2. ЗмістЗміст
1.1. Основні поняттяОсновні поняття
2.2. Властивості чотирикутниківВластивості чотирикутників
3.3. Описані чотирикутникиОписані чотирикутники
4.4. Коло, описане навколо чотирикутникаКоло, описане навколо чотирикутника
5.5. Паралелограм та його властивостіПаралелограм та його властивості
6.6. Ознаки паралелограмаОзнаки паралелограма
7.7. Висота та площа паралелограмаВисота та площа паралелограма
8.8. Ромб та його властивостіРомб та його властивості
9.9. Площа ромбаПлоща ромба
10.10. Коло, вписане у ромбКоло, вписане у ромб
11.11. Прямокутник та його властивостіПрямокутник та його властивості
12.12. Квадрат та його властивостіКвадрат та його властивості
13.13. Трапеція. Основні поняттяТрапеція. Основні поняття
14.14. Властивості трапеціїВластивості трапеції
15.15. Учнівська сторінкаУчнівська сторінка
3. Основні поняттяОсновні поняття
ЧотирикутникомЧотирикутником
називається фігура, щоназивається фігура, що
складається з чотирьохскладається з чотирьох
точок (вершин) таточок (вершин) та
чотирьох послідовночотирьох послідовно
зз’’єднуючих їх відрізківєднуючих їх відрізків
(сторін), При цьому ніякі(сторін), При цьому ніякі
три з даних точок нетри з даних точок не
повинні лежати на однійповинні лежати на одній
прямій, а зпрямій, а з’’єднуючі їхєднуючі їх
відрізки не повиннівідрізки не повинні
перетинатися.перетинатися.
ЧотирикутникЧотирикутник
називаєтьсяназивається опуклимопуклим,,
якщо він розташованийякщо він розташований
в одній півплощинів одній півплощині
відносно прямої, якавідносно прямої, яка
містить будь-яку йогомістить будь-яку його
сторонусторону
4. Властивості чотирикутниківВластивості чотирикутників
Коло, яке є дотичною до всіх сторінКоло, яке є дотичною до всіх сторін
чотирикутника, називається вписаним у цейчотирикутника, називається вписаним у цей
чотирикутник.чотирикутник.
Коло, що містить всі вершини чотирикутника,Коло, що містить всі вершини чотирикутника,
називається описаним навколо цьогоназивається описаним навколо цього
чотирикутника.чотирикутника.
Сума кутів опуклого чотирикутника дорівнює 360Сума кутів опуклого чотирикутника дорівнює 360
градусів.градусів.
Площа опуклого чотирикутника:Площа опуклого чотирикутника: S=S=((d1d1∙∙d2d2) /2) /2 sinsin
ßß, де, де d1,d2—d1,d2— діагоналі чотирикутника;діагоналі чотирикутника; ß—ß—кут міжкут між
діагоналямидіагоналями
5. Описані чотирикутникиОписані чотирикутники
Якщо у чотирикутникуЯкщо у чотирикутнику
суми довжин протилежнихсуми довжин протилежних
сторін рівні, то у ньогосторін рівні, то у нього
можна вписати коломожна вписати коло
Центр вписаного уЦентр вписаного у
чотирикутник кола єчотирикутник кола є
точкою перетину всіхточкою перетину всіх
чотирьох бісектрис кутівчотирьох бісектрис кутів
цього чотирикутникацього чотирикутника
Точки дотику вписаногоТочки дотику вписаного
кола відтинають рівнікола відтинають рівні
відрізки від кутіввідрізки від кутів
чотирикутникачотирикутника
Площа описаногоПлоща описаного
чотирикутника:чотирикутника: S=prS=pr , де, де rr
—— радіус вписаного кола;радіус вписаного кола;
p=p=((a + b + c + da + b + c + d)) /2./2.
6. Коло, описане навколоКоло, описане навколо
чотирикутникачотирикутника
Якщо сума протилежнихЯкщо сума протилежних
кутів чотирикутникакутів чотирикутника
дорівнює 180 градусів,дорівнює 180 градусів,
то навколо нього можнато навколо нього можна
описати колоописати коло
Центр описаногоЦентр описаного
навколо чотирикутниканавколо чотирикутника
кола є точкою перетинукола є точкою перетину
всіх серединнихвсіх серединних
перпендикулярів сторінперпендикулярів сторін
цього чотирикутникацього чотирикутника
Сума добутківСума добутків
протилежних сторінпротилежних сторін
вписаного у коловписаного у коло
чотирикутника дорівнюєчотирикутника дорівнює
добутку його діагоналейдобутку його діагоналей
7. Паралелограм та йогоПаралелограм та його
властивостівластивості
Чотирикутник, протилежні сторониЧотирикутник, протилежні сторони
якого попарно паралельні,якого попарно паралельні,
називаєтьсяназивається паралелограмомпаралелограмом
Середина діагоналейСередина діагоналей
паралелограма є його центромпаралелограма є його центром
симетріїсиметрії
Протилежні сторони рівніПротилежні сторони рівні
Протилежні кути рівніПротилежні кути рівні
Сума кутів, що прилягають доСума кутів, що прилягають до
будь-якої сторони, дорівнює 180будь-якої сторони, дорівнює 180
градусівградусів
Діагоналі паралелограмаДіагоналі паралелограма
перетинаються і у точці перетинуперетинаються і у точці перетину
діляться навпілділяться навпіл
Кожна діагональ ділитьКожна діагональ ділить
паралелограм на два рівнихпаралелограм на два рівних
трикутникатрикутника
Дві діагоналі паралелограма ділятьДві діагоналі паралелограма ділять
його на 4 рівновеликих трикутникайого на 4 рівновеликих трикутника
Сума квадратів діагоналейСума квадратів діагоналей
паралелограма дорівнює суміпаралелограма дорівнює сумі
квадратів всіх його сторінквадратів всіх його сторін
A
B C
D
8. Ознаки паралелограмаОзнаки паралелограма
Якщо у чотирикутнику протилежніЯкщо у чотирикутнику протилежні
сторони попарно рівні, то цейсторони попарно рівні, то цей
чотирикутникчотирикутник — паралелограм— паралелограм
Якщо у чотирикутнику двіЯкщо у чотирикутнику дві
протилежні сторони рівні тапротилежні сторони рівні та
паралельні, то цей чотирикутник —паралельні, то цей чотирикутник —
паралелогрампаралелограм
Чотирикутник, діагоналі якого уЧотирикутник, діагоналі якого у
точці перетину діляться навпіл, —точці перетину діляться навпіл, —
паралелогрампаралелограм
9. Висота та площаВисота та площа
паралелограмапаралелограма
1.1. Висота паралелограмаВисота паралелограма — це— це
перпендикуляр, проведений з вершиниперпендикуляр, проведений з вершини
цього паралелограма на протилежнуцього паралелограма на протилежну
сторонусторону
2.2. Площу паралелограма можнаПлощу паралелограма можна
визначити:визначити:
Через сторону паралелограма таЧерез сторону паралелограма та
проведену до неї висоту:проведену до неї висоту: S=aS=a ∙h∙h
Через дві сторони паралелограма таЧерез дві сторони паралелограма та
кут між ними:кут між ними: S=ab sin ßS=ab sin ß
Через діагоналі паралелограма та кутЧерез діагоналі паралелограма та кут
між ними:між ними: S=S=((ef sin aef sin a)/2)/2
10. Ромб та його властивостіРомб та його властивості
Паралелограм, у якогоПаралелограм, у якого
всі сторони рівні,всі сторони рівні,
називаєтьсяназивається ромбомромбом
Діагоналі ромбаДіагоналі ромба
перетинаються підперетинаються під
прямим кутомпрямим кутом
Діагоналі ромба єДіагоналі ромба є
бісектрисами його кутівбісектрисами його кутів
У будь-який ромбУ будь-який ромб
можна вписати коло зможна вписати коло з
центром у точціцентром у точці
перетину йогоперетину його
діагоналейдіагоналей
A
B
C
D
11. Площа ромбаПлоща ромба
Площа ромба може бутиПлоща ромба може бути
визначена:визначена:
1.1. Через діагоналі:Через діагоналі: S=(d1S=(d1∙d2)∙d2)/2/2
2.2. Через сторону та кут ромба:Через сторону та кут ромба:
S=a² sin aS=a² sin a
3.3. Через сторону та висоту:Через сторону та висоту:
S=ahS=ah
4.4. Через сторону та радіусЧерез сторону та радіус
вписаного кола:вписаного кола: S= 2arS= 2ar
12. Коло, вписане у ромбКоло, вписане у ромб
Радіус кола,Радіус кола,
вписаного у ромбвписаного у ромб
можна знайти:можна знайти:
1.1. Через висотуЧерез висоту
ромба:ромба: r=hr=h/2/2
2.2. Через діагоналіЧерез діагоналі
ромба таромба та
сторону:сторону:
r=(d1r=(d1∙d2)∙d2)/4а/4а
3.3. Через відрізки, наЧерез відрізки, на
які ділить сторонуякі ділить сторону
ромба точкаромба точка
дотику:дотику: r²=BE ∙ECr²=BE ∙EC
A
B C
D
13. Прямокутник та йогоПрямокутник та його
властивостівластивості
ПрямокутникПрямокутник —— цеце
паралелограм, у якого всі кутипаралелограм, у якого всі кути
пряміпрямі
1.1. Діагоналі прямокутника рівні та уДіагоналі прямокутника рівні та у
точці перетину діляться навпілточці перетину діляться навпіл
2.2. Прямокутник має дві осі симетрії,Прямокутник має дві осі симетрії,
які співпадають з серединнимиякі співпадають з серединними
перпендикулярами до йогоперпендикулярами до його
сторінсторін
3.3. Навколо будь-якогоНавколо будь-якого
прямокутника можна описатипрямокутника можна описати
коло з центром у точці перетинуколо з центром у точці перетину
діагоналей та радіусу, щодіагоналей та радіусу, що
дорівнює половині діагоналідорівнює половині діагоналі
4.4. Площу прямокутника можнаПлощу прямокутника можна
визначити:визначити:
Через його сторони:Через його сторони: S=abS=ab
Через діагоналі та кут між ними:Через діагоналі та кут між ними:
S=(d² sin ß)S=(d² sin ß)/2/2
A B
C D
14. Квадрат та його властивостіКвадрат та його властивості
КвадратКвадрат —— це прямокутник, уце прямокутник, у
якого всі сторони рівніякого всі сторони рівні
У квадрата всі кути пряміУ квадрата всі кути прямі
Діагоналі квадрата рівні таДіагоналі квадрата рівні та
перетинаються під прямимперетинаються під прямим
кутомкутом
Квадрат має 4 осі симетріїКвадрат має 4 осі симетрії
У квадраті центри вписаного таУ квадраті центри вписаного та
описаного кіл співпадають таописаного кіл співпадають та
знаходяться у точці перетинузнаходяться у точці перетину
його діагоналеййого діагоналей
Радіус описаного кола:Радіус описаного кола: R=a√2R=a√2/2/2
Радіус вписаного кола:Радіус вписаного кола: r=r=а/2а/2
Площа квадрата:Площа квадрата: S=aS=a²²
Послідовно зПослідовно з΄΄єднані відрізкамиєднані відрізками
середини сусідніх сторінсередини сусідніх сторін
квадрата утворюють квадратквадрата утворюють квадрат
А В
С D
15. Трапеція. Основні поняттяТрапеція. Основні поняття
ТрапеціяТрапеція —— це чотирикутник, уце чотирикутник, у
якого дві сторони паралельні,якого дві сторони паралельні,
а дві інші не паралельніа дві інші не паралельні
Паралельні сторониПаралельні сторони
називаються основаминазиваються основами
трапеціїтрапеції
Непаралельні сторониНепаралельні сторони
називаються бічниминазиваються бічними
сторонамисторонами
Середня лінія трапеції —Середня лінія трапеції — цеце
відрізок, який сполучаєвідрізок, який сполучає
середини бічних сторінсередини бічних сторін
Рівнобічна трапеція —Рівнобічна трапеція —
трапеція, у якої бічні сторонитрапеція, у якої бічні сторони
рівнірівні
Прямокутна трапеція —Прямокутна трапеція —
трапеція, у якої одна бічнатрапеція, у якої одна бічна
сторона перпендикулярнасторона перпендикулярна
основамосновам
А В
С D
М К
16. Властивості трапеціїВластивості трапеції
Коло можна вписати у трапецію, якщо сума їїКоло можна вписати у трапецію, якщо сума її
бічних сторін дорівнює сумі основбічних сторін дорівнює сумі основ
Центр вписаного у трапецію колаЦентр вписаного у трапецію кола — точка— точка
перетину бісектрис внутрішніх кутівперетину бісектрис внутрішніх кутів
Радіус вписаного кола дорівнює половиніРадіус вписаного кола дорівнює половині
висоти:висоти:
rr =h=h/2/2
Середня лінія трапеції паралельна основам таСередня лінія трапеції паралельна основам та
дорівнює їх півсумідорівнює їх півсумі
У рівнобічної трапеції:У рівнобічної трапеції:
1.1. Кути при основі рівніКути при основі рівні
2.2. Діагоналі рівніДіагоналі рівні
Площу трапеції можна визначити:Площу трапеції можна визначити:
Через півсуму основ та висоту:Через півсуму основ та висоту: S=(a + b)S=(a + b)/2∙/2∙hh
Через діагоналі та кут між ними:Через діагоналі та кут між ними: S=1S=1/2∙/2∙d1d2∙sinad1d2∙sina
17. Учнівська сторінкаУчнівська сторінка
Дано: АВСДано: АВСDD –– ТРАПЕЦІЯТРАПЕЦІЯ
ММN –N – середня лініясередня лінія
Довести: МДовести: МN= ½(CD + AB)N= ½(CD + AB)
РішенняРішення
Добудуємо трикутник АДобудуємо трикутник АDDЕ так, щоб однією стороною служила сторона трапеції, аЕ так, щоб однією стороною служила сторона трапеції, а
третя вершина трикутника (Е) розміщувалася на продовженні нижньої основитретя вершина трикутника (Е) розміщувалася на продовженні нижньої основи
трапеції. Одна сторона трикутника проходить через точку перетину середньоїтрапеції. Одна сторона трикутника проходить через точку перетину середньої
лінії трапеції і сторони трапеції (лінії трапеції і сторони трапеції (N)N)
∆∆АВАВN= ∆CENN= ∆CEN за 2 ознакою рівності трикутників. З рівності трикутників випливаєза 2 ознакою рівності трикутників. З рівності трикутників випливає
рівність сторін АВ=СЕ і Арівність сторін АВ=СЕ і АN=EN.N=EN. Середня лінія трапеції є середньою лінією даногоСередня лінія трапеції є середньою лінією даного
трикутника, отже середня лінія трикутника визначається яктрикутника, отже середня лінія трикутника визначається як MN=1MN=1/2/2 DE.DE. СередняСередня
лінія трапеціїлінія трапеції MNMN тоді може бути виражена через її основи: Мтоді може бути виражена через її основи: МN=1N=1/2/2(CD +(CD +
CE)=1CE)=1//2(CD + AB).2(CD + AB).