Vektor dan Operasinya
Tujuan:
1. Mengingat kembali definisi vektor secara geometri dan aljabar.
2. Mahir menghitung perkal...
Vektor Posisi (pada koordinat Cartesius):
p = OP , q = OQ ,
PQ = (q1  p1, q2  p2 )
P ( p1 , p2 )
Q (q1 , q2 )

p
q
0

v
...
3. k( u ∙
4.

v )= (k u ) ∙ v = u ∙ (k v )
v ∙ v > 0 jika v ≠ 0, dan v ∙ v = 0 jika v

=0

Proyeksi ortogonal u
Harus ada ...
u a

Dan
Dimana

|p a u |=
cos  

ua
u a

2

a

a 

u a
2

a

a 

ua
2

a

a

ua

 u cos

a

, θ sudut antara ...
Vektor dan Operasinya
Tujuan:
1. Mahir menghitung perkalian silang dan memahami arti
geometris serta penggunaannya.
2. Mah...
Perkalian silang vektor basis standard: i=(1,0,0),j=(0,1,0),k=(0,0,1)
i x i, j x j, k x k
i x j, j x k, k x i
j x i, k x j...
 
a (b  c) : volume dari parallepipedum dibentuk oleh vektor a , b
dan c .

Sifat perkalian tripel scalar:
(ka b c)  k...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

3 vektor-dan-operasinya-v2011

633 views

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
633
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
11
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

3 vektor-dan-operasinya-v2011

  1. 1. Vektor dan Operasinya Tujuan: 1. Mengingat kembali definisi vektor secara geometri dan aljabar. 2. Mahir menghitung perkalian titik, panjang vektor, sudut antara dua vektor, vektor proyeksi. Skalar: besaran saja Vektor: besaran dan arah Vektor secara geometri B: Titik akhir v = AB A: Titik pangkal Vektor pada sistem koordinat (aljabar) v = (v1 , v2 ) (di ruang dimensi dua), v + w = (v1 , v2 ) + (w1 , w2 ) = (v1  w1 , v2  w2 ) w vw v wv v v w w k v = (kv1 , kv2 ) , k skalar k v v 2 2 panjang vektor v : v  v1  v2 w  v  v  w
  2. 2. Vektor Posisi (pada koordinat Cartesius): p = OP , q = OQ , PQ = (q1  p1, q2  p2 ) P ( p1 , p2 ) Q (q1 , q2 ) p q 0 v = (v1, v2 , v3 ) (di ruang dimensi tiga) Contoh: gambarkan vektor-vektor berikut: p  (2,3), q  (1,4), r  (3,1), p  r, q  r Perkalian Titik v dan w vektor, θ adalah sudut antara v dan w .  v w cos  , jika v  0, w  0  vw   0 , jika v  0, w  0  v  w  v1w1  v2 w2 cos   v θ w vw v w Vektor ortogonal: vektor-vektor yang tegak lurus, v  w  0 Sifat operasi perkalian titik Jika u , v dan w adalah vektor (dimensi 2 atau 3), k adalah skalar 1. 2. u ∙v=v∙u u ∙ (v+w) = u ∙ v + u ∙w
  3. 3. 3. k( u ∙ 4. v )= (k u ) ∙ v = u ∙ (k v ) v ∙ v > 0 jika v ≠ 0, dan v ∙ v = 0 jika v =0 Proyeksi ortogonal u Harus ada referensi suatu vektor lain, misal a . Mengurai u menjadi 2 bagian: sejajar dengan suatu vektor a dan tegak lurus terhadap vektor a . w2 u w1 a Vektor u adalah jumlah dari w1 dan w2 , dimana w1 sejajar dengan a dan w2 tegaklurus terhadap a . Kita tulis: w1 =p a u : proyeksi ortogonal u pada a , atau komponen vektor u sepanjang a . w2 = u - p a u : komponen vektor u tegaklurus terhadap a . Teorema: Jika u dan a adalah vektor-vektor dimensi 2 atau 3, dan u ≠ a , maka u a pa u = 2 a a Dengan demikian: u - pa u = u - u a 2 a a
  4. 4. u a Dan Dimana |p a u |= cos   ua u a 2 a a  u a 2 a a  ua 2 a a ua  u cos a , θ sudut antara u dan a Contoh: Tentukan proyeksi ortogonal u  (2,3) terhadap a  (2,1) .
  5. 5. Vektor dan Operasinya Tujuan: 1. Mahir menghitung perkalian silang dan memahami arti geometris serta penggunaannya. 2. Mahir menghitung perkalian tripel skalar dan memahami arti geometris serta penggunaannya. Perkalian silang   Misal a  (a1, a2 , a3 ) , b  (b1, b2 , b3 ) , perkalian silang antara    adalah vektor v  a  b sebagai berikut:   a dan b  1. Jika salah satu atau keduanya merupakan vektor nol maka v  0   2. Jika a dan b sejajar dengan arah yang sama atau berlawanan  v 0. maka  v  (v1, v2 , v3 ) dimana 3. Jika γ adalah sudut antara a dan b maka v1  a2b3  a3b2 , v2  a3b1  a1b3 , v3  a1b2  a2b1   dan |v| = a b sin  .    v  a b  b γ  a Apakah a  b Arti geometris v dan | v |:  v adalah vektor tegak lurus thd a  dan b | v | : luas jajaran genjang ?  b a ???
  6. 6. Perkalian silang vektor basis standard: i=(1,0,0),j=(0,1,0),k=(0,0,1) i x i, j x j, k x k i x j, j x k, k x i j x i, k x j, i x j Cara menghitung:  ˆ j Ingat penulisan v  (v1, v2 , v3 )  v1iˆ  v2 ˆ  v3k , perkalian silang secara simbolik sama dengan mencari determinan orde 3. i j a  b  a1 a2 b1 b2 k a3  (1)11 b3 a2 a3 b2 b3 i  (1)1 2 a1 a3 b1 b3 j  (1)13 a1 a2 b1 b2 Sifat umum perkalian silang Perkalian tripel skalar   a  (a1, a2 , a3 ) , b  (b1 , b2 , b3 ) dan c  (c1 , c2 , c3 ) , Diketahui tiga vektor perkalian tripel skalar, ditulis (a b c) , adalah  a (b  c) = a  v = a1v1  a2v2  a3v3 dimana v = (b  c) Cara menghitung: (a b c) = a1 a2 a3 a (b  c)  b1 b2 b3  a1 c1 c2 c3 a (b  c) = a b  c cos  Arti geometris: a (b  c) b2 b3 c2 c3  a2 b1 b3 c1 c3  a3 b1 b2 c1 c2 k
  7. 7.   a (b  c) : volume dari parallepipedum dibentuk oleh vektor a , b dan c . Sifat perkalian tripel scalar: (ka b c)  k (a b c) a (b  c)  (a  b) c (a  b) c  c (a  b) Untuk contoh penggunaannya, lihat buku Kreizig.

×