah utara)
B= 20 cm (kearah barat)
C= 10 cm (kearah tenggara)
a. A+B c. –B+ A
b. A +C d. C - B
27. 3. Vektor A=8 cm saling tegak lurus dengan vektor B= 16
cm. Hitung resultn vektornya!
4. Dua buah gaya masing-masing F1= 15 N dan F2= 20 N
mengapit sudut45o. Tentukan nilai resultan kedua gaya
tersebut!
5. Dua buah gaya masing-masing F1= 6 N dan F2= 16 N
mengapit sudut 30o. Tentukan nilai resultan kedua
gaya tersebut!
28. SOAL PENGURAIAN VEKTOR
Tentukan besar dan arah resultan dua buah
vektor perpindahan, jika diketahui vektor –
vektor komponennya sebagai berikut :
a. Ax = - 4 cm dan Ay = 4 cm
b. Bx = 6 cm dan By = - 8 cm
3
Dua buah vektor gaya masing – masing
besarnya 4 N dan 5 N membentuk sudut apit
sebesar 600. Tentukan besar / nilai resultan
dua buah vektor gaya tersebut beserta
arahnya !
1
2
3
Diketahui dua buah vektor
kecepatan bergerak
berlawanan arah dimana
vektor X besarnya 3 m/s
dan vektor Y besarnya 8 m/s
Tentukan nilai dan arah
resultan dua buah vektor
kecepatan tersebut jika
sudut apitnya 900 !
29. 1. Hitunglah perkalian silang antara dua vektor
berikut!
A = 2i + 3j – 4k
B = 4i – 3j – 2k
Kunci jawaban
POIN 10
•Diketahui : A = 2i + 3j – 4k B = 4i – 3j – 2k
Ditanya: A x B
Dijawab : A x B = i(AyBz – AzBy) + j(AzBx – AxBz) + k(AxBy – AyBx)
= i((3.-2)–(-4.-3)) + j((-4.4)–(2.-2)) + k((2.-3)–(3.4))
= i(-6-12) + j(-16+4) + k(-6-12)
=– 18i – 12j – 18k (dibagi 6)
=– 3i – 2j – 3k
30. 2. Tentukan hasil perkalian titik dari vektor A = 3i +
4j – 5k dan B = 2i – 4j – 3k
Kunci jawaban
POIN 10
•Diketahui : A = 2i + 3j – 4k B = 4i – 3j – 2k
Ditanya: A x B
Dijawab : A x B = i(AyBz – AzBy) + j(AzBx – AxBz) + k(AxBy – AyBx)
= i((3.-2)–(-4.-3)) + j((-4.4)–(2.-2)) + k((2.-3)–(3.4))
= i(-6-12) + j(-16+4) + k(-6-12)
=– 18i – 12j – 18k (dibagi 6)
=– 3i – 2j – 3k
31. 3. Diketahui vektor C = 2i + 4j – 6k dan D = 2i – 2j –
2k. Hitunglah resultan dan besarnya C + D!
Kunci jawaban
POIN 10
Diketahui : C = 2i + 4j – 6k D = 2i – 2j – 2k
Ditanya : C + D
Dijawab : C + D = (2i + 4j – 6k) + (2i – 2j – 2k)
= i(2 + 2) + j(4 – 2) + k(–6– 2)
= 4i + 2j – 8k
Besar
32. 4. Diketahui vektor C = i + 2j – 4k dan D = 4i – 4j –
6k. Hitunglah resultan dan besarnya C –D !
Kunci jawaban
POIN 10
Diketahui : C = i + 2j – 4k D = 4i – 4j – 6k
Ditanya : C – D
Dijawab : C – D = (i + 2j – 4k) – (4i – 4j – 6k)
= i(1 + 4) – j(2 – 4) – k(–4– 6)
= 4i + 2j + 8k
Besar
33. 5. Dua buah vektor v1= 10 m/s dan v2= 20 m/s
mengampit sudut 30o. tentukan:
a. v1 . v2 b. v1 x v2
Kunci jawaban
POIN 10
b.
Diketahui : v1= 10 m/s v2= 20 m/s α= 30o
Ditanya : a. v1 . v2 b. v1 x v2
Dijawab :
a. b.
34. 6. Terdapat tiga buah vektor A = 4i – 3j + 2k, B = i +
2j – 3k dan C = 6i. Tentukan hasil dari C . (A x B) !
Kunci jawaban
POIN 10
35. 7. Tiga buah vektor sebagai berikut.
P = i + 2j – 3k Q = 2i + j – 4k R = 2i + 4j – k
Tentukan hasil 2P + 3Q – 2R!
Kunci jawaban
POIN 10
36. 8. Dua buah vektor A dan B masing-masing
memiliki panjang 5 satuan dan 30 satuan. Kedua
vektor dipisahkan oleh sudut 60o, tentukan hasil
dari A x B!
Kunci jawaban
POIN 10
