kalkulus 1 untuk teknik

1. Kalkulus I
Oleh :
Ahmad Zaman Huri

2. Pokok Bahasan
 Sistem Bilangan Real
 Pertaksamaan dan Nilai Mutlak
 Fungsi Real
 Limit Fungsi
 Kekontinuan Fungsi
 Limit Tak Hingga
 Bentuk tak tentu Limit Fungsi
 Aplikasi Turunan (Masalah maksimum,
minimum, laju, nilai ekstrim, kemonotonan,
kecekungan, asimtotik, menggambar grafik)

3. Daftar Referensi
 Martono, K.1999. Kalkulus.
Erlangga.Jakarta
 Purcell, Edwin J. 2004. Kalkulus edisi 8.
Erlangga. Jakarta
 Leithod,L. 1996. The Calculus with
Analytic Geometry.Harper and Row
Publisher. New York.

4. Sistem Penilaian
 UTS = 30%
 UAS = 30%
 Tugas = 20%
 Tugas Kelompok = 20%

5. Pendahuluan
 Untuk mempelajari kalkulus diperlukan berbagai
sifat bilangan real dan fungsi. Konsep utama
kalkulus tentang limit, kekontinuan, turunan,
differensial dan integral dikaitkan dengan fungsi
real sebagai obyeknya.
 Dalam kalkulus bilangan real diperlukan untuk
dapat memberi ruang gerak pada berbagai
operasinya
 Pada perrtemuan 1, dipelajari sistem bilangan
real, pertaksamaan, nilai mutlak dan fungsi yang
merupakan pengetahuan dasar untuk
mempelajari konsep limit fungsi.

6. Sistem Bilangan Real
Sistem Bilangan : himpunan dari bilangan – bilangan
beserta sifat2nya.
 Himpunan Bilangan Asli (N) = {1, 2, 3, …}
 Himpunan Bilangan Cacah = {0, 1, 2, 3, … }
 Himpunan Bilangan Bulat (Z) = { …,-3,-2,-1,0,1,2,3, …}
 Himpunan Bilangan Rasional (Q) : Suatu bilangan yang
dinyatakan p/q dengan p dan q bilangan bulat dan q ≠ 0
 Himpunan Bilangan Irrasional : bilangan yang tidak
dapat dinyatakan ke bentuk rasional
 Himpunan Bilangan Real : Gabungan himpunan
bilangan rasional dengan himpunan bilangan irrasional.

7. Sistem Bilangan
Bil Real
Bil Rasional
Bil Bulat
Bil Asli

8. Selang
 Suatu himpunan bagian dari himpunan bilangan real.
Penulisan Himpunan Selang Grafik
{x| a < x < b} (a,b)
{x| a ≤ x < b } [a, b)
{x | a < x ≤ b } (a, b]
{x| a ≤ x ≤ b } [a, b]
{x | x ≤ b } (-∞, b]
{x | x < b } (-∞, b)
{x | a ≤ x } [a, +∞)
{x | a < x } (a, +∞)
a b
a b
a b
a b
b
b
a
a

9. Pertaksamaan
 Bentuk Umum
Pertaksamaan :
A x ; , , ,
A B C D suku banyak
C x
( )
D x
( ) <
B x
( )
( )
 Himpunan semua bilangan real x yang
memenuhi pertaksamaan (yaitu bila digantikan
ke pertaksamaan menghasilkan pernyataan
yang benar)

10. Prosedure Baku menyelesaikan
pertaksamaan adalah :
1. Ubahlah bentuk menjadi :
P x
( ) <
Q x
dengan P dan Q adalah suku banyak
2. Uraikan P dan Q atas faktor linear dan/atau
kuadrat definit positif
3. Tentukkan tanda pertaksamaan pada garis
bilangan
4. Tentukan himpunan jawabnya dan tampilkan
dalam bentuk selang
0
( )

11. Nilai Mutlak
 Nilai mutlak dari bilangan real x, ditulis |x|,
didefinisikan sebagai berikut :
| | { , 0 ;
= x bila x
³
- < x x bila x
, 0

12. Sifat-sifat Nilai Mutlak
1. Untuk setiap bilangan real x berlaku
a) |x| ³ 0
b) |x| = |- x|
c) - |x| ≤ x ≤ |x|
d) |x|2 = |x2| = x2
2. Untuk setiap bilangan real x dan y
berlaku :
a) |x| = |y| ↔ x = ± y ↔ x2 = y2
b) |x – y | = |y – x |

13. Sifat-sifat Nilai Mutlak
3. Jika a ³ 0, maka
a) |x| ≤ a ↔ -a ≤ x ≤ a ↔ x2 ≤ a
b) |x| ³ a ↔ x ³ a atau x ≤ - a ↔ x2 ³ a2
4. Ketaksamaan segitiga. Untuk setiap
bilangan real x dan y berlaku :
a) |x + y| ≤ |x| + |y|
b) |x – y| ≤ |x| + |y|
c) |x| - |y| ≤ |x – y |
d) | |x| - |y| | ≤ |x – y |

14. Sifat – sifat nilai mutlak
5. Untuk setiap bilangan real x dan y
berlaku:
a) |xy| = |x| |y|
b) |x/y| = |x| / |y|; y ≠ 0

15. FUNGSI
Definisi
Fungsi f adalah suatu aturan
korespodensi yang menghubungkan tiap
obyek x dalam suatu himpunan (daerah
asal) dengan sebuah nilai unik (tunggal)
f(x) dari himpunan kedua yaitu himpunan
nilai yang disebut daerah hasil fungsi
tersebut.

16. Jenis – jenis Fungsi
Fungsi linier
Fungsi kuadrat
Fungsi trigonometri
Fungsi eksponential
Fungsi logaritma

17. Fungsi linier
 Fungsi linear memiliki gambar grafik
sebagai garis lurus. Notasinya adalah sbb:
y = f(x) = a1x + a0; a1 ≠ 0
contoh : y = 4x + 3
a1 disebut gradien atau koefisien
kemiringan

18. Fungsi kuadrat
 Grafik bentuk kuadrat berupa parabola,
dimana bentuk rumusnya adalh:
y = f(x) = a2x2 + a1x +a0; a2 ≠ 0
Contoh : y = x2 – 4x + 3

19. Fungsi Eksponential
 Persamaan umum fungsi eksponen :
y = f(x) = ax; a > 0, a ≠ 1

20. Fungsi Logaritma
 Fungsi ligaritma didefinisikan dengan
persamaan :
y = f(x) = logax , a > 0 , a ≠ 1
 Fungsi ini terdefiniskan untuk x > 0, dan
merupakan invers dari fungsi eksponen.

21. Operasi Fungsi
1. Jumlah dan Selisih
Misalkan f dan g adalah sebuah fungsi, maka :
(f + g) (x) = f(x) + g(x)
(f – g) (x) = f(x) – g(x)
catatan :
Daerah asal (f + g) dan (f - g) adalah irisan dari
daerah asal f dan g

22. Operasi Fungsi
2. Hasil kali, Hasil Bagi dan Pangkat
Dengan anggapan bahwa f dan g mempunyai
daerah asal, maka
(f • g) (x) = f(x) • g(x)
(f/g) (x) = f(x) / g(x) ; g(x) ≠ 0
Operasi perpangkatan pada dasarnya adalah
perkalian berulang. fn artinya f kali f sebanyak n
kali.

23. Komposisi Fungsi
3. Komposisi fungsi bisa diibaratkan sebagai dua
fungsi yang berurutan artinya fungsi yang
kedua dioperasikan setelah setelah fungsi
yang pertama bekerja.
Komposi g dengan f, dinyatakan oleh (g◦f)
Jadi (g◦f) (x) = g (f(x)) dan
(f ◦ g) (x) = f(g(x))