2. Не все на світі просто, але є
Якась закономірність саме в
тому,
Що істина раптом постає
Крізь ліс ускладнень у самому
просторі.
Віталій
Коротич

3. мета моєї роботи:
стати не випадковим
мандрівником у даному розділі
математики а, отримати більш
глибокі знання про модуль
числа, різні способи
розв’язання нерівностей, які
мають знак абсолютної
величини.

4. Практична цінність роботи
полягає в тому, що її матеріали
можна використовувати на
уроках з алгебри та початків
аналізу при розв’язні
тригонометричних,
показникових, степеневих,
логарифмічних нерівностей
тощо.

5. Предмет
дослідження -
нерівності з курсу
алгебри які містять знак
модуля.

6. Алгоритм розв’язування нерівностей з модулями:
Якщо ( ) axf 〈 , то
•при 0≤a нерівність рішення не має;
0〉a
( ) .axfa 〈〈−•при
необхідно розв’язати еквівалентну систему
нерівностей
Якщ
о
( ) axf 〉 , то
0≤a
( )xf
•при
розв’язанням нерівності є область визначення
функції ;
0〉a
( ) axf 〈− ( ) axf 〉
при необхідно розв’язати еквівалентну сукупність
нерівностей: і .

7. I) Нерівності виду |f(x)|<A
розв’язуються так.
 Якщо А=0, то f(x)=0
 Якщо А<0, то розв'язків немає.
 Якщо А>0, то нерівність |f(x)|<A
рівносильна системі



−≥
≤
Axf
Axf
)(
)(

8. IІ) Нерівності виду |f(x)|<A
розв’язуються так.
 Якщо А=0, то розв'язків немає.
 Якщо А<0, то розв'язків немає.
 Якщо А>0, то нерівність |f(x)|<A
рівносильна системі



−>
<
Axf
Axf
)(
)(

9. IІІ) Нерівності виду |f(x)|>A
розв’язуються так.
 Якщо А<0, то нерівність вірна для
довільних х з області визначення f(x).
 Якщо А=0, то нерівність вірна для
довільних х з області визначення f(x).
 Якщо А>0, то дана нерівність
рівносильна сукупності



−≤
≥
Axf
Axf
)(
)(

10. ІV) Нерівності виду |f(x)|>A
розв’язуються так.
 Якщо А<0, то нерівність вірна для
довільних х з області визначення f(x).
 Якщо А=0, то дана нерівність
рівносильна системі
 Якщо А>0, то нерівність рівносильна
системі



∈
≠
)(
0)(
fDx
xf



−<
>
Axf
Axf
)(
)(

11. V) Нерівності виду |f(x)|<g(x)
розв’язуються так.
 Якщо g(x)<0 , то розв’язків немає.
 Якщо g(x)=0, то розв'язку нерівності
відповідає рівняння f(x)=0
 Якщо g(x)>0, то розв'язку нерівності
відповідає рівносильна система



−≥
≤
)()(
)()(
xgxf
xgxf

12. VІ) Нерівності виду |f(x)|<g(x)
розв’язуються так.
 Якщо g(x)<0 , то розв’язків немає.
 Якщо g(x)=0, то розв'язків немає.
 Якщо g(x)>0, то розв'язку нерівності
відповідає рівносильна система



−>
<
)()(
)()(
xgxf
xgxf

13. VІІ) Нерівності виду |f(x)|>g(x)
розв’язуються так.
 Якщо g(x)<0, то нерівність вірна для
довільних Х з області визначення
нерівності (f(x) і g(x)).
 Якщо g(x)=0, то нерівності
рівносильна система.
 Якщо g(x)>0, то нерівності
рівносильна сукупність





∈
∈
≠
)(
)(
0)(
gDx
fDx
xf



−<
>
)()(
)()(
xgxf
xgxf

14. VІІІ) Нерівності виду |f(x)|>g(x)
розв’язуються так.
 Якщо g(x)<0, то нерівність вірна для
довільних Х з області визначення нерівності
(f(x) і g(x)).
 Якщо g(x)=0, то нерівність вірна для
довільних Х з області визначення нерівності
(f(x) і g(x)).
 Якщо g(x)>0, то нерівності
рівносильна сукупність 


−≤
≥
)()(
)()(
xgxf
xgxf

15. ІХ) Нерівності виду |f(x)|>|g(x)| і
|f(x)|<|g(x)| розв'язуються так:
 Нерівність |f(x)|>|g(x)| відповідає
нерівності
 Нерівність |f(x)|<|g(x)| відповідає
нерівності
)()( 22
xgxf ≥
)()( 22
xgxf ≤

16. Розв’язуючи нерівності методом
інтервалів, треба:
1) знати область визначення функції y=f(x);
2) знайти значення х, при яких функція
дорівнює нулю ( знайти нулі функції): f(x)=0;
3) розбити область визначення на
проміжки, кожний з кінців якого є або коренем
рівняння f(x)=0, або кінцевою точкою
проміжку визначення функції y=f(x);
4) визначити знак f(x) на кожному з
утворених проміжків;
5) об’єднати проміжки, на яких функція f(x)
задовольняє нерівності, у множину розв’язків.

17. Життя – дивовижний подарунок природи.Життя – дивовижний подарунок природи.
І щоб він приносив радість, требаІ щоб він приносив радість, треба
навчитися працювати з захопленням,навчитися працювати з захопленням,
прагнучи кожного дня, кожної хвилинипрагнучи кожного дня, кожної хвилини
черпати нові знання. Адже знання – цечерпати нові знання. Адже знання – це
скарб, йому й ціни не зложиш, визбируйскарб, йому й ціни не зложиш, визбируй
же його, де тільки зможеш. Саме цейже його, де тільки зможеш. Саме цей
девіз я ставлю перед собою, колидевіз я ставлю перед собою, коли
займаюсь вивченням свого улюбленогозаймаюсь вивченням свого улюбленого
предмету – математика.предмету – математика.