Дараалал ба цуваа бүлэг сэдвийг 12р ангийн сурагчдад зориулан 3 цахим хичээл болгон оруулж байна Цахим хичээл-1: Прогрессууд

1. Дараалал ба цуваа,
математик индукц
Цахим хичээл-1, 12-р анги

2. Дараалал:
ТОДОРХОЙЛОЛТ:
› Тодорхойлогдох муж нь натурал
тоон олонлог эсвэл эхний 𝑛
ширхэг натурал тоон олонлог
байх функцийг тоон дараалал
буюу дараалал гэнэ.
› Дарааллын тоонуудыг
дарааллын гишүүд гээд
дугаараар нь 𝑎1, 𝑎2, … … , 𝑎𝑛 …
гэх мэтээр тэмдэглэнэ.
Дарааллыг 𝑎𝑛 гэж тэмдэглэнэ.
› Дарааллын гишүүдийн тооноос
хамаарч дарааллыг төгсгөлөг ба
төгсгөлгүй гэж нэрлэнэ.
ЖИШЭЭЛБЭЛ:
› Дарааллын гишүүд: 𝑎1, 𝑎2, … … , 𝑎𝑛 …
› Дарааллыг: 𝑎𝑛
› Төгсгөлөг дараалал: 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, 𝑎5
› Төгсгөлгүй: 𝑎1, 𝑎2, … … , 𝑎𝑛 …
› Өсөх дараалал: 3,6,9,12,15,18, …
› Буурах дараалал:
− 3, −6, −9, −12, −15, −18, …
› Тогтмол дараалал: 3,3,3,3,3,3,3,3 …

3. Дараалал өгөх аргууд:
›Тоочих: Тоон дарааллын эхний хэдэн эсвэл
бүх гишүүнийг зааж бичих замаар өгөх аргыг
хэлнэ.
›𝑎𝑛 гишүүний дугаар 𝑛-ээр илэрхийлсэн
томьёог ерөнхий гишүүний томьёо гэнэ.
Жишээлбэл: 𝒂𝒏 = 𝒏𝟐
+ 𝟐
›𝑎𝑛 гишүүний өмнөх гишүүдээр илэрхийлсэн
томьёог рекуррент томьёо гэнэ.
Жишээлбэл: 𝒂𝒏+𝟏 = 𝒂𝒏 + 𝒏𝟐

4. Дасгал бодлого:
1. 𝑎𝑛 дарааллын ерөнхий гишүүн 𝑎𝑛 = 𝑛3 + 2𝑛 томьёогоор өгсөн бол уг дарааллыг
байгуулъя.
Бодолт: 𝑛-ийн оронд 1,2,3,4,.. гэх мэтчилэн утгууд орлуулж гишүүдийг олно. Өөрөөр хэлбэл
𝑛 = 1, 𝑛 = 2, 𝑛 = 3, 𝑛 = 4 үед 𝑎1 = 13
+ 2 × 1 = 3
𝑎2 = 23
+ 2 × 2 = 12
𝑎3 = 33
+ 2 × 3 = 33
𝑎4 = 43
+ 2 × 4 = 72
... ... ....
Дараалал: 3, 12, 33, 72, …
2. 5,11,17,23, … дарааллын ерөнхий гишүүний томьёог ол.
Бодолт:

5. Дасгал бодлого: ЭЕШ
2018 он:
1. 𝑎𝑛 = 𝑛2
− 6𝑛 + 10
ерөнхий
гишүүнтэй
дарааллыг хамгийн
бага гишүүн ямар
утгатай вэ?
2. 𝑎𝑛 = 𝑛2 − 6𝑛 + 8
ерөнхий
гишүүнтэй
дарааллыг хамгийн
бага гишүүн ямар
утгатай вэ?
› Бодолт:
𝑛 = 1 үед 𝑎1 = 12 − 6 × 1 + 10 = 5
𝑛 = 2 үед 𝑎2 = 22 − 6 × 2 + 10 = 2
𝑛 = 3 үед 𝑎3 = 32 − 6 × 3 + 10 = 1
𝑛 = 4 үед 𝑎4 = 42 − 6 × 4 + 10 = 2
𝑛 = 5 үед 𝑎5 = 52 − 6 × 5 + 10 = 5
𝑛 = 6 үед 𝑎6 = 62 − 6 × 6 + 10 = 10 гэх
мэт өсөх учир 𝑎𝑛 = 𝑛2 − 6𝑛 + 10
ерөнхий гишүүнтэй дарааллыг хамгийн
бага гишүүн 𝑎3 = 1 байна.

6. Дасгал бодлого: ЭЕШ
2020 он:
1. 𝑎𝑛+1 = 2𝑎𝑛 + 1
дарааллын 𝑎1 = 1
бол 𝑎4 хэд вэ?
2. 𝑎𝑛+1 = 2𝑎𝑛 + 3
дарааллын 𝑎1 = 1
бол 𝑎4 хэд вэ?
› Бодолт-1:
𝑎𝑛+1 = 2𝑎𝑛 + 1 , 𝑎1 = 1 гэдгээс
𝑛 = 1 үед 𝑎1+1 = 2𝑎1 + 1 𝑎2 = 2 × 1 + 1 = 3
𝑛 = 2 үед 𝑎𝑛+1 = 2𝑎2 + 1 𝑎3 = 2 × 3 + 1 = 7
𝑛 = 3 үед 𝑎3+1 = 2𝑎3 + 1 𝑎4 = 2 × 7 + 1 = 15
› Бодлого-2: хариу- 𝑎4= 29

7. Арифметик прогресс
 Тодорхойлолт , тэмдэглэл
 Дурын гишүүнийг олох
 Дараалсан 3 гишүүний чанар
 Эхний 𝑛 гишүүний нийлбэр

8. ТОДОРХОЙЛОЛТ:
› Хоёрдугаар гишүүнээсээ
эхлээд гишүүн бүр өмнөх
гишүүн дээр нэгэн ижил тоо
нэмэхэд үүсэх гишүүдтэй
дарааллыг арифметик
прогресс гэнэ.
ТЭМДЭГЛЭХ:
› 𝑎1, 𝑎2, … … , 𝑎𝑛 гэж тэмдэглэнэ.
› Өмнөх гишүүн дээр тогтмол нэмэгдэх
тоог арифметик прогрессийн
ялгавар гээд 𝒅 гэж тэмдэглэнэ.
› Ерөнхий гишүүний томьёо:
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 + 𝒏 − 𝟏 𝒅
Жишээлбэл:
1. 8,4,0,-4, .... Дараалал арифметик прогресс мөн үү? Мөн бол
ялгаврыг ол.
Бодолт: 8,4,0,-4,…. Дараалал арифметик прогресс мөн. Ялгаврыг
олбол:
𝑎2 = 𝑎1 + 𝑑 4 = 8 + 𝑑 𝑑 = −4 байна.

9. Ерөнхий гишүүний томьёо ашиглан арифметик
прогрессийн дурын гишүүнийг олох:
Ерөнхий гишүүний томьёо: 𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 + 𝒏 − 𝟏 𝒅
Жишээлбэл:
1. 𝒂𝟏 = 𝟓 𝒅 = −𝟒 бол 𝒂𝟒 =?
Бодолт: 𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 + 𝒏 − 𝟏 𝒅 𝒂𝟒 = 𝒂𝟏 + 𝟒 − 𝟏 𝒅 𝒂𝟒 = 𝟓 + 𝟑 × −𝟒 = −𝟕
2. 𝒂𝟕 = 𝟏𝟐, 𝒂𝟏𝟐 = 𝟐𝟕 𝒅 =?
Бодолт: 𝒂𝟏𝟐 = 𝒂𝟕 + 𝟓𝒅 𝟐𝟕 = 𝟏𝟐 + 𝟓𝒅 𝒅 = 𝟑
3. 𝒂𝟏𝟏 = 𝟐𝟔, 𝒂𝟒𝟏 = 𝟒𝟒 𝒂𝟏 =?
Бодолт:
a)
𝒂𝟒𝟒 = 𝒂𝟏 + 𝟒𝟎𝒅
𝒂𝟏𝟏 = 𝒂𝟏 + 𝟏𝟎𝒅
⟹
𝟒𝟒 = 𝒂𝟏 + 𝟒𝟎𝒅
𝟐𝟔 = 𝒂𝟏 + 𝟏𝟎𝒅
⇒ 𝒅 =
𝟑
𝟓
, 𝒂𝟏 = 𝟐𝟎
b) Энд 𝒂𝟒𝟏 = 𝒂𝟏𝟏 + 𝟑𝟎𝒅 𝟒𝟒 = 𝟐𝟔 + 𝟑𝟎𝒅 𝒅 =
𝟑
𝟓
𝒂𝟏𝟏 = 𝒂𝟏 + 𝟏𝟎𝒅 ⇒ 𝟐𝟔 = 𝒂𝟏 + 𝟏𝟎 ×
𝟑
𝟓
𝒂𝟏 = 𝟐𝟎
4. 𝒂𝟑 + 𝒂𝟗 = 𝟏𝟐 𝒂𝟔 =?
Бодолт: 𝒂𝟔 = 𝒂𝟑 + 𝟑𝒅, 𝒂𝟔 = 𝒂𝟗 − 𝟑𝒅 гэдгээс
𝒂𝟔 = 𝒂𝟗 − 𝟑𝒅
𝒂𝟔 = 𝒂𝟑 + 𝟑𝒅
⇒ 𝟐𝒂𝟔 = 𝒂𝟗 + 𝒂𝟑 буюу 𝟐𝒂𝟔 = 𝟏𝟐 𝒂𝟔 = 𝟔

10. Дараалсан гурван гишүүний чанар:
ТОДОРХОЙЛОЛТ:
› Ямар ч арифметик
прогрессийн дараалсан гурван
гишүүний хувьд дундах
гишүүн нь захын хоёр
гишүүнийхээ нийлбэрийн
хагастай тэнцүү байна.
› 𝑎𝑛−1, 𝑎𝑛, 𝑎𝑛+1 нь
арифметик прогрессийн
дараалсан гишүүд бол
𝒂𝒏 =
𝒂𝒏−𝟏+𝒂𝒏+𝟏
𝟐
байна.
ЖИШЭЭЛБЭЛ:
› 𝟐𝒙 + 𝟏, 𝟓𝒙 − 𝟐, 𝟏𝟎𝒙 + 𝟕 тоонууд өгсөн
дарааллаараа арифметик прогресс үүсгэж
байх 𝒙-ийг ол.
› Бодолт: Арифметик прогрессийн дараалсан
гурван гишүүний чанар ёсоор: 𝟓𝒙 − 𝟐 =
𝟐𝒙+𝟏+𝟏𝟎𝒙+𝟕
𝟐
байна.
› 𝟏𝟎𝒙 − 𝟒 = 𝟏𝟐𝒙 + 𝟖
› 𝟐𝒙 = −𝟏𝟐 𝒙 = −𝟔 байна
› 𝟐 × −𝟔 + 𝟏, 𝟓 × −𝟔 − 𝟐, 𝟏𝟎 × −𝟔 + 𝟕 буюу −
− 𝟏𝟏, −𝟑𝟐, −𝟓𝟑 гэсэн арифметик прогресс үүснэ

11. Арифметик прогрессийн эхний 𝒏 гишүүний нийлбэр:
ТОМЬЁО: › 𝒔𝒏 =
𝒂𝟏+𝒂𝒏
𝟐
× 𝒏 ⇔ 𝒔𝒏 =
𝟐𝒂𝟏+ 𝒏−𝟏 𝒅
𝟐
× 𝒏
ЖИШЭЭЛБЭЛ:
1. 𝒂𝟏 = 𝟏𝟎 𝒂𝟏𝟐 = 𝟑𝟏 𝒔𝟏𝟐 =?
Бодолт: 𝒔𝒏 =
𝒂𝟏+𝒂𝒏
𝟐
× 𝒏 𝒔𝟏𝟐 =
𝒂𝟏+𝒂𝟏𝟐
𝟐
× 𝟏𝟐 =
𝟏𝟎+𝟑𝟏
𝟐
× 𝟏𝟐 = 𝟐𝟒𝟔
2. 𝒂𝟏 = −𝟑, 𝒂𝟏𝟏 = −𝟗 𝒔𝟏𝟏 =?
Бодолт: 𝒔𝒏 =
𝒂𝟏+𝒂𝒏
𝟐
× 𝒏 𝒔𝟏𝟏 =
𝒂𝟏+𝒂𝟏𝟏
𝟐
× 𝟏𝟏 =
−𝟑+(−𝟗)
𝟐
× 𝟏𝟏 = −𝟔𝟔
3. 𝒂𝟐 = 𝟖 𝒂𝟏𝟎 = 𝟒𝟎 𝒔𝟏𝟐 =?
› Бодолт: 𝒔𝒏 =
𝟐𝒂𝟏+ 𝒏−𝟏 𝒅
𝟐
× 𝒏 𝒔𝟏𝟐 =
𝟐𝒂𝟏+ 𝟏𝟐−𝟏 𝒅
𝟐
× 𝟏𝟐 =
𝟐×𝟒+𝟏𝟏×𝟒
𝟐
×
𝟏𝟐 = 𝟑𝟏𝟐
𝒂𝟏𝟎 = 𝒂𝟐 + 𝟖𝒅 𝟒𝟎 = 𝟖 + 𝟖𝒅 𝒅 = 𝟒
𝒂𝟐 = 𝒂𝟏 + 𝒅 ⇒ 𝒂𝟐 − 𝒅 = 𝒂𝟏 𝒂𝟏 = 𝟖 − 𝟒 = 𝟒

12. Дасгал бодлого: ЭЕШ
2015 он:
1. 2𝑥 + 4, 6𝑥, 10𝑥 + 4 гэсэн 3 тоо
арифметик прогрессын дараалсан
гурван гишүүн бол уг арифметик
прогрессийн ялгаврыг ол
2. 3𝑥 + 4, 7𝑥, 11𝑥 + 4 гэсэн 3 тоо
арифметик прогрессын дараалсан
гурван гишүүн бол уг арифметик
прогрессийн ялгаврыг ол
3. 5𝑥 + 4, 9𝑥, 13𝑥 + 4 гэсэн 3 тоо
арифметик прогрессын дараалсан
гурван гишүүн бол уг арифметик
прогрессийн ялгаврыг ол
4. 𝑥 + 4, 5𝑥, 9𝑥 + 4 гэсэн 3 тоо
арифметик прогрессын дараалсан
гурван гишүүн бол уг арифметик
прогрессийн ялгаврыг ол
› Бодолт:
𝒂𝒏 =
𝒂𝒏−𝟏 + 𝒂𝒏+𝟏
𝟐
⇒ 𝟐𝒂𝒏 = 𝒂𝒏−𝟏 + 𝒂𝒏+𝟏
𝟐 𝟔𝒙 = 𝟐𝒙 + 𝟒 + 𝟏𝟎𝒙 + 𝟒
𝟐 𝟔𝒙
𝟐
= 𝟐𝒙 + 𝟒 + 𝟏𝟎𝒙 + 𝟒
𝟐
𝟒 × 𝟔𝒙 = 𝟐𝒙 + 𝟒 + 𝟐 𝟐𝒙 + 𝟒 × 𝟏𝟎𝒙 + 𝟒 + 𝟏𝟎𝒙 + 𝟒
𝟐𝟒𝒙 = 𝟏𝟐𝒙 + 𝟖 + 𝟐 (𝟐𝒙 + 𝟒)(𝟏𝟎𝒙 + 𝟒)
𝟏𝟐𝒙 − 𝟖 = 𝟐 (𝟐𝒙 + 𝟒)(𝟏𝟎𝒙 + 𝟒)
𝟔𝒙 − 𝟒 = (𝟐𝒙 + 𝟒)(𝟏𝟎𝒙 + 𝟒)
𝟔𝒙 − 𝟒 𝟐 = (𝟐𝒙 + 𝟒)(𝟏𝟎𝒙 + 𝟒)
𝟐
𝟑𝟔𝒙𝟐 − 𝟒𝟖𝒙 + 𝟏𝟔 = 𝟐𝟎𝒙𝟐 + 𝟒𝟖𝒙 + 𝟏𝟔
𝟏𝟔𝒙𝟐 − 𝟗𝟔𝒙 = 𝟎
𝟏𝟔𝒙 𝒙 − 𝟔 = 𝟎
𝟏𝟔𝒙 = 𝟎 𝒙 = 𝟎
𝒙 − 𝟔 = 𝟎 𝒙 = 𝟔
𝒙 = 𝟔 үед 𝟐 × 𝟔 + 𝟒, 𝟔 × 𝟔, 𝟏𝟎 × 𝟔 + 𝟒 буюу
𝟒, 𝟔, 𝟖 байна. Энд ялгавар нь 2 байна.

13. Дасгал бодлого: ЭЕШ-2020 он
1. Дугуй өнцгүүд нь арифметик
прогресс үүсгэдэг байхаар таван
секторт хуваажээ. Хэрэв хамгийн
том секторын өнцөг нь хамгийн
бага секторын өнцгөөс 5 дахин их
бол хамгийн том секторын өнцгийг
ол.
2. Дугуй өнцгүүд нь арифметик
прогресс үүсгэдэг байхаар дөрвөн
секторт хуваажээ. Хэрэв хамгийн
том секторын өнцөг нь хамгийн
бага секторын өнцгөөс 4 дахин их
бол хамгийн том секторын өнцгийг
ол.
› Бодолт: 𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑, 𝒂𝟒, 𝒂𝟓
Бодлогын нөхцөлөөс 𝒂𝟓 = 𝟓𝒂𝟏,
𝒔𝟓 = 𝟑𝟔𝟎𝟎
байна.
𝒔𝟓 =
𝒂𝟏 + 𝒂𝟓
𝟐
× 𝟓 =
𝒂𝟏 + 𝟓𝒂𝟏
𝟐
× 𝟓
𝟑𝟔𝟎𝟎 =
𝟔𝒂𝟏
𝟐
× 𝟓
𝒂𝟏 = 𝟐𝟒𝟎 хамгийн бага секторын өнцөг
𝒂𝟓 = 𝟓𝒂𝟏 = 𝟓 × 𝟐𝟒𝟎
= 𝟏𝟐𝟎𝟎
хамгийн
их секторын өнцөг

14. Геометр прогресс
 Тодорхойлолт , тэмдэглэл
 Дурын гишүүнийг олох
 Дараалсан 3 гишүүний чанар
 Эхний 𝑛 гишүүний нийлбэр

15. ТОДОРХОЙЛОЛТ:
› Дараагийн гишүүн бүр нь
өмөнх гишүүнийг тогтмол
тоогоор үржүүлэхэд гардаг
тоон дарааллыг геометр
прогресс гэнэ.
ТЭМДЭГЛЭХ:
› 𝑏1, 𝑏2, 𝑏3, … … , 𝑏𝑛, … гэж тэмдэглэнэ.
› Өмнөх гишүүнийг тогтмол үржиж байгаа
тоог геометр прогрессийн хуваарь гээд 𝒒
гэж тэмдэглэнэ.
› Ерөнхий гишүүний томьёо:
𝒃𝒏 = 𝒃𝟏 × 𝒒𝒏−𝟏
Жишээлбэл:
1. 𝑏1 = 4, 𝑞 = 2 геометр прогрессийн эхний 5 гишүүнийг ол.
Бодолт: 𝑏2 = 𝑏1 × 𝑞2−1
= 4 × 21
= 8
𝑏3 = 𝑏1 × 𝑞3−1
= 4 × 22
= 16
𝑏4 = 𝑏1 × 𝑞4−1 = 4 × 23 = 32
𝑏5 = 𝑏1 × 𝑞5−1 = 4 × 24 = 64
2. 2,6,18,54, … геометр прогрессийн хуваарыг ол.
Бодолт: 𝑏2 = 𝑏1 × 𝑞2−1 = 𝑏1 × 𝑞 гэдгээс хуваарийг олбол 𝑞 =
𝑏2
𝑏1
болно.
𝑞 =
𝑏2
𝑏1
=
6
2
= 3 байна.

16. Ерөнхий гишүүний томьёо ашиглан геометр
прогрессийн дурын гишүүнийг олох:
1. 3,15,75,375, … , 𝑏11
2. 1458 тоо нь 2,6,18,...
Геометр прогрессийн
хэддүгээр гишүүн бэ?
3. 𝑏5 = 112
𝑏7 = 448 𝑏1 =?
Бодолт-1: 𝒃𝟏 = 𝟑, 𝒃𝟐 = 𝟏𝟓 гэдгээс хуваарийг олбол
𝒒 =
𝒃𝟐
𝒃𝟏
=
𝟏𝟓
𝟑
= 𝟓 байна. 𝒃𝟏𝟏= 𝒃𝟏 × 𝒒𝟏𝟏−𝟏
= 𝟑 × 𝟓𝟏𝟎
Бодолт-2: 𝒃𝟏 = 𝟐, 𝒃𝟐 = 𝟔 гэдгээс хуваарийг олбол
𝒒 =
𝒃𝟐
𝒃𝟏
=
𝟔
𝟐
= 𝟑 байна. 𝟏𝟒𝟓𝟖 = 𝒃𝟏 × 𝒒𝒏−𝟏
𝟏𝟒𝟓𝟖 = 𝟐 × 𝟑𝒏−𝟏
𝟑𝒏−𝟏
= 𝟕𝟐𝟗
𝟑𝒏
÷ 𝟑 = 𝟑𝟔
𝟑𝒏 = 𝟑𝟕 𝒏 = 𝟕 буюу 𝒃𝟕 = 𝟏𝟒𝟓𝟖
Ерөнхий гишүүний томьёо: 𝒃𝒏 = 𝒃𝟏 × 𝒒𝒏−𝟏
Бодолт-3:
𝒃𝟕 = 𝒃𝟏 × 𝒒𝟔
𝒃𝟓 = 𝒃𝟏 × 𝒒𝟒 ⇒:
𝟒𝟒𝟖 = 𝒃𝟏 × 𝒒𝟔
𝟏𝟏𝟐 = 𝒃𝟏 × 𝒒𝟒
𝟏𝟏𝟐 = 𝒃𝟏 × 𝒒𝟒 гэдгээс 𝒃𝟏-ийг олбол 𝒃𝟏 =
𝟏𝟏𝟐
𝒒𝟒 орлуулбал 𝟒𝟒𝟖 =
𝟏𝟏𝟐
𝒒𝟒 × 𝒒𝟔 𝒒𝟐 = 𝟒 𝒒 = 𝟐
𝒃𝟏 =
𝟏𝟏𝟐
𝒒𝟒
=
𝟏𝟏𝟐
𝟐𝟒
=
𝟏𝟏𝟐
𝟏𝟔
= 𝟕 𝒃𝟏 = 𝟕

17. Дараалсан гурван гишүүний чанар:
ТОДОРХОЙЛОЛТ:
› Геометр прогрессийн
аливаа дараалсан гурван
гишүүний дундах
гишүүний квадрат нь
захын 2 гишүүнийхээ
үржвэртэй тэнцүү
байна.
› Өөрөөр хэлбэл:
𝑏𝑛−1, 𝑏𝑛, 𝑏𝑛+1гэсэн
геометр прогрессийн
дараалсан гурван
гишүүний хувьд
bn
2
= bn−1 × bn+1 байна.
ЖИШЭЭЛБЭЛ:
› 6 ба 216 тоонуудын дунд 1 тоог бичихдээ, эдгээр тоотой
геометр прогресс үүсгэхээр тохируул
Бодолт: 6, 𝑥, 216 геометр прогресс үүсэн гэж үзвэл чанар ёсоор
𝑥2
= 6 × 216
𝑥2 = 1296 буюу 𝑥 = 36 байна.
› 𝑘-ийн ямар утганд 2 𝑘 − 1 , 2 𝑘 + 1 , 9𝑘 гурван тоо
геометр прогрессийн дараалсан гишүүд болох вэ?
Бодолт: Чанар ёсоор 2(𝑘 + 1) 2 = 2(𝑘 − 1) × 9𝑘
4𝑘2 + 8𝑘 + 4 = 18𝑘2 − 18𝑘
14𝑘2 − 26𝑘 − 4 = 0
𝑘1,2 =
26 ± (−26)2−4 × 14 × (−4)
2 × 14
𝑘1 =
26 + 30
28
= 2, 𝑘2 =
26 − 30
28
= −
1
7
𝑘 = 2 үед 2 2 − 1 , 2 2 + 1 , 9 × 2 буюу 2, 6, 18 гэсэн
геометр прогрессийн дараалсан 3 гишүүн болно.

18. Геометр прогрессийн эхний 𝒏 гишүүний нийлбэр:
ТОДОРХОЙЛОЛТ:
› 𝑞 ≠ 1 хуваарь бүхий геометр
прогрессийн эхний 𝑛
гишүүний нийлбэрийг
› 𝒔𝒏 =
𝒃𝟏(𝒒𝒏−𝟏)
𝒒−𝟏
=
𝒃𝟏(𝟏−𝒒𝒏)
𝟏−𝒒
томьёогоор олно.
› Хэрэв 𝑞 = 1 бол 𝒔𝒏 =
𝒏𝒃𝟏 байна.
ЖИШЭЭЛБЭЛ:
› 2, 6, 18, … … , геометр прогрессийн эхний 5
гишүүний нийлбэрийг олоорой.
Бодолт: 𝑠𝑛 =
𝑏1(𝑞𝑛−1)
𝑞−1
𝑞 =
𝑏2
𝑏1
=
6
2
= 3
𝑠5 =
𝑏1(𝑞5 − 1)
𝑞 − 1
=
2(35 − 1)
3 − 1
= 242
› 𝑏𝑛 = 2𝑛−1 геометр прогресийн эхний 6н
гишүүний нийлбэрийг ол.
Бодолт: 𝑏1 = 21−1 = 20 = 1
𝑏2 = 22−1
= 21
= 2 гэдгээс 𝑞 =
𝑏2
𝑏1
=
2
1
= 2
𝑠6 =
𝑏1(𝑞6 − 1)
𝑞 − 1
=
1(26 − 1)
2 − 1
= 63

19. Дасгал даалгавар: ЭЕШ
2019 ОНЫ
1)
3
2,
3
2𝑥, 8 тоонууд
өсөх геометр
прогресс үүсгэх бол
𝑞-г ол
2)
3
3,
3
3𝑥, 27
тоонууд өсөх
геометр прогресс
үүсгэх бол 𝑞-г ол
БОДОЛТ:
› Дараалсан 3н гишүүний чанар ёсоор
(
3
2𝑥)2=
3
2 × 8
› Зэргийн чанар ёсоор (2𝑥)
2
3= 2
1
3 × 23
› 2
2
3 × 𝑥
2
3 = 2
10
3
› 𝑥
2
3 = 2
10
3 ÷ 2
2
3
› 𝑥
2
3 = 2
8
3 𝑥 = 24
= 16 гэдгээс
›
3
2,
3
2 × 16, 8 ⇒
3
2,
3
32, 8 байна . Эндээс
хуваарийг олбол 𝑞 =
𝑏2
𝑏1
=
3
32
3
2
=
3
2×
3
16
3
2
=
3
16

20. Дасгал бодлого: ЭЕШ-2014
1. 𝑎1 = 4, 𝑠5 = 40 байх арифметик
прогрессийн 𝑑 = 𝑞, 𝑎1 = 𝑏1
нөхцөлийг хангах, геометр
прогрессийн 5-р гишүүнийг ол.
2. 𝑎1 = 2, 𝑠4 = 32 байх арифметик
прогрессийн 𝑑 = 𝑞, 𝑎1 = 𝑏1
нөхцөлийг хангах, геометр
прогрессийн 3-р гишүүнийг ол.
3. 𝑎1 = 3, 𝑠5 = 45 байх арифметик
прогрессийн 𝑑 = 𝑞, 𝑎1 = 𝑏1
нөхцөлийг хангах, геометр
прогрессийн 3-р гишүүнийг ол.
4. 𝑎1 = 3, 𝑠4 = 36 байх арифметик
прогрессийн 𝑑 = 𝑞, 𝑎1 = 𝑏1
нөхцөлийг хангах, геометр
прогрессийн 5-р гишүүнийг ол.
› Бодолт: 𝒔𝒏 =
𝟐𝒂𝟏+ 𝒏−𝟏 𝒅
𝟐
× 𝒏
𝒔𝟓 =
𝟐𝒂𝟏 + 𝟓 − 𝟏 𝒅
𝟐
× 𝟓
𝟒𝟎 =
𝟐 × 𝟒 + 𝟒𝒅
𝟐
× 𝟓
𝟏𝟔 = 𝟖 + 𝟒𝒅 𝒅 = 𝟐
𝒅 = 𝒒, 𝒂𝟏 = 𝒃𝟏гэдгээс 𝒒 = 𝟐, 𝒃𝟏 = 𝟒
𝒃𝟓 = 𝒃𝟏 × 𝒒𝟒 = 𝟒 × 𝟐𝟒 = 𝟐𝟔 = 𝟔𝟒

21. Дасгал бодлого: